专题2.5 幂函数与指、对数函数（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与指对数函数核心考点，按概念性质、运算策略、图象应用的逻辑层次梳理知识，通过考点精析、方法归纳、题型突破、真题演练的教学流程，帮助学生构建系统知识网络，突破比较大小、解不等式等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用分层递进训练模式，结合指对互化、数形结合等实用策略，如通过地震能量计算案例培养学生用数学语言表达现实问题的能力，借助“指大图低”等口诀强化数学思维。设置基础到综合的变式题组，保障复习效率，助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题2.5 幂函数与指、对数函数（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、幂函数与指、对数函数 幂函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数的运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂数的大小、指数与对数的应用、解不等式等热点题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对数型函数进行灵活处理. 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 幂函数与指、对数函数 I卷：第4题，5分 全国甲卷（文数）：第11题，5分 北京卷：第4题，4分 新课标I卷：第6题，5分 天津卷：第2题，5分 天津卷：第5题，5分 北京卷：第7题，4分 全国一卷：第8题，5分 北京卷：第4题，4分 北京卷：第9题，4分 天津卷：第7题，5分 上海卷：第14题，4分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，对幂函数与指、对数函数的考查仍为必考重点，考情较为稳定。题型主要以单选题或填空题的形式考查，分值占比固定。命题形式主要以指对幂数比较大小、指数与对数的应用、指数函数与对数函数的图象与性质等考查方向为主，难度不大。 知识点1 幂函数及其解题策略 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 知识点2 指数、对数运算的解题策略 1．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路 1．比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3．指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 指数的运算】 【例1】（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【变式1-1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【变式1-2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型2 对数的运算】 【例2】（2025·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【变式2-1】（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【变式2-2】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·新疆·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【题型3 幂函数的图象与性质】 【例3】（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【变式3-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【变式3-2】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【变式3-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】 【例4】（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【变式4-2】（2025·海南·一模）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【变式4-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 指数、对数函数的图象问题】 【例5】（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型6 指数、对数函数的单调性问题】 【例6】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型7 指对幂数比较大小】 【例7】（2025·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·河南·模拟预测）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型8 解不等式问题】 【例8】（2025·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川绵阳·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 【例9】（2025·河北·模拟预测）若函数（且）的最大值为3，则（   ） A． B． C．2 D．3 【变式9-1】（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·四川资阳·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点一 幂函数与指、对数函数 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 10．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 12．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 幂函数与指、对数函数（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、幂函数与指、对数函数 幂函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数的运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂数的大小、指数与对数的应用、解不等式等热点题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对数型函数进行灵活处理. 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 幂函数与指、对数函数 I卷：第4题，5分 全国甲卷（文数）：第11题，5分 北京卷：第4题，4分 新课标I卷：第6题，5分 天津卷：第2题，5分 天津卷：第5题，5分 北京卷：第7题，4分 全国一卷：第8题，5分 北京卷：第4题，4分 北京卷：第9题，4分 天津卷：第7题，5分 上海卷：第14题，4分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，对幂函数与指、对数函数的考查仍为必考重点，考情较为稳定。题型主要以单选题或填空题的形式考查，分值占比固定。命题形式主要以指对幂数比较大小、指数与对数的应用、指数函数与对数函数的图象与性质等考查方向为主，难度不大。 知识点1 幂函数及其解题策略 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 知识点2 指数、对数运算的解题策略 1．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路 1．比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3．指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 指数的运算】 【例1】（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【解题思路】应用指数幂运算的性质化简求值. 【解答过程】由. 故选：A. 【变式1-1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【解题思路】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 【变式1-2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得. 【解答过程】由题意可得，视力4.9的视标边长约为： cm. 故选：A. 【变式1-3】（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【解答过程】因为，所以，即， 故，即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 【题型2 对数的运算】 【例2】（2025·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【解题思路】利用换底公式转化，进行求解即可. 【解答过程】， 所以，则，解得. 故选：C. 【变式2-1】（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】C 【解题思路】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【解答过程】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 【变式2-2】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合对数运算性质即可得解． 【解答过程】由对数运算性质可得， 故选：D． 【变式2-3】（25-26高一上·新疆·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【解题思路】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【解答过程】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 【题型3 幂函数的图象与性质】 【例3】（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【解题思路】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【解答过程】由题意可得. 故选：A. 【变式3-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【答案】A 【解题思路】本题可先根据幂函数的定义求出的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定的值. 【解答过程】因为为幂函数，所以， 即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意. 综上，. 故选：A. 【变式3-2】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【解题思路】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【解答过程】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D. 【变式3-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】C 【解题思路】整理可得，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函数的定义判断D. 【解答过程】因为函数， 对于选项A：令，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于选项B：因为，则，可得， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C：因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，可知函数为偶函数，故D正确； 故选：C. 【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】 【例4】（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【解答过程】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【答案】C 【解题思路】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案. 【解答过程】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C. 【变式4-2】（2025·海南·一模）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】利用指数函数性质计算即可得. 【解答过程】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 【变式4-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得，结合对数函数性质列式求解即可. 【解答过程】设的值域分别为， 当时，则，可得； 因为的值域为，可知， 则，且，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【题型5 指数、对数函数的图象问题】 【例5】（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【解答过程】的定义域为，排除D； 因为 ，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 【变式5-1】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断. 【解答过程】由，可得定义域为， 又， 函数为偶函数，故排除D， 又，结合图像可排查BC， 故选：A. 【变式5-2】（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项. 【解答过程】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 【变式5-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【解答过程】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 【题型6 指数、对数函数的单调性问题】 【例6】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间. 【解答过程】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为. 故选：D. 【变式6-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【解答过程】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 【变式6-2】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解答过程】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 【变式6-3】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【解答过程】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 【题型7 指对幂数比较大小】 【例7】（2025·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为，， 函数在上为增函数，所以，即， 故． 故选：C. 【变式7-1】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断. 【解答过程】因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得. 故选：A. 【变式7-2】（2025·河南·模拟预测）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小. 【解答过程】因为单调递减，所以， 因为单调递减，所以， 则的大小关系为. 故选：A. 【变式7-3】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指、对、幂的单调性比较大小即可. 【解答过程】是增函数，， 在是增函数，，故， 在是增函数，， 即， 故选：D. 【题型8 解不等式问题】 【例8】（2025·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式. 【解答过程】函数的定义域为R，，则函数是奇函数， 而函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 不等式，则，解得， 所以x的取值范围是. 故选：A. 【变式8-1】（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案. 【解答过程】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，化简可得， 解得. 故选：A. 【变式8-2】（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【解答过程】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 【变式8-3】（2025·四川绵阳·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性，再求解不等式. 【解答过程】依题意，，， 则函数是上的奇函数，而函数在上都单调递减， 因此在上单调递减，不等式，则， 解得，所以所求解集是. 故选：B. 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 【例9】（2025·河北·模拟预测）若函数（且）的最大值为3，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用对数函数单调性求出指数的最大值，再结合指数函数单调性分类求解判断. 【解答过程】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减，当，， 其值域为，而函数在上单调递增， 因此函数的值域为， 当时，函数在上单调递减，值域为，无最大值，不符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，， 解得，符合题意，所以. 故选：B. 【变式9-1】（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数奇偶性、单调性即可求解. 【解答过程】易知函数定义域为， 又，故为偶函数， 当时，，所以， 令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 易知在上单调递增， 结合函数为偶函数， 所以由可得， 平方得：， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D. 【变式9-2】（2025·四川资阳·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先令三个函数式等于0，然后对等式分别化简，使得它们都等于同一函数式，进而可画出图象，比较零点的大小. 【解答过程】令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则；化简得， 即，换底后得到； 分别画出它们的图象为：      由图可以看出. 故选：A. 【变式9-3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得函数在上单调递减，由在恒成立可得恒成立，据此可得答案. 【解答过程】因函数在上单调，又在上单调递减， 则函数在上单调递减，则. 则时，，又， 则恒成立， 则. 故选：B. 考点一 幂函数与指、对数函数 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【解答过程】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【解答过程】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B. 3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【解题思路】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【解答过程】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【解答过程】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解答过程】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【解答过程】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意分析可得，消去即可求解. 【解答过程】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 8．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【解答过程】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D. 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【解答过程】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 10．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【解答过程】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 二、填空题 11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【解题思路】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【解答过程】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 12．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【解题思路】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【解答过程】函数，所以. 故答案为：1. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $