寒假作业06 相似三角形13大必刷题型（巩固培优）九年级数学苏科版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 相似三角形 1． 比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2.比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果 ，那么ad=bc.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 ,那么 如果,那么 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 二．黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： (叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 三．平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式成立. 四．相似三角形的概念 在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C' 我们就说△ABC与△A'B'C'相似，记作 △ABC∽△A'B'C'.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即△ABC∽△A'B'C'，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. (3)相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 五．相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 六．相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 七．相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：△ABC∽△A'B'C'，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，△ABC∽△A'B'C'，则，分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和A'D'，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 八．相似三角形的应用 1.利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 2.利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 （1）比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; （2）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; （3）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; （4）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 九．位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 10． 投影 1.平行投影：在阳光的照射下，树木、路灯、路标都产生了影。通常我们把太阳光看成平行光，在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影； 在同一时刻的太阳光的照射下，不同物体的长度与影长成比例 2.中心投影 通常，路灯、台灯、手电筒......的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 比例的基本性质 1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为 ． 题型二 黄金分割 3．（2025·安徽亳州·一模）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山西晋城·月考）阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图1，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，k称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程： 设，则，．．．．．． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数的解答过程． (3)拓展应用：如图2，在线段上用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）同学们可能听说过斐波那契数列和黄金分割，现在我们就用所学的二次根式、二次方程和相似形等知识探究以下问题． (1)数列：1，1，2，3，5，8，13，…，记第n项为，那么（其中）． ①试求 ，连续三项、、的关系是 ； ②当n非常大时，前一项与后一项的比值变化非常小，，几乎相等．设这个比值为x，请列出方程，并化成一元二次方程（不必解方程）； (2)在矩形中，，点E、F在边和上，四边形是正方形，已知矩形与矩形相似，设比值为x，求x的值（结果保留根号）； (3)在等腰中，，如果，（x与上面（2）中的一致），那么猜一猜 度，然后完成推算过程．（提示：可以以点C为圆心，长为半径画弧交于点D，连接） 题型三 平行线分线段成比例 6．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图：中，，是中线，E是的中点，则线段的长等于 ． 10．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在平行四边形中，是一条对角线，为线段上一点，且．过点作交于点，连接并延长，交于点，交的延长线于点． （1）若，则的长为 ； （2）若，则四边形的面积为 ． 11．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 题型四 相似图形的概念 12．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 13．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 14．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 题型五 相似的判定 16．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）1．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知，则下列图形与相似的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则下列各式中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·上海虹口·月考）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（    ） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 19．（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 20．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求证：． 题型六 相似的性质 22．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知：，，的度数为 ． 23．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，已知，，则的长为 24．（25-26九年级上·海南·期中）若与的相似比为2，则与的面积比为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 25．（25-26九年级上·北京顺义·期中）两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ． 26．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 30．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 27．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，若的面积为27，则图中阴影部分的面积是 ． 29．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型七 相似判定与性质综合 30．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是 ． 31．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边上，得到，边交于点O，连接．求证： (1)； (2)． 32．（25-26九年级上·上海·月考）如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． (1)求证：； (2)如果，求证：． 33．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 34．（25-26九年级上·广东梅州·月考）综合与探究：如图①，已知四边形 是正方形，点 E，F 分别在边， 上，，，与交于点O． (1)求证：． (2)如图②，若E是边的中点，连接 并延长交 于点H，求 的值． (3)如图③，在（2）的条件下，延长交的延长线于点M，若，求的长． 35．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 36．（25-26九年级上·河南开封·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 37．（2025·江苏淮安·二模）在菱形中，，，点E在边上，将沿折叠到上． 尝试： （1）如图1，过点D的直线，交于点Q，交的延长线于点P，．显然，是______三角形（按边分类），若．则______； 探究： （2）在（1）的条件下，当时，求和的长； 操作： （3）把沿折叠到的过程中，当点F落在上时，用无刻度的直尺和圆规在图2中画出折痕，并在上作一点K，使得直线平分四边形的周长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） 拓展： （4）如图3，若，点G在的延长线上，，的延长线交于点H．求的长． 38．（24-25九年级下·安徽·月考）在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 39．（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 40．（2025·福建泉州·二模）如图，在矩形中，，动点P在边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在边上从点B向C运动．把沿着直线翻折，点B的对应点为点G，直线与边相交于点E． (1)如图1，若点P为的中点，连接，求证：． (2)如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，当t为何值时，点G恰好在直线上？ (3)如图3，连结，交于点F，若且，求点Q的运动速度． 题型八 相似的动点问题 41．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 42．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在钝角三角形中，，，点D从点A出发沿以的速度向点B移动，点E从点C出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过多少秒时，以A、D、E为顶点与相似． 43．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 44．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过 秒后，的面积等于面积的；经过 秒与相似． 45．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知，，，，．是上一点，且，连接、，所得两个三角形相似，则的长是 ． 46．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线、于点E、F，连接．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点P、Q重合除外）． (1)①t秒后，为______个单位长度； ②求点P运动的速度是多少？ (2)当t为何值时，矩形为正方形？ (3)当t为何值时，矩形的面积为5． 47．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点P从点A出发，沿对角线向点C以每秒的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段向点A以每秒的速度移动．P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点P移动时间为t秒，回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于? (3)以点Q为圆心，的长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 48．（25-26九年级上·海南海口·期中）如图所示，在中，，，为中点，动点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度；同时，点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点作，交于，连接，设点运动的时间为 (1)当时，求的长； (2)是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． (3)如图2，作交于点，． ①设面积为，求关于的函数关系式； ②是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 49．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图（），在四边形中，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． (1)______；______；______（用含的代数式表示）． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)如图（），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值． 50．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，D为的中点，动点P在边上不与点A、B、D重合，过点P作的垂线交折线于点Q．以为邻边构造矩形． (1)的长为______； (2)当点Q落在上时，证明； (3)点P在运动的过程中，求线段长度的取值范围； (4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的的长． 51．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图-1，在中，，，． (1)求边的长； (2)动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接．当，中有一个点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为（秒）． ①当时，求的值； ②如图，点在边上运动，当与相似时，求的长； ③如图，点在边上运动，过点作于点，连接，．当时，直接写出线段的长． 52．（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒 (1)当t为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，的面积最大？求面积最大时点的坐标． 53．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 54．（24-25九年级上·山西晋城·期中）综合与探究 如图，在中，，，，点是边上一点，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)的长为__________cm． (2)如图1，当为何值时，？ (3)如图2，连接，，当为何值时，？ 题型九 相似三角形的应用 55．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 56．