3.5 确定圆的条件关系 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

确定圆的条件 一、单选题 1．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 2．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 6．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 8．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 9．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 10．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 11．过点A用尺规作出直线MN的垂线AD，如图所示的作法中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 12．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 13．经过两点可以作 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆． 14．如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是 ． 15．已知O为的外心，，则 16．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    三、解答题 17．如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 18．如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 19．如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 20．已知三点在圆上，点在圆内，． (1)请用“尺规作图”作出圆心的位置（保留作图痕迹）； (2)求出圆半径的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A C C C C C B 题号 11 答案 D 1．B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 4．A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 5．C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 7．C 【分析】本题考查三角形外心的定义，根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可，也是解题关键． 【详解】解：作线段和线段的垂直平分线，如图， 由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点， ∴点F是 的外心． 故选C． 8．C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 10．B 【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 11．D 【分析】①根据直径所对的圆周角是直角判断即可； ②③根据基本作图判断即可； ④根据等腰三角形的三线合一的性质判断即可． 【详解】解：图①中，由圆周角定理可知，∠ADN=90°，符合题意； 图②中，由作图可知AD⊥MN，符合题意； 图③中，由作图可知MN垂直平分线段AD，符合题意； 图④中，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥MN，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 12．2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 13． 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 【详解】解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案． 【详解】的外接圆如下图 ∵∠ ∴． 故答案为：． 15．或 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心与点在的同侧和圆心与点在的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长交于点，连接，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 16． 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，是解题的关键： （1）根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，再以为圆心，的长为半径画圆，延长交于点，连接，即可； （2）根据圆周角定理得到，即可得证； 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 18．见解析 【分析】本题考查圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 19．(1) (2) (3)外 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【详解】（1）解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查复杂作图、三角形的外接圆与外心、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，解决问题． （1）作线段的中垂线，再作线段的中垂线，交直线于点，则点就是圆心的位置； （2）由（1）作图，设线段的中垂线与的延长线交于点，的延长线并交于圆于点，线段的中为，连接，易知四边形为矩形，求出，由垂径定理得到，设，由得，解得，所以圆半径． 【详解】（1）解：如图所示，点O为所求： （2）解：由（1）作图，设线段的中垂线与的延长线交于点，的延长线并交于圆于点，线段的中为，连接， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴圆半径． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 确定圆的条件 一、单选题 1．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 2．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 6．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 8．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 9．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 10．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 11．过点A用尺规作出直线MN的垂线AD，如图所示的作法中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 12．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 13．经过两点可以作 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆． 14．如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是 ． 15．已知O为的外心，，则 16．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    三、解答题 17．如图，在 中， ，垂足为D． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的外接圆 ，作直径，连接； (2)证明：． 18．如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 19．如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 20．已知三点在圆上，点在圆内，． (1)请用“尺规作图”作出圆心的位置（保留作图痕迹）； (2)求出圆半径的大小． 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