精品解析：广东省汕头市潮阳区2025-2026学年上学期九年级期终考试数学试卷（T）

2025-2026学年广东省汕头市潮阳区九年级（上）期末数学试卷（T卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，是方程的两根，则的值是（    ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 0 2. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 3. 下列事件为确定事件的有（　　） （1）打开电视正在播动画片 （2）长、宽为，的矩形面积是 （3）掷一枚质地均匀硬币，正面朝上 （4）是无理数 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到抛物线的解析式为（ ） A. y＝x2﹣8x＋22 B. y＝x2﹣8x＋14 C. y＝x2＋4x＋10 D. y＝x2＋4x＋2 9. 如图，以为直径的半圆绕点，逆时针旋转，点旋转到点的位置，已知，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6π B. 5π C. 4π D. 3π 10. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 点的坐标为 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为_____． 12. 抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________． 13. 在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是．则原来盒中有白色棋子_________颗. 14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 15. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 17. 已知二次函数的表达式，求当时，y的最大值与最小值的差． 18. 已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　 　． 19. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 20. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元． ① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元； ② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 21. 如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到，点D刚好落在边上． （1）求n的值； （2）若F是的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． 探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与长度，并比较大小． 23. 如图，直线交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线，垂足为N，直线交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）若，当m为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若，设直线交直线于点E，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省汕头市潮阳区九年级（上）期末数学试卷（T卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，是方程的两根，则的值是（    ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．将方程化为标准形式后，利用一元二次方程根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解：∵ 方程 可化为 ， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 2. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是中心对称图形，符合题意，选项正确； C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键． 3. 下列事件为确定事件的有（　　） （1）打开电视正在播动画片 （2）长、宽为，的矩形面积是 （3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 （4）是无理数 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案． 【详解】打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意； 长、宽为，的矩形面积是，是确定事件，符合题意； 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意； 是无理数，是确定事件，符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确掌握相关定义是解题关键． 4. 如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵AB是的直径，BC是的切线， ∴AB⊥BC，即∠ABC=90°， ∵， ∴=90°-35°=55°， 故选C． 【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根， ∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0， 解得：a＞-1且a≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 6. 如图，直径垂直于弦，垂足为的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过等腰直角三角形得到是解题的关键． 先求出的度数，再结合垂径定理证是等腰直角三角形，求出的长度，即可求解． 【详解】解： 的直径垂直于弦 又 ． 故选：C． 7. 有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解． 【详解】∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数， ∴摆出的三位数有共6种可能，其中是 ∴摆出的三位数是5的倍数的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 8. 将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A. y＝x2﹣8x＋22 B. y＝x2﹣8x＋14 C. y＝x2＋4x＋10 D. y＝x2＋4x＋2 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2； 再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 9. 如图，以为直径的半圆绕点，逆时针旋转，点旋转到点的位置，已知，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6π B. 5π C. 4π D. 3π 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出阴影部分的面积为：S扇形B′AB进而利用扇形面积公式求出即可． 【详解】如图所示． ∵以AB为直径的半圆绕A点，逆时针旋转60°，∴AB=AB′=6，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积为：S扇形B′AB==6π． 故选A． 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及旋转性质，得出阴影部分的面积=S扇形B′AB是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 点的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可． 【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意； B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意； C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意； D、根据可知，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得，可得，解方程即可得c的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 12. 抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________． 【答案】且 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案． 详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围． 13. 在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是．则原来盒中有白色棋子_________颗. 【答案】4 【解析】 【分析】由围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，然后根据概率列二元一次方程组求解即可. 【详解】解：由题意可得： ，解得： 所以来盒中有白色棋子4颗. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了概率公式的应用、二元一次方程组的应用等知识点，根据“概率=所求情况数与总情况数之比”列出方程成为解答本题的关键. 14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 15. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，交于点P，如图， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最小， 此时， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：分解因式得：，即， 可得：或， 解得：，． 17. 已知二次函数的表达式，求当时，y的最大值与最小值的差． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴和顶点坐标的求法． 先确定二次函数的对称轴和顶点坐标，再确定y的最大值和最小值． 【详解】解：， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y的最小值为，最大值为， 的最大值与最小值的差为． 18. 已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求． （2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题． 【详解】解：（1）如图⊙O即为所求． （2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE＝4，BE＝EC＝3， 在Rt△OBE中，OB＝＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查作三角形的外接圆，勾股定理，作垂直平分线.理解三角形的外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点是解决此题的关键 19. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案； （2）并不是等可能事件，所以不能选用树状图法做，选用概率分步原理解题即可 【详解】解：（1）画树状图得， ∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：； （2）由概率分步原理解题， 第一次拿出红球的概率为：，不放回，再拿出白球的概率为 第一次拿出白球的概率为，放回后，再拿出白球的概率为 故两次摸出的球都是白球的概率是： 故答案为： 【点睛】此题考查了画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元． ① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元； ② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 【答案】解：（1）26.8． （2）设需要售出x部汽车， 由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1（x－1）]=（0.1x＋0.9）（万元）， 当0≤x≤10，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋0.5x=12，整理，得x2＋14x－120=0， 解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6． 当x＞10时，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋x=12，整理，得x2＋19x－120=0， 解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5． ∵5＜10，∴x2=5舍去． 答：要卖出6部汽车． 【解析】 【详解】一元二次方程的应用． （1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8．， （2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可． 21. 如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到，点D刚好落在边上． （1）求n的值； （2）若F是的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）n的值是60 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的判定、直角三角形的有关性质： （1）根据等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，求解即可； （2）根据直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，证明四边形四边相等即可； 熟练掌握菱形的判定方法和直角三角形的有关性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴n的值是60； 【小问2详解】 解：四边形是菱形； 理由：∵，F是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 22. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． 探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理计算即可； （2）由切线性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减即可； （3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较即可． 【详解】解：（1）连接， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ． （2）∵与半圆的切点为， ∴ ∵ ∴于点， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． （3）∵于点， ∴， ∵半圆中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键． 23. 如图，直线交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线，垂足为N，直线交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）若，当m为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若，设直线交直线于点E，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当m为时，四边形是平行四边形 （3）存在，m的值为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键． （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解； （3）根据，分E在内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，； 当时，， 点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，， ， 当四边形是平行四边形时，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得：， 直线的解析式为， 又过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为， ， ， 解得（不合题意，舍去），； 当m为时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 对称轴为， 设P点坐标为， 点横坐标为：， ， ①如图1，点E在上， ，即E是的中点， ， 又点E在直线上，代入得，， 解得：或（舍去）， 故此时m的值为； ②如图2，点E在的延长线上，设E点坐标为， ，， ①， ②， 联立①②得，， 解得：（舍去）或， 综上所述，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $