第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B等于(　　) A.{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 2.已知关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1<x<2},则a+b的值为(　　) A.1 B.-1 C.0 D.-2 3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是(　　) A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2 4.已知a<0,则关于x的不等式x2-ax-12a2<0的解集为(　　) A.{x|-3a≤x<4a} B.{x|4a<x<-3a} C.{x|-3<x<4} D.{x|2a<x<6a} 5.已知x>-1,当x=a时,x-4+取得最小值b,则a+b等于(　　) A.-3 B.2 C.3 D.8 6.已知关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,则m的取值范围是(　　) A.-4≤m≤4 B.m≤-4 C.-4<m<4 D.m≤-4或m≥4 7.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本(单位:元)与月处理量(单位:吨)之间的函数关系可近似的表示为y=x2-300x+80 000,为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为(　　) A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨 8.已知x,y为正实数,且x+y+=5,则x+y的最大值是(　　) A.3 B. C.4 D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(　　) A. B.a2>b2 C. D.a|c|≥b|c| 10.下列不等式的解集是空集的是(　　) A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 D.x2+x<-2 11.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2},则(　　) A.x1x2+x1+x2<0的解集为{a|-<a<0} B.x1x2+x1+x2的最小值为- C.x1+x2+的最大值为- D.x1+x2+的最小值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若关于x的不等式kx2-6kx+(k+8)≥0在R上恒成立,则k的取值范围为　　　　　.  13.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-3或x>1},则ba=　　　　　,一元二次不等式ax2+bx+1<0的解集为　　　　　(第一空2分,第二空3分).  14.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)解下列不等式: (1)≥1;(2)6-2x≤x2-3x<18. 16.(15分)已知x,y都是正数. (1)若3x+2y=12,求xy的最大值; (2)若x+2y=3,求的最小值. 17.(15分)已知不等式mx2-2x-m+1<0. (1)若对x∈R不等式恒成立,则是否存在这样的实数m?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. (2)若对一切满足-2≤m≤2的实数m,不等式恒成立,求x的取值范围. 18.(17分)已知关于x的不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}. (1)求a,b的值; (2)解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 19.(17分)某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,那么该产品的年销售量是1万件.已知2025年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2025年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?最大利润为多少? 第2章 一元二次函数、方程和不等式 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.A A={x|-1<x<2},A∪B={x|-1<x<3}.故选A. 2.C 由题意知解得 故a+b=0. 3.B ∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,∴-1<a<0. ∴-a>a2>0,而a<-a2<0, ∴-a>a2>-a2>a. 4.B 关于x的方程x2-ax-12a2=0的两根为4a,-3a,∵a<0,∴4a<-3a,故不等式的解集为{x|4a<x<-3a}. 5.C x-4+=(x+1)+-5. 因为x>-1,所以x+1>0, 所以(x+1)+-5≥2-5=2×3-5=1, 当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立, 此时a=2,b=1,所以a+b=3. 6.A ∵关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,∴关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的判别式Δ=(m-2)2-4(5-m)≤0,即m2≤16,解得-4≤m≤4. 7. B 由题知300≤x≤600, y=x2-300x+80 000, ∴x+-300≥2-300=100,当且仅当x=,解得x=400. ∴为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为400吨. 8．C ∵x+y+=5, ∴(x+y)[5-(x+y)]=(x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当x=y时,取等号. ∴(x+y)2-5(x+y)+4≤0,∴1≤x+y≤4. ∴x+y的最大值为4. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.CD 对于A,若a>0>b,则>0,<0, 此时,∴A中不等式不成立; 对于B,若a=1,b=-2,则a2<b2,∴B中不等式不成立; 对于C,∵c2+1≥1,∴>0,又a>b, ∴恒成立,∴C中不等式成立; 对于D,∵a>b,|c|≥0, ∴a|c|≥b|c|, ∴D中不等式成立. 10.CD 根据题意,依次分析选项,对于A,x2-x+1=>0恒成立,其解集为R;对于B,-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,方程2x2-x-1=0的判别式Δ>0,其解集不是空集;对于C,2x-x2>5,即x2-2x+5<0,其对应方程x2-2x+5=0的判别式Δ=-16<0,其解集为空集;对于D,x2+x<-2,即x2+x+2<0,其对应方程x2+x+2=0的判别式Δ<0,其解集是空集.故选CD. 11.ABC ∵x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}, ∴x1,x2为方程x2-4ax+3a2=0的两根. ∴x1+x2=4a,x1x2=3a2, ∴x1x2+x1+x2=3a2+4a. 由3a2+4a<0,解得-<a<0,故A正确; 由3a2+4a=3(a+)2-知,当a=-时,取得最小值-,故B正确; 又x1+x2+=4a+,a<0, ∴4a+=-[(-4a)+(-)]≤-2=-,故C正确; ∵a<0,∴4a+<0,故D不正确.故选ABC. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 0≤k≤1 当k=0时,显然8≥0恒成立; 当k≠0时,则k>0,且方程kx2-6kx+(k+8)=0的判别式Δ≤0,即解得0<k≤1. 综上所述,k的取值范围是0≤k≤1. 13. 9　{x|<x<1} 由题意知,-3和1是方程x2+ax+b=0的两根,所以解得 故ba=(-3)2=9.不等式ax2+bx+1<0,即2x2-3x+1<0. 解得<x<1,故不等式ax2+bx+1<0的解集为{x|<x<1}. 14. 4 ∵a>0,∴(x+y)=1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,取等号. 由条件知a+2+1≥9,解得a≥4. 故正实数a的最小值为4. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) (1)∵≥1,∴-1≥0, ∴≥0,此不等式等价于(x+3)(x-2)≥0,且x-2≠0,解得x>2或x≤-3, ∴原不等式的解集为{x|x>2,或x≤-3}. (2)原不等式等价于不等式组 解①得x≤-2,或x≥3,解②得-3<x<6.所以不等式的解集为{x|-3<x≤-2,或3≤x<6}. 16.(15分) (1)xy=·3x·2y≤=6. 当且仅当时,取等号. 所以xy的最大值为6. (2)(x+2y)=≥=1+. 当且仅当 即时,取等号. 所以,的最小值为1+. 17.(15分) (1)不等式mx2-2x-m+1<0对x∈R恒成立,即函数y=mx2-2x-m+1的图象在x轴下方. 当m=0时,不等式变为1-2x<0,对x∈R不恒成立,故m=0不满足题意; 当m≠0时,函数y=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足其函数图象开口向下,且对应方程mx2-2x-m+1=0无解,即则m无解.综上可知,不存在这样的m,使不等式恒成立. (2)设y=(x2-1)m+(1-2x), 当x2-1=0,即x=±1时,检验得x=1符合题意;当x2≠1时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是一条直线,由题意知当-2≤m≤2时,该直线在x轴下方,所以 解①,得x<或x>, 解②,得<x<. 由①②,得<x<,且x≠1, 综上可得x的取值范围为{x<x<}. 18.(17分) (1)由题意知,a>0,且1和b是关于x的方程ax2-3x+2=0的两根,则解得 (2)由(1)知关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0即为x2-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 故当c>2时,原不等式的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,原不等式的解集为{x|c<x<2}; 当c=2时,原不等式无解,即原不等式的解集为⌀. 19.(17分)设2025年该产品利润为y万元. 由题意,可知当m=0时,x=1, ∴1=3-k,解得k=2, ∴x=3-. 又每件产品的销售价格为1.5×元, ∴y=x(1.5×)-(8+16x+m) =4+8x-m=4+8(3-)-m =-+29. ∵m≥0, ∴+(m+1)≥2=8, 当且仅当=m+1,即m=3时,等号成立, ∴y≤-8+29=21, ∴ymax=21. 故该厂家2025年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元. 学科网（北京）股份有限公司 $