精品解析：江西省南昌市重点中学2025-2026学年上学期联考七年级数学试卷

南昌市重点中学2025—2026学年上学期12月初一数学试卷 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，掌握数字与字母相乘、系数表示、除法运算等规范是解题的关键． 根据代数式的书写规范逐项判断即可． 【详解】解：A． 中“”乘号未省略，不规范，不符合题意； B．中“”符合分数形式，规范，符合题意； C．中“”系数为带分数，应写为“”，不规范，不符合题意； D．中“”应写为“”，不规范，不符合题意． 故选B． 2. 下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等式的性质．根据等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】A. 如果，那么或，故选项错误，不合题意； B. 如果，那么或，故选项错误，不合题意； C. 如果，那么当时，，，故选项错误，不合题意； D. 如果，那么，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 若关于x的方程的解是正整数，则所有满足条件的正整数m的和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程方程的解，首先解方程，将原方程转化为关于x的表达式，再根据解为正整数确定m的可能值，最后求和． 【详解】解： ， 两边同乘3，得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵关于x的方程的解是正整数，m是正整数， ∴或， 解得 或 ， ∴满足条件的 为2和4，和为 ， 故选：C． 4. 要使多项式中不含项，则m的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式，利用多项式中不含项，进而得出的系数和为0，进而求出即可． 【详解】解：∵多项式中不含xy项， ∴， ∴． 故选：D． 5. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，宽为4）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式解决几何问题，解题的关键是根据图形表示出相关线段的长度． 根据图形表示出相关线段的长度，然后再利用长方形周长公式进行表示即可． 【详解】解：小长方形的长为， 则两块阴影部分长方形的宽的和为， 两块阴影部分长方形的长的和为， ∴两块阴影部分长方形的周长的和为， 故选：B． 6. 如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论；先通过设定的长度为x，将各线段长度用x表示，再明确点D（的中点）、点E（的三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，此时，结论①成立； ∵，， ∴，结论②成立； ∵，， ∴，结论③不成立； ∵， ∴，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选B． 二、填空题（每题3分，共18分) 7. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握移项、合并同类项是解答本题的关键； 本题通过移项和合并同类项，将方程化为最简形式，即可求解 【详解】解：移项，得， 即， 系数化为1，得， 故答案为： 8. 如图，有5个重量一样的重物，有2个挂在木杆的右端，有3个挂在木杆的左边，并使左右平衡．设木杆长a cm，支点在木杆的中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm，把a作为已知数，列出关于x的一元一次方程为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知结合杠杆平衡的条件得出答案． 【详解】解：利用结合杠杆平衡的条件可得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用杠杆平衡条件得出等式是解题的关键． 9. 如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方体展开图确定相对面的数字，再利用相反数的性质得出相关等式，结合非负数的性质求出的值，最后代入式子计算． 【详解】由正方体展开图可知：与相对，与相对，3与相对 ∵相对面的数字互为相反数， ∴ ∵，且 ∴ 解得 将代入： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方体的展开图、相反数的性质以及非负数的性质，掌握利用正方体展开图确定相对面，结合非负数的性质求出字母的值，进而计算式子的值是解题的关键． 10. 如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解． 【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的， ∴大正方形面积， 由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 11. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放∶第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，，则第个图形有小圆_______个 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中小圆个数的变化规律．根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小圆的个数，通过归纳得出第“个图形的小圆的个数是”． 【详解】解：由图知： 第一个图形有个小圆， 第二个图形有个小圆， 第三个图形有个小圆， 第四个图形有个小圆 第个图形有个小圆， 故答案为：. 12. 长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_____ 【答案】2或4或6 【解析】 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，根据题意列出方程，求出，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①；②；③，画出示意图，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵这三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， 由题意得，， 解得， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6． 故答案为：2或4或6． 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程， （1）方程去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解； 解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为． 【小问1详解】 解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 【小问2详解】 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 14. 如图，点为线段上一点，点为的中点，且，． （1）求的长； （2）若点在直线上，且，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段和差计算等知识，正确理解题意，弄清线段之间的关系是解题关键． （1）先根据中点得出，继而由可得答案； （2）分点E在上和点E在延长线上两种情况∶先求得，再分类讨论即可解答． 【小问1详解】 点为的中点，， ， ， ； 【小问2详解】 如图1，当点在线段上时， ，， ； 如图2，当点在延长线上时， ，， ； 综上，的长为或． 15. 用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为和． （1）当长方形的面积为时，用式子表示与的关系． （2）当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？ 【答案】（1） （2）周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系；面积一定时，相邻两边的长成反比例关系；理由如下： 设周长为，， 当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系；因为此时相邻两边的长的和为定值； 设面积为，则有， 当长方形的面积一定时，相邻两边的长成反比例；因为此时相邻两边的长的积为定值． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例关系，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据长方形面积公式列式并整理，即可获得答案； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．根据反比例关系的定义，即可获得答案． 【小问1详解】 解：当长方形的面积为时，根据题意可得， 答：与的关系为； 【小问2详解】 解：略． 16. 如图，已知平面上四个点，请按要求画图并回答问题． （1）连接，延长到，使； （2）分别画直线、射线； （3）在射线上找点，使最小．此画图的依据是_______． 【答案】（1） 线段即为所求： （2） 直线，射线即为所求： （3） 点即为所求；此画图的依据是两点之间线段最短. 【解析】 【分析】本题考查基本作图，涉及作等线段、作直线、作射线、利用对称性作图，熟记直线、射线、线段及对称性概念是解决问题的关键． （1）连接，并延长，以为圆心、以为半径作圆交延长线于即可得到； （2）根据直线、射线定义作图即可得到答案； （3）由两点之间线段最短直接连接交于即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 已知关于的多项式的值与字母的取值无关． （1）求的值； （2）在满足（）的条件下，求关于方程的解． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）先把关于的多项式中的同类项进行合并，然后根据关于的多项式的值与字母的取值无关，列出关于的方程，求出即可； （）把（）中所求的的值代入方程，解方程即可； 本题考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程，掌握整式的运算法则和解一元一次方程的步骤 是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ， ∵关于的多项式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：把，代入方程得， ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，． 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． （1）求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； （2）D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】（1）E同学答对16道，答错4道 （2） 比赛不可能得了73分，理由如下： 设D同学答对m道，则答错道， 若得了73分，则， 解得， ∵m是整数， ∴不符合题意， ∴比赛不可能得了73分． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设E同学答对x道，可得，即可解得E同学答对16道，答错4道； （2）设D同学答对m道，若，得，不符合题意，故比赛不可能得了73分． 【小问1详解】 解：设E同学答对x道，则答错道， 根据表格数据可得， 解得， ， 答：E同学答对16道，答错4道； 【小问2详解】 略 19. 若多项式、满足： ，． 我们可以通过添加括号求出多项式，过程如下： 则 （1）请用类似的方法求出多项式； （2）当、是互为倒数时，多项式的值为，求此时多项式的值； （3）当______时，无论字母取何值，多项式的值总比多项式的值大． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的加减； （1）仿照例题，计算，进而即可求解； （2）根据多项式的值为得出，则，进而代入，即可求解； （3）计算，根据题意其结果与无关，进而得出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，． ∴ ； ∴； 【小问2详解】 解：∵、互为倒数， ∴， 又， ∴， ∴，则， ∴； 【小问3详解】 解： ， ∵无论字母取何值，多项式的值总比多项式的值大， ∴，解得：， 即 故答案为：． 20. 如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． （1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是______（填序号）； （2）若设长方体的高为，则 ①长方体的长为______cm，宽为______cm（用含x的式子表示）； ②请利用一元一次方程知识求长方体包装盒的体积． 【答案】（1）⑤； （2）①，；② 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键． （1）根据相对面必定相隔一个长方形，进行判断即可； （2）①根据长方体盒子的长是高的2倍，以及展开图的宽为，列出代数式即可；②根据展开图的长为99cm，列出方程，求出的值，进一步求出长方体的体积即可． 【小问1详解】 解：由图形可知，原包装盒与①相对的面是⑤； 故答案为：⑤； 【小问2详解】 ①因为长方体盒子的长是高的2倍， 所以长方体的长为， 由图可知：长方体的宽为； 故答案为：，； ②由展开图，得：， 解得， 即长方体的高为15cm， 当时，长方体的长，宽为， ∴长方体的体积为， 答：这个长方体的纸盒的体积为． 五、解答题（每题9分，共18分) 21. 忠县作为“中国柑橘城”，柑橘产业已经非常成熟，形成了多个特色品种，其中最出名的当属“爱媛果冻橙”和“沃柑”．某超市用元从农户处购进“果冻橙”和“沃柑”两个品种的柑橘共斤．进价和售价如下表所示： 果冻橙 沃柑 进价（元/斤） 售价（元/斤） （1）求该超市购进“果冻橙”和“沃柑”各多少斤？ （2）由于水果运输过程中会有一定的损坏，“果冻橙”的损坏率为，“沃柑”的损坏率为，损坏的柑橘不能进行销售，若这批柑橘全部售出的总利润为元，求的值； （3）该超市第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “果冻橙”优惠方案 一次性购买数量 不超过斤的部分 超过斤的部分 折扣数 九折 八折 “沃柑”优惠方案 购买总金额 不超过元 超过元但不超过元 超过元 返现金金额 0元 直接返现金元 先返购买总金额的，再返现金200元 已知超市购进“果冻橙”共支付了元，购进“沃柑”共支付了元，运输中仍按照（2）中的损坏率考量，将第二次购进的两种柑橘全部卖完，一共可获得利润多少元？ 【答案】（1）果冻橙斤，沃柑斤 （2） （3）元 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设购进果冻橙斤，沃柑斤，根据题意列式求解即可． （2）根据题意可得售出的收入为，进而根据题意列式求解即可． （3）设果冻橙购买斤，则超过斤的部分为斤，根据题意列方程求解即可得果冻橙购买斤数；设沃柑购买总金额为元，根据题意列方程求解购进沃柑的斤数，进而列式求得获得总利润． 【小问1详解】 解：设购进果冻橙斤，沃柑件斤， 依题意可得， 解得：， 即， ∴果冻橙斤，沃柑斤． 【小问2详解】 解：根据题意可得：售出的收入为， 故可列方程， 解得：， ∴的值为． 【小问3详解】 解：设果冻橙购买斤，则超过斤的部分为斤， ∴， 解得：； 设沃柑购买总金额为元， 根据题意可得：， 解得： ∴购进沃柑的斤数为：， ∴两种柑橘全部卖完，一共可获得利润为：（元）． 22. 小明在“几何画板”上设计了一个数轴上的动点程序，该动点在数轴上沿正方向运动，他把观察到情况记录如下： 观察时间 数轴上动点所到的数字情况 8：00 是一个两位数字，它的两个数字之和为7． 9：00 十位与个位数字与8：00时所看到的正好颠倒了． 10：00 比8：00时看到的两位数中间多了个0． 如果设小明在8：00时看到的数的个位数字是，那么根据以上信息回答下列问题：（结果均要化简） （1）8：00时小明看到的数可表示为___________；（用含的代数式表达）； （2）请分别求出求间和间，该动点在数轴上分别运动了多少距离？（用含的代数式表达） （3）若该动点为匀速运动，将时该点在数轴上的位置记为时该点在数轴上的位置记为时该点在数轴上的位置记为，数轴上有点，使得，直接写出点在数轴上表示的数． 【答案】（1） （2）间该动点运动的距离为，间该动点运动的距离为； （3）21或101 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，一元一次方程的应用，解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）8：00时小明看到的数的十位数字为，把十位数字乘以10，再加上个位数字即可得到答案； （2）仿照（1）求出9：00和10：00小明看到的数，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）由于是匀速运动，那么间该动点运动的距离与间该动点运动的距离相等，据此可得，解方程求出x的值，进而求出A、B、C三点表示的数，设出点M表示的数，进而可得关于m的绝对值方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，8：00时小明看到的数可表示为； 【小问2详解】 解：由题意得，9：00时小明看到的数可表示为， 10：00时小明看到的数可表示为， ∴间该动点运动的距离为， 间该动点运动的距离为； 【小问3详解】 解：∵该动点为匀速运动， ∴间该动点运动的距离与间该动点运动的距离相等， ∴， 解得， ∴表示的数为，B表示的数为，C表示的数为； 设M表示的数为m， ∵， ∴， 当时，则， 解得（舍去）； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，， 解得（舍去）； 综上所述，或， ∴点M在数轴上表示的数为21或101． 六、解答题（共12分) 23. “鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下问题： 【问题引入】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．（结果用含n的式子表示） 【问题解决】 （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【问题拓展】 （5）从1，2，3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中去掉一个整数，从剩下的个整数中任取3 个整数，使得取出的这些整数之和共有123种不同的结果，求n的值和此时去掉的数的所有可能． 【答案】（1）7；（2）142；（3）种；（4）376种；（5），此时去掉的数可能是3或4或41或42 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键是理解题意． （1）用最大2个数的和减去最小2个数的和再加1即可； （2）用最大3个数的和减去最小3个数的和再加1即可； （3）用最大5个数的和减去最小5个数的和再加1即可； （4）直接代入公式求解即可； （5）先表示出从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞10）这n个整数中任取3个整数之和共有：（种）结果，然后列举法去掉1、2、3等数字会发现少的结果数，列等式求解即可解： 【详解】解：问题引入： （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，则这2个整数之和最小值为：， 最大值为：， 则这2个整数之和共有（种）不同情况， 故答案为：7； （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数， 则这3个整数之和最小值为：，最大值为：， 则这3个整数之和共有不同结果的种数为：（种）， 故答案为：142； （3）归纳总结：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，则这5个整数之和的最小值为：，最大值为， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种； 问题解决： （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券， 则根据前述结论，，（种）， 即这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：376种． 故答案为：376种． 问题拓展： （5）最大：，最小：， 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数之和的结果共有：种， 去掉1：最小为，最大为，少6、7、8三个结果，共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉2：最小为，最大为，少6、7两个结果，共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉3：最小为，最大为，少6一个结果，共有， 解得是整数，符合题意； 去掉4：同理，少7一个结果，共有， 解得，是整数，符合题意； 去掉5：结果并不减少， 共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉41：少一个结果， ∴共有， 解得，符合题意； 去掉42：少一个结果， ∴共有， 解得，符合题意； 去掉43：少两个结果， ∴共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉44：少三个结果， ∴共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 综上，，此时去掉的数可能是3或4或41或42． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市重点中学2025—2026学年上学期12月初一数学试卷 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3. 若关于x的方程的解是正整数，则所有满足条件的正整数m的和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 要使多项式中不含项，则m的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 5. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，宽为4）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分) 7. 方程的解是______． 8. 如图，有5个重量一样的重物，有2个挂在木杆的右端，有3个挂在木杆的左边，并使左右平衡．设木杆长a cm，支点在木杆的中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm，把a作为已知数，列出关于x的一元一次方程为_______________． 9. 如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________． 10. 如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为_________． 11. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放∶第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，，则第个图形有小圆_______个 12. 长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_____ 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，点为线段上一点，点为的中点，且，． （1）求的长； （2）若点在直线上，且，求的长． 15. 用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为和． （1）当长方形的面积为时，用式子表示与的关系． （2）当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？ 16. 如图，已知平面上四个点，请按要求画图并回答问题． （1）连接，延长到，使； （2）分别画直线、射线； （3）在射线上找点，使最小．此画图的依据是_______． 17. 已知关于的多项式的值与字母的取值无关． （1）求的值； （2）在满足（）的条件下，求关于方程的解． 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． （1）求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； （2）D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 19. 若多项式、满足： ，． 我们可以通过添加括号求出多项式，过程如下： 则 （1）请用类似的方法求出多项式； （2）当、是互为倒数时，多项式的值为，求此时多项式的值； （3）当______时，无论字母取何值，多项式的值总比多项式的值大． 20. 如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． （1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是______（填序号）； （2）若设长方体的高为，则 ①长方体的长为______cm，宽为______cm（用含x的式子表示）； ②请利用一元一次方程知识求长方体包装盒的体积． 五、解答题（每题9分，共18分) 21. 忠县作为“中国柑橘城”，柑橘产业已经非常成熟，形成了多个特色品种，其中最出名的当属“爱媛果冻橙”和“沃柑”．某超市用元从农户处购进“果冻橙”和“沃柑”两个品种的柑橘共斤．进价和售价如下表所示： 果冻橙 沃柑 进价（元/斤） 售价（元/斤） （1）求该超市购进“果冻橙”和“沃柑”各多少斤？ （2）由于水果运输过程中会有一定的损坏，“果冻橙”的损坏率为，“沃柑”的损坏率为，损坏的柑橘不能进行销售，若这批柑橘全部售出的总利润为元，求的值； （3）该超市第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “果冻橙”优惠方案 一次性购买数量 不超过斤的部分 超过斤的部分 折扣数 九折 八折 “沃柑”优惠方案 购买总金额 不超过元 超过元但不超过元 超过元 返现金金额 0元 直接返现金元 先返购买总金额的，再返现金200元 已知超市购进“果冻橙”共支付了元，购进“沃柑”共支付了元，运输中仍按照（2）中的损坏率考量，将第二次购进的两种柑橘全部卖完，一共可获得利润多少元？ 22. 小明在“几何画板”上设计了一个数轴上的动点程序，该动点在数轴上沿正方向运动，他把观察到情况记录如下： 观察时间 数轴上动点所到的数字情况 8：00 是一个两位数字，它的两个数字之和为7． 9：00 十位与个位数字与8：00时所看到的正好颠倒了． 10：00 比8：00时看到的两位数中间多了个0． 如果设小明在8：00时看到的数的个位数字是，那么根据以上信息回答下列问题：（结果均要化简） （1）8：00时小明看到的数可表示为___________；（用含的代数式表达）； （2）请分别求出求间和间，该动点在数轴上分别运动了多少距离？（用含的代数式表达） （3）若该动点为匀速运动，将时该点在数轴上的位置记为时该点在数轴上的位置记为时该点在数轴上的位置记为，数轴上有点，使得，直接写出点在数轴上表示的数． 六、解答题（共12分) 23. “鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下问题： 【问题引入】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．（结果用含n的式子表示） 【问题解决】 （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【问题拓展】 （5）从1，2，3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中去掉一个整数，从剩下的个整数中任取3 个整数，使得取出的这些整数之和共有123种不同的结果，求n的值和此时去掉的数的所有可能． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $