21.定义法判定抽象函数单调性（类指数型）【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 21. 定义法判定抽象函数单调性（类指数型） 【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】抽象函数单调性定义 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，区间，对任意，若 时有，则在上单调递增；若 时有，则在上单调递减。 ￮ 数学符号/表达式： 递增： 递减： ￮ 关键特征：仅依赖函数定义域与任意两点的大小关系，无需具体解析式。 ￮ 跨章节关联：适用于指数函数、幂函数、抽象函数等。 2. 【概念2】类指数型抽象函数的核心性质 ￮ 定义表述：满足的抽象函数，其结构与指数函数（且）的运算性质一致，称为类指数型抽象函数。 ￮ 数学符号/表达式：，定义域通常为或 ￮ 关键特征：乘积的函数值等于函数值的乘积，可通过赋值法推导、等特殊值。 ￮ 跨章节关联：与指数函数的运算性质、函数单调性判定紧密关联。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 赋值法求特殊值 对，令，得或；令，得 1. 忽略定义域直接赋值；2. 漏解的情况 指数函数，，故；若恒成立，也满足 单调性判定前提 判定在单调性时，需设，构造，结合 直接作差，未结合变形 指数函数，时， 三、题型分类与例题精析 题型1：赋值法结合定义判定类指数型抽象函数的单调性 题型特征：已知及的定义域、特殊取值范围，用定义证明单调性。 解题步骤： 1. 设元：根据定义域设； 2. 变形：将转化为； 3. 判定符号：结合的取值范围，比较与的大小。 例题1 已知函数的定义域为，对任意，满足，且当时，，求证：在上单调递增。 解析： 1. 设，则，由题知； 2. 由，得； 3. 作商：； 4. 证明：令，则，若存在使，则，与时矛盾，故； 5. 由且，得，故在上单调递增。 答案：在上单调递增 举一反三1-1 已知函数的定义域为，满足，且当时，，求证：在上单调递减。 解析： 1. 设，则，； 2. ； 3. 同理可证，； 4. 故在上单调递减。 答案：在上单调递减 举一反三1-2 已知的定义域为，对任意，，且，当时，，判断在上的单调性。 解析： 1. 设，则，； 2. ； 3. 令，得或；若，令，则，与矛盾，故； 4. 对，，。 答案：在上单调递增 举一反三1-3 已知满足，定义域为，，求的值，并判断在上的单调性（已知时）。 解析： 1. 令，得； 2. 令，则； 3. 设，则，，； 4. 由时，可证，。 答案：；在上单调递增 题型2：单调性与不等式结合（类指数型抽象函数） 题型特征：利用的单调性，将抽象函数不等式转化为具体不等式求解。 解题步骤： 1. 判定的单调性和定义域； 2. 利用单调性脱去“”，转化为关于的不等式； 3. 结合定义域求解不等式组。 例题2 已知在上单调递增，且满足，，解不等式。 解析： 1. 令，得（若，则，与矛盾）； 2. ； 3. 原不等式化为； 4. 由定义域且单调递增，得不等式组： 解得，即。 答案： 举一反三2-1 已知在上单调递减，满足，，解不等式。 解析： 1. 原不等式，定义域且单调递减； 2. 等价于； 3. 解得或； 解得； 4. 取交集得或。 答案： 举一反三2-2 已知满足，在上单调递增，，解不等式。 解析： 1. ，，原不等式化为； 2. 由单调性和定义域得； 3. 即； 4. 方程的根为，取正根； 5. 解集为。 答案： 举一反三2-3 已知的定义域为，单调递增且，若，，求的值，并解不等式。 解析： 1. ； 2. 原不等式等价于； 3. ，； 4. 解得或。 答案：；不等式解集为 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知的定义域为，满足，当时，则的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 解析：令，则，解得或。若，则对任意，，与时矛盾，故。 答案：B 2. 多选题 已知，定义域为，则下列说法正确的有（） A. 对任意成立 B. 若，则 C. 若时，则单调递增 D. 解析： A：，正确； B：，正确； C：需先证，再结合定义判定，正确； D：，正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知满足，，则______。 解析： 答案：4 4. 解答题 (1) 已知定义域为，，当时，求证（）。 解析：令，则，即。由时，得。 答案：见解析 (2) 已知在上单调递增，，，解不等式。 解析：由单调性和定义域得，解得。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知定义域为，，单调递增且，，则的值为（） A. 5 B. 6 C. 1 D. 解析： 答案：B 2. 多选题 已知，定义域为，，，则下列结论正确的有（） A. B. 是偶函数 C. 若时递增，则时递减 D. 解析： A：令，，正确； B：，偶函数，正确； C：偶函数关于轴对称，单调性相反，正确； D：，错误。 答案：ABC 3. 填空题 已知在上单调递减，，，则不等式的解集为______。 解析：等价于，解得 答案： 4. 解答题 (1) 已知满足，定义域为，当时，，证明在上单调递减。 解析：设，则，。，证后，，故递减。 答案：见解析 (2) 已知在上单调递增，，且，解不等式。 解析：原不等式化为，等价于，解得。 答案： （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知是定义在上的函数，满足，且，若单调递增，，则（） A. 2 B. C. 4 D. 解析： 答案：A 2. 多选题 已知对任意正实数成立，且不恒为零，则下列结论正确的有（） A. B. 若，则 C. D. （） 解析： A：，不恒零，正确； B：需单调，否则不成立，错误； C：，正确； D：数学归纳法，成立，假设成立，，正确。 答案：ACD 3. 填空题 已知定义域为，，单调递增，且，则实数的取值范围是______。 解析：恒成立，原不等式等价于，解得或。 答案： 4. 解答题 (1) 已知满足，定义域为，，，求的值。 解析：， 答案： (2) 已知是定义在上的单调函数，满足，且，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 解析：由单调且，知单调递增。原不等式等价于对恒成立。，；，令，则，在递增，，故。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 21. 定义法判定抽象函数单调性（类指数型） 【拔高】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】抽象函数单调性定义 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，区间，对任意，若 时有，则在上单调递增；若 时有，则在上单调递减。 ￮ 数学符号/表达式： 递增： 递减： ￮ 关键特征：仅依赖函数定义域与任意两点的大小关系，无需具体解析式。 ￮ 跨章节关联：适用于指数函数、幂函数、抽象函数等。 2. 【概念2】类指数型抽象函数的核心性质 ￮ 定义表述：满足的抽象函数，其结构与指数函数（且）的运算性质一致，称为类指数型抽象函数。 ￮ 数学符号/表达式：，定义域通常为或 ￮ 关键特征：乘积的函数值等于函数值的乘积，可通过赋值法推导、等特殊值。 ￮ 跨章节关联：与指数函数的运算性质、函数单调性判定紧密关联。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 赋值法求特殊值 对，令，得或；令，得 1. 忽略定义域直接赋值；2. 漏解的情况 指数函数，，故；若恒成立，也满足 单调性判定前提 判定在单调性时，需设，构造，结合 直接作差，未结合变形 指数函数，时， 三、题型分类与例题精析 题型1：赋值法结合定义判定类指数型抽象函数的单调性 题型特征：已知及的定义域、特殊取值范围，用定义证明单调性。 解题步骤： 1. 设元：根据定义域设； 2. 变形：将转化为； 3. 判定符号：结合的取值范围，比较与的大小。 例题1 已知函数的定义域为，对任意，满足，且当时，，求证：在上单调递增。 举一反三1-1 已知函数的定义域为，满足，且当时，，求证：在上单调递减。 举一反三1-2 已知的定义域为，对任意，，且，当时，，判断在上的单调性。 举一反三1-3 已知满足，定义域为，，求的值，并判断在上的单调性（已知时）。 题型2：单调性与不等式结合（类指数型抽象函数） 题型特征：利用的单调性，将抽象函数不等式转化为具体不等式求解。 解题步骤： 1. 判定的单调性和定义域； 2. 利用单调性脱去“”，转化为关于的不等式； 3. 结合定义域求解不等式组。 例题2 已知在上单调递增，且满足，，解不等式。 举一反三2-1 已知在上单调递减，满足，，解不等式。 举一反三2-2 已知满足，在上单调递增，，解不等式。 举一反三2-3 已知的定义域为，单调递增且，若，，求的值，并解不等式。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知的定义域为，满足，当时，则的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 2. 多选题 已知，定义域为，则下列说法正确的有（） A. 对任意成立 B. 若，则 C. 若时，则单调递增 D. 3. 填空题 已知满足，，则______。 4. 解答题 (1) 已知定义域为，，当时，求证（）。 (2) 已知在上单调递增，，，解不等式。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知定义域为，，单调递增且，，则的值为（） A. 5 B. 6 C. 1 D. 2. 多选题 已知，定义域为，，，则下列结论正确的有（） A. B. 是偶函数 C. 若时递增，则时递减 D. 3. 填空题 已知在上单调递减，，，则不等式的解集为______。 4. 解答题 (1) 已知满足，定义域为，当时，，证明在上单调递减。 (2) 已知在上单调递增，，且，解不等式。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知是定义在上的函数，满足，且，若单调递增，，则（） A. 2 B. C. 4 D. 2. 多选题 已知对任意正实数成立，且不恒为零，则下列结论正确的有（） A. B. 若，则 C. D. （） 3. 填空题 已知定义域为，，单调递增，且，则实数的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知满足，定义域为，，，求的值。 (2) 已知是定义在上的单调函数，满足，且，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 是否需要我为你生成该专题的同类变式题，进一步强化定义法判定抽象函数单调性的解题思路？ |（注：文档部分内容可能由 AI 生成) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $