专题05 一次函数（期末复习专项训练，10大题型）八年级数学上学期新教材苏科版

专题05 一次函数 题型1 函数图象（常考点） 题型6 一次函数中交点取值范围问题（难点） 题型2 一次函数的图象与性质（常考点） 题型7 一次函数的解析式（重点） 题型3 一次函数的增减性（常考点） 题型8 一次函数中的翻折与旋转（重点） 题型4 一次函数与不等式结合（常考点） 题型9 一次函数中的特殊三角形（难点） 题型5 函数中的行程问题（难点） 题型10 一次函数的新定义（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数图象（常考点） 1．将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 2．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是（   ） A． B． C． D． 3．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小明的行为（填序号）．          题型二 一次函数的图象与性质（常考点） 1．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 2．对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象经过第一、三、四象限 B．它的图象与直线平行 C．自变量每增加，函数值就增加 D．将它的图象向上平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 3．关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 题型三 一次函数的增减性（常考点） 1．点，都在直线上，则与之间的大小关系是（） A． B． C． D．不能确定 2．已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若点，在直线上，则与的大小关系是： ．（填“>”“<”或“＝”） 题型四 一次函数与不等式结合（常考点） 1．如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 题型五 函数中的行程问题（难点） 1．在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 3．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 题型六 一次函数中交点取值范围问题（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 3．在等边三角形中，，点在边上运动不与、重合，点在边上运动，，交于点，，过点作于点，令，，请回答以下问题∶ (1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．（考虑在点左侧和右侧两种情况）； (2)在直角坐标系中画出的图象并写出它的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与函数图象有个交点，请直接写出的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过）． 题型七 一次函数的解析式（重点） 1．已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如下表，这个函数的表达式可以是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 6 9 12 ．．． A． B． C． D． 2．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．则与的函数关系式为 ；当弹簧长度为cm时，所挂物体的质量为 ． 3．如图，一次函数与轴、轴交于、两点，过点的直线交轴于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)在线段上找点，使得，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型八 一次函数中的翻折与旋转（重点） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 3．【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______； 【深度思考】 （3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______． ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式． 【拓展应用】 （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________． 题型九 一次函数中的特殊三角形（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴，轴分别交于点、点，点的坐标为，点是轴上一动点． (1) ； (2)连接，若的面积为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，是否存在点使是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，使得为等腰直角三角形，请直接写出P点的坐标． 3．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C． (1)填空： ， ， ； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 题型十 一次函数的新定义（难点） 1．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） (1)点的关联点的坐标为 ； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 2．对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足或，则称M为线段的垂点．特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，． (1)如图1，在点中，线段的垂点是________； (2)直线分别交坐标轴于点和点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点，求b的值； ②如图3，已知M为线段的等垂点且，问线段上是否存在等垂点M，若存在，求出等垂点M的坐标；若不存在，说明理由． 3．【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． $专题05 一次函数 题型1 函数图象（常考点） 题型6 一次函数中交点取值范围问题（难点） 题型2 一次函数的图象与性质（常考点） 题型7 一次函数的解析式（重点） 题型3 一次函数的增减性（常考点） 题型8 一次函数中的翻折与旋转（重点） 题型4 一次函数与不等式结合（常考点） 题型9 一次函数中的特殊三角形（难点） 题型5 函数中的行程问题（难点） 题型10 一次函数的新定义（难点） 26 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数图象（常考点） 1．将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的识别，理解题意是解决本题的关键． 根据温度计上升到一定的温度后不变，据此可得答案． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 2．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选C． 3．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小明的行为（填序号）．          【答案】② 【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可． 【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意； ②由图可知，速度先快后慢，符合题意； ③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意； ④由图可知，速度先慢后快，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 题型二 一次函数的图象与性质（常考点） 1．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟记性质是正确解答此题的关键． 根据一次函数 的性质，其中 ，，可知函数值 随 增大而减小，图象经过第一、二、四象限．通过计算或不等式验证各选项． 【详解】解：∵ 函数为 ， 对于 A：当 时，，∴ A 错误； 对于 B：∵ ，，∴ 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，∴ B 错误； 对于 C：当 时，，解得 ，∴ 当 时，，∴ C 正确； 对于 D：∵ ，∴ 随 增大而减小，∴ D 错误． 2．对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象经过第一、三、四象限 B．它的图象与直线平行 C．自变量每增加，函数值就增加 D．将它的图象向上平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换、一次函数图象的性质等知识点，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．根据一次函数图象的性质以及平移变换逐项判断即可解答． 【详解】解：A、∵，∴图象经过第一、三、四象限，故此选项正确，不符合题意； B、∵两条直线斜率均为，∴平行，故此选项正确，不符合题意； C、设自变量从变为，则新的函数值为，函数值从变为,函数值增加，故此选项正确，不符合题意； D、将图象向上平移个单位，函数表达式变为，故此选项不正确，符合题意． 故选：D． 3．关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一次函数的概念，图像和性质，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．对于函数，结合k的取值情况依次判断即可． 【详解】解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误． 故答案为：②③④． 题型三 一次函数的增减性（常考点） 1．点，都在直线上，则与之间的大小关系是（） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．直线中，因此函数值随的增大而减小，据此解答即可． 【详解】解：∵点和在直线上， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故选：． 2．已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握知识点的应用是解题的关键． 由直线的，则随的增大而增大，当时，，然后根据时，，即，所以，从而求解． 【详解】解：∵直线的， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． ∵当时，，即， ∴，A选项正确，B选项错误； ∵当时，，即， ∴与 1 的大小关系不确定，C选项错误，D选项错误； 故选：． 3．若点，在直线上，则与的大小关系是： ．（填“>”“<”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，理解题意，分别算出，，即可得出． 【详解】解：∵点，在直线上 ∴，， ∵， ∴， 故答案为：> 题型四 一次函数与不等式结合（常考点） 1．如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一次不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先求出点的坐标，再根据图像求解即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 则点， 由图像得：不等式的解集为：， 故选：A． 2．一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：一次函数与的交点坐标为， 在交点P的左边，一次函数的图象在一次函数的上方， ∴关于x的不等式的解集为； 故选A． 3．如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 题型五 函数中的行程问题（难点） 1．在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键； 根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④； 【详解】解：由图象可得：，两地相距为，故①正确； ∵货车的速度为：， ∴货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为， ∵在图象上， ∴， 解得：， ∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故②正确； 设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， ∵在图象上， ∴，解得：， ∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故③正确； 由相遇得：， ∴， ∴， ∵，∴符合题意， 即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 2．某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 【答案】620 【分析】本题考查一次函数的实际应用，由甲3秒行驶180米，可得甲的速度；由甲出发13秒后两人相距380米，可得乙的速度；首先求出两地的距离，再根据乙的速度和运动时间可得乙距离地的距离． 【详解】解：∵甲3秒行驶180米， ∴甲的速度为（米／秒）； （米／秒） ∴乙的速度为（米／秒）； （米），（米）， （米） 即甲到达地时，乙距离地还有620米， 故答案为：620． 3．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 【答案】(1)甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 (2) (3)乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； （2）解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 题型六 一次函数中交点取值范围问题（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，求两条直线的交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．分别求出直线经过点和点时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， ∴， 联立， 解得 ∴点的坐标为， 当直线经过点，则， 解得， 当直线经过点，则， 解得：， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为或． 故选：D． 2．如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得； 当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得， 若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． 3．在等边三角形中，，点在边上运动不与、重合，点在边上运动，，交于点，，过点作于点，令，，请回答以下问题∶ (1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．（考虑在点左侧和右侧两种情况）； (2)在直角坐标系中画出的图象并写出它的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与函数图象有个交点，请直接写出的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数的应用； （1）证明得出，考虑在点左侧和右侧两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得函数关系式； （2）根据（1）的解析画出三函数图象，根据函数图象写出一条性质，即可求解； （3）根据直线与函数图象有个交点，考虑两种情况，过点，分别求得的值，进而结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵等边三角形中， ∴ ∵，， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ 当时，在点左侧 ∵ ∴即 ∴ ∴ 当时，在点右侧， 同理可得 ∴ ∴ 综上所述， （2）解：如图所示 ， 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 （3）解：如图， 当经过时， 当经过点时， 根据图象可得，若直线与函数图象有个交点， 题型七 一次函数的解析式（重点） 1．已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如下表，这个函数的表达式可以是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 6 9 12 ．．． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求函数表达式，掌握待定系数法确定一次函数表达式的方法是解决问题的关键． 由选项可知，表中数据满足一次函数，设表达式为，任取两个点代入，解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解：设表达式为， 将、代入表达式可得， ， 解得， ∴ 函数表达式为， 故选：D． 2．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．则与的函数关系式为 ；当弹簧长度为cm时，所挂物体的质量为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了求一次函数解析式，以及已知函数值求自变量的值． 由表格数据代入函数关系式求系数，再代入求，即可解题． 【详解】解：由表格可知，当时，，代入得， 解得，故函数关系式为； 当时，代入关系式得， 解得， 故所挂物体的质量为； 故答案为：，． 3．如图，一次函数与轴、轴交于、两点，过点的直线交轴于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)在线段上找点，使得，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求出点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点，求出，根据，求得，代入即可求解； （3）过点作，使，连接，交轴于点，过点作轴，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则，，，证明，得到，，求得，求出直线的解析式为，可求得点的坐标，在轴的正半轴上取，可求得的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 把代入中，得： ， ∴； （3）解：∵，， ∴， 过点作，使，连接，交轴于点，过点作轴，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则，，，如图： ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 在轴的正半轴上取，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：点坐标为或． 题型八 一次函数中的翻折与旋转（重点） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、翻折的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先求出，推出，由折叠可知：，，得的长；然后设点，则，根据即可求解． 【详解】解：对于函数， 令，则；令，则， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∴， 设点，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论． 【详解】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______； 【深度思考】 （3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______． ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式． 【拓展应用】 （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________． 【答案】（1）；（2），，；（3）①或；②；（4） 【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①分、、，三种情况求解即可； ②过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （4）求出，则，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2），， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ． ． 过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）①如图，当，时，过点作于点，过点作于点， 点，点， ，，， ， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为； 如图，当，时，过点作，过点作， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为， 综上所述：点坐标为：、； 故答案为：、； ②如图，过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得． 所得到的图象对应的函数表达式为． 如图作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题为一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平移变换，对称点坐标，利用待定系数法求函数解析式，一次函数与几何图形的关系，熟练求一次函数解析式是解题的关键． 题型九 一次函数中的特殊三角形（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴，轴分别交于点、点，点的坐标为，点是轴上一动点． (1) ； (2)连接，若的面积为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，是否存在点使是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）把代入即可得出答案； （2）由三角形的面积求出，即可得出答案； （3）分三种情况讨论，①若，②若，③若，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得； 故答案为：； （2）如图， 把代入，得， ∵一次函数与轴分别交于点， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， ∴， 当点在点右侧时，； 当点在点左侧时，； ∴点的坐标为或； （3）存在，若点使是等腰三角形，则有以下三种情况： ①当时， ∵，， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴或； ③当时，设，则，， ∴， 解得， ∴； 综上可得，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，使得为等腰直角三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组、的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论． （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）过点作轴的垂线交轴于点，根据三角形面积公式得到到的距离等于点到的距离的2倍，从而得到点坐标． （3）先求出直线的表达式，再分三种情况、结合一次函数的性质与等腰直角三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得， 直线的表达式． （2）令，则， ， ，且点在轴正半轴上， ， ， ， 设点的坐标为， 如图①，过点作轴的垂线交轴于点， 则， ， 即， 解得：， 点的坐标为． （3）由在、在，且轴， 设直线的表达式为， 将点、代入， 得， 解得， 直线的表达式． 设，， ∵轴，且N在上， ∴将代入，得， 解得， ∴点N的坐标是， ∴ ①如图，当点M为直角顶点时，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标是； ②当点N为直角顶点时，如图，且， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标是； ③当点N为直角顶点时，如图，且， 作于点Q，则为的中点，且， ∴， 解得：， ∴点P的横坐标为， 点坐标为：； 综上，点P的坐标是或或． 3．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C． (1)填空： ， ， ； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)，，； (2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②利用勾股定理求出，可得，即可得答案； ③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标． 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． ∴直线 故答案为：，，； （2）解：①∵直线， 当时，解得， ∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴， ∴； ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 题型十 一次函数的新定义（难点） 1．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） (1)点的关联点的坐标为 ； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)为等腰直角三角形，详见解析 (4) 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证，进而根据三角形的性质即可得出结论； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； （2）解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； （4）解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， ∴取值范围为． ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足或，则称M为线段的垂点．特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，． (1)如图1，在点中，线段的垂点是________； (2)直线分别交坐标轴于点和点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点，求b的值； ②如图3，已知M为线段的等垂点且，问线段上是否存在等垂点M，若存在，求出等垂点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①b的值为或；② 【分析】（1）根据求出，根据，得，得，点C不是线段的垂点；根据，得，得，点D是线段的垂点；根据，得，得，点E不是线段的垂点；根据，得，得，点F是线段的垂点； （2）①当时，得点，则线段的等垂点M在上，过点M作轴于点G，或过点作轴于点H，可证得，进而可得或，代入，即可求得b的值； ②根据等垂点的定义结合可知是以为斜边的等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，设线段上存在等垂点，当时，根据勾股定理得到，，进而得到，可求出及，将代入求出t的值，即可得到M的坐标；当时，同理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点D是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点E不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点F是线段的垂点； 综上所述，点D、F是线段的垂点； 故答案为：； （2）①解：当时，点， 设点M是直线上存在线段的等垂点， 过点M作轴于点G，或过点作轴于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可得：， ∴， 解得； ∴b的值为或； ②解：∵M为线段的等垂点且， ∴， 即是以为斜边的等腰直角三角形． ∵和点， ∴， ∴ 设线段上存在等垂点， 如图，当时，若线段上存在等垂点M， 则，， 即， 整理得， 即， 则， ∴， 解得， 即 将代入得， 解得：（舍去），（舍去）， 则； 如图，当时，若线段上存在等垂点M， 则，， 即， 整理得， 即， 则， ∴， 解得， 则， 将代入得， 解得：（舍去），， 则； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了新定义——线段的垂点，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，一次函数图象和性质，一次函数平移，能够根据定义判断出直角三角形是解题的关键． 3．【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①②存在， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，新定义，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出，的可变点，代入函数解析式，进行判断即可； （3）①根据新定义，求出，代入解析式进行求解即可；②求出点的坐标，作的中垂线，交轴于点，连接，设，利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，根据新定义，求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴点在直线上， 故这个点是； （3）①∵，， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴； ②∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 作的中垂线，交轴于点，连接，则， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． $