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 57．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）数学来源于生活，服务于生活．同学们利用相似三角形相关知识测距： 【活动1】 （1）如图1，在反射现象中，反射角等于入射角．如图2所示，琪琪将镜子放在地面上，后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端，测得脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜面中心距离旗杆底部的距离为，已知琪琪的身高是，眼睛位置距离琪琪头顶的距离是，则图中相似三角形为___________，旗杆的高度是___________m． 【活动2】 （2）如图3，小明和小亮去游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.7米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.8米．求城楼的高度． 58．（25-26九年级上·湖南常德·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长． 59．（25-26九年级上·陕西西安·期中）关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和钟楼内的古钟共同构成．为了测出小雁塔的高度，九年级学生小爱设计出了下面的测量方法：已知塔前有一棵4米高的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面境中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求塔高．（结果精确到） 题型十 投影与位似 60．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D．或 61．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，矩形中，，，已知矩形与矩形位似，位似中心为，矩形的面积等于，则点的坐标为 ． 62．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为 ． 63．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为 m． 64．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为 ． 65．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 66．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 67．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 68．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得此外，测得窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）如图，靠窗放置一张长方形桌子，，点在光线上，求的长； （2）求，的长． 69．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，的影长为26米，小明的影长为3米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 70．（25-26九年级上·四川内江·期中）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立米长的标杆测得其影长为米，旗杆落在地面部分的影长米，另一部分影长落在某一建筑的墙上处，米，求学校旗杆的高度． 71．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 72．（25-26九年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为20米，斜坡长为米． 素材2 如图②，在素材1中的斜坡上和点处分别有指示路牌和，且，，，当太阳光线与指示路牌顶端P，所在直线平行时，的影子部分落在地面上，其中为影子． 素材3 为响应号召节约成本，指示路牌的高度按需调整为． 如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为米，长为米． 如图④，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合．小李驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小李的眼睛到斜坡的距离为米． 问题解决 任务一 如图①，______． 任务二 如图②，求影子AT的长度． 任务三 如图④，当小李正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F在同一条直线上）时，试求小李距大巴车尾的距离． 题型十一 作图题 73．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点的坐标___________ (2)若点为内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是___________； (3)请仅用无刻度的直尺在线段上确定一点，使，请画出点．（保留作图痕迹）． 74．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，在直线上找到一点，作，使得； (2)在图②中，在直线上找到一点，作，使得与图①相似； (3)在图③中，在直线上找到一点，作，使得． 75．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形． (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； (2)以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 题型十二 相似与圆综合 76．（25-26九年级上·山东聊城·期中）在矩形中，，点在对角线上，的半径为，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段的取值范围是 ． 77．（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． 78．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，点，，以A为圆心3为半径作圆，点M是上一动点，以为斜边作，且，则的最小值为 ． 79．（2026·陕西·模拟预测）如图，点是中边上一点，以为直径的与相切于点，连接． (1)判断与是否相似？并说明理由． (2)若的半径为3，，求的长度． 80．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点． (1)如图1，若的半径为，，求的长． (2)如图2，连接，．若，求的度数． (3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 题型十三 相似与函数综合 81．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若的面积恰好被轴平分，则 ． 82．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点M是直线上的一点，过点M作平行于x轴的直线交反比例函数图象于点，若，求的面积． 83．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求的值及线段的长； (2)过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，，求的值及的面积； (3)将直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点（点在点的左侧）．当时，求的值． 84．（2025·广东江门·三模）综合与运用 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图，若点P是第四象限内抛物线上一点，连接，当是直角三角形时，求点P的横坐标； (3)如图，点D是x轴上方抛物线上一动点，作的外接圆，过D作轴，交于点F，求的长． 85．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，若以P，Q，N为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ； (3)如图2，连接BP，交于点E，当时，求点P的坐标； (4)如图2，连接AP，若BP交y轴于点F，令，直接写出k的最大值． 86．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 87．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标． 88．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 89．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，，，点、分别在边和的延长线上，连接、、AC，与边交于点，若，，则线段的长为 ． 90．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是______； 【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长； 【拓展迁移】（3）在矩形中，，，点E、F分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点N和点Q，且，请求出线段的长． 91．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为___________； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．若恰好分别是、的黄金分割点，请直接写出：的值___________． 92．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点B在线段上，且，若点P在x轴的正半轴上，连接，过点P作，点E是射线上一点，过点E作轴，垂足为点C． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，且与相似，请直接写出点E的坐标； (3)如图3，若点C的坐标为，过点A作轴，且与的延长线交于点D，若点C关于直线的对称点正好落在线段上，连接，，求点P的坐标． 93．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B． (1)直接写出A，B的坐标； (2)点P在直线上，点Q在坐标平面内，是否存在以，为对角线的四边形是菱形，若存在，请求出菱形的面积S，若不存在，请说明理由； (3)平面内一动点满足（a为常数），过两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求a的值． 94．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点P、Q分别为线段上的两个动点，点P从点C出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以每秒个单位的速度向点D运动．将沿着折叠，点C落在点E处，点O是与的交点，设运动时间为． 【观察】 （1）若四边形的面积为6，则t的值为______； 【推理】 （2）当点P在上运动时，求的值； 【探究】 （3）连接，设与重叠部分的面积为S，请你求出S与t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 95．（2025·江苏连云港·二模）（1）【教材再现】苏科版九下教材第56页有这样一道例题：如图1，在中，，点分别在上，且，与相似吗？为什么？ 【总结提炼】在完成该例题的解答后，小明从图1中分离出图2，他认为是由过的一顶点的一条直线，从上截得的一个小三角形，该三角形与原三角形相似，关联很紧密，于是，小明把这两个三角形称为“母子相似”．请应用小明的发现，继续解决问题． 【应用内化】（2）如图3，在中，用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得是和的比例中项（不写作法，保留清晰的作图痕迹） （3）如图4，在中，，，，点在内，且，求的最小值； 【拓展应用】（4）如图5，正方形的边长为6，点分别在边上，且，与相交于点，点关于的对称点为点，连接交于点试判断是否存在最小值？存在，直接写出最小值；不存在，请说明理由． 96．（2023·江西·一模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是______； (2)【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则______，在上截取，则______，在上截取，则的值为______； (3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点； (4)【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为______． 97．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知矩形，点为边上一动点． (1)如图1，连结向下方作矩形．连结交于点．过点作于点． ①求证：； ②若，，连结交于点，求出的值（用含，的代数式表示） (2)如图2，连结向上方作矩形，且，与交于，连结交射线于点．当为等腰三角形时，求出的值． 98．（2025·广东深圳·三模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图，连接，，在纸片绕点旋转过程中，的值为______； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形若能，求出线段的长度；若不能，请说明理由． 99．（2025·河北·模拟预测）如图，中，，，，动点P从点A出发，沿折线 以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．D是的中点，以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒．（） (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当点E落在边上时，求t的值． (3)当点P在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为y，求y与t之间的函数关系式． (4)当点E到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出t的值． 100．（2025·陕西渭南·一模）【问题探究】 （1）在中，，过点C作于点D． ①如图1，若，则的值为______； ②如图2，点F在的延长线上，连接并延长至点E，连接，当时，求证：； 【问题解决】 （2）为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3所示），，米，米，为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥，满足．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点E在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 101．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． (1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若直线与x轴交于点，与双曲线交于，两点，且点A关于y轴对称的点D坐标为求证：B，C，D三点的横坐标构成“和谐三组数”； (3)已知三点均在函数（k为常数，）的图象上． ①若M，N，R这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数t的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点M，N，R分别向坐标轴作垂线，交于点P，Q，连接，若与相似，求k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 相似三角形 1． 比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2.比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果 ，那么ad=bc.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 ,那么 如果,那么 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 二．黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： (叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 三．平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式成立. 四．相似三角形的概念 在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C' 我们就说△ABC与△A'B'C'相似，记作 △ABC∽△A'B'C'.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即△ABC∽△A'B'C'，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. (3)相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 五．相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 六．相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 七．相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：△ABC∽△A'B'C'，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，△ABC∽△A'B'C'，则，分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和A'D'，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 八．相似三角形的应用 1.利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 2.利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 （1）比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; （2）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; （3）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; （4）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 九．位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 10． 投影 1.平行投影：在阳光的照射下，树木、路灯、路标都产生了影。通常我们把太阳光看成平行光，在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影； 在同一时刻的太阳光的照射下，不同物体的长度与影长成比例 2.中心投影 通常，路灯、台灯、手电筒......的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 比例的基本性质 1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质，内项之积等于外项之积，计算对照判断解答即可. 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解： A. 根据题意，外项之积    ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立； B. 根据题意，外项之积    ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立； C. 根据题意，外项之积    ，内项之积，故，与一致，本选项成立； D. 根据题意，外项之积    ，内项之积，故，与不一致，本选项不成立； 故选：C. 2．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查比例的性质，根据已知比例关系，将所求分式拆分为两个分式的和，然后代入已知值进行计算． 【详解】因为 ，且已知 ， 所以 故答案为 ． 题型二 黄金分割 3．（2025·安徽亳州·一模）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义结合，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴； 故选A． 4．（25-26九年级上·山西晋城·月考）阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图1，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，k称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程： 设，则，．．．．．． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数的解答过程． (3)拓展应用：如图2，在线段上用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，一元二次方程的求解，勾股定理，尺规作图及线段比例关系的计算与应用． （1）由于线段有两个方向，从线段的两个端点分别去考虑满足黄金分割条件的点，此时一条线段有2个黄金分割点； （2）根据题意线段比例关系及线段的表达式列出方程求解x即可； （3）因为，而是黄金分割数，先作线段，作线段的垂直平分线，交线段于点O，以点B为圆心，过点B以为半径作垂线，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，交于点E，最后以点A为圆心，为半径画弧，交于点C，此时点C即为所求． 【详解】（1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点， 故答案为：2． （2）解：根据，得， 则，， 解得，（舍去）， ∴． （3）解：如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 证明：设的长度为， ∵为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）同学们可能听说过斐波那契数列和黄金分割，现在我们就用所学的二次根式、二次方程和相似形等知识探究以下问题． (1)数列：1，1，2，3，5，8，13，…，记第n项为，那么（其中）． ①试求 ，连续三项、、的关系是 ； ②当n非常大时，前一项与后一项的比值变化非常小，，几乎相等．设这个比值为x，请列出方程，并化成一元二次方程（不必解方程）； (2)在矩形中，，点E、F在边和上，四边形是正方形，已知矩形与矩形相似，设比值为x，求x的值（结果保留根号）； (3)在等腰中，，如果，（x与上面（2）中的一致），那么猜一猜 度，然后完成推算过程．（提示：可以以点C为圆心，长为半径画弧交于点D，连接） 【答案】(1)①55，；②，； (2)； (3)36，见解析． 【分析】本题考查了规律探索，完全平方公式，相似的判定和性质，一元二次方程的应用，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）①1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，即可确定；根据题目中给出的第n项为，计算解答即可； ②根据，等式的两边同时除以，得，继续变形得到如下等式：根据，变形解答即可． （2设，则，，根据矩形与矩形相似，得，整理得，整理成一元二次方程，求根公式法解方程即可． （3）由，不妨设，，根据题意，，以点C为圆心，长为半径画弧交于点D，连接，根据题意，，又，且x与上面（2）中的一致，得到，结合三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：①1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 故； 故答案为：55； 根据题意，得第n项为， ，， 故 ， 故答案为：． ②解：根据前面的解答，得知， 等式的两边同时除以，得， 继续变形得：， 又， 故， 整理，得． （2）解：设， 则， 在矩形中， 得， 又四边形是正方形， 故， 故， 故， 又矩形与矩形相似， 故， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， ∴，（舍去）， 经检验，是分式方程的根， 故的值为． （3）解：由，不妨设，， 又， 故， 以点C为圆心，长为半径画弧交于点D，连接， 根据题意，， 又，且x与上面（2）中的一致， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， 解得， 故答案为：36． 题型三 平行线分线段成比例 6．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 7．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，掌握以上知识点是解题的关键. 根据平行线分线段成比例得出，然后代入数值计算即可． 【详解】解：∵三条直线互相平行， ∴，即， 解得． 故选：C． 8．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 根据已知条件得到，再根据平行线分线段成比例解答． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∵在四边形中，，， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图：中，，是中线，E是的中点，则线段的长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，取的中点G，连接，先证明，得，可证，进而可求出线段的长． 【详解】解：取的中点G，连接，如图所示，则， ∵是中线， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 10．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在平行四边形中，是一条对角线，为线段上一点，且．过点作交于点，连接并延长，交于点，交的延长线于点． （1）若，则的长为 ； （2）若，则四边形的面积为 ． 【答案】 8 12 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到答案； （2）证明，，，进一步根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 即的长为8， 故答案为：8； （2）四边形是平行四边形， ，，， ，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 平行四边形的面积为12． 故答案为：12． 11．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线分线段成比例进行求解即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得出相等的角，再利用等角对等边，最后利用平行线分线段成比例进行证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，利用同高（等高）的三角形面积比等于底的比，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 相似图形的概念 12．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的定义，边数相同，且对应边对应成比例，对应角相等的多边形为相似多边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：①对应角不相等，不符合相似图形的定义，错误；②大小不同的两个正方形，符合相似图形的定义，正确；③对应角相等的两个菱形相似，正确；④对应边的比相等，对应角相等，符合相似图形的定义，正确．故②③④正确． 故选B． 13．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似图形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选：B． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 丙： ∵新正方形与原正方形的四个角都为，且新正方形的边长都是，原正方形的边长都是， ∴新正方形与原正方形对应角相等，对应边的比值都是， ∴新正方形与原正方形相似； 故上述三人的说法正确的个数是2个． 故选：C． 15．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 题型五 相似的判定 16．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）1．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴ A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； B、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：B． 17．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知，则下列图形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 直接利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知C选项符合题意． 故选C． 18．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则下列各式中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 10．（25-26九年级上·上海虹口·月考）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（    ） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理，等腰三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； D、角为钝角，则顶角只能为，此时等腰三角形的形状可以确定， ∴都含有一个的内角的两个三角形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 19．（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 20．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 21．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查待定系数法反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）求出，再结合点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 【详解】（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． ∵点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 题型六 相似的性质 22．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知：，，的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】根据相似三角形的性质，对应角相等，由与是对应角，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 23．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，已知，，则的长为 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边的比相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：6． 24．（25-26九年级上·海南·期中）若与的相似比为2，则与的面积比为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵与的相似比为2， ∴与的面积比为． 故选：C． 25．（25-26九年级上·北京顺义·期中）两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比． 【详解】解：已知两个相似三角形的周长比为，因此相似比为． 面积比等于相似比的平方，即． 对应高的比等于相似比，即． 故答案为：，． 26．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为，利用相似三角形的周长比等于对应边之比的性质，列方程求解即可． 【详解】解：设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应边分别是15和23， ∴对应边之比为， ∴ 周长之比也为， 即 ， 解得：， ∴小三角形周长为75，大三角形周长为． 故选：A 30．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 故答案为：． 27．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故，， 故， 即， ∴． 故选：A． 28．（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，若的面积为27，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 由题意可知，，且相似比为，结合的面积求出和的面积，相减即得答案． 【详解】解：∵矩形平行于， ∴， ∴， ∵被截成三等分， ∴， ∴， ∵的面积为27， ∴， 同理，， ∴阴影部分面积为， 故答案为：9． 29．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键． 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点是的中点则，则，然后利用即可得到答案． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， ，， ， ． 故选A． 题型七 相似判定与性质综合 30．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，过点作，交于点，可得四边形是矩形，即得，由得，设，则，即得到，，得到，再根据即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边上，得到，边交于点O，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，进而得到，即可得证； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵旋转， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵旋转， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26九年级上·上海·月考）如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据，得出，证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）证明为等腰直角三角形，得出，，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ． 33．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）先判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （）由，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （）先求出，，进而得出，，进而求出，最后根据（）的结论，即可求出答案． 【详解】（1）证明：由旋转性质知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由旋转性质知，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：在中， ∴， ， ∵， ∴，， 由（）知，， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 34．（25-26九年级上·广东梅州·月考）综合与探究：如图①，已知四边形 是正方形，点 E，F 分别在边， 上，，，与交于点O． (1)求证：． (2)如图②，若E是边的中点，连接 并延长交 于点H，求 的值． (3)如图③，在（2）的条件下，延长交的延长线于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行证明两个三角形相似是解题的关键． （1）利用“HL”证明，根据全等三角形的性质证得； （2）设，先把用表示出来，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据求得，，在中，根据勾股定理求得，最后求得的值． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， ， ； （2）解：， ， 在中，，设， ， ， ，， 在中，， ，即， ， ； （3）解：由（2）知，， ，, ， ， ，， 在中，， ，即, 解得，(舍去）， ． 35．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 36．（25-26九年级上·河南开封·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1），， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2），， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． 37．（2025·江苏淮安·二模）在菱形中，，，点E在边上，将沿折叠到上． 尝试： （1）如图1，过点D的直线，交于点Q，交的延长线于点P，．显然，是______三角形（按边分类），若．则______； 探究： （2）在（1）的条件下，当时，求和的长； 操作： （3）把沿折叠到的过程中，当点F落在上时，用无刻度的直尺和圆规在图2中画出折痕，并在上作一点K，使得直线平分四边形的周长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） 拓展： （4）如图3，若，点G在的延长线上，，的延长线交于点H．求的长． 【答案】（1）等边，；（2），；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据折叠得出，进而得出是等边三角形，根据，得出结果； （2）作于W，设，可证得，从而，从而得出，可表示出，，，，，根据列出方程，从而得出a的值，进一步得出结果； （3）作的垂直平分线交于E，则就是求作的折痕，在上截取，作的中点，连接，则平分四边形的周长； （4）作，交的延长线于W，作于V，可得出，设，，在中，由勾股定理得列出关于m的方程，求得m的值，从而求得，，从而得出，作于R，从而得出，设，，从而得出，根据得，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】解：（1）∵沿折叠到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：等边；； （2）如图1， 作于W， 设， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴，； （3）如图， ∵沿折叠到， ∴，， ∵点F在上， ∴， 连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点F在点C处， 作的垂直平分线交于E，则就是求作的折痕， 在上截取，作的中点，连接，则平分四边形的周长，理由如下： ∵， ∴， 又， ∴平分四边形的周长； （4）如图3， 作，交的延长线于W，作于V， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴， 作于R， ∴， 设，， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 38．（24-25九年级下·安徽·月考）在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得，即可求证； （2）过点作的垂线，交延长线于点，可求得，进而求得，根据解直角三角形得出的长； （3）过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出，设，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得，根据解直角三角形可求得，再根据勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， ． （2）解：如图过点作的垂线，交延长线于点， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形，即， 又， ∴， ， ∴设，则， 又，即, ∴， ， ， ∴， ， ， ∴，即， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键． 39．（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【分析】（1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值， 此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】解：（1）选①证明：，， ， ， ， ， ； 选②证明：，， ， ， ， ， ； 选③证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下： 是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于， 过作交于，过作交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． 40．（2025·福建泉州·二模）如图，在矩形中，，动点P在边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在边上从点B向C运动．把沿着直线翻折，点B的对应点为点G，直线与边相交于点E． (1)如图1，若点P为的中点，连接，求证：． (2)如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，当t为何值时，点G恰好在直线上？ (3)如图3，连结，交于点F，若且，求点Q的运动速度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点Q的运动速度是每秒3个单位长度 【分析】本题考查矩形中的动点问题，涉及三角形全等的证明、利用勾股定理和方程求解动点位置以及相似三角形判定和应用．解题的关键是根据动点的运动速度和时间表示出相关线段长度，再结合图形的性质列方程求解． （1）利用矩形性质和折叠性质找出全等三角形的对应边和对应角，依据全等判定定理证明； （2）过点作于点，证明， 得到，设，建立方程求解； （3）连接，通过平行线性质、折叠性质得到角的关系，证明，从而得到，设，建立方程求解， 再设，在 中，，建立方程求解，从而求出点Q的运动速度． 【详解】（1）∵点为的中点， ， 在矩形中，， ， ∵沿着直线翻折，点的对应点为点， ， ， 在和中， ， ∴； （2）过点作于点，如图， 则， ， ， ， ， ∵点的运动速度是运动速度的3倍， ， ， ， ， ， ，解得：， 当，点G恰好在直线上； （3）连接， ， ， 由翻折可知：， ， ， ， ，又， 四边形为菱形， ， 在中， ， ， ， ，又， ， ， ， 解得， 设，则， 在 中，， ， 解得， ， 点的运动速度是每秒 3 个单位长度． 题型八 相似的动点问题 41．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 42．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在钝角三角形中，，，点D从点A出发沿以的速度向点B移动，点E从点C出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过多少秒时，以A、D、E为顶点与相似． 【答案】经过或时，以A、D、E为顶点与相似 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列式求解是关键． 根据题意，分类讨论：当时，；当时，；由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，点D从点A出发到点的时间为，点E从点C出发到点的时间为， 设运动时间为， ∴， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，经过或时，以A、D、E为顶点与相似． 43．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 44．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过 秒后，的面积等于面积的；经过 秒与相似． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是审明题意找到相等关系； 设运动时间为秒①根据面积的关系列出方程即可；②分类讨论相似的两种情况列比例关系，解方程即可． 【详解】解：设运动时间是秒， ①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：（舍）， ②当时， ， ∴解得：； 当时， ， ∴解得：； 故答案为： ；或． 45．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知，，，，．是上一点，且，连接、，所得两个三角形相似，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及的知识点是“直角三角形相似的判定（两边对应成比例且夹角相等）”“相似三角形的对应边成比例”．解题方法是根据直角三角形的角相等（），分两种相似情况（），结合对应边成比例列方程求解，再根据确定最终结果．解题关键是考虑相似的两种对应情况，避免漏解；易错点是忽略相似的对应顺序，导致方程列错或结果不符合的条件．解题思路为：设，则，分两种相似情况列比例方程，求解后结合筛选出符合条件的长度． 【详解】如图所示： ∵，是上一点，且， ∴． 设，则，由，，得，分两种情况讨论： 情况1： 此时对应边成比例：，代入得： 整理得：，解得（舍）． 情况2： 此时对应边成比例：，代入得： 整理得：，解得（舍）． 综上所述，，即． 故答案为． 46．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线、于点E、F，连接．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点P、Q重合除外）． (1)①t秒后，为______个单位长度； ②求点P运动的速度是多少？ (2)当t为何值时，矩形为正方形？ (3)当t为何值时，矩形的面积为5． 【答案】(1)①t；②点P运动的速度是每秒2个单位长度； (2)t为2或4； (3)或或． 【分析】本题考查一次函数的综合，相似三角形的判定及性质，一元二次方程的应用.能根据题意表示相关线段的长度是解决此题的关键． （1）①当秒时，，根据四边形为矩形，点在直线上，即可求解； ②根据直线与坐标轴分别交于点，得出点的坐标，再利用，得出，可知，据此可以求得点P的运动速度． （2）当时，以及当时，矩形为正方形，分别求出即可． （3）根据题意求列出方程即可． 【详解】（1）解：①当秒时，， ∵四边形为矩形，点在直线上， ∴，即， 故答案为：； ②直线与坐标轴分别交于点， 时，，时，， ∵四边形为矩形， ∴， ， ， ∴， ， ， 动点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点做匀速运动， 点运动的速度是每秒2个单位长度； （2）如图1，当时，矩形为正方形， 则，， ， ， 解得：； 如图2，当时，矩形为正方形， ，， ， ， ，解得：； 当或4时，矩形为正方形． （3）如图1，当在点的左边时， ，， ， ， 依题意有 解得，； 如图2，当在点的右边时， ，， ， ， ， ， 当点、其中一点停止运动时，另一点也停止运动， ， 依题意有， 解得（不合题意舍去），； 综上所述，当或或时，矩形的面积为5． 47．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点P从点A出发，沿对角线向点C以每秒的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段向点A以每秒的速度移动．P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点P移动时间为t秒，回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于? (3)以点Q为圆心，的长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或． 【分析】本题综合考查矩形性质、相似三角形判定、面积计算及圆与直线的位置关系，解题的关键在于利用几何性质建立方程或不等式，结合分类讨论思想分析不同情境下的数量关系． （1）根据相似三角形对应边成比例构建关于的方程求解即可； （2）根据构建关于的方程求解即可； （3）根据⊙Q与对角线的位置关系进行分类讨论，以此确定的范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴， 解得：； （2）如图，连接， ∵， ∴根据矩形的性质可得：， ∵， ∴， ，则， 解得：或； （3）如图，，为垂足； 当时，⊙Q与相切，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有四个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q经过点O，⊙Q与矩形的对角线有二个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 故存在⊙Q与矩形的对角线有三个公共点， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 作，为垂足； 同理可得，， ∵点Q的运动速度为每秒1 ， 当时，⊙Q与相切，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； ∴或或． 48．（25-26九年级上·海南海口·期中）如图所示，在中，，，为中点，动点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度；同时，点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点作，交于，连接，设点运动的时间为 (1)当时，求的长； (2)是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． (3)如图2，作交于点，． ①设面积为，求关于的函数关系式； ②是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)①；②存在，或6 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积公式以及一元二次方程的求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据动点运动得到的长度，由判定，再利用相似三角形的性质求出的长． （2）先由相似三角形性质得出关于的表达式，再根据列出方程求解． （3）①过点作，判定，求出的表达式，结合的表达式，根据三角形面积公式得出关于的函数关系式；②先求出，再根据面积比列出方程求解． 【详解】（1）解：依题意得：，． ∵， ∴， 当时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． （2）解：存在． 由（1）得：，即， ∴． ∵， ∴， 解得． （3）解：①过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， 即：． ②存在或． ，， ∴，即：， ∴， 解得或． 49．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图（），在四边形中，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． (1)______；______；______（用含的代数式表示）． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)如图（），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)或时，为直角三角形． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形、矩形、平行四边形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，则，证明四边形是正方形，故有，由，则，通过勾股定理得，又，由题意得，从而求解； （）分为当时，②当时两种情况求解即可； （）分为当时，当时两种情况，再通过相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， 故答案为：，，； （2）解：当时，得， 解得； ∴当时，以点为顶点的三角形与相似， ②当时，得， 解得， 当时，以点为顶点的三角形与相似， 综上或； （3）解：当时，即为直角三角形， 如图，过作于， ∴， ∵当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于，于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴当时，，即为直角三角形； 当时，即为直角三角形，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 50．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，D为的中点，动点P在边上不与点A、B、D重合，过点P作的垂线交折线于点Q．以为邻边构造矩形． (1)的长为______； (2)当点Q落在上时，证明； (3)点P在运动的过程中，求线段长度的取值范围； (4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，即可求解； （2）根据，即可得证； （3）根据题意，连接，则，得出；当时，最小，解直角三角形求出即可得出范围； （4）根据题意，分三种情况讨论，①当经过的中点时，②当重合时，③当经过的中点时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：． （2）证明：∵， ， ， ， ， ． （3）解：如图，连接， 则， 当共线时，点M与点D重合， 此时， 故； 当时，最小， 此时，如图，点Q与点C重合，则； 综上，． （4）解：①当经过的中点时，符合题意，如图 ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ∵， ∴是等边三角形， ， ， ； ②当重合时，符合题意，如图， ； ③当经过的中点时，符合题意，如图 ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 综上所述，所有符合条件的的长为． 【点睛】本题考查了动点问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，矩形的性质，作垂线，熟练掌握以上知识是解题的关键． 51．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图-1，在中，，，． (1)求边的长； (2)动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接．当，中有一个点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为（秒）． ①当时，求的值； ②如图，点在边上运动，当与相似时，求的长； ③如图，点在边上运动，过点作于点，连接，．当时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①；②或；③ 【分析】（1）根据，，．进行列式代数计算，即可作答． （2）①先整理得，，当点在边上运动时，，因为，则，再把数值代入进行计算，即可作答． ②理解题意，分类讨论，再逐个情况作图，结合图中的性质以及相似三角形的性质，代入数值计算，即可作答． ③先证明，把数值代入，得，，则，然后证明，把数值代入进行计算，得，解得（舍），，此时的长为，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，． ∴在中，； （2）解：①由（1）得， 在中，可得， ∵动点从点出发沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．同时动点从点出发、沿向点以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为（秒）． ∴，， 当点在边上运动时，， ∵， ∴， 即， 解得； ②点在边上运动， 当与相似时， 分以下两种情况： 情况1：如图1， 当时， 则， 即， 解得， ； 情况2：如图2，当时， 则， 此时， 即， 解得， ； 综上，的长为或； ③， ， ， ， 即， .， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 则， 整理得， 解得，， ∵当时，则，此时点与点重合，不存在，故舍去． 此时的长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 52．（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒 (1)当t为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，的面积最大？求面积最大时点的坐标． 【答案】(1)当或时，以，，为顶点的三角形与相似 (2)当时，的面积最大，面积最大时点的坐标为 【分析】（1）由，，，求得，由，，得，再分两种情况讨论，一是，则，所以，求得；二是，则，所以，求得，可知当或时，以，，为顶点的三角形与相似． （2）作于点，则，则，得，则，所以当时，，求，求得，可知当时，的面积最大，面积最大时点的坐标为． 【详解】（1）解：、， ，， ， ， 由题意得，， ， 如图1，，则， ， ， ， 解得； 如图2，， ， ， ， ， 解得， 综上所述，当或时，以，，为顶点的三角形与相似． （2）如图3，作于点D， ，， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 当时，的面积最大，面积最大时点的坐标为． 【点睛】此题考查了坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 53．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 【答案】(1)经过秒或秒时，△与△相似 (2)经过秒或秒时，△的面积等于12厘米 【分析】此题是相似形的综合题，考查了三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先设经过秒，△与△相似，则，，，分两种情况，若△△和△△，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案； （2）设经过秒，分、或时，三种情况讨论，根据三角形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 设经过秒，△与△相似，则，，， ①若△△，则， 即， ， ②若△△，则， 即， 解得：， 经过秒或秒时，△与△相似； （2）解：，， ， 设时间为秒， 当时，点移动到上，点移动到上， 此时，，， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，点移动到上，点移动到上，过作，垂足为， 此时， ，，， ，， ， △△， ，即，即：， 由题意得， 整理得， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，点移动到上，且有，点移动到上，且， 过作，垂足为， ，， ， △△， ， 即，即：， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 综上所述，经过秒或秒时，△的面积等于12厘米． 54．（24-25九年级上·山西晋城·期中）综合与探究 如图，在中，，，，点是边上一点，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)的长为__________cm． (2)如图1，当为何值时，？ (3)如图2，连接，，当为何值时，？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）由推出，进而解题； （3）过点作于点，证明∽，进而解题． 【详解】（1）解：由勾股定理知，； 故答案为：5； （2）解：由题意知，， ， ， ，即，解得， ； （3）解：如图，过点作于点，则， 由题意，得，则， 根据（2）可知， ，， ， ． ， ． ， 又， ∽， ，即，解得． 题型九 相似三角形的应用 55．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 【答案】50米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行投影，熟练掌握是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，，得到，代入数据即可得到结论． 【详解】由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得． ∴塔的高度为50米． 56．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 【答案】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 57．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）数学来源于生活，服务于生活．同学们利用相似三角形相关知识测距： 【活动1】 （1）如图1，在反射现象中，反射角等于入射角．如图2所示，琪琪将镜子放在地面上，后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端，测得脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜面中心距离旗杆底部的距离为，已知琪琪的身高是，眼睛位置距离琪琪头顶的距离是，则图中相似三角形为___________，旗杆的高度是___________m． 【活动2】 （2）如图3，小明和小亮去游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.7米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.8米．求城楼的高度． 【答案】（1），9.6；（2）5.9米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． （1）根据题意可证，再由相似的性质求解即可； （2）过点作于点，交于点，进而可证，再由相似的性质求线段长即可． 【详解】．解：（1）∵， ， ， ∴， ∴即， ∴， 故答案为：，9.6； （2）过点作于点，交于点， 由题意得， ； ， 由题意易知四边形和四边形都是矩形， ， 由题意得， 则， ， ， ， （米）， 答：城楼的高度为5.9米． 58．（25-26九年级上·湖南常德·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解． 59．（25-26九年级上·陕西西安·期中）关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和钟楼内的古钟共同构成．为了测出小雁塔的高度，九年级学生小爱设计出了下面的测量方法：已知塔前有一棵4米高的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面境中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求塔高．（结果精确到） 【答案】塔高约为米． 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意得到，利用相似三角形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：（米）， ， ， ， ， ， 米， （米）， ， 解得：（米）， 答：塔高约为米． 题型十 投影与位似 60．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据位似的性质可得，四边形与四边形的位似比为，再结合即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍， ∴四边形与四边形的位似比为， 又∵， ∴点的坐标为或，即或． 故选：B． 61．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，矩形中，，，已知矩形与矩形位似，位似中心为，矩形的面积等于，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：如图 矩形与矩形关于点位似， 矩形矩形， 矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形的相似比为， 矩形中，，，则点的坐标为， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 62．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据矩形的性质求出矩形的面积，根据位似图形的定义、相似多边形的性质总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， 矩形的面积为：， 在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， 矩形的面积为：， 以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形， 矩形的面积为：， 同理得：矩形的面积为， 故答案为：． 63．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为 m． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 即该同学的身高为． 故答案为：． 64．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，过轴于点，交于点，由两端的坐标分别为，，所以轴，，则有，，然后证明，则有，再代入求值即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过轴于点，交于点， ∵两端的坐标分别为，， ∴轴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 65．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题． 证明，，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，    ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故选：A 66．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用．过点D作的延长线于点F，设，则，利用勾股定理列式计算求得，再证明，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过点D作的延长线于点F． ∵坡度为，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：C． 67．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 68．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得此外，测得窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）如图，靠窗放置一张长方形桌子，，点在光线上，求的长； （2）求，的长． 【答案】（1）（2）的长为，的长为 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先证明，根据相似三角形的性质得①，再证明，根据相似三角形的性质得到②，则解①②组成的方程组得，，接着证明，根据相似三角形的性质得到，利用比例的性质得到，然后证明，根据相似三角形的性质得，从而可求出的长； （2）由（1）得的长为，的长为． 【详解】解：（1）， ， ， 即①， ， ， ， 即②， 解由①②组成的方程组： ， 解得， 经检验是原方程组的解； ， ， ， ， ， ， 即， 解得， 答：的长为； （2）由（1）得的长为，的长为． 69．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，的影长为26米，小明的影长为3米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【答案】旗杆的高为米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，则有，求得（米），同理，则，所以（米），然后通过线段和差即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（米）， 同理，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴旗杆的高为米． 70．（25-26九年级上·四川内江·期中）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立米长的标杆测得其影长为米，旗杆落在地面部分的影长米，另一部分影长落在某一建筑的墙上处，米，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用；作于点．根据同一时刻物高与影长成正比，列出比例式，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，作于点． 根据题意得：， ∴， 解得：米． 则 答：学校旗杆的高度为米． 71．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 72．（25-26九年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为20米，斜坡长为米． 素材2 如图②，在素材1中的斜坡上和点处分别有指示路牌和，且，，，当太阳光线与指示路牌顶端P，所在直线平行时，的影子部分落在地面上，其中为影子． 素材3 为响应号召节约成本，指示路牌的高度按需调整为． 如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为米，长为米． 如图④，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合．小李驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小李的眼睛到斜坡的距离为米． 问题解决 任务一 如图①，______． 任务二 如图②，求影子AT的长度． 任务三 如图④，当小李正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F在同一条直线上）时，试求小李距大巴车尾的距离． 【答案】任务一： 任务二：影子的长度为米． 任务三：小李距大巴车尾的距离为米 【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质， 任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度； 任务二：延长和交于点，容易证明，进而可得，结合已知数据求解即可； 任务三：延长和交于点，则；作延长线于点O，作与点I，交于点R，则四边形为矩形，四边形为矩形，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，，根据性质求出结论即可． 【详解】解：任务一：∵，米，米， ∴（米） ∴ 任务二：如图②，延长和交于点，由题意得：，∴． ∵，∴， 又∵，∴， ∴，即， 解得， 答：影子的长度为米． 任务三：如图④，如图，延长和交于点，则；作延长线于点O，作与点I，交于点R，则四边形为矩形，四边形为矩形． ∴，，米． ∵，，∴， ∴，即． 解得米，米． 则米，米，（米）， 又∵，， ∴，∴，即， 解得，即． 答：小李距大巴车尾的距离为米． 题型十一 作图题 73．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点的坐标___________ (2)若点为内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是___________； (3)请仅用无刻度的直尺在线段上确定一点，使，请画出点．（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见详解， (2) (3)见详解 【分析】本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质、位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图，即可得出答案． （2）结合位似的性质可得答案． （3）取格点，使，且，连接交于点，此时则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． （2）解：由题意知，与关于原点对称，且相似比为， 故对应点的坐标为． （3）解：如图，取格点，使，且，连接交于点， 此时， 故，点即为所求． 74．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，在直线上找到一点，作，使得； (2)在图②中，在直线上找到一点，作，使得与图①相似； (3)在图③中，在直线上找到一点，作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值； （1）根据轴对称的性质画出使得，即可画出 （2）根据两边成比例，夹角相等，得出，进而画出， （3）根据可得，结合网格作等腰，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解：如图，即为所求 ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，即为所求 ∵，， ∴， ∴． 75．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形． (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； (2)以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2)图见解析； (3)图见解析，点P的坐标为． 【分析】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键． （1）直接利用已知点位置得出点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点即为位似中心，并得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求，则； （3）解：如图，分别连接，，交于点，则点即为与的位似中心P， 由网格可知，点P的坐标为． 题型十二 相似与圆综合 76．（25-26九年级上·山东聊城·期中）在矩形中，，点在对角线上，的半径为，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出矩形对角线的长度，再分别确定与矩形各边相切时的临界值，从而得到与各边无公共点时的范围． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 当与、相切时（靠近点的临界）， 过点作于，于，    ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 当与相切时，，则，得； 当与相切时，，由，得； ∴靠近点时，需（取较大的临界值）． 当与、相切时（靠近点的临界）， 设，过作于，于，    同理，， ∴，， 当与相切时，，则，得； 当与相切时，，由，得； ∴靠近点时，需（取较大的临界值）． ∴，即． 综上，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系，熟练掌握相似三角形的性质确定圆与矩形边相切时的临界位置是解题的关键． 77．（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． 【答案】，，，， 【分析】本题考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质及勾股定理，先求出三角形内切圆半径及长，再分情况讨论，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】如图，连接、、， 中，， ， 设，则，，， ， 解得， 当次前进后，点前进的距离是，点前进的距离是， ①当时， ， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，；时，； ②当时， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，； 综上，可得所有满足条件的为、、、16、32． 故答案为：、、、16、32． 78．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，点，，以A为圆心3为半径作圆，点M是上一动点，以为斜边作，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，位似，相似三角形的判定与性质以及点与圆的位置关系，勾股定理，两点的距离．解题的关键在于理解点的轨迹是一个圆，它与关于点位似．先判断点的轨迹是一个圆，它与关于点位似，当圆心在上时，求出点的运动轨迹所在的圆心的坐标及的半径，当点在线段上时，取得最小值，按此分析求解即可． 【详解】解：依题意可知，点的运动轨迹是一个圆，设点的运动轨迹为，且是以点为位似中心的位似图形， 当过圆心时，过圆心，， ， ， 过的顶点构造矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 令点， ， ， ， 解得，, 点的坐标为， ，， ， 在中，， ， ， ， ，即轨迹的半径为． 当点在上时，取得最小值，如图， ， ． 故答案为：． 79．（2026·陕西·模拟预测）如图，点是中边上一点，以为直径的与相切于点，连接． (1)判断与是否相似？并说明理由． (2)若的半径为3，，求的长度． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)4 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质，等角的余角相等和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理，相似三角形的性质定理得到，设，则，，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：与相似，理由： 连接，如图， 为的切线， ， ． 为直径， ， ， ， ， ． ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ． ， ． 的半径为3， ． 设，则，， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 80．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点． (1)如图1，若的半径为，，求的长． (2)如图2，连接，．若，求的度数． (3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，进而得到为等边三角形，利用等式的性质即可得出结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，利用平行四边形的判定与性质得到，设，则，利用等腰三角形的性质和矩形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得到，化简，令的系数为0，即可得出结论． 【详解】（1）连接，，如图， ，， ， 的半径为， ， 在中， ． （2）在上截取，连接，如图， 和所对的弧都是， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 即． （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，如图， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 对于的任意长度，都有的值是一个定值， 的值与无关， ， （不合题意，舍去）或， 对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为． 【点睛】本题主要考查圆的有关性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形、相似三角形来求解线段长度、角度以及参数值． 题型十三 相似与函数综合 81．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若的面积恰好被轴平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，掌握反比例函数系数的几何意义，三角函数以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据反比例函数系数的几何意义，三角函数以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为，， 点在反比例函数的图象上， ， 则， 的面积恰好被轴平分， ， 以为底的与以为底的的高相等， 即， 又，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 82．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点M是直线上的一点，过点M作平行于x轴的直线交反比例函数图象于点，若，求的面积． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2) (3)4 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出m的值，利用待定系数法即可求解； （2）根据图象，直接得出解集即可； （3）过点作轴于点，过点M作轴于点，分点M在线段上，点M在线段的延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点 ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数经过 ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）由图，可知， 当时，． （3）过点作轴于点，过点M作轴于点， ∴， ∴， 令，解得：， ∴， ∵， ∴，， ①点M在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点Q的横坐标为， ∴点M的横坐标为， 当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴． ②点在线段的延长线上，如图，有 ， ∵， ∴， 不符合题意，舍去． 综上所述，． 83．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求的值及线段的长； (2)过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，，求的值及的面积； (3)将直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点（点在点的左侧）．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)；的面积为 (3) 【分析】（1）将代入直线中，可得的值，再由勾股定理求长； （2）如图1所示，由两点在双曲线上，故设．可得直线的表达式为，又在直线上，故，从而，所以双曲线的表达式为，再根据的面积求解即可； （3）先求出直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，先根据折叠画出双曲线图象沿着直线翻折后得到的图形，再根据相似三角形的性质，得出，得出，设，则，求出，得出点的坐标，再求出折叠前的坐标，代入得出即可答案． 【详解】（1）解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为， 令，则，即， 所以， 故． （2）解：如图所示， 由题意可得：，， 故的横坐标为，D的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上， 故设， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上， 故， 解得：， 所以双曲线的表达式为， 的面积 ． （3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线， 把代入得：， 解得：， ∴， 的图象沿着直线翻折后，如图所示， 是公共角， ∵时， ∴， ， ， 点M在直线上， ∴设，则， 解得：， ， 点关于直线的对称点为，即， 根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为， 将代入可得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内容是解题关键． 84．（2025·广东江门·三模）综合与运用 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图，若点P是第四象限内抛物线上一点，连接，当是直角三角形时，求点P的横坐标； (3)如图，点D是x轴上方抛物线上一动点，作的外接圆，过D作轴，交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2)点P的横坐标为1或 (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，相似三角形判定与性质及圆内接四边形性质， （1）根据二次函数性质分别求出坐标即可； （2）分三种情况：当时或当时，分别根据相似三角形判定与性质求出，当时，此种情况不合题意； （3）连接，结合圆内接四边形性质得出，设，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】（1）解：二次函数，当时，， 解得：， ， 当时，， ； （2）解：设， 当时，如下图，过点P作轴于点Q， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， 点P的横坐标是1； 当时，如下图，过点P作轴于点Q，过点B作轴交延长线于点M， 同理可证：， ，即， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， 点P的横坐标是； 当时，点P不在第四象限，舍去； 综上所述，点P的横坐标为1或； （3）连接， 由题意得：四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， 设， ， ． 85．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，若以P，Q，N为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ； (3)如图2，连接BP，交于点E，当时，求点P的坐标； (4)如图2，连接AP，若BP交y轴于点F，令，直接写出k的最大值． 【答案】(1) (2) (3)或； (4) 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）过点P、点B分别作轴的垂线，交AC于H、Q，得，再由相似三角形的性质得出方程求解即可； （4）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即， ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点； （3）解：如图，过点P、点B分别作轴的垂线，交AC于H、Q， 则， ∴， 设点，，则， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∴或； （4）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 86．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【分析】（1）由矩形的性质可知点是中点，由中点坐标公式可得，由双曲线过点E可得，由此即可求出该双曲线的解析式； （2）由点、在双曲线的图象上可得，由矩形的性质可得，，进而可得，由比例的性质可得，再结合，于是结论得证； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， 点是中点， 又，， ， 双曲线过点E， ， ， 该双曲线的解析式为， 故答案为：，； （2）点，在双曲线的图象上， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ； （3）分三种情况讨论： ①当时， 四边形是矩形， ， ， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ②当时， 此时点与点重合， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ③当时， 设， 将矩形向右平移个单位长度， ，， ， ， 解得：， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：， ， 与题意不符，故舍去； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标，求反比例函数解析式，比例的性质，相似三角形的判定，已知两点坐标求两点距离，坐标与图形变化—平移，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 87．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可； （）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解； 本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； （3）解：设点的坐标为，则， ∵， ∴与相似，需满足或， 当时，， 解得或； 当时，， 解得或； 综上，点的坐标为或或或． 88．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 【答案】(1)①③ (2)线段的长度是定值 (3) 【分析】（1）由二次项系数判定①，令计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③； （2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值； （3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解． 【详解】（1）由得顶点坐标为，二次项系数为1， ∴开口向上，故①正确，符合题意； 当时，， ∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意； 将顶点坐标代入直线，得，故③正确，符合题意； 故答案为：①③； （2）由，得：， 设，则， ， ， ∴线段的长度是定值． （3）∵， ∴， ， 对直线，当时，， ， 设，则， 解得：或， 或 将代入，得， 解得：或， 当时，， 令时，或， ∴， 由，得：或， ∴，符合条件； ∴， ∴， ∴与不相似，舍去： 当时，， 令时，，无解； 将代入，得， 解得：或， 当时，不符合条件，舍去； 当时，， 由，得：或， ∴， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，时，与相似， 则抛物线的表达式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题． 89．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，，，点、分别在边和的延长线上，连接、、AC，与边交于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】作于点N，作交于点M，由菱形的性质得，，，，，证明，利用相似三角形的性质求出，，．证明，利用相似三角形的性质求出，进而求出，，证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出线段的长． 【详解】如图，作于点N，作交于点M， ∵在菱形中，，， ∴，，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，难度较大，属中考压轴题． 90．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是______； 【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长； 【拓展迁移】（3）在矩形中，，，点E、F分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点N和点Q，且，请求出线段的长． 【答案】（1） ；（2）；（3）或 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再由矩形性质和垂直定义可得，可证得，即可求得答案； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为M，N，证明，解直角三角形，求出，得到，进而得到，设，则 ，解直角三角形即可求解； （3）根据四边形是矩形，翻折的性质可得，分类讨论：第一种情况，过点N作于点R，得到四边形是矩形，求出，可证，得到，由可解；第二种情况，设与交于点S，可证，得到，，再证，得到，由可解． 【详解】解：（1）如图1， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）在中，，，，D为边上一点，，交于点E，过点A，D作的垂线，垂足分别为M，N，如图2， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）四边形是矩形， ，， 四边形翻折，得到四边形， ，，，， 第一种情况，如图，过点N作于点R， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ，且， ， ， 即， ， ，， ； 第二种情况，如图，设与交于点S， 同理，，， ， ，， ， ， 即， ，， ，， ，， ， ， 即， ， ， ； 综上所述，的长为或 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 91．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为___________； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．若恰好分别是、的黄金分割点，请直接写出：的值___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据黄金分割点的定义进行求解即可； （2）延长、交于点，由折叠的性质可得、，根据平行线的性质可得，进而证得，根据勾股定理求得的长，再证得，根据相似三角形的性质证得，从而得到点是的黄金分割点； （3）先证得，由全等三角形的性质得到，进而得到，再证得，得到，根据，得到，当时，证得恰好分别是、的黄金分割点，从而得到的值． 【详解】（1）解：根据题意可得点为线段的黄金分割点，， 则， 故答案为：； （2）解：延长、交于点，如图： 四边形是正方形， 、、， ， 由折叠的性质得：、， ， ， ， ， 、， ， 点是的黄金分割点； （3）解：设与交于点，如图： 四边形是正方形， 、、， ， ， 、， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 、分别是、的黄金分割点， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、“黄金分割点”的定义，熟练掌握相关性质和正确理解“黄金分割点”的定义，数形结合思想的运用是解题的关键． 92．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点B在线段上，且，若点P在x轴的正半轴上，连接，过点P作，点E是射线上一点，过点E作轴，垂足为点C． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，且与相似，请直接写出点E的坐标； (3)如图3，若点C的坐标为，过点A作轴，且与的延长线交于点D，若点C关于直线的对称点正好落在线段上，连接，，求点P的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2)点E坐标为或 (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等可证，且即可证明； （2）首先可知，，分点E在点P上方或点E在点P下方两种情况，然后再分或，分别进行计算即可； （3）设，则，由，得，再证，在中，表示出三边的长度，利用勾股定理列方程即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，以点E，P，C为顶点的三角形和相似， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，以点E，P，C为顶点的三角形与相似， 同理可得， 综上所述，满足条件的点E坐标为：或． （3）解：如图，过点作于G，延长交的延长线于F， 四边形、、是矩形， ∵点C坐标为， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，挖掘题目中隐含的信息，运用分类讨论的思想对点E的位置进行分类是解题的关键． 93．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B． (1)直接写出A，B的坐标； (2)点P在直线上，点Q在坐标平面内，是否存在以，为对角线的四边形是菱形，若存在，请求出菱形的面积S，若不存在，请说明理由； (3)平面内一动点满足（a为常数），过两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求a的值． 【答案】(1)， (2)存在，30 (3)3或 【分析】（1）由得，在中，令得，故； （2）设，，由为对角线，则的中点重合，且，有，解方程组可求出点P的坐标，然后根据割补法求出的面积，最后根据菱形的性质求解即可； （3）如图，设点，则，，由，可得，即，求出，直线的表达式为，把代入得：，即，根据有且只有一点C，使得与相似，知，即可解得a的值． 【详解】（1）解：由得， ∴， 在中，令得， ∴； （2）解：平面内存在一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形， 理由如下： 设，， ∵为对角线， ∴的中点重合，且， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴菱形的面积； （3）解：如图，设点，则，， ∵与相似， ∴E只能在点B左侧， ∴， 若，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为，将点A，点D的坐标代入得： 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得：， ∴， ∵有且只有一点C，使得与相似， ∴方程有且只有一个实数根， ∴， 解得或； 故满足条件的a值为3或． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、两点间距离公式、相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 94．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点P、Q分别为线段上的两个动点，点P从点C出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以每秒个单位的速度向点D运动．将沿着折叠，点C落在点E处，点O是与的交点，设运动时间为． 【观察】 （1）若四边形的面积为6，则t的值为______； 【推理】 （2）当点P在上运动时，求的值； 【探究】 （3）连接，设与重叠部分的面积为S，请你求出S与t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）由题易得，，的面积为3，据此建立方程求解即可； （2）易证点C、P、E、Q四点共圆，可得，从而可得，即可得解； （3）分两种情况：当点E在内部时，则重叠部分为的面积，当点E在外部时，重叠部分为梯形的面积，据此求解即可． 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：（1）由题可知，， 四边形的面积为6， 的面积为3， ， 解得， 故答案为：； （2）由题可知， ， 点C、P、E、Q四点共圆， ， ， ∽， ； （3）当点E落在上时，此时， 当时，在内部， 此时； 当时，如图，设分别与交于点M、N、H， ， ∴， 此时重叠部分为梯形的面积， 由等面积可知， ， ，， ， ， ， ， ； 综上， 95．（2025·江苏连云港·二模）（1）【教材再现】苏科版九下教材第56页有这样一道例题：如图1，在中，，点分别在上，且，与相似吗？为什么？ 【总结提炼】在完成该例题的解答后，小明从图1中分离出图2，他认为是由过的一顶点的一条直线，从上截得的一个小三角形，该三角形与原三角形相似，关联很紧密，于是，小明把这两个三角形称为“母子相似”．请应用小明的发现，继续解决问题． 【应用内化】（2）如图3，在中，用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得是和的比例中项（不写作法，保留清晰的作图痕迹） （3）如图4，在中，，，，点在内，且，求的最小值； 【拓展应用】（4）如图5，正方形的边长为6，点分别在边上，且，与相交于点，点关于的对称点为点，连接交于点试判断是否存在最小值？存在，直接写出最小值；不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明过程详见详解（2）作图详见详解（3）（4）存在， 【分析】（1）可证得，根据得出，进而得出，进一步得出结论； （2）作，交于； （3）作等边三角形，作其外接圆，延长，交于，连接，可证得，从而，从而得出当时直径时，最大，最小，即最小，进一步得出结果； （4）可证得，从而点在以为直径的上，连接，延长，交的延长线于，可推出，从而根据（1）知，从而，从而当最大时，最小，此时最小，当与相切时，最大，最小，进一步得出结果． 【详解】（1）理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）如图1， 作，交于， ∵是公共角， ∴是和的比例中项； （3）如图2， 作等边三角形，作其外接圆，延长，交于，连接， ∵ 点在上， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 又∵为公共角 ∴ ∴ ∵当为直径时，最大，最小，即最小， ∵直径 ∴ （4）如图3， 四边形是正方形， ∵，∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点在以为直径的上， 连接，延长，交的延长线于， ∵ ∴ ∵点关于的对称点为点， ∴ 即 ∴ 由（1）知， ∴ ∴当最大时，最小，此时最小， ∴当与相切时，最大，最小， 此时 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 设，则，， ∵在中，由勾股定理得， ∴ ∴，即 ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆的切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 96．（2023·江西·一模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是______； (2)【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则______，在上截取，则______，在上截取，则的值为______； (3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点； (4)【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为______． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 (4) 【分析】（1）直接根据黄金分割比求解即可； （2）先根据勾股定理求得,设，则，再利用勾股定理建立方程求得的值，进而求得，最后代入计算即可； （3）由图2，取与交点P，过P作，，由，求得的长，计算的值即可； （4）延长交于点K，过N作，过A作交于点S，过S作，取交点O, 由已知条件证明，继而证明，可知接着证明；由,求得的值，最后由得出结果． 【详解】（1）解：设， 则，即 ∴，解得或（舍去） 经检验，是原方程的解 ． 故答案为：． （2）解：在中，， 设，则 ,解得或（舍去） 经检验是原方程的解 则． 故答案为：，,． （3）解：如图，设与交点为P ∵，且M为中点， ∴， 过P作， ∵平分， ∴． 设， ， ∵ 即，解得， 经检验为原方程的解 ∴ ∴C为的黄金分割点． （4）解：如图：延长交于点K，过N作，过A作交于点S，过S作，取交点O． ∵，， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴等腰 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∵N为的黄金分割点， ∴设 ∴ 设 ，解得 经检验，符合题意 ． 【点睛】本题主要考查了成比例线段、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、三角形全等的性质与判定等知识点，正确的作出辅助线、用好比例式是解题的关键． 97．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知矩形，点为边上一动点． (1)如图1，连结向下方作矩形．连结交于点．过点作于点． ①求证：； ②若，，连结交于点，求出的值（用含，的代数式表示） (2)如图2，连结向上方作矩形，且，与交于，连结交射线于点．当为等腰三角形时，求出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或1 【分析】（1）①根据矩形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，则有，再利用两角对应相等判定三角形相似即可证明；②延长交于点，易证四边形是矩形，得到，由得到，进而表示出，再通过证明和得到，代入数据即可求解； （2）过点作于点，连接、，根据矩形的性质证明，进而得到，得到，，设，，利用相似三角形的性质分别表示出、、、的长，再分3种情况讨论：①；②；③，利用等腰三角形的性质列出方程，求出的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：①证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图，延长交于点， 则， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，连接、， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ①当时， ∵， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得（舍去）； ③当时，则， ∵， ∴， ∴点与点重合，即， 解得， ∴， ∴； ∴综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 98．（2025·广东深圳·三模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图，连接，，在纸片绕点旋转过程中，的值为______； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形若能，求出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或． 【分析】（1）先判定进而由相似三角形对应边成比例求解． （2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，设，，则，，，由勾股定理得，，求出即可； （3）分两种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1），，，， 在和中，，， ． ， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ， ，， 设，，则，， ， 在中，， ， 在中，， ， 化简得， 把代入得 解得（负值舍去）即， ； （3），，三点能构成以为直角边的直角三角形；理由如下： 如图，当时，此时是直角三角形， 过点作于点， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点， 设，， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得； ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 99．（2025·河北·模拟预测）如图，中，，，，动点P从点A出发，沿折线 以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．D是的中点，以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒．（） (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当点E落在边上时，求t的值． (3)当点P在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为y，求y与t之间的函数关系式． (4)当点E到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）当点在线段上时，，当点在线段上时，，从而得出结果； （2）证明从而得出，进一步得出结论； （3）分当时和当时两种情况分析即可； （4）当点到和距离相等时，点在的平分线上，点在上，可得，则，求解得到；当点到和距离相等时，点在的平分线上，点在上，延长交于， 此时，由，得到，然后证明得到，再由，得到，解得；当点到和的距离相等时，点在的平分线上，点在上， 可得，则，故，解得，当点到线段和的距离相等时，即点在的平分线上时，点在上，连接并延长交于，作，则，设，则，由，求出，则，同理可得，则，解得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 综上所述：； （2）解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（）得， 由题意得：， 如图，当时， ∵平行四边形， ∴ ∴， 如图，当时， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴； （4）解：当点到和距离相等时，点在的平分线上，点在上，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点到和距离相等时，点在的平分线上，点在上，延长交于，如图， ∴， 此时， ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点到和的距离相等时，点在的平分线上，点在上，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到线段和的距离相等时，即点在的平分线上时，点在上，连接并延长交于，作，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． 100．（2025·陕西渭南·一模）【问题探究】 （1）在中，，过点C作于点D． ①如图1，若，则的值为______； ②如图2，点F在的延长线上，连接并延长至点E，连接，当时，求证：； 【问题解决】 （2）为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3所示），，米，米，为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥，满足．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点E在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①，②见解析；（2）小路的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）①由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证； ②同理可证，可得，同①证明，即可得证； （2）过作交的延长线于，过作交于，过作交于，可得在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，由等腰三角形的判定及性质得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，同理可证，求出的长，即可求解． 【详解】（1）①解：，， ， ， ， ， 故答案为：； ②证明：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ； （2）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 米，， 米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：米， 是定值，且米是定值， 在直线上运动，且， 当时，取得最小值， 此时与重合， 米， 米， 故当仿古长廊最短时，小路的长度为米． 101．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． (1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若直线与x轴交于点，与双曲线交于，两点，且点A关于y轴对称的点D坐标为求证：B，C，D三点的横坐标构成“和谐三组数”； (3)已知三点均在函数（k为常数，）的图象上． ①若M，N，R这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数t的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点M，N，R分别向坐标轴作垂线，交于点P，Q，连接，若与相似，求k的值． 【答案】(1)实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”，理由见解析；； (2)见解析； (3)①或或2；②． 【分析】本题主要考查了新定义，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“和谐三组数”的定义求解即可； （2）先求出点A的坐标，进而求出点D的坐标，再联立直线和反比例函数解析式，由根与系数的关系得到，据此求出和的结果即可证明结论； （3）①根据题意求出，进而求出，根据定义可得或或，据此讨论求解即可；②可得，可证明只存在，则，求出，进而得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”，理由如下： ∵，，， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2）证明：在中，当时，， ∴， ∴， ∵点A和点D关于y轴对称， ∴， ∴； 联立得， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴构成“和谐三组数”； （3）解：①∵三点均在函数（k为常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵构成“和谐三组数”， ∴或或， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为或或2； ②∵， ∴； 由题意得，， ∵一条直线与反比例函数最多有两个交点，且点M、N、R都在反比例函数图象上， ∴M、N、R三点不共线， ∴， ∵， ∴， ∴与相似时，只存在， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得或（舍去）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $