3.5确定圆的条件（导学案）数学北师大版九年级下册

3.5 确定圆的条件 导学案 1.理解平面内确定一个圆的条件，掌握经过不在同一直线的三个点作圆的方法。 2.理解三角形的外接圆、三角形外心等概念。 3.利用三角形外心解决实际问题。 学习重点：不在同一直线的三点确定一圆的作法及三角形外接圆的概念。 学习难点：利用三角形外心进行综合解题与实践应用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 圆周角定理的推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 圆周角定理的推论3：圆内接四边形的对角互补。 确定圆的要素是：和。 2.情景引入 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线.那么，如果不知道圆的圆心和半径时，经过几点能确定一个圆呢? 新知自研：自研课本第85--86页的内容． 【学法指导】 自研课本P85-86页的内容，思考： ●探究一：确定圆的条件 ◆1.做一做 （1）作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ 解：以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. (2)作圆，使它经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ 解：作法：1.作线段AB的垂直平分线； 2.以线段AB的垂直平分线上的任意一点O为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆，则圆O即为过点A，B的圆. 依据：线段垂直平分线的性质. 结论：1.经过两点可以作出无数个圆； 2.经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. （3）作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一直线上).你是如何做的？ 解：利用尺规过不在同一直线上的三点作圆的方法如下：1.连接AB，BC； 2.分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O； 3.以点O为圆心，以OB的长为半径作圆. 则⊙O就是所要求作的圆. 观察总结:在上面的作图过程中，因为线段AB，BC的垂直平分线只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等，所以经过A，B，C三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆. （4）过如下三点能不能作一个圆? 为什么? 解：过在同一直线上的三个点不能作圆. ◆2.知识归纳 确定圆的条件： 不在同一直线上的三个点确定一个圆. ◆4.练一练 下列关于确定一个圆的说法中，正确的是（　　） A.三个点一定能确定一个圆 B.以已知线段为半径能确定一个圆 C.以已知线段为直径能确定一个圆 D.菱形的四个顶点能确定一个圆 ●探究二：三角形的外接圆及外心 ◆1.做一做 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. 解：根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知过△ABC的三个顶点可以确定一个圆. ◆2.知识归纳 （1）三角形的外接圆： 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形. （2）三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图：三角形三条边的垂直平分线的交点. 性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. ◆3.做一做 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 解： 锐角三角形的外心位于三角形内部； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外部. ◆4.练一练 下列语句中，正确的是( ) A．任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B．钝角三角形的外心在三角形内部 C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 解：C ◆5.议一议 思考：你能确定一个圆形纸片的圆心吗？你有哪些方法？与同伴进行交流. 1.对折法:换2个不同方向对折圆形纸片，两条折痕（直径）的交点就是圆心; 2.弦垂直平分线法:作圆上两条不平行弦的垂直平分线，两线交点为圆心; 3.直角三角板法:直角顶点贴圆周，直角边与圆交点连线为直径；换位置再作一条直径，两直径交点是圆心. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力同时顾及三个洞口？作出这个位置． 解：如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，点O即为所求. 例2 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°； (2)∵点D的坐标是(0，3)， ∴OD＝3. 在Rt△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝3， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是(3，0)． ∵∠AOD＝90°， ∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论确定圆的条件和三角形的外接圆的性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 解：B． 2.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则这个圆的半径长为（ ） A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 解：B． 3.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　） A．点P B．点Q C．点R D．点M 解：B. 4.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( ) A．△ABE    B．△ACF    C．△ABD    D．△ADE 解：B． 5. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． 解：70° 6.已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是________． 解：2 7. △ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是______三角形． 解 8. 如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BCO=20°，求∠A的度数． 解：连接OB， ∵OC=OB，∠BCO=20°， ∴∠OBC=20°， ∴∠BOC=180°-20°-20°=140°， ∴∠A=140°×=70° 9.如图，在△ABC中，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，延长AE交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，CD，CE. (1)若∠CBD＝40°，求∠BAC的度数； (2)求证：点D是△BCE的外心． 解：(1)∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAD＝2∠CBD＝80°, (2)证明：∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE， ∴. ∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝∠BAD＋∠ABE＝∠BED，∴BD＝ED＝CD， ∴点B，E，C在以点D为圆心的同一圆上， ∴点D是△BCE的外心. 题型一： 确定圆的条件 1．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心O B．已知半径r＝5cm C．已知圆心O，半径r＝5cm D．已知点A为圆上一点 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 3．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 4．已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【分析】作AB的垂直平分线，在垂直平分线上找到A、B两点距离为2的点，该点有两个． 【解答】解：根据题意作图如下， 由图可知经过A，B两点且半径为2的圆有2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查确定圆的条件的知识点，此题不是很难，但需要有较强的作图能力． 题型二： 确定圆心的位置 5．