专题06 锐角三角函数（期末复习知识清单，6知识&9题型&3易错&3方法清单）九年级数学上学期苏科版

该初中数学锐角三角函数专题清单系统整合了6大知识模块、9类典型题型、3项易错警示及3大解题方法，构建了从定义性质到实际应用的递进式学习支架，涵盖正切正弦余弦等核心概念及解直角三角形等关键技能。 清单通过“知识清单+题型变式+方法技巧”三维架构呈现体系，如“解直角三角形”分已知两边、一边一角等情形细化解法，“12345模型”标注tanα=1/2与1/3时α+β=45°的推理依据，培养学生运算能力与推理意识。设“易错警示”专栏标注“坡度与坡角混淆”等问题，教师可精准教学，学生能高效自主复习。

专题06锐角三角函数 （6知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】正切 · 定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即（a为∠A对边，b为∠A邻边）. · 性质：锐角A的正切值随∠A增大而增大；tanA>0. 【清单02】正弦、余弦 · 正弦定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即. · 余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即. · 性质：0<sinA<1，0<cosA<1；sinA随∠A增大而增大，cosA随∠A增大而减小；，. 【清单03】特殊角的三角函数值 锐角α 30° 45° 60° $1$ 【清单04】由三角函数值求锐角 · 特殊值对应锐角：已知三角函数值（sin、cos、tan），直接对应特殊角： · ；；. · ；；. · ；；. 【清单05】解直角三角形 · 定义：在Rt△ABC（∠C=90°）中，由已知元素（边或角）求未知元素（边、角）的过程. · 元素关系：$∠A+∠B=90°$；；，，. · 解法： · 已知两直角边a,b：，$∠A=\arctan\frac{a}{b}$，$∠B=90°-∠A$. · 已知直角边a和斜边c：，$∠A=\arcsin\frac{a}{c}$，$∠B=90°-∠A$. · 已知直角边a和锐角A：$∠B=90°-∠A$，，. · 已知斜边c和锐角A：，，$∠B=90°-∠A$. 【清单06】 用锐角三角函数解决应用 · 常见模型： · 仰角/俯角：视线与水平线夹角（向上为仰角，向下为俯角）. · 坡度（坡比）：（α为坡角）. · 方向角：北偏东θ°、北偏西θ°、南偏东θ°、南偏西θ°（以正北/正南为基准）. · 解题步骤：①审题画示意图；②构造Rt△；③选三角函数求未知量；④作答（注意单位与精度）. 【题型一】锐角三角函数的定义 【例1】在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1-1】在中，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，．若，，则 ． 【题型二】特殊角的三角函数值 【例2】已知△ABC是等边三角形，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 【变式2-2】计算： （1） ； （2） ． 【题型三】由三角函数值判断锐角 【例3】在中，为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】在锐角三角形中，若、满足，则 ． 【题型四】解直角三角形 【例4】如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，，D为边上的一点，，，则 ． 【变式4-2】在中，，求的值． 【题型五】三角函数的应用——仰角、俯角问题 【例5】如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为6米，坡度，长为5米，则古塔的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-1】某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度．如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为 米．（结果保留根号） 【变式5-2】在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 【题型六】三角函数的应用——方位角问题 【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【变式6-1】王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，） 【变式6-2】小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【题型七】三角函数的应用——坡度与坡角问题 【例7】某班的同学想测量一教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为，则教学楼的高度约为（结果精确到米）（参考数据：）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式7-1】如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为 米．    【变式7-2】如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 【题型八】三角函数的混合运算 【例8】计算： (1)； (2)． 【变式8-1】计算 (1) (2) 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【题型九】网格中的三角函数作图 【例9】如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是一个格点三角形． (1)填空： _______，_______； (2)请在方格纸中画出一个格点三角形，使它与以点A为位似中心且位似比为． 【变式9-1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； (2)在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； (3)在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 【变式9-2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使； (2)在图②中的边上找到点，连结，使； (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【题型一】三角函数的增减性比较大小 【例1】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】比较大小： ． 【题型二】非直角三角形构造直角三角形 【例2】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式2-2】如图，在中，，则的长为 ． 【题型三】三角函数中的最值问题 【例3】如图，在中，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式3-1】如图，已知直线和与轴相交所成的锐角分别为，，点A坐标为，点为直线上的一个动点，、为直线上的两个动点，则长度的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式3-2】如图，已知正方形的边长为，点为延长线上的一动点，连接，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【题型一】三角函数中的新定义 方法技巧 一、精准理解新定义是解题前提 1. 逐字研读定义文本：圈划定义中的核心要素（如特殊角、比例关系、图形组合等），明确新定义所描述的数学对象或运算规则。例如，若定义“锐角α的正切余弦比”为tanα与cosα的比值，则需严格按照“tanα/cosα”进行计算，不可与已知三角函数混淆。 2. 结合实例验证理解：若题目给出新定义的示例，需通过示例反向推导定义本质。例如，定义“对弦比”为直角三角形中锐角对边与弦长（斜边）的平方比，通过示例数据（如对边3、斜边5时对弦比为9/25）验证对“平方比”这一关键信息的把握。 二、构建新旧知识桥梁是解题关键 1. 分解新定义至已知三角函数：将新定义表达式转化为sinα、cosα、tanα的组合形式。例如，定义“锐角度数系数k”为/tanα，可转化为/ = cosα，再利用同角三角函数关系化简。 2. 关联基本图形性质：若新定义涉及几何图形（如“双角三角形”中两个锐角的三角函数关系），需结合直角三角形边长关系（勾股定理）、特殊角三角函数值（30°、45°、60°）建立方程。例如，在含30°角的直角三角形中，若定义“短长比”为最短边与最长边的正切值比，则可直接代入边长比1:2:√3计算。 三、分类突破常见新定义类型 1. 新运算型（定义三角函数间的新运算） · 方法：严格按定义公式代入计算，注意运算顺序和符号规则。 示例：定义“⊗”运算为a⊗b = (sin a)² + tan b，若a=30°，b=45°，则原式=(1/2)² + 1 = 1/4 + 1 = 5/4。 2. 新概念图形型（定义含特殊三角函数关系的图形） · 方法：根据定义画出图形，标注已知条件，利用三角函数定义（对边/斜边、邻边/斜边、对边/邻边）列等式。 示例：定义“黄金直角三角形”为锐角α满足sinα = cos²α的直角三角形，设对边为a，斜边为c，则a/c = (b/c)²（b为邻边），结合a² + b² = c²，解得a/c = (√5-1)/2（黄金比）。 3. 参数定义型（用字母参数定义新函数） · 方法：用参数表示三角函数值，结合方程思想求解参数。 示例：定义“函数f(α) = k·sinα + cosα”为“α的倾斜函数”，若f(60°)=2，即k·(√3/2) + 1/2 = 2，解得k = √3。 【例1】我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【变式1—1】在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点A和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点A的关联弦． (1)如图1，已知点，，，，，在上，在弦，，中，点A的关联弦是______； (2)如图2，已知点，在上，弦是点A的关联弦，直接写出长度的取值范围______； (3)直线分别与x轴和y轴交于点，对于线段上一点S，存在的弦，使得弦是点S的关联弦；对于点S，将其对应的关联弦的长度的最大值记为d，当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围______． 【变式1—2】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角正对． 如图1，在中，，顶角A的正对记作，这时容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：_______． (2)对于的正对值的取值范围是________． (3)如图2，已知中，试求的值． 【题型二】：12345模型 方法技巧 一、模型核心原理 “12345模型”是基于锐角三角函数值的特殊关系总结的解题技巧，核心是利用两组特殊角度的正切值关系快速求解几何问题。具体指： · 若两个锐角α、β满足tanα = 1/2，tanβ = 1/3，则α + β = 45°； · 反之，若α + β = 45°，且tanα = 1/2，则tanβ = 1/3（或 tanα = 1/3 时，tanβ = 1/2）。 推导依据： 利用两角和的正切公式： 代入 tanα = 1/2，tanβ = 1/3，得： ∵ α、β为锐角，∴ α + β = 45°。 二、模型图形构造 基本图形：在直角坐标系中，构造Rt△AOB和Rt△COD，使得： · 点A(2,1)，则OA与x轴夹角α的tanα = 1/2； · 点C(3,1)，则OC与x轴夹角β的tanβ = 1/3； · 将两个三角形组合，使α、β的顶点重合，两边共线，则α + β = 45°。 扩展图形：在复杂几何题中，若发现含“1/2”“1/3”正切值的锐角，可通过作垂线、构造直角三角形，分离或组合出α、β，利用α + β = 45°快速推导角度关系。 三、解题步骤与技巧 1. 识别模型特征： · 题目中出现“tanα = 1/2”“tanβ = 1/3”或隐含“对边:邻边 = 1:2”“1:3”的直角三角形； · 需证明或计算的角度为45°，或与45°相关的和差角。 2. 构造直角三角形： · 过已知点作坐标轴或已知边的垂线，将斜线段转化为直角边，明确“1:2”“1:3”的比例关系； · 标记α、β，判断两角位置关系（相邻、重叠或需平移旋转组合）。 3. 利用角度关系计算： · 若α、β在同一顶点且两边共线，则直接得α + β = 45°； · 若目标角 = 45°，可设其中一个锐角的正切值为1/2（或1/3），推导另一个角的正切值是否为1/3（或1/2）。 4. 结合勾股定理与相似： · 模型中直角三角形的斜边长度可通过勾股定理计算（如“1:2”的斜边为√5，“1:3”的斜边为√10）； · 若图形中存在多个直角三角形，可通过相似比转化边长，构造“1:2”“1:3”的比例关系。 【例2】【问题提出】已知，都是锐角，，，求的度数． 【问题解决】 （1）如图，小明同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点都在格点上） 【策略迁移】 （2）已知都是锐角，，，则的度数为 ． （要求；在备用图1中画出求解过程的图形，并直接写出答案） （3）已知都是锐角，，，，求的值． （要求：1．在备用图2中画出求解过程的图形，2．简明写出过程或直接写出答案） 【变式2—1】如图，在边长为的正方形中，是边上一点，以为直角边向外作等腰直角三角形，且，和分别交于点，．解答下列问题： (1)当为中点时，求，的长； (2)当时，求的长． 【变式2—2】在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将绕点E顺时针方向旋转至位置，连接，交于点G． (1)如图1，当点G为的中点时，若正方形的边长为4，求的长 (2)如图2，过点E作于点P，其延长线交于点Q． ①连接，求证：平分； ②当时，求的值． 【题型三】胡不归模型 方法技巧 一、模型背景与核心问题 胡不归模型源于经典“胡不归”传说，核心是解决“带有系数的线段和最小值问题”，具体表现为：在直线l上找一点P，使取最小值（其中 ( 0 < k < 1 )，A、B为直线l同侧的定点）。 二、模型条件与关键转化 1. 条件特征： · 动点P在定直线l上运动； · 目标式为“一条线段（PA）+ 另一条线段（PB）的k倍（）”； · 系数 ( 0 < k < 1 )，且A、B在直线l同侧。 2. 核心转化思想： 利用锐角三角函数将 转化为一条“等效线段”，使目标式变为两条线段之和，再结合“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求解。 三、具体步骤与操作技巧 步骤1：构造含k的锐角三角函数值 · 因 ( 0 < k < 1 )，可将k视为某锐角的正弦值或余弦值（通常用正弦，更易构造直角三角形），即设或。 ▶ 例如：若目标式为，则取或。 步骤2：过定点作辅助线，构造直角三角形 · 以含系数k的线段PB为斜边，过定点B作直线l的垂线或与直线l成角的射线，构造含角的直角三角形，将转化为直角边。 · 若设，则过B作射线BM，使，且 ( PM \perp BM )，此时； · 若设，则过B作射线BN，使，且 ( PN \perp BN )，此时。 步骤3：转化目标式，化折为直 · 目标式转化为 ( PA + PM )（或 ( PA + PN )），此时问题转化为：在直线l上找一点P，使“PA + PM”最小（其中M为构造的定点或定线上的点）。 步骤4：利用“两点之间线段最短”确定动点P位置 · 若A、M在直线l异侧，则连接A、M，与直线l的交点即为所求点P，此时 ( PA + PM = AM )（最小值）； · 若A、M在直线l同侧，则作A关于直线l的对称点A'，连接A'M，与直线l的交点即为点P，此时 ( PA + PM = A'M )（最小值）。 步骤5：计算最小值 · 求出步骤4中线段AM（或A'M）的长度，即为 的最小值。 【例3】【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【变式3—1】在平面直角坐标系中，点，将射线绕点顺时针旋转得射线，与轴交于点，抛物线经过，两点，抛物线对称轴交轴于． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； (3)若为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【变式3—2】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该拋物线的解析式； (2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，试求的最小值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06锐角三角函数 （6知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】正切 · 定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即（a为∠A对边，b为∠A邻边）. · 性质：锐角A的正切值随∠A增大而增大；tanA>0. 【清单02】正弦、余弦 · 正弦定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即. · 余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即. · 性质：0<sinA<1，0<cosA<1；sinA随∠A增大而增大，cosA随∠A增大而减小；，. 【清单03】特殊角的三角函数值 锐角α 30° 45° 60° $1$ 【清单04】由三角函数值求锐角 · 特殊值对应锐角：已知三角函数值（sin、cos、tan），直接对应特殊角： · ；；. · ；；. · ；；. 【清单05】解直角三角形 · 定义：在Rt△ABC（∠C=90°）中，由已知元素（边或角）求未知元素（边、角）的过程. · 元素关系：$∠A+∠B=90°$；；，，. · 解法： · 已知两直角边a,b：，$∠A=\arctan\frac{a}{b}$，$∠B=90°-∠A$. · 已知直角边a和斜边c：，$∠A=\arcsin\frac{a}{c}$，$∠B=90°-∠A$. · 已知直角边a和锐角A：$∠B=90°-∠A$，，. · 已知斜边c和锐角A：，，$∠B=90°-∠A$. 【清单06】 用锐角三角函数解决应用 · 常见模型： · 仰角/俯角：视线与水平线夹角（向上为仰角，向下为俯角）. · 坡度（坡比）：（α为坡角）. · 方向角：北偏东θ°、北偏西θ°、南偏东θ°、南偏西θ°（以正北/正南为基准）. · 解题步骤：①审题画示意图；②构造Rt△；③选三角函数求未知量；④作答（注意单位与精度）. 【题型一】锐角三角函数的定义 【例1】在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 利用锐角三角函数求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1-1】在中，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的余弦值，根据余弦值等于角度邻边与斜边的比值，进行计算即可． 【详解】解：∵，，，    ∴. 故选：A． 【变式1-2】如图，在中，．若，，则 ． 【答案】 【分析】取的中点D，连接，得到，根据，不妨设，则，根据勾股定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握这些定理和性质，三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 不妨设， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型二】特殊角的三角函数值 【例2】已知△ABC是等边三角形，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值和等边三角形的性质． 由等边三角形的每个内角均为，可得∠，直接计算的值即可． 【详解】∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 【变式2-1】如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，作出，求得相关线段的长度是解决问题的关键． 根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】解：过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选C． 【变式2-2】计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，直接代入已知的三角函数值进行有理数运算即可． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，再根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ； 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 【题型三】由三角函数值判断锐角 【例3】在中，为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值得出的值，进而得出答案． 【详解】解：在中，为锐角，， ， ， ． 故选：D． 【变式3-1】在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据余弦的定义以及特殊角三角函数值即可得到答案． 【详解】解：∵，且为三角形内角， ∴． 故选：A． 【变式3-2】在锐角三角形中，若、满足，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，解得和的值，结合锐角三角形条件确定和，再利用三角形内角和定理求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型四】解直角三角形 【例4】如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 【变式4-1】如图，在中，，D为边上的一点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】在中，，求的值． 【答案】； 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由题意求出，再由勾股定理可得，最后再由正弦和余弦的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴，． 【题型五】三角函数的应用——仰角、俯角问题 【例5】如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为6米，坡度，长为5米，则古塔的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论． 【详解】解：如图，作，垂足分别为， 则四边形是矩形， 则， 斜坡，设， ， ，则， ， ， ， ， ， 即古塔的高度为米， 故选：A． 【变式5-1】某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度．如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了根据矩形的性质与判定求线段长，仰角俯角问题(解直角三角形的应用)等知识点，解题关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设过点A的水平线与交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线与交于点E，如图， 由题意知：，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴米，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：米， 故答案为：． 【变式5-2】在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形，则，米，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形 ∴，米，，米 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴（米） 答：摩天轮的高度大约是米． 【题型六】三角函数的应用——方位角问题 【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中求出，，再利用是等腰直角三角形，从而得到长，即可得到结果． 【详解】解：如图，，， 根据题意得，， ∴，， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-1】王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为 由题意，得，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得南环线的长度即可； （2）过点作的延长线于点可得和，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小黄和小月两人同时到达景点，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：南环线的长度为； （2）解：过点作的延长线于点，如图所示： 、， 设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时， ， 、， ， 在中，由勾股定理得，， 由于小黄与小月两人同时到达景点， 则， 整理得，， ， 解得， 因此北环线的长度为 答：北环线的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 【题型七】三角函数的应用——坡度与坡角问题 【例7】某班的同学想测量一教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为，则教学楼的高度约为（结果精确到米）（参考数据：）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，延长交直线于点F，利用坡度的定义求得，进而求出，利用三角函数求得，进而求得． 【详解】解：延长交直线于点F， ， ， ， ， ， (米)， ， (米)， 故选：． 【变式7-1】如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为 米．    【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题、仰角俯角问题．如图过点B作交于点D，过于点E，由题意求得，由平行可求得，再根据三角形外角的性质进而求得，由平行线的性质得，进而得，根据等角对等边得，设，在中，利用锐角三角函数求得， ，进而可得，再求解即可． 【详解】解：过点B作交于点D，过于点E，如图所示，   斜坡的坡度， ， ， ， ， ， ，竖直向上， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， 即，， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：． 【变式7-2】如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 【答案】(1)距离山脚水平面的高度是400米 (2)大约需要4.4分钟 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）过点作于H，根据直角三角形的边角关系求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，结合矩形的性质，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于H，则， 由题意，，米， ∴（米）， 答：距离山脚水平面的高度是米； （2）解：过C作于F，过B作于E， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，，，（米）， ∴（米）， ∴（分钟）， 答：大约需要4.4分钟． 【题型八】三角函数的混合运算 【例8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了特殊三角函数值的运算、实数的混合运算（零指数幂、负整数指数幂、绝对值），解题的关键是熟练掌握各运算的法则及特殊三角函数值． （1）代入特殊三角函数值，按运算顺序计算式子结果； （2）分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊三角函数值，再按运算顺序计算式子结果． 【详解】（1）解： （2） 【变式8-1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的加减和乘法运算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，同时计算乘方和负整数指数幂、零指数幂，再进行实数的加减和乘法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可； （2）分别计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型九】网格中的三角函数作图 【例9】如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是一个格点三角形． (1)填空： _______，_______； (2)请在方格纸中画出一个格点三角形，使它与以点A为位似中心且位似比为． 【答案】(1)，； (2)见解析． 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，画位似图形，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理可求出的长，在中，可求出的值； （2）取格点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图： 由网格可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：取格点，连接，则即为所求，如图： 【变式9-1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； (2)在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； (3)在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理与网格，锐角三角函数中的正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键； （1）根据，作直角三角形，使得，即可求解； （2）作，即可； （3）在（2）的基础上作的中点，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（答案不唯一）： （2）如图所示，即为所求（答案不唯一）： （3）如图所示，即为所求（答案不唯一）： ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式9-2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使； (2)在图②中的边上找到点，连结，使； (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形面积与线段比例的关系、锐角三角函数的几何意义，熟练掌握“三角形面积比等于底边长的比（同高）” “值为直角三角形对边与邻边的比”是解题的关键． （1）要使，需是中点，利用网格找中点即可． （2）要使，需，在上按比例找点． （3）要使，需构造对边为1、邻边为2的直角三角形，利用网格在上找点满足此条件． 【详解】（1）解：如图①所示． 设小正方形的边长为， ∵， ∴； （2）解：如图②所示． 如图，设小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③所示． 如图，设小正方形的边长为， 在中，． 【题型一】三角函数的增减性比较大小 【例1】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【变式1-1】的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 【变式1-2】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是掌握锐角三角函数值的变化规律．根据锐角三角函数的增减性：正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【题型二】非直角三角形构造直角三角形 【例2】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式2-2】如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【题型三】三角函数中的最值问题 【例3】如图，在中，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，分别取的中点，连接，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，分别取的中点，连接， ∵点G为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵点F在上运动， ∴， ∴三点共线， ∴点G在线段上运动， ∴当时，的值最小， 在中，，，， ，， ，， ， 为的角平分线， ， ∵， ， ，即， 的最小值为， ， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，正确找到点G的轨迹是解题的关键． 【变式3-1】如图，已知直线和与轴相交所成的锐角分别为，，点A坐标为，点为直线上的一个动点，、为直线上的两个动点，则长度的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称一最短问题，勾股定理，解直角三角形，通过作直线的对称直线，通过找点的对称点将转化为一条线段的长，进而结合作图分析，求得该线段的长，即可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称直线，取A在其对称直线上的对称点为，则，作关于的对称直线，连接交于M点，延长交于点，设在上的对称点为N，则，故， 由于A为定点，则也为定点，故当垂直于时，的长最短，即此时取得最小值， 因为直线和与轴相交所成的锐角分别为，， 所以， 则， 故， 而A坐标为， 故， 而， 所以， 即长度的最小值为， 故选：B． 【变式3-2】如图，已知正方形的边长为，点为延长线上的一动点，连接，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，垂线段最短的性质以及含特殊角的三角函数的计算．通过旋转将转化为求是解题的关键． 将绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，是等边三角形，再根据四边形是正方形，得到，进而求出 最后结合垂线段最短的性质和含特殊角的三角函数计算即可得出结果． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 点的对应点为点，则点的对应点与点重合，连接， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是正方形，且点在延长线上， ， ， 当时，的长最短，最短长度为， 的最小值是5， 故答案为：5． 【题型一】三角函数中的新定义 方法技巧 一、精准理解新定义是解题前提 1. 逐字研读定义文本：圈划定义中的核心要素（如特殊角、比例关系、图形组合等），明确新定义所描述的数学对象或运算规则。例如，若定义“锐角α的正切余弦比”为tanα与cosα的比值，则需严格按照“tanα/cosα”进行计算，不可与已知三角函数混淆。 2. 结合实例验证理解：若题目给出新定义的示例，需通过示例反向推导定义本质。例如，定义“对弦比”为直角三角形中锐角对边与弦长（斜边）的平方比，通过示例数据（如对边3、斜边5时对弦比为9/25）验证对“平方比”这一关键信息的把握。 二、构建新旧知识桥梁是解题关键 1. 分解新定义至已知三角函数：将新定义表达式转化为sinα、cosα、tanα的组合形式。例如，定义“锐角度数系数k”为/tanα，可转化为/ = cosα，再利用同角三角函数关系化简。 2. 关联基本图形性质：若新定义涉及几何图形（如“双角三角形”中两个锐角的三角函数关系），需结合直角三角形边长关系（勾股定理）、特殊角三角函数值（30°、45°、60°）建立方程。例如，在含30°角的直角三角形中，若定义“短长比”为最短边与最长边的正切值比，则可直接代入边长比1:2:√3计算。 三、分类突破常见新定义类型 1. 新运算型（定义三角函数间的新运算） · 方法：严格按定义公式代入计算，注意运算顺序和符号规则。 示例：定义“⊗”运算为a⊗b = (sin a)² + tan b，若a=30°，b=45°，则原式=(1/2)² + 1 = 1/4 + 1 = 5/4。 2. 新概念图形型（定义含特殊三角函数关系的图形） · 方法：根据定义画出图形，标注已知条件，利用三角函数定义（对边/斜边、邻边/斜边、对边/邻边）列等式。 示例：定义“黄金直角三角形”为锐角α满足sinα = cos²α的直角三角形，设对边为a，斜边为c，则a/c = (b/c)²（b为邻边），结合a² + b² = c²，解得a/c = (√5-1)/2（黄金比）。 3. 参数定义型（用字母参数定义新函数） · 方法：用参数表示三角函数值，结合方程思想求解参数。 示例：定义“函数f(α) = k·sinα + cosα”为“α的倾斜函数”，若f(60°)=2，即k·(√3/2) + 1/2 = 2，解得k = √3。 【例1】我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 【点睛】此题重点考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求角等知识与方法，适当选择相似三角形的判定定理证明图1中的及图2中的是解题的关键． 【变式1—1】在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点A和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点A的关联弦． (1)如图1，已知点，，，，，在上，在弦，，中，点A的关联弦是______； (2)如图2，已知点，在上，弦是点A的关联弦，直接写出长度的取值范围______； (3)直线分别与x轴和y轴交于点，对于线段上一点S，存在的弦，使得弦是点S的关联弦；对于点S，将其对应的关联弦的长度的最大值记为d，当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围______． 【答案】(1)和； (2)或 (3) 【分析】本题为圆的新定义题型，考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，特殊角三角函数的计算等知识点，对新定义的准确理解及找出定点最大关联弦的方法是解答本题的关键． （1）分别计算三条弦的端点和点A的距离，然后依据勾股定理的逆定理进行判定是否为直角三角形的斜边即可． （2）根据定弦定角模型确定点A的轨迹是在以为直径的部分圆弧上，由，可得的取值范围． （3）首先根据点S的关联弦BC的定义，得出其点S的关联弦最大值是以为斜边且为直角平分线的等腰直角三角形的斜边长度，然后由点S到原点O的距离远近判定出d的最大值为直径，d的最小值为根据的值确定，即可根据特殊角三角函数求出的长度，最后确定d的取值范围． 【详解】（1）解：从图中可以看出，， ， 弦，都是点A的关联弦． 对于弦，，， ，， ， 弦不是点A的关联弦． 故答案为：和 （2）如图，连接，当弦是点A的关联弦时，， 故点A在以为直径的圆上， 由于，所以点A的轨迹不包括、两个端点． 弦的中点为E，作直线交于F、G两点，则弦，是等腰直角三角形． 当点A在圆上运动时，或，即或 由于， ， 故答案为：或 （3）对于直线， 令，；令， 故点M坐标为，点N坐标为 ， 如图，直线与的另一个交点为L，与x轴交于于点P和点Q，点D为点S的关联弦的中点，连接 当点S在线段上运动时，， ∴ 由于，最大值取，此时D、O、S三点共线， ∴，即是的垂直平分线． 点S的关联弦最大值为以S顶点的等腰直角三角形的斜边的长度，而且点S离圆心O越近，越小，的也越小． ①当点S在点N处时，点S的关联弦的最大值为的长度，此时为的直径，则d最大值为：； ②当点S位于点K时，此时，为的最小值，为d的最小值． 此时E为的中点，四边形和为正方形， ∴， 由于，则 的最小值为 综合①②可知d的取值范围为： 【变式1—2】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角正对． 如图1，在中，，顶角A的正对记作，这时容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：_______． (2)对于的正对值的取值范围是________． (3)如图2，已知中，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，，则可证明是等边三角形，得到，据此根据定义求解即可； （2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可得到答案； （3）在上截取，过点G作于H，连接，根据余弦的定义得到，设，则，利用勾股定理求出，，再根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当接近时，底边的长接近0，故此时的值接近0， 当接近时，底边的长接近是的长的倍，故此时的值接近， ∵大角对大边， ∴当的长度固定时，越大，则越大， ∴随着的增大，的值也增大， ∴当时，； （3）解：如图所示，在上截取，过点G作于H，连接， ∵， ∴在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型二】：12345模型 方法技巧 一、模型核心原理 “12345模型”是基于锐角三角函数值的特殊关系总结的解题技巧，核心是利用两组特殊角度的正切值关系快速求解几何问题。具体指： · 若两个锐角α、β满足tanα = 1/2，tanβ = 1/3，则α + β = 45°； · 反之，若α + β = 45°，且tanα = 1/2，则tanβ = 1/3（或 tanα = 1/3 时，tanβ = 1/2）。 推导依据： 利用两角和的正切公式： 代入 tanα = 1/2，tanβ = 1/3，得： ∵ α、β为锐角，∴ α + β = 45°。 二、模型图形构造 基本图形：在直角坐标系中，构造Rt△AOB和Rt△COD，使得： · 点A(2,1)，则OA与x轴夹角α的tanα = 1/2； · 点C(3,1)，则OC与x轴夹角β的tanβ = 1/3； · 将两个三角形组合，使α、β的顶点重合，两边共线，则α + β = 45°。 扩展图形：在复杂几何题中，若发现含“1/2”“1/3”正切值的锐角，可通过作垂线、构造直角三角形，分离或组合出α、β，利用α + β = 45°快速推导角度关系。 三、解题步骤与技巧 1. 识别模型特征： · 题目中出现“tanα = 1/2”“tanβ = 1/3”或隐含“对边:邻边 = 1:2”“1:3”的直角三角形； · 需证明或计算的角度为45°，或与45°相关的和差角。 2. 构造直角三角形： · 过已知点作坐标轴或已知边的垂线，将斜线段转化为直角边，明确“1:2”“1:3”的比例关系； · 标记α、β，判断两角位置关系（相邻、重叠或需平移旋转组合）。 3. 利用角度关系计算： · 若α、β在同一顶点且两边共线，则直接得α + β = 45°； · 若目标角 = 45°，可设其中一个锐角的正切值为1/2（或1/3），推导另一个角的正切值是否为1/3（或1/2）。 4. 结合勾股定理与相似： · 模型中直角三角形的斜边长度可通过勾股定理计算（如“1:2”的斜边为√5，“1:3”的斜边为√10）； · 若图形中存在多个直角三角形，可通过相似比转化边长，构造“1:2”“1:3”的比例关系。 【例2】【问题提出】已知，都是锐角，，，求的度数． 【问题解决】 （1）如图，小明同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点都在格点上） 【策略迁移】 （2）已知都是锐角，，，则的度数为 ． （要求；在备用图1中画出求解过程的图形，并直接写出答案） （3）已知都是锐角，，，，求的值． （要求：1．在备用图2中画出求解过程的图形，2．简明写出过程或直接写出答案） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是学会数形结合的思想解决问题． （1）连接，利用勾股定理逆定理和等腰直角三角形的性质求解； （2）构造等腰直角三角形可得结论； （3）构造直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 由题意，，， ， ∵， ∴， 是等腰直角三角形，且， ， 故答案为：； （3）如图，，， ， 由勾股定理得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 在中，， ， ． 【变式2—1】如图，在边长为的正方形中，是边上一点，以为直角边向外作等腰直角三角形，且，和分别交于点，．解答下列问题： (1)当为中点时，求，的长； (2)当时，求的长． 【答案】(1)的长为，的长为 (2)的长为 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，则四边形是矩形，所以，，而，，即可证明，得，求得，则，，，由，，求得，； （2）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，由，得，，则，所以，，，由，，且，推导出，则，求得． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， 四边形是边长为的正方形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ， ， 为中点， ， ，， ， ，， ，， 的长为，的长为； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得四边形是矩形，同理， ，，，， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，点与点重合，则点与点重合，不符合题意， ，则， ， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 的长为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【变式2—2】在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将绕点E顺时针方向旋转至位置，连接，交于点G． (1)如图1，当点G为的中点时，若正方形的边长为4，求的长 (2)如图2，过点E作于点P，其延长线交于点Q． ①连接，求证：平分； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，交于点,构造K字形全等，可得，，进而可得，再根据点为的中点时，可得，由此得出，进而可得，由此求出，再根据即可求出； （2）①过点作于点，交于点,过点作于点，由（1）可证明四边形是正方形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可得出结论； ②由已知可得，再根据，可得，由，即可得出． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，交于点 由旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵当点为的中点时，正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①过点作于点，交于点，过点作于点， ∵过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形， 由（1）可知：， ∴四边形是正方形， ∴， ∴平分， ②当时，即， ∴， ∴ ∴， ∵在正方形中，， ∴， 由（1）得， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转、四边形和全等三角形综合，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识点，解题关键是构造K字形全等证明，． 【题型三】胡不归模型 方法技巧 一、模型背景与核心问题 胡不归模型源于经典“胡不归”传说，核心是解决“带有系数的线段和最小值问题”，具体表现为：在直线l上找一点P，使取最小值（其中 ( 0 < k < 1 )，A、B为直线l同侧的定点）。 二、模型条件与关键转化 1. 条件特征： · 动点P在定直线l上运动； · 目标式为“一条线段（PA）+ 另一条线段（PB）的k倍（）”； · 系数 ( 0 < k < 1 )，且A、B在直线l同侧。 2. 核心转化思想： 利用锐角三角函数将 转化为一条“等效线段”，使目标式变为两条线段之和，再结合“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求解。 三、具体步骤与操作技巧 步骤1：构造含k的锐角三角函数值 · 因 ( 0 < k < 1 )，可将k视为某锐角的正弦值或余弦值（通常用正弦，更易构造直角三角形），即设或。 ▶ 例如：若目标式为，则取或。 步骤2：过定点作辅助线，构造直角三角形 · 以含系数k的线段PB为斜边，过定点B作直线l的垂线或与直线l成角的射线，构造含角的直角三角形，将转化为直角边。 · 若设，则过B作射线BM，使，且 ( PM \perp BM )，此时； · 若设，则过B作射线BN，使，且 ( PN \perp BN )，此时。 步骤3：转化目标式，化折为直 · 目标式转化为 ( PA + PM )（或 ( PA + PN )），此时问题转化为：在直线l上找一点P，使“PA + PM”最小（其中M为构造的定点或定线上的点）。 步骤4：利用“两点之间线段最短”确定动点P位置 · 若A、M在直线l异侧，则连接A、M，与直线l的交点即为所求点P，此时 ( PA + PM = AM )（最小值）； · 若A、M在直线l同侧，则作A关于直线l的对称点A'，连接A'M，与直线l的交点即为点P，此时 ( PA + PM = A'M )（最小值）。 步骤5：计算最小值 · 求出步骤4中线段AM（或A'M）的长度，即为 的最小值。 【例3】【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确理解题意是解题的关键． 模型认知：根据题意可得依据为垂线段最短； 模型探究：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明是等腰直角三角形，则，据此可得答案； 模型应用：作，过点C作于D，则；由一次函数解析式可求得，则可证明，，故，；可证明，则当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线，据此求解即可． 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，， ∴的最小值为6． 【变式3—1】在平面直角坐标系中，点，将射线绕点顺时针旋转得射线，与轴交于点，抛物线经过，两点，抛物线对称轴交轴于． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； (3)若为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合应用，解直角三角形，相似三角形的性质与判定； （1）根据旋转的性质，得出，进而得出，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）抛物线的对称轴为，所以点的横坐标为过作交对称轴于，根据已知证明 ，根据相似三角形的性质，进而求得，即可求解； （3）由于过作于，则，据“垂线段最短”，，，三点共线时最小即线段长，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵点，将射线绕点顺时针旋转得射线，与轴交于点， ∴ ∴ ∴点， 将，代入， 得： 解得 ∴二次函数的解析式为：． （2）抛物线的对称轴为，所以点的横从标为 过作交对称轴于， ，； ，即 解得： 所以点的坐标为，由对称性知，点另一点坐标为 综上所述：满足条件的点的坐标为或． （3）由于，过作于， 则，据“垂线段最短”，，，三点共线时最小，即线段长， ∵抛物线的对称轴为， ， 又 ， ，则． 的最小值为． 【变式3—2】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该拋物线的解析式； (2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，试求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查了二次函数的基本性质、几何图形中的角度与线段关系、最短路径问题的转化思想，核心是函数与几何的综合应用，需要灵活运用待定系数法、三角函数、坐标运算及几何模型(如将军饮马)解决复杂问题． ()利用抛物线与轴交于点，代入抛物线方程，求出的值，从而确定抛物线的解析式； ()通过，利用正切值相等建立方程，结合点在第二象限的条件，求出点的坐标； ()通过构造等腰直角三角形将转化为点到某条直线的距离，再利用“垂线段最短”原理，求出的最小值； 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线表达式， 得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）过点作轴的垂线，交轴于点. 设：点的坐标为， 当时，， 解得：，， 即：，， ∴，， ∵点， ∴， ∵， ∴， 即：，， 解得：或， ∵点D在第二象限内， ∴，舍去， 当时，， ∴点的坐标为； （3）过点作，交于点； 当三点共线时，的值最小， 由（）可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴， 则， ， ∴， 的最小值． 学科网（北京）股份有限公1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $