第5章 一次函数（知识清单）数学苏科版2024八年级上册

第五章 一次函数 知识点1：函数的相关概念 1.常量与变量： （1）常量：在一个变化过程中，数值 的量叫作常量； （2）变量：在一个变化过程中，数值 的量叫作变量。 2.函数的概念： 一个变化过程中有两个变量，和，如果对于的 确定的值都有 的值与它对应，那么称是的函数，是自变量。自变量根据实际问题的需要，一般都有自己的取值范围。 3.函数的表示方法： 、 、 。 4.函数的图象： （1）函数图象：把 的取值作为 ，对应的 作为 ，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的 叫做函数图象。 （2）函数图象上的点与函数表达式的关系： 函数图象上的点的坐标一定满足函数表达式。满足函数表达式的有序实数对表示的点一定在该函数图象上。 知识点2：正比例函数的概念、图象及性质 1.正比例函数的概念：一般地，形如（）的函数，叫做正比例函数。 2.正比例函数的图象和性质： k的符号 函数图象 增减性 k>0 随着的增大而 k <0 随着的增大而 知识点3：一次函数的概念、图象及性质 1. 一次函数的概念：一般地，形如（）的函数，叫做一次函数。 2.一次函数的图象和性质： 函数 图象 经过象限 函数性质 y=kx+b k>0 b>0 一、二、三 随增大而 k>0 b<0 一、三、四 y=kx+b k<0 b>0 一、二、四 y随x增大而 知识点4：三个“一次”的关系： 1．一次函数与一元一次方程的关系： 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标，所以对应方程kx+b=0的解为 ． 2．一次函数与一元一次不等式的关系： 当时，要求一元一次不等式的解集，从的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的，所以其解集是；反之，的解集是。 当时，要求一元一次不等式的解集，从的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的，所以其解集是；反之，的解集是。 3．一次函数与二元一次方程组的关系： 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 牢记：交点的坐标“就是”对应方程组的解，只是它们写的格式不同。交点的坐标为，对应方程组的解为，它们数值上是相等的。 知识点5：待定系数法： 1.待定系数法： 先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫做待定系数法。 2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）设表达式； （2）根据已知条件得到的方程组； （3）解方程组，求出的值； （4）写出函数的表达式。 知识点6：用一次函数解决实际问题的步骤： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 易错点1 函数概念的理解不透 错误：认为“只要一个变量变化，另一个变量跟着变化，就是的函数”． 注意：判断变量是不是变量的函数，关键是看两个条件：（1）存在一个变化过程中；（2）这个变化过程中有两个变量，和，且对于的每一个确定的值y都有 的值与它对应。也就是说把一个的值带入表达式，只能求出一个的值.对于图象的判断就是用一条垂直于横轴的直线从左向右移动，这条直线只能与图象有一个交点。如果出现了两个交点，那就不是函数关系。 例题1 下列各图中，变量y是变量x的函数是（　　） A． B． C． D． 易错点2 利用一次函数性质比较函数值的大小 错误：要特别注意k的正负对函数值大小的影响． 注意：一次函数中，k的正负决定了随自变量的变化情况，比较同一个一次函数的两个不同对应的函数值，首先要看k正负，其次再看两个自变量的大小关系，对于k的正负不确定的情况，一定要分类讨论． 例题2 已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 易错点3 利用一次函数与一元一次方程的关系解一元一次方程 错误：认为“一次函数与横轴的交点坐标就是对应一元一次方程的解”． 注意：一次函数的图象与横轴的交点的坐标是,而对应方程的解是,两者意义和形式是不同的，只是交点的横坐标与对应方程的解在数值上是相等的。 例题3 如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 易错点4 利用一次函数与一元一次不等式的关系解一元一次不等式 错误：不能正确利用函数图象和数形结合正确求解一元一次不等式的解集． 注意：利用一次函数的图象求解一元一次不等式的解集，主要是借助一次函数的图象与横轴的交点坐标以及数形结合的思想，求解一元一次不等式的解集。大于0，就是对应函数图象位于横轴上方的部分，然后找出这部分图象对应的变量x的取值范围；反之，小于0，就是对应函数图象位于横轴下方的部分，然后找出这部分图象对应的变量x的取值范围。当然，有时候还会借助函数图象的平移。 例题4 一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 易错点5 利用一次函数与几何图形综合中的多解问题 错误：一次函数与几何图形综合问题中易产生漏解． 注意：一次函数与几何图形的综合问题，尤其是有关动点问题，易产生多解问题，学生很多时候考虑不全，易产生漏解问题，此时，要想不出现漏解问题，就要学会对题目中的情况分类讨论。这样的问题主要是面积问题、长度问题、角度问题等等。 例题5 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点为直线上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当点的横坐标比纵坐标大时，求的面积； (3)当时，求点的坐标． 例题6 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于，两点，直线：与轴负半轴、轴、直线分别交于三点，且． (1)求直线的函数解析式； (2)求四边形的面积； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、选择题 1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 2．下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A． B．C．D． 3．下列曲线中表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 5．点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 6．在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 7．已知直线的图象经过点，，则关于的方程的解为（     ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程的解是 C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 二、填空题 9．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 10．如图，一次函数与（k，b是不为0的常数）的图象交于点，则关于的不等式组的解集是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数（m、n均为常数，且）的图象交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 12．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是 ． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 14．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上． (1)求直线的表达式； (2)点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标； (3)如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 勾股定理 知识点1：函数的相关概念 1.常量与变量： （1）常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量； （2）变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量。 2.函数的概念： 一个变化过程中有两个变量，和，如果对于的每一个确定的值都有唯一的值与它对应，那么称是的函数，是自变量。自变量根据实际问题的需要，一般都有自己的取值范围。 3.函数的表示方法：表达式法、表格法、图象法。 4.函数的图象： （1）函数图象：把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫做函数图象。 （2）函数图象上的点与函数表达式的关系： 函数图象上的点的坐标一定满足函数表达式。满足函数表达式的有序实数对表示的点一定在该函数图象上。 知识点2：正比例函数的概念、图象及性质 1.正比例函数的概念：一般地，形如（）的函数，叫做正比例函数。 2.正比例函数的图象和性质： k的符号 函数图象 增减性 k>0 随着的增大而增大 k <0 随着的增大而减小 知识点3：一次函数的概念、图象及性质 1. 一次函数的概念：一般地，形如（）的函数，叫做一次函数。 2.一次函数的图象和性质： 函数 图象 经过象限 函数性质 y=kx+b k>0 b>0 一、二、三 随增大而增大 k>0 b<0 一、三、四 y=kx+b k<0 b>0 一、二、四 y随x增大而减小 知识点4：三个“一次”的关系： 1．一次函数与一元一次方程的关系： 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标，所以对应方程kx+b=0的解为． 2．一次函数与一元一次不等式的关系： 当时，要求一元一次不等式的解集，从的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的，所以其解集是；反之，的解集是。 当时，要求一元一次不等式的解集，从的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的，所以其解集是；反之，的解集是。 3．一次函数与二元一次方程组的关系： 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 牢记：交点的坐标“就是”对应方程组的解，只是它们写的格式不同。交点的坐标为，对应方程组的解为，它们数值上是相等的。 知识点5：待定系数法： 1.待定系数法： 先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫做待定系数法。 2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）设表达式； （2）根据已知条件得到的方程组； （3）解方程组，求出的值； （4）写出函数的表达式。 知识点6：用一次函数解决实际问题的步骤： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 易错点1 函数概念的理解不透 错误：认为“只要一个变量变化，另一个变量跟着变化，就是的函数”． 注意：判断变量是不是变量的函数，关键是看两个条件：（1）存在一个变化过程中；（2）这个变化过程中有两个变量，和，且对于的每一个确定的值y都有唯一的值与它对应。也就是说把一个的值带入表达式，只能求出一个的值.对于图象的判断就是用一条垂直于横轴的直线从左向右移动，这条直线只能与图象有一个交点。如果出现了两个交点，那就不是函数关系。 例题1 下列各图中，变量y是变量x的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数的意义，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．根据函数的意义即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有A正确． 故选：A． 易错点2 利用一次函数性质比较函数值的大小 错误：要特别注意k的正负对函数值大小的影响． 注意：一次函数中，k的正负决定了随自变量的变化情况，比较同一个一次函数的两个不同对应的函数值，首先要看k正负，其次再看两个自变量的大小关系，对于k的正负不确定的情况，一定要分类讨论． 例题2 已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 根据直线方程及已知条件，结合一次函数的单调性及符号性质进行判断． 【详解】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应， A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意； B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意； C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意； D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意； 故选：C． 易错点3 利用一次函数与一元一次方程的关系解一元一次方程 错误：认为“一次函数与横轴的交点坐标就是对应一元一次方程的解”． 注意：一次函数的图象与横轴的交点的坐标是,而对应方程的解是,两者意义和形式是不同的，只是交点的横坐标与对应方程的解在数值上是相等的。 例题3 如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 易错点4 利用一次函数与一元一次不等式的关系解一元一次不等式 错误：不能正确利用函数图象和数形结合正确求解一元一次不等式的解集． 注意：利用一次函数的图象求解一元一次不等式的解集，主要是借助一次函数的图象与横轴的交点坐标以及数形结合的思想，求解一元一次不等式的解集。大于0，就是对应函数图象位于横轴上方的部分，然后找出这部分图象对应的变量x的取值范围；反之，小于0，就是对应函数图象位于横轴下方的部分，然后找出这部分图象对应的变量x的取值范围。当然，有时候还会借助函数图象的平移。 例题4 一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而增大， 所以当时，函数值大于0， 即关于x的不等式的解集是． 故选：A． 易错点5 利用一次函数与几何图形综合中的多解问题 错误：一次函数与几何图形综合问题中易产生漏解． 注意：一次函数与几何图形的综合问题，尤其是有关动点问题，易产生多解问题，学生很多时候考虑不全，易产生漏解问题，此时，要想不出现漏解问题，就要学会对题目中的情况分类讨论。这样的问题主要是面积问题、长度问题、角度问题等等。 例题5 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点为直线上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当点的横坐标比纵坐标大时，求的面积； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的面积为 (3)点F的坐标为或 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形判定与性质等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）求出，由一次函数的图象经过点，可得，故直线的解析式为； （2）求出，，可得，再求出，即可得； （3）当F在右侧时，设交y轴于G，由，可得，设，由，有，解得，知，可得直线的解析式为，联立，可解得，当在左侧时，，即轴，即可得． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 一次函数的图象经过点， ， 直线的解析式为； （2）解：如图： 在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 在中，令得：， 解得， ， ， 的面积为9； （3）解：当F在右侧时，设交y轴于G，如图： ， ， 设，则，， ， ， 解得， ， 由，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得， ； 当在左侧时， ∵， ∴，即轴， ， 在中，令得， ； 综上所述，点F的坐标为或 ． 例题6 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于，两点，直线：与轴负半轴、轴、直线分别交于三点，且． (1)求直线的函数解析式； (2)求四边形的面积； (3)在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)或或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，求两直线交点坐标等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）用待定系数法可得直线解析式； （2）连接，求出D坐标后直线的函数解析式可求，进而C，E两点坐标可求，故四边形可求； （3）分两种情况：当P在y轴上或在x轴上，设出P点坐标，利用作为等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1） 解：与轴、轴分别交于，两点代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2） 连接，如图： ∵， ， ， ， ， 把代入得：， ∴直线的函数解析式为， 令得， ， 由，得： ， ∴四边形的面积为4； （3）在坐标轴上存在点P，使得，理由如下： ， ， ， 当P在y轴上时，设，如图： ，， ， 解得或， ∴P点坐标或； 当P在x轴上时，设，如图： ，， ， 解得或， ∴P点坐标或． 综上所述，P的坐标为或或或 一、选择题 1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查函数的识别，根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的因变量与之对应，再进行判断即可． 【详解】解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意， B中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意， C中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意， D中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，符合题意， 故选：D． 2．下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数）是解题关键．根据函数定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意； B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意； C、对于的每一个确定的值，有两个的值与其对应，所以不是的函数，此项符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意． 故选：C． 3．下列曲线中表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查函数定义的应用，由函数定义，我们可以在有图象的部分作一条垂直于轴的直线，如果这条直线与图象有且只有一个交点，则满足函数定义，反之不满足，从而确定答案，掌握这种由函数定义判定曲线是否为函数图象的方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 选项图象与直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； B、如图所示： 选项图象与直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； C、如图所示： 选项图象与直线有且只有一个交点，满足函数定义，符合题意； D、如图所示： 选项图象与直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； 故选：C． 4．下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的增减性，对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，据此即可求解． 【详解】解：选项A：可整理为，此时，故随的增大而减小，符合题意； 选项B：中，故随的增大而增大，不符合题意； 选项C：中，故随的增大而增大，不符合题意； 选项D：中，故随的增大而增大，不符合题意； 故选：A． 5．点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质得到随的增大而减小，即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵点，点是一次函数图象上的两个点，且， ∴， 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】C 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以方程的解是，该选项说法正确，符合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以不等式的解集是，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 7．已知直线的图象经过点，，则关于的方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关于的方程的解即为直线的图象与轴交点的横坐标．一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程的根就是它所对应的一次函数的函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：当时，， 所以关于的方程的解即为直线的图象与轴交点的横坐标． 因为直线的图象经过点， 所以关于的方程的解为． 故选：D． 8．如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程的解是 C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 【答案】C 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解、已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】本题考查了两条直线的交点问题.运用待定系数法可求出交点坐标和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A选项错误，不符合题意； 当时，，则关于的方程的解是，故B选项正错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 9．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式，观察图象对应的函数图象所对应自变量的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得：， 故答案为：． 10．如图，一次函数与（k，b是不为0的常数）的图象交于点，则关于的不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式（组）的关系及应用．利用一次函数图象上点的坐标特征求交点横坐标；根据一次函数的图象位置关系确定不等式的解集；以及综合两个不等式的解集得到不等式组的解集，体现了“数形结合”的思想，即通过函数图象直观解决不等式问题． 首先通过把交点坐标代入已知一次函数求出交点的横坐标，然后根据函数图象的位置关系确定不等式组的解集． 【详解】解：因为点在的图象上， 所以将代入中，得到． ． 解不等式，解得． 从图象上看，表示的图象在图象上方的部分， 表示的图象在x轴上方的部分． 已知交点， 所以的解集就是的图象在图象上方， 且的图象在x轴上方对应的x的取值范围，即． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数（m、n均为常数，且）的图象交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合解答即可． 【详解】解：∵一次函数与一次函数（m、n均为常数，且）的图象交于点， ∴关于x的不等式的解集是． 故答案为：． 12．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键． 根据函数图象直接得到，，，，进一步即可得到；根据当时，，即可求得；求得，根据解析式即可求得的值每增加，的值增加；当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：，，，， ，， ，故正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为， ， ，即，故正确； ，， ， ， ， 的值每增加，的值增加，故正确； 当时，，，由图象可知， ，故错误． 故答案为：． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的图象与性质是关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，得出，设，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为： 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ ∵在直线上， ∴或． 设， ∴或 ∴或． ∴或． 14．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上． (1)求直线的表达式； (2)点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标； (3)如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)D的坐标为或 (3)存在，P的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题 【分析】（1）用待定系数法可得直线的表达式为； （2）求出，，知，故，得，即可得D的坐标为或； （3）分两种情况：当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，证明，设，可得，从而，直线解析式为，联立，解得；当P在上方时，同理可得． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴D的坐标为或； （3）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下： 分以下两种情况讨论： 当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当P在上方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 同理可得， 综上所述，P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$