4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦任意角的正弦函数、余弦函数定义，通过摩天轮情境导入，从初中锐角三角函数（Rt△中边角关系）过渡到单位圆中终边交点坐标定义，再拓展到终边上任意一点的一般定义，搭建“具体-特殊-一般”的学习支架，衔接温故知新的弧度制知识，帮助学生构建完整概念体系。 其亮点在于以核心素养为导向，情境导入体现“用数学眼光观察现实世界”（摩天轮问题抽象为三角函数模型），新知探究通过问题链引导从具体到抽象，发展“数学思维”（推理与抽象能力），课堂小结对比两种定义并结合表格归纳特殊角函数值，强化“数学语言”表达。采用情境创设、典例分析与分层检测结合的教学方法，既助学生培养数学抽象与运算素养，又为教师提供清晰可操作的教学流程。

4.1单位圆与任意角的 正弦函数、余弦函数定义 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 温故知新 1.弧度制 在单位圆中,把长度等于 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角.其单位用符号 rad 表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数. 这种以弧度制作为单位来度量角的方式，称作弧度制. 2.角度制与弧度制转化       两边同除以π 两边同除以180 学 习 目 标 1 2 3 借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，会求任意角的正弦函数值、余弦函数值. 借助终边上任意一点理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义.己知角α终边上一点，能够求三角函数值的值. 通过正余弦函数定义的形成学习，培养学生数学抽象素养， 应用定义，培养学生的数学运算素养. 读教材 阅读课本P14-P16，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义”吧！ 1.回忆直角三角形中锐角的正弦值与余弦值？ 2.什么是单位圆？如何借助单位圆研究任意角的三角函数值？ 3.如何借助终边上任意一点研究任意角的三角函数值？ 4.如何利用定义求得任意角的正弦值、余弦值？ 单击此处添加备注 4 学习过程 01 03 02 目录 1 锐角的正弦函数和余弦函数 3 当堂检测 2 任意角的正弦函数和余弦函数 单击此处添加备注 5 情境导入 现已知某摩天轮最高点距离地面30米, 转盘直径米，游客乘坐在座舱P，从距离地面最近的位置A出发，转盘逆时针方向的角速度逆时针方向转动，求相对地面的高度与时间的函数关系式. 分析：将摩天轮抽象成为平面图象，当点P在如图所示位置时，只要在直角三角形OPM中求出MP，就能求出点P相对于地面的高. 问题：如何求MP的长度呢？ 可以利用直角三角形中锐角的三角函数值即可。 新知探究 思考1：初中我们学过，在Rt△POM中，∠O＝90°，sin α，cos α分别叫做锐角α的正弦、余弦，它们的值分别等于什么？ 如图， O M P a b c α 在直角△OPM中， ． 新知探究 思考2：如果把角A记作角α，把角α放在直角坐标系中，角α的终边与单位圆的交点为，构建直角三角形OPM，则在三角形OPM中，角α的正弦值和余弦值是什么？与P点有什么关系？ sin ， cos 角α的正弦值即P点的纵坐标，角α的余弦值即P点的横坐标. 新知探究 思考3：u , v是否是关于锐角α的函数？ sin ， cos u是由角α唯一确定的，v也是由α唯一确定的. 则u,v是角α的函数. 抽象概括 定义 在单位圆中，对于每一个锐角α，角α的终边与单位圆都有唯一的坐标.在弧度制意义下，,称为锐角α的正弦函数，为锐角α的余弦函数. 这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 锐角的正弦函数和余弦函数 3 当堂检测 2 任意角的正弦函数和余弦函数 单击此处添加备注 11 新知探究 思考：当把锐角α变为任意角α，则sin α和cos α是否还是角α的函数？ x y O A(1，0) P α M 角α的终边与单位圆的交点为P，点P 的纵坐标、横坐标都是唯一确定的. 因此，sin α和cos α是角α的函数. 抽象概括 定义 在单位圆中，对于任意角α，角α的终边与单位圆都有唯一的坐标.在弧度制意义下,称为锐角α的正弦函数，为锐角α的余弦函数. 注意：在单位圆中，才有横坐标为余弦值，纵坐标为正弦值。 典例分析 这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了. 给定 实数α 唯一 实数 对应 对应 唯一 实数 x y O A(1，0) P α M 牛刀小试 练习：求的正弦、余弦和正切值. 的终边与单位圆的交点坐标为 所以 解：在直角坐标系中，作 典例分析 例1.已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值. 解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况. 设角α的终边与单位圆交于点P(如图)，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝ . 分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M，N， 易知△POM∽△QON，所以， 即 ， 由于点和点在同一象限，所以，与的符号相同， 所以，同理， 当角的终边在坐标轴上时，上式仍然成立. x y O P α Q N M 抽象概况 追问：正弦函数、余弦函数的单位圆定义和终边定义有什么联系？ 单位圆定义是终边定义的特例！ 定义 任意角α，设角α终边上除原点外一点. 则 ，.（其中） 思考辨析：判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”). （1）角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.( ) （2）若角α终边过点（1，3），则 . ( ) （3）对于任意角α，sin α，cos α都有意义.( ) 思考辨析 × √ √ 注意：对任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的. 典例分析 例2 .在单位圆中， （1）画出角； （2）求角的正弦函数值和余弦函数值. 解：（1）如图以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M，于是即为所作的角. x y O P α M （2）设点P(u，v)，则. 所以 思考交流 思考交流：在单位圆中，画出下列各特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表. α 0 π 2π v＝sin α u＝cos α 0 1 0 1 1 0 -1 0 0 -1 观察表格中的数据，你能发现函数v＝sin α和u＝cos α的变化有什么特点吗？ 学习过程 01 03 02 目录 1 锐角的正弦函数和余弦函数 3 当堂检测 2 任意角的正弦函数和余弦函数 单击此处添加备注 21 当堂检测 1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则sin α的值为(　　) A. B. C. D. 解：由终边上一点的三角函数定义可得即 C 2.已知角α的终边与单位圆交于，则sin α的值为 解：由单位圆的三角函数定义可得即 当堂检测 解： 当时，sin α＋cos α＝＋ ＝； 当时，sin α＋cos α＝ － ＝ . 3.若角α的终边与单位圆的交点为P()，则sin α＋cos α的值为________. 当堂检测 课堂小结 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数 借助单位圆定义 借助终边上一点定义 .（其中） ，. 特殊 一般 感谢聆听! 4.角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cos α. 解：直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限， 在第二象限取直线上的点(－1, eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2， 所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cos α＝－eq \f(1,2)； 在第四象限取直线上的点 (1，－eq \r(3))，则r＝ eq \r(12＋－\r(3)2)＝2， 所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cos α＝eq \f(1,2). $