第5章 二元一次方程组 练习题 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026北师大版数学八年级上第5章练习题 一．选择题（共10小题） 1．若是关于x，y的二元一次方程5x﹣y＝b的解，则常数b的值是（　　） A．7 B．3 C．﹣3 D．﹣1 2．下列各式是二元一次方程的是（　　） A． B． C．x+y﹣3 D．x+xy＝8 3．下列哪组数是方程2x+y＝5的解（　　） A． B． C． D． 4．下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y B．如果，那么x＝y C．如果x＝y，那么x+a＝y+a D．如果x＝y，那么ax＝ay 5．某市的自来水价为4元/吨．现要抽取若干户居民调查其水费支出情况，即某户月用水量为x吨，月应交水费为y元，则这道问题中的常量是（　　） A．4 B．x C．y D．y＝4x 6．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（　　） A．设乙持钱为y，依题意 B．依题意 C．乙的钱数为25 D．甲、乙钱数的和为62.5 7．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 8．若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数m的值为（　　） A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2 9．已知关于a、b的二元一次方程组，则a+b的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 10．近年来我国先后研发出“天河一号”和“天河二号”超级计算机．已知一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数分别为x亿亿次和y亿亿次，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．已知方程2x﹣3y＝6，用含y的代数式表示x为 　 　 ． 12．如果2004xm+n﹣1+2005y2m+3n﹣4＝2006是关于x、y的二元一次方程，那么m2+n3的值是 　 　 ． 13．若是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝4的一组解，则2m﹣4n﹣10的值为　 　 ． 14．如果把方程5x﹣y＝3写成用含x的代数式表示y的形式，那么y＝　 　 ． 15．已知三元一次方程组，则x+y+z＝　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．列二元一次方程组解应用题： （1）某人从学校出发骑自行车去县城，中途因为道路施工步行一段路，1.5h后到达县城．他骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km，他骑车与步行各用了多少时间？ （2）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元，两种客房各租住了多少间？ （3）甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数． 17．若关于x，y的方程xm+2﹣yn﹣1＝5是二元一次方程，求m+n的值． 思考1：方程中x的次数是 　 　 ，y的次数是 　 　 ． 思考2：由二元一次方程的概念，知m+2＝　 　 ，n﹣1＝　 　 ．解出m，n的值，从而解决问题． 18．求方程3x+2y＝17的正整数解． 19．已知方程2x﹣y+3＝0，则下列每一步变形是否一定成立？若一定成立，说明变形依据；若不成立，请说明理由． （1）由2x﹣y+3＝0，得2x﹣y＝﹣3； （2）由2x﹣y+3＝0，得2x＝y﹣3； （3）由2x﹣y+3＝0，得x； （4）由2x﹣y+3＝0，得y＝2x﹣3． 20．某中学为了改造劳动实践基地，需要2m和3m两种规格的钢管．从建材市场购回一根长17m的钢管，将其截成2m长x段，3m长y段． （1）列出关于x，y的二元一次方程； （2）应该怎么样截这一根钢管更好？ 21．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由2x+3y＝12，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y＝12的正整数解为． 问题： （1）请你直接写出方程2x﹣y＝5的一组正整数解 　 　 ． （2）若为正整数，则满足条件的正整数x的值有 　 　 个． （3）2022﹣2023学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 22．世上有真情，人间有大爱，在西安市疫情防控形势严峻复杂的当下，全国各地的医疗工作者也纷纷背起行囊，赶赴西安防疫一线进行援助．某地有一批防疫物资欲运往西安，现有甲、乙两种车型供选择，已知4辆甲种车满载一次和5辆乙种车满载一次共可运送80吨；2辆甲种车满载一次比3辆乙种车满载一次少运4吨，请求出每辆甲种车和每辆乙种车满载一次分别能运多少吨防疫物资？ 2025-2026北师大版数学八年级上第5章练习题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A A B D D B D 一．选择题（共10小题） 1．若是关于x，y的二元一次方程5x﹣y＝b的解，则常数b的值是（　　） A．7 B．3 C．﹣3 D．﹣1 【分析】根据二元一次方程的解的定义把x、y的值代入方程，即可求出b的值． 【解答】解：把代入关于x、y的二元一次方程5x﹣y＝b中， 5﹣2＝b， 解得b＝3， 故选：B． 2．下列各式是二元一次方程的是（　　） A． B． C．x+y﹣3 D．x+xy＝8 【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【解答】解：A．方程符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即A选项符合题意； B．方程不是整式方程，即B选项不符合题意； C．x+y﹣3不是方程，即C选项不符合题意； D．方程x+xy＝8中所含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，即D选项不符合题意； 故选：A． 3．下列哪组数是方程2x+y＝5的解（　　） A． B． C． D． 【分析】把每组解分别代入方程即可判断． 【解答】解：A．把代入方程2x+y＝5得：左边＝2+2＝4，右边＝5，左边≠右边， 所以不是方程2x+y＝5的解，故本选项不符合题意； B．把代入方程2x+y＝5得：左边＝2﹣2＝0，右边＝5，左边≠右边， 所以不是方程2x+y＝5的解，故本选项不符合题意； C．把代入方程2x+y＝5得：左边＝4+1＝5，右边＝5，左边＝右边， 所以是方程2x+y＝5的解，故本选项符合题意； D．把代入方程2x+y＝5得：左边＝0﹣1＝﹣1，右边＝5，左边≠右边， 所以不是方程2x+y＝5的解，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y B．如果，那么x＝y C．如果x＝y，那么x+a＝y+a D．如果x＝y，那么ax＝ay 【分析】根据等式的基本性质逐一判断即可． 【解答】解：A．若a＝0，则由ax+b＝ay+b得x＝y不成立，符合题意； B．如果，那么x＝y，不符合题意； C．如果x＝y，那么x+a＝y+a，不符合题意； D．如果x＝y，那么ax＝ay，不符合题意； 故选：A． 5．某市的自来水价为4元/吨．现要抽取若干户居民调查其水费支出情况，即某户月用水量为x吨，月应交水费为y元，则这道问题中的常量是（　　） A．4 B．x C．y D．y＝4x 【分析】根据应交水费＝自来水价×用水量列出函数关系式，根据变量和常量的定义解答． 【解答】解：依题意得：y＝4x（x≥0）． 该函数式中，变量是x、y，常量是4． 故选：A． 6．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（　　） A．设乙持钱为y，依题意 B．依题意 C．乙的钱数为25 D．甲、乙钱数的和为62.5 【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50元，乙的钱+甲所有钱的50元，据此可列方程组． 【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y或（x）， 根据题意，可列方程组：，或xx＝50，故A不符合题意，B符合题意， 解得． ∴甲持钱为37.5，乙持钱为25，甲、乙钱数的和为62.5，故C不符合题意，D不符合题意． 故选：B． 7．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意． 故选：D． 8．若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数m的值为（　　） A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2 【分析】首先利用加减消元法得（m+1）x＝6，进而得x＝6/（m+1），然后根据该方程组的解为正整数，且m为正整数，得m+1＝1，2，3，6，据此解出m的值即可得出答案． 【解答】解：对于， ①+②得：（m+1）x＝6， ∴x， ∵方程组的解为正整数，且m为正整数， ∴m+1＝1，2，3，6， 由m+1＝1，解得：m＝0，不合题意，舍去； 由m+1＝2，解得：m＝1， 由m+1＝3，解得：m＝2， 由m+1＝6，解得：m＝5， 当m＝1时，x3，此时y（4﹣3），不合题意，舍去； 当m＝2时，x2，此时y（4﹣2）＝1，符合题意； 当m＝5时，x1，此时y（4﹣1），不合题意，舍去． ∴综上所述：当该方程组有正整数解时，m的值为2． 故选：D． 9．已知关于a、b的二元一次方程组，则a+b的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【分析】把两个方程的左右两边分别相加即可求解． 【解答】解：原方程在两个方程相加得3a+3b＝﹣12， 故a+b的值为﹣4， 故选：B． 10．近年来我国先后研发出“天河一号”和“天河二号”超级计算机．已知一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数分别为x亿亿次和y亿亿次，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．已知方程2x﹣3y＝6，用含y的代数式表示x为 　．　 ． 【分析】把y看作已知数求出x即可． 【解答】解：2x﹣3y＝6， 2x＝3y+6， 解得x． 故答案为：． 12．如果2004xm+n﹣1+2005y2m+3n﹣4＝2006是关于x、y的二元一次方程，那么m2+n3的值是 　2　 ． 【分析】首先根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组求得m、n的值，再将m、n的值代入代数式m2+n3求得结果即可． 【解答】解：由题意得，， 解得， ∴m2+n3＝1+1＝2． 故答案为：2． 13．若是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝4的一组解，则2m﹣4n﹣10的值为　﹣2　 ． 【分析】根据二元一次方程的解得到m﹣2n＝4，再整体代入2m﹣4n﹣10＝2（m﹣2n）﹣10即可得到答案． 【解答】解：将代入方程得m﹣2n＝4， ∴2m﹣4n﹣10＝2×4﹣10＝﹣2． 故答案为：﹣2． 14．如果把方程5x﹣y＝3写成用含x的代数式表示y的形式，那么y＝　5x﹣3　 ． 【分析】将方程5x﹣y＝3移项即可． 【解答】解：由5x﹣y＝3可得：y＝5x﹣3． 故答案为：5x﹣3． 15．已知三元一次方程组，则x+y+z＝　9　 ． 【分析】先解三元一次方程组，再求解． 【解答】解：， 由①得：④， 由②得：y＝8﹣5x⑤， 将④和⑤代入③得：， ∴x＝1， ∴y＝3，z＝5， ∴x+y+z＝9， 故答案为：9． 三．解答题（共7小题） 16．列二元一次方程组解应用题： （1）某人从学校出发骑自行车去县城，中途因为道路施工步行一段路，1.5h后到达县城．他骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km，他骑车与步行各用了多少时间？ （2）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元，两种客房各租住了多少间？ （3）甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数． 【分析】（1）设他骑车用了xh，步行用了yh，根据他全程所用时间及路程全长，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设三人间租住了a间，两人间租住了b间，根据租住的房间正好入住50人且共花去住宿费1510元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设甲数是m，乙数是n，根据“若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设他骑车用了xh，步行用了yh， 根据题意得：， 解得：． 答：他骑车用了1.25h，步行用了0.25h； （2）设三人间租住了a间，两人间租住了b间， 根据题意得：， 解得：． 答：三人间租住了8间，两人间租住了13间； （3）设甲数是m，乙数是n， 根据题意得：， 解得：． 答：甲数是24，乙数是12． 17．若关于x，y的方程xm+2﹣yn﹣1＝5是二元一次方程，求m+n的值． 思考1：方程中x的次数是 m+2　 ，y的次数是 n﹣1　 ． 思考2：由二元一次方程的概念，知m+2＝　1　 ，n﹣1＝　1　 ．解出m，n的值，从而解决问题． 【分析】根据二元一次方程的定义得出m+2＝1，n﹣1＝1，再求出m、n即可． 【解答】解：思考1：方程xm+2﹣yn﹣1＝5中x的次数是m+2，y的次数是n﹣1， 思考2：∵关于x，y的方程xm+2﹣yn﹣1＝5是二元一次方程， ∴m+2＝1，n﹣1＝1， ∴m＝﹣1，n＝2， ∴m+n＝﹣1+2＝1． 故答案为：m+2，n﹣1，1，1，m+n＝1． 18．求方程3x+2y＝17的正整数解． 【分析】把方程化为用一个未知数表示成另一个未知数的形式，再根据x、y均为正整数求解即可． 【解答】解： 方程2x+3y＝17可化为x， ∵x、y均为正整数， ∴17﹣2y＞0且为3的倍数， 当y＝1时，x＝5， 当y＝4时，x＝3， 当y＝7时，x＝1， ∴方程3x+2y＝17的正整数解为，，． 19．已知方程2x﹣y+3＝0，则下列每一步变形是否一定成立？若一定成立，说明变形依据；若不成立，请说明理由． （1）由2x﹣y+3＝0，得2x﹣y＝﹣3； （2）由2x﹣y+3＝0，得2x＝y﹣3； （3）由2x﹣y+3＝0，得x； （4）由2x﹣y+3＝0，得y＝2x﹣3． 【分析】根据等式的基本性质1：等式两边加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立，可判断（1）（2）； 根据等式的基本性质1和2，判断（3）；根据移项的相关知识可判断（4）． 【解答】解：（1）由2x﹣y+3＝0，得2x﹣y＝﹣3一定成立，依据是等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立． （2）由2x﹣y+3＝0，得2x＝y﹣3一定成立，依据是等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立． （3）由2x﹣y+3＝0，得x一定成立，依据是等式的性质1和2． （4）由2x﹣y+3＝0，应得y＝2x+3，故不成立，理由是移项未变号． 20．某中学为了改造劳动实践基地，需要2m和3m两种规格的钢管．从建材市场购回一根长17m的钢管，将其截成2m长x段，3m长y段． （1）列出关于x，y的二元一次方程； （2）应该怎么样截这一根钢管更好？ 【分析】（1）根据2m长和3m长的钢管的总长度等于17m，即可求解； （2）根据x，y都是正整数，分别把x＝1，2，3，4，5，6，7代入（1）中方程，即可求解． 【解答】解：（1）2m长x段，3m长y段，根据题意得：2x+3y＝17； （2）∵x，y都是正整数， 当x＝1时，y＝5，符合题意； 当x＝2时，，不符合题意； 当x＝3时，，不符合题意； 当x＝4时，y＝3，符合题意； 当x＝5时，，不符合题意； 当x＝6时，，不符合题意； 当x＝7时，y＝1，符合题意； ∴符合条件的解为：，，． 21．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由2x+3y＝12，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y＝12的正整数解为． 问题： （1）请你直接写出方程2x﹣y＝5的一组正整数解 　　 ． （2）若为正整数，则满足条件的正整数x的值有 　6　 个． （3）2022﹣2023学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 【分析】（1）先求出y＝2x﹣5，再求出方程的一组正整数解即可； （2）根据题意可得x﹣4是18的正因数，据此可得答案； （3）设购买m本笔记本，n支钢笔，依题意得：4m+6n＝56，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵2x﹣y＝5， ∴y＝2x﹣5， ∴当x＝3时，y＝1， ∴原方程的一组正整数解为； 故答案为：； （2）∵是正整数， ∴x﹣4是18的正因数， ∴x﹣4＝1或x﹣4＝2或x﹣4＝3或x﹣4＝6或x﹣4＝9或x﹣4＝18， ∴满足条件的正整数x的值有6个， 故答案为：6； （3）设购买m本笔记本，n支钢笔， 依题意得：4m+6n＝56， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 答：共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔． 22．世上有真情，人间有大爱，在西安市疫情防控形势严峻复杂的当下，全国各地的医疗工作者也纷纷背起行囊，赶赴西安防疫一线进行援助．某地有一批防疫物资欲运往西安，现有甲、乙两种车型供选择，已知4辆甲种车满载一次和5辆乙种车满载一次共可运送80吨；2辆甲种车满载一次比3辆乙种车满载一次少运4吨，请求出每辆甲种车和每辆乙种车满载一次分别能运多少吨防疫物资？ 【分析】根据题意设每辆甲种车满载一次能运x吨防疫物资，每辆乙种车满载一次能运y吨防疫物资，列方程组进而求解即可． 【解答】解：设每辆甲种车满载一次能运x吨防疫物资，每辆乙种车满载一次能运y吨防疫物资． 根据题意，得， 解得， 答：每辆甲种车满载一次能运10吨防疫物资，每辆乙种车满载一次能运8吨防疫物资． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/30 11:03:00；用户：郭冰；邮箱：guoxinzhong1@163.com；学号：20683928 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $