第五章 二元一次方程组 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件系统梳理二元一次方程组的核心知识，包括定义、解、代入与加减消元法、实际应用及与一次函数的关系。通过单元结构图构建知识脉络，从实际背景引入，逐步过渡到解法、应用及函数关联，形成递进式学习支架。 其亮点在于知识体系结构化，解法步骤明确，例题与变式训练结合。通过环形跑道问题（例5）培养数学眼光，用消元思想（代入/加减消元）发展数学思维，借助一次函数交点（例6）强化数学语言表达。采用讲练结合与步骤总结法，助力学生夯实基础提升能力，也为教师提供丰富教学资源。

小结与复习 第5章 二元一次方程组 八上数学 （北师版） 实际背景 二元一次方程及 二元一次方程组 求解 应用 方法 思想 与一次函数的关系 消元 解应用题 图象法 加减消元 代入消元 单元结构图 1.二元一次方程：通过化简后，只有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，系数都不是 0 的整式方程，叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组：由两个一次方程组成，共有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 一、二元一次方程 知识要点 4.二元一次方程组的解： 5.方程组的解法： 根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法. 基本思想或思路 —— 消元 常用方法 —— 代入法和加减法 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 知识要点 (1) 求表达式：从方程组中选一个系数比较简单的方程， 将此方程中的一个未知数，如 y，用含 x 的代数式表示； (2) 把这个含 x 的代数式代入另一个方程中，消去y，得到一个关于 x 的一元一次方程； (3) 解一元一次方程，求出 x 的值； (4) 再把求出的 x 的值代入变形后的方程，求出 y 的值. 二、用代入法解二元一次方程组 知识要点 (1) 利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等； (2) 把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程； (3) 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； (4) 把求得的未知数的值代入方程组中较为简便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程组的解. 三、用加减法解二元一次方程组 知识要点 审： 设： 列： 解： 答： 审清题目中的等量关系． 设未知数． 根据等量关系，列出方程组． 解方程组，求出未知数． 检验所求出的未知数是否符合题意，写出答案． 四、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 知识要点 二元一次方程组和一次函数的图象的关系 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标 两条线的交点坐标是对应的方程组的解 二元一次方程和一次函数的图象的关系 以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上 一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程 五、二元一次方程与一次函数 知识要点 六、三元一次方程组的解法 消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程，从而通过回代得出其他未知数的解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组. 知识要点 考点一：二元一次方程的定义 例1 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m = ，n = . 2m - 1 = 1， 3n - 2m = 1. m = 1， n = 1. 1 1 关于 x、y 的二元一次方程 分析： 理解定义 总结 列方程组 解方程组求出参数值 考点讲练 1.已知方程 (m - 3) x| n |－1 + (n + 2) y = 0 是关于 x，y 的二元一次方程，求 m，n 的值. m = -3 n = 2 两个未知数系数不为 0 分析： 未知数次数是 1 m≠3，n≠-2 | n | - 1 = 1 m2 - 8 = 1 【变式训练】 考点一：二元一次方程的定义 m2－8 考点讲练 考点二：二元一次方程与二元一次方程组的解 例2 已知 x = 1，y = -2 是关于 x，y 二元一次方程组 的解，求 a，b 的值. 解： 把 x = 1，y = -2 代入二元一次方程组得 a + 4 = 3， 1 + 2b = 4. ax - 2y = 3， x - by = 4 解得 a = -1， b = 1.5. 考点讲练 2.若点 P(x - y，3x + y)与点 Q(-1，-5) 关于 x 轴对称，则 x + y =______. 3 3.已知 | 2x + 3y + 5 | + (3x + 2y - 25)2 = 0，则 x - y =______. 30 【变式训练】 考点二：二元一次方程与二元一次方程组的解 考点讲练 考点三：代入消元法与加减消元法 例3 用代入消元法解方程组 解： 由①可得 y = 3x - 7 . ③ 将③代入②得 5x + 2(3x - 7) = 8， 解得 x = 2. 故二元一次方程组的解是 x = 2， y = -1. 3x - y = 7， ① 5x + 2y = 8. ② 把 x = 2 代入③，得 y = -1. 考点讲练 例4 用加减消元法解方程组 由② - ①得 18 = y + 11，解得 y = 7. 把 y = 7 代入①得 3x - 3 = 28 - 16， 解得 x = 5. 故二元一次方程组的解为 x = 5， y = 7. 解： 考点三：代入消元法与加减消元法 3(x - 1) = 4(y - 4)， ① 5(y - 1) = 3(x + 5). ② 考点讲练 ①代入消元法： ②加减消元法： 转化 代入 求解 回代 写解 检验 变形 加减 求解 回代 写解 检验 考点三：代入消元法与加减消元法 【归纳总结】 考点讲练 4.方程组 中， x 与 y 的和为 12，求 k 的值. 解得 k = 14. 解法1：解这个方程组，得 依题意得 x＋y = 12. 所以 (2k－6) ＋(4－k) = 12. 解法2：根据题意，得 解这个方程组，得 k = 14. 【变式训练】 考点三：代入消元法与加减消元法 考点讲练 考点四：二元一次方程组的实际应用 例5 甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔 2 分钟相遇一次；如果同向而行，每隔 6 分钟相遇一次. 已知甲比乙跑得快，甲、乙每分钟各跑多少圈？ 解：设甲、乙二人每分钟各跑 x、y 圈， 解得 答:甲每分钟跑 圈，乙每分钟跑 圈. 根据题意得方程组 考点讲练 答：甲种商品的标价是 20 元，乙种商品的标价是 80 元. 解：设甲、乙两种商品的标价分别为 x 元、y 元， 根据题意，得 解得 5.已知甲、乙两种商品的标价和为 100 元，因市场变化，甲商品打 9 折，乙商品提价 5﹪，调价后，甲、乙两种商品的售价和比标价和提高了 2﹪，求甲、乙两种商品的标价各是多少? 【变式训练】 考点四：二元一次方程组的实际应用 考点讲练 6. A、B 两地相距 36 千米. 甲从 A 地出发步行到 B 地，乙从 B 地出发步行到 A 地. 两人同时出发，4 小时相遇，6 小时后，甲所剩路程为乙所剩路程的 2 倍，求两人的速度. 解：设甲、乙的速度分别为 x 千米/时和 y 千米/时. 依题意可得 解得 答：甲的速度为 4 千米/时，乙的速度为 5 千米/时. 考点四：二元一次方程组的实际应用 考点讲练 考点五：二元一次方程与一次函数 例6 若二元一次方程组 无解，则直线 y＝3x－5 与 y＝3x＋1的位置关系为______． 平行 3x - y = 5， 3x - y = -1 【变式训练】 7．若方程组 的解为 则一次函数 y = 2x + 1 与 y = 3x - 1 的图象交点坐标为______. (2，5) 考点讲练 8. 如图，已知直线 y1＝2x －2 与 y 轴交于点 A ，直线 y2＝－2x ＋6 与 y 轴交于点 B ，两者相交于点 C . (1) 求△ABC 的面积； 所以 ＝ ×8×2＝8. 所以点 C (2，2). 联立 解得 所以 AB ＝8. 所以点 A (0，－2)， B (0，6). 解：令 x ＝0，得 y1＝－2， y2＝6. 考点五：二元一次方程与一次函数 考点讲练 (2) 在直线 y1＝2x －2上存在异于点 C 的另一点 P ，使得△ABP 与△ ABC 的面积相等，求点 P 的坐标. 解：设点 P ( x0，2x0－2)， 解得 x0＝±2. 因为点 P 异于点 C ， 所以 x0＝－2，2x0－2＝－6. 所以点 P 的坐标为 (－2，－6). 则 ＝ ×8×｜x0｜＝8， 考点五：二元一次方程与一次函数 考点讲练 见教材章末练习 课后作业 $