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1） （1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标　 　；⊙P的半径为　 　（结果保留根号）； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系　 　． 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： 则圆心是（2，﹣1）， r2； （2）d2， 故点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系：圆内． 故答案为：（2，﹣1），2，圆内． 【点评】本题考查的是垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 6．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 　 　． （2）求⊙M的面积（结果保留π）． 【分析】（1）连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标； （2）由勾股定理即可求得圆的直径，根据圆的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示：连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M， 则点M就是过A，B，C三点的圆的圆心，由图形可知M的坐标为M（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）； （2）连接MB， 由勾股定理得MB， 故圆的面积为10π． 【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置． 7．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求； （2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R． 【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心； （2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D． ∵BC＝16cm， ∴BD＝8cm， ∵AB＝10cm， ∴AD＝6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm， ∴R2＝82+（R﹣6）2， 解得：Rcm， ∴圆片的半径R为cm． 【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 8．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）写出圆心M的坐标为 　 　； （2）这个圆的半径为 　 　； （3）直接判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（4，﹣3）在⊙M　 　（填内、外、上）． 【分析】（1）利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出MA即可； （3）先计算出DM，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点D与⊙M的位置关系． 【解答】 解：（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）； （2）∵A（0，4），M（2，0）， ∴MA2 即⊙M的半径为2； （3）圆的半径AM＝2， 线段MD2 所以点D在⊙M内． 故答案为（2，0）；2，内． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． 题型三 确定三角形外心的位置 9．点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（　　） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【解答】解：点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 10．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CPPA，于是得到结论． 【解答】解：由图可知，△ABC是锐角三角形， ∴△ABC的外心只能在其内部， 由此排除A选项和B选项， 由勾股定理得，BP＝CPPA， ∴排除C选项， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键． 11．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（　　） A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF 【分析】根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可． 【解答】解：∵OA＝OB，OE＝2， ∴OA＝OB≠OE， ∴点O不是△ABE的外心， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 12．（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O； （2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积． 【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O； （2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求； （2）连接OB， 由勾股定理得：OB， ∴外接圆⊙O的面积为：π×（）2＝10π． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键． 题型四 三角形的外接圆与外心 13．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝　 　． 【分析】连接DE，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到D为AB的中点，E为AC的中点，利用三角形的 中位线定理即可求得结论． 【解答】解：连接DE，如图， ∵点O是△ABC的外心， ∴O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴D为AB的中点，E为AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝3． ∵点M、N分别是OD、OE的中点， ∴MN是△ODE的中位线． ∴MNDE＝1.5． 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径． 【分析】连接AO，BO，由圆周角定理求得∠AOB＝90°，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：连接OA，OB， ∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝2∠C＝90°， 在Rt△AOB中， OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB， ∴2OA2＝4， OA2＝2， ∴OA （舍负）， ∴⊙O的半径是 ． 【点评】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，解决问题的关键是由圆周角定理求得∠AOB＝90°． 15．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证； （2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC． 【解答】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴， 解得，， ∴BC＝2a＝3． 【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组． 16．如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M． （1）求证：AM⊥BC； （2）若BC＝6，，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和垂径定理得到结论； （2）连接OB，根据等腰三角形的性质得到BMBC＝3，根据勾股定理得到AM9，设OB＝OA＝r，则OM＝9﹣r，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴， ∵AM过圆心， ∴AM⊥BC； （2）解：连接OB， ∵AM⊥BC，AB＝AC， ∴BMBC＝3， ∵， ∴AM9， 设OB＝OA＝r，则OM＝9﹣r， ∵OB2＝BM2+OM2， ∴r2＝32+（9﹣r）2， 解得r＝5， 故⊙O的半径为5． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． ▲1、确定圆的条件： 不在同一直线上的三个点确定一个圆. ▲2、三角形的外接圆： 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形. ▲3、三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图：三角形三条边的垂直平分线的交点. 性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 确定圆的条件 导学案 1.理解平面内确定一个圆的条件，掌握经过不在同一直线的三个点作圆的方法。 2.理解三角形的外接圆、三角形外心等概念。 3.利用三角形外心解决实际问题。 学习重点：不在同一直线的三点确定一圆的作法及三角形外接圆的概念。 学习难点：利用三角形外心进行综合解题与实践应用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半。 圆周角定理的推论1： 。 圆周角定理的推论2：直径所对的 是直角，的圆周角所对的弦是 。 圆周角定理的推论3：圆内接四边形的 。 确定圆的要素是： 和 。 2.情景引入 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线.那么，如果不知道圆的圆心和半径时，经过几点能确定一个圆呢? 新知自研：自研课本第85--86页的内容． 【学法指导】 自研课本P85-86页的内容，思考： ●探究一：确定圆的条件 ◆1.做一做 （1） 作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ （2）作圆，使它经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ 依据： . 结论：1.经过两点可以作出 个圆； 2.经过两点A，B的圆的圆心在 上. （3）作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一直线上).你是如何做的？ 观察总结:在上面的作图过程中，因为线段AB，BC的垂直平分线只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等，所以经过A，B，C三个点可以作 个圆，并且只能作 个圆. （4）过如下三点能不能作一个圆? 为什么? ◆2.知识归纳 确定圆的条件： 上的三个点确定一个圆. ◆4.练一练 下列关于确定一个圆的说法中，正确的是（　　） A.三个点一定能确定一个圆 B.以已知线段为半径能确定一个圆 C.以已知线段为直径能确定一个圆 D.菱形的四个顶点能确定一个圆 ●探究二：三角形的外接圆及外心 ◆1.做一做 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. ◆2.知识归纳 （1）三角形的外接圆： 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的 . （2）三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图：三角形 的交点. 性质：三角形的外心到 的距离相等. ◆3.做一做 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. ◆4.练一练 下列语句中，正确的是( ) A．任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B．钝角三角形的外心在三角形内部 C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 ◆5.议一议 思考：你能确定一个圆形纸片的圆心吗？你有哪些方法？与同伴进行交流. 1.对折法:换2个不同方向对折圆形纸片，两条 的交点就是圆心; 2.弦垂直平分线法:作圆上两条不平行弦的垂直平分线， 交点为圆心; 3.直角三角板法:直角顶点贴圆周，直角边与圆交点连线为 ；换位置再作一条直径， 交点是圆心. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力同时顾及三个洞口？作出这个位置． 解：如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，点O即为所求. 例2 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论确定圆的条件和三角形的外接圆的性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 2.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则这个圆的半径长为（ ） A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 3.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　） A．点P B．点Q C．点R D．点M 4.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( ) A．△ABE    B．△ACF    C．△ABD    D．△ADE 5. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． 6.已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是________． 7. △ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是______三角形． 8. 如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BCO=20°，求∠A的度数． 9.如图，在△ABC中，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，延长AE交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，CD，CE. (1)若∠CBD＝40°，求∠BAC的度数； (2)求证：点D是△BCE的外心． 题型一： 确定圆的条件 1．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心O B．已知半径r＝5cm C．已知圆心O，半径r＝5cm D．已知点A为圆上一点 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M 3．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 题型二： 确定圆心的位置 5．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1） （1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标　 　；⊙P的半径为　 　（结果保留根号）； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系　 　． 6．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 　 　． （2）求⊙M的面积（结果保留π）． 7．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 8．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）写出圆心M的坐标为 　 　； （2）这个圆的半径为 　 　； （3）直接判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（4，﹣3）在⊙M　 　（填内、外、上）． 题型三 确定三角形外心的位置 9．点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（　　） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 10．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 11．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（　　） A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF 12．（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O； （2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积． 题型四 三角形的外接圆与外心 13．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝　 　． 14．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径． 15．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 16．如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M． （1）求证：AM⊥BC； （2）若BC＝6，，求⊙O的半径． ▲1、确定圆的条件： 上的三个点确定一个圆. ▲2、三角形的外接圆： 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的 . ▲3、三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图：三角形 的交点. 性质：三角形的外心到 的距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $