专题3.5 确定圆的条件（1大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版九年级下册

本初中数学讲义聚焦“确定圆的条件”核心知识点，从点与圆的位置关系切入，系统梳理“不在同一直线上的三点确定一个圆”定理，延伸至三角形外接圆、外心的定义及性质，构建从基础概念到实际应用的完整知识链，形成递进式学习支架。 资料以新课标核心素养为导向，突出几何直观与推理意识，通过尺规作图（如确定圆心、画外接圆）培养空间观念，结合破损圆形物件找圆心等实际问题渗透应用意识。题型分层设计，典例与变式结合，配套示意图辅助理解，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

专题3.5 确定圆的条件 教学目标 1. 知识目标：理解点与圆的位置关系，掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。 2. 能力目标：通过尺规作图提升几何操作能力，能运用定理解决找圆心、画外接圆等问题，培养逻辑推理与空间想象能力。 3. 素养目标：体会“从特殊到一般”的探究思路，感受几何严谨性，养成规范描述作图与证明过程的习惯。 教学重难点 1.重点 （1）核心定理：深刻理解并掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，明确定理中“不共线”的关键条件。 （2）概念与应用：掌握三角形外接圆、外心的定义及外心的性质，能规范完成三角形外接圆的尺规作图。 2.难点 （1） 逻辑理解：难点在于理解“确定一个圆”的双重含义（存在性与唯一性），以及共线三点无法确定圆的推理过程。 （2）实际应用：难以灵活运用定理解决实际问题（如破损圆形物件的圆心确定），且易混淆不同类型三角形外心的位置。 知识点01 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个． 1）经过一个已知点A可画无数个圆。 2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【即学即练1】1．（25-26九年级上·山西运城·月考）下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及其推论．根据相关性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①过三点不一定可以作圆（三点共线时不能），故说法错误； ②相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，故说法错误； ③垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理），故说法正确； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分但不垂直），故说法错误． ∴ 正确的只有1个． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）点即为所求； ； （3）如图，点即为所求． 题型01 判断确定圆的条件 【典例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线的三点确定一个圆是解题的关键．直线上任意两个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 题型02 确定圆心（尺规作图） 【典例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【答案】B 【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆． 【详解】解：∵圆经过A、B两点且半径为， ∴圆心O满足，， ∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点， 又∵，且两圆半径均为， ∴两圆圆心距，半径和，半径差， ∴两圆相交，有两个交点， ∴这样的圆可作两个． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查确定的圆的个数．经过两点A、B的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离等于半径。利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：设中点为M，则． ∵圆心O在的垂直平分线上，且， ∴在中，， ∴， ∵， ∴存在两个点O（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 题型03 求确定圆的个数 【典例3】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解． 【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心， 由图得点D的坐标为． 故该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·河北邯郸·月考）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查弧所在圆的圆心、图形与坐标等知识，涉及作线段的垂直平分线，熟记找弧所在圆的圆心方法是解决问题的关键． 如图所示，连接，作线段的垂直平分线，再连接，作线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所在圆的圆心，在网格中数形结合即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图所示： 点即为所在圆的圆心，则， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，的直径，点为上一点，过点作弦． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由圆的性质可得点O为线段的中点，据此作线段的垂直平分线交于O，则点O即为所求； （2）过点O作于H，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则；根据线段的和差关系可得，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求； （2）解：如图所示，过点O作于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 题型04 画圆（尺规作图） 【典例4】（2024·吉林长春·三模）如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可． 【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线． 故对应图所示． ②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示． ③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示． 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在中，．先作的平分线交边于点P，再以点P为圆心，长为半径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图（角平分线的作法、圆的作法），解题的关键是熟练掌握角平分线和圆的尺规作图方法． 先作出的平分线，确定点，再以为圆心、为半径作圆． 【详解】解：如图所示，⊙P为所求的圆； 【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·月考）实践与操作： 已知：．求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上． （要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了尺规作图，圆的基本性质，熟练掌握常见尺规作图是解题的关键． 作圆，即需要先确定其圆心，先作的角平分线，再作线段的垂直平分线相交于点，即点为圆心． 【详解】解：如图，即为所求． （1）作出的角平分线， （2）作出线段的垂直平分线交于， （3）以点为圆心，为半径，作圆，如下图所示： 即为所求的圆． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得圆心在的延长线上，且经过点，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键在于确定圆心的位置．作线段的垂直平分线交的延长线于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，以点为圆心，为半径画圆，即为所求． 【详解】如图，即为所求． 题型05 三角形的外接圆 【典例5】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 【变式3】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点A、B、P的坐标分别为． 若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 题型06 求三角形外心坐标 【典例6】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 【变式1】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可． 【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，垂足分别为，相交于点， 则点为圆弧所在圆的圆心， , ， ， 故选项B正确， 连接， ， 这条圆弧所在圆的半径为， 故选项A正确， 连接， ， 点在这条圆弧所在圆上， 故选项C正确， ， ， ， 点在这条圆弧所在圆外， 故选项D错误， 故选： D． 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：如图，作弦、的垂直平分线， ∵点、、的坐标分别为，，， 所以弦，弦， ∴弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点， ∴两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是． 故答案为：． 题型07 求三角形外接圆的半径 【典例7】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10， ∴此三角形的外接圆半径是5． 故选：C 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理推出被垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 则， 则， 解得：． 故选：B ． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角函数值解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理和的余弦值即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）在下列命题中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．直径所对的圆周角是直角 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件、圆的认识及圆周角定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，长度相等的弧不一定满足条件，故A错误； B．不在同一直线上的三点才能确定一个圆，任意三点不一定满足，故B错误； C．三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，但到各边的距离不一定相等，故C错误； D．直径所对的圆周角是直角，是圆周角定理的推论，故D正确． 故选：D． 3．（2025·吉林长春·二模）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理得到，即可求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为的外接圆，且是的直径，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 二、填空题 6．（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，若点是的外心，，，连接，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，利用圆周角定理得出圆心角的度数，再根据点是外心可知，进而判断出的形状，最后利用勾股定理求得. 【详解】解：如图，过点作于点，则． 由题意，得内接于半径为的， ． 又， ， ， ， ， ； 故答案为：. 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，进而求出，最后根据余弦的定义解答即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质、余弦的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）内接于，若，，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的外心的确定，解题的关键是熟练掌握锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点处． 先根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，再根据直角三角形外心在斜边中点处求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵内接于， 则圆心为斜边的中点， ∴的半径， 故答案为：5． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）（1）作出的外接圆 （2）连接，如果，则________ 【答案】（1）见解析（2） 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线，交点即为圆心O，再以为半径画圆即可； （2）根据圆周角可得，再根据等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：即为所求， （2）解：连接， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图： (1)请在图1中标出的外接圆的圆心的位置； (2)请在图2中画一条格点线段，交于点，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了外接圆的圆心、相似三角形的判定与性质、勾股定理与网格问题等知识，熟练掌握外接圆的圆心和相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）结合网格特点，分别画出的线段垂直平分线，交于点即为所求； （2）结合网格，作出，且，或者作出，且，由此即可得． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． ． （2）解：在图2中画一条格点线段，交于点，使，如图所示（画出其中一种即可）： ． 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______； (2)的半径为_____，的度数为_____． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的外心，利用网格求线段长度，勾股定理逆定理等，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键． （1）的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标． （2）通过点坐标可求出长度，即为半径，然后再求出长度，进而通过勾股定理逆定理即可求得． 【详解】（1）解：， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得， 故答案为：． （2）解：∵圆心D点坐标为：， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，， 故答案为：，． 14．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 15．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在中，． (1)尺规作图：作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若的半径为1，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理： （1）作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为圆心，再以点O为圆心，的长为半径画圆即可得到答案； （2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，进而利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题3.5 确定圆的条件 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1确定圆的条件 知识清单 题型1判断确定圆的条件 题型2确定圆心（尺规作图） 确定圆的条件 题型3求确定圆的个数 题型精讲 题型4画圆（尺规作图） 题型5三角形的外接圆 题型6求三角形外心坐标 题型7求三角形外接圆的半径 强化训练 教学目标、教学重难点 1.知识目标：理解点与圆的位置关系，掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的 定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。 2.能力目标：通过尺规作图提升几何操作能力，能运用定理解决找圆心、画外接圆等 教学目标 问题，培养逻辑推理与空间想象能力。 3.素养日标：体会“从特殊到一般”的探究思路，感受几何严谨性，养成规范描述作 图与证明过程的习惯！ 教学重难点 1.重点 (1)核心定理：深刻理解并掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，明确定理 中“不共线”的关键条件。 (2)概念与应用：掌握三角形外接圆、外心的定义及外心的性质，能规范完成三角 形外接圆的尺规作图。 2.难点 (1)逻辑理解：难点在于理解“确定一个圆”的双重含义（存在性与唯一性）， 1/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以及共线三点无法确定圆的推理过程。 (2)实际应用：难以灵活运用定理解决实际问题（如破损圆形物件的圆心确定）， 且易混淆不同类型三角形外心的位置。 知识清单 知识点01确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆： 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外 接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外 心.从三角形外心的定义知：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离 相等. 如图，分别作出线段AB的垂直平分线I,和线段BC的垂直平分线2，设 它们的交点为O,则OA=OB=OC.于是以点O为圆心，OA(或 OB、OC)为半径，便可作出经过A、B、C三点的圆.因为过A、B、C 三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个 1)经过一个已知点A可画无数个圆。 2)经过已知两点A,B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3)经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4)经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【即学即练1】1.(25-26九年级上山西运城·月考)下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所 对的弧相等：③垂直于弦的直径平分这条弦：④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)点A6,8)是平面直角坐标系xOy上一点，以点4为圆心，A0长为 半径作圆并与坐标轴交于不与原点O重合的B、C两点，则BC的长为」 3.(25-26九年级上·吉林·期中)图①，图②，图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格 点.点A,B,C均是格点，△ABC的外接圆的圆心记为点O,只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要 求作图 图① 图② 图③ 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()在图①中，标出圆心O (2)在图②中，△ABC的外接圆上找出一点D,使得BD-AC (3)在图③中，△ABC的外接圆上找出一点E,使得EA=EB. 题型精讲 题型01判断确定圆的条件 【典例1】(25-26九年级上：北京课后作业)下列条件中，只能确定一个圆的是() A.过定点A B.过定点A、B,且半径为R C.过不在同一直线上的三点 D.过不在同一直线上的四点 【变式1】(25-26九年级上全国课后作业)如图，点A,B,C,D均在直线1上，点P在直线I外，则 经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为() P。 CD A.3 B.4 C.5 D.6 【变式2】(23-24九年级上·全国·单元测试)在平面直角坐标系内的点4(-山，-2)，B0,-2),C3,-2)一 确定一个圆（填“能”或“不能”). 【变式3】(24-25九年级上江苏南京期末)若在平面直角坐标系中的点A(1,),B(-1,-1),C(m,3)不能 确定一个圆，则m的值是一 题型02确定圆心（尺规作图） 【典例2】(25-26九年级上·北京·课后作业)已知线段AB=5cm,经过A,B两点作半径为4cm的圆，这 样的圆() A.可作一个 B.可作两个 C.可作无数个 D.不能作出 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上：广东广州·期中)已知线段AB=10cm,则经过A,B两点且半径为6cm的圆有 () A.0个 B.2个 C.1个 D.无数个 【变式2】(23-24九年级上·福建泉州·期末)若直线1上有四点A,B,C,D,直线1外有一点P,则经过 图中的三个点作圆，最多可以作一个 【变式3】(25-26九年级上浙江绍兴·阶段练习)如图，点A，B,C均在直线I上，点P在直线I外，则 经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为个. P. C 题型03求确定圆的个数 【典例3】(23-24九年级上·安徽合肥·期末)如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,试在方格中建立平面 直角坐标系，使点A的坐标为-1,3).B的坐标为1,5).则该圆弧所在圆的圆心坐标是() B A.(3,2) B.(3,) C.(4,) D.(4,2) 【变式1】(23-24九年级上河北邯郸·月考)如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A,B,C,其中B 点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为() A.(2,0) B.(2,1) C.(2,2) D.(3,1) 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(24-25九年级上·江苏苏州·月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC所在圆的圆心坐标是 【变式3】(25-26九年级上河南安阳期末)如图，⊙0的直径AB=6,点E为AB上一点，过点E作弦 CD. B (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若∠BEC=45°，且BE-3-√2，求CE的长. 题型04画圆（尺规作图) 【典例4】(2024吉林长春·三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC,要求用无刻度的直尺和 圆规在△ABC内部作一个45的∠a.各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作∠ACB的平分线：② 构造等腰直角三角形：③分别作两个锐角的平分线，图1、图2、图3分别对应其中的一种，根据尺规作图 痕迹，其对应顺序正确的是() D B 图1 图2 图3 A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③①② 【变式1】(25-26九年级上·甘肃武威月考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°.先作∠ACB的平分线 5/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交AB边于点P,再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【变式2】(25-26九年级上·广东汕头·月考)实践与操作： 已知：△ABC.求作：⊙O,使它经过点B和点C,并且圆心O在∠A的平分线上. (要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明) B 【变式3】(25-26九年级上·陕西渭南·期中)如图，已知△ABC,请用尺规作图法作⊙0，使得圆心O在 CA的延长线上，且⊙O经过点A,B.(不写作法，保留作图痕迹) 题型05三角形的外接圆 【典例5】(2025九年级上江苏苏州·专题练习)对于三角形的外心，下列说法正确的是() A.它到三角形三边的距离相等 B.它是三角形三条高的交点 C.它一定在该三角形的内部 D.它到三角形三个顶点的距离相等 【变式1】(25-26九年级上·江苏盐城期中)下列说法错误的是() A.半径相等的两个半圆是等弧 B.面积相等的两个圆是等圆 C.长度相等的两条弧一定是等弧 D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【变式2】(2024九年级上山东青岛·专题练习)如图，点A,B,C均在6×6的正方形网格格点上，过 A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为一 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式3】(25-26九年级上江苏徐州·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 (1,0),(3,4),(4,1.若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐 标为 题型06求三角形外心坐标 【典例6】(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),B(2,1, C(2,-3),则△ABC的外心坐标是() V A.(-2,-2 B.(-2,-1 C.（-1,-2 D.(-1,-1 【变式1】(24-25九年级上河南洛阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点 O,A(4,0),B(4,3)三点，则下列说法中错误的是（) 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 人这条网班所在圆的年径为】 反这条树弧所在调的膜心为2引 C.点N(0,3)在这条圆弧所在圆上 D.点M(2,5)在这条圆弧所在圆上 【变式2】(25-26九年级上·山东济宁·期中)如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直 角坐标系，使点4的坐标为-1,3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是一 B 【变式3】(25-26九年级上·江苏宿迁·月考)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为 (1,4,(5,4),(1,0),则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是一· B 题型07求三角形外接圆的半径 【典例7】(25-26九年级上浙江绍兴·月考)三边长为6,8,10的三角形，它的外接圆半径长为() A.3 B.4 C.5 D.6 【变式1】(24-25九年级上·全国·期末)如图，正三角形ABC是圆O的内接三角形，弦BC=8,且与AD 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂直，则圆O的半径等于() A.2 B. 83 3 D.22 【变式2】(2025九年级：全国·专题练习)如图，⊙0是等边三角形ABC的外接圆.若AB=3,则⊙0的半 径是 A 【变式3】(25-26九年级上江苏宿迁·月考)如图，△ABC是⊙0的内接三角形.若∠ABC=45°， AC=2,则⊙0的半径是一 C 0 强化训练 一、单选题 1.(2025广东东莞·模拟预测)如图，⊙0为△ABC的外接圆，半径OD⊥AB,垂足为点E, ∠C=45°，OE=4,则AB的长为() 9/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.22 B.4V2 C.10 D.8 2.(25-26九年级上江苏常州期中)在下列命题中，正确的是() A.长度相等的弧是等弧 B.三点确定一个圆 C.三角形的外心到三角形各边的距离相等 D.直径所对的圆周角是直角 3.(2025·吉林长春·二模)如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 号BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、片，②作直线MN交AB于点D,连结CD'若CD=AD' ∠B=25°，则下列结论中错误的是() A.∠ACB=90° B.∠CAD=65° C.∠ACD=50° D.点D为△ABC的外心 4.(25-26九年级上·全国·单元测试)如图，⊙0为△ABC的外接圆，且AB是⊙0的直径，点D是⊙0上 的一点，连接BD,CD,若∠ABC=30°，则∠D=() D A.100° B.110 C.115° D.120° 5.(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)已知A、B、C、D为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直 线上，它们可以确定圆的个数不可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 10/13