专题03 数据的集中趋势和离散程度、等可能条件下的概率（期末复习知识清单，8知识&13题型清单）九年级数学上学期苏科版

该初中数学专题清单全面覆盖数据的集中趋势（算术与加权平均数、中位数、众数）、离散程度（方差）及等可能条件下的概率（古典概型、几何概型），通过8个知识清单与13类题型清单，搭建从概念理解到问题解决的递进式学习支架。 清单以“知识细化+题型分层”构建体系，如明确加权平均数中权的多种形式、方差与数据稳定性的关联，结合图表计算题型培养数据意识与几何直观。例题配变式题的设计助力分层教学，既方便学生自主梳理知识，又为教师提供精准教学资源，提升复习效率。

专题03 数据的集中趋势和离散程度、等可能条件下的概率 （8知识&13题型清单） 【清单01】平均数 1. 算术平均数：一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数。平均数是反映一组数据集中趋势的重要指标，它利用了所有数据的信息。 2. 加权平均数：若n个数的权分别是，则叫做这n个数的加权平均数。权反映了各个数据在该组数据中的重要程度，权的形式可以是整数、百分数、比例等。当各数据的权相同时，加权平均数就是算术平均数，因此算术平均数是加权平均数的特例。 【清单02】中位数与众数 1. 中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数。中位数是一个位置代表值，它不受极端值（偏大或偏小的数据）的影响，适合用于描述偏态分布数据的集中趋势。 2. 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。众数可能不止一个，也可能没有（当所有数据出现的次数都相同时）。众数着眼于各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，它反映了一组数据的集中趋势。 【清单03】用计算器求平均数 1. 基本步骤：不同型号的计算器操作步骤可能略有差异，但一般都包括：进入统计计算模式（通常标记为“STAT”或“统计”）；清除以前的统计数据（避免干扰）；依次输入各数据（对于有重复数据的，可以使用计算器的频数输入功能，输入数据及其对应的频数）；输入完成后，按求平均数的功能键（通常标记为“”或“Mean”），即可得到这组数据的平均数。 2. 注意事项：在输入数据前，务必确保计算器处于正确的统计模式；输入数据时要仔细核对，避免输入错误；对于利用频数输入重复数据的情况，要正确区分数据值和频数的输入位置。 【清单04】方差 1. 方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。 2. 方差的计算公式：设有n个数据，它们的平均数为，则方差。方差的单位是原数据单位的平方。 【清单05】用计算器求方差 1. 基本步骤：通常在使用计算器求完平均数后（或在统计模式下输入数据后），可以直接按求方差的功能键（通常标记为“”或“Var”）来得到方差。具体操作需参考所用计算器的说明书，一般也是先进入统计模式，输入数据（可含频数），然后选择计算方差的选项。 2. 与平均数计算的联系：求方差的前提是已经有了该组数据的平均数，计算器在计算方差时会自动利用之前输入的数据和计算得到的平均数进行计算，因此数据输入的准确性同样至关重要。 【清单06】 等可能性 1. 等可能条件：一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有一个结果出现。如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性。例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”这两个结果是等可能的；抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为1,2,3,4,5,6这六个结果是等可能的。 2. 判断等可能性：判断试验的结果是否具有等可能性，关键在于看在试验中所有可能发生的结果中，每个结果发生的机会是否相同，与结果的具体内容无关。 【清单07】等可能条件下的概率（一）——古典概型（直接列举法） 1. 概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。事件A发生的概率记为P(A)。 2. 古典概型的概率计算公式：在一个试验中，如果有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。其中，n是试验中所有等可能结果的总数，m是所关注的事件A所包含的等可能结果数。 3. 概率的取值范围：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率P(A)是0与1之间的一个常数，即。 4. 计算方法：当试验的所有可能结果数较少时，可直接列举出所有可能的结果，再数出事件A包含的结果数，利用公式计算概率。例如，从装有红、白、蓝三个球的袋子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率，可直接列举所有结果：红、白、蓝，共3种等可能结果，事件A（摸到红球）包含1种结果，所以P(A)=1/3。 【清单08】等可能条件下的概率（二）——几何概型（面积法） 1. 几何概型的特点：试验的结果是无限多个，且每个结果发生的可能性相等，其可能性大小与所考察的对象的面积（或长度、体积等）有关。 2. 面积法求概率：当事件A发生的可能性大小与某一平面区域的面积成正比，而该区域内的每一点被取到的机会均等时，事件A发生的概率可以用“事件A发生的区域面积”与“所有可能结果组成的区域面积”之比来表示，即(P(A) = {事件A发生的区域面积}{所有可能结果组成的区域面积})。 3. 举例：例如，一个可自由转动的转盘，被等分成若干个扇形区域，每个扇形区域的面积相等，指针指向每个区域的可能性相等，求指针指向某一特定颜色区域的概率，就可以用该颜色区域的面积除以转盘的总面积。再如，向一个画有等距平行线的平面上随机投掷一枚针，求针与平行线相交的概率（蒲丰投针问题）也属于几何概型，但初中阶段主要以面积型为主。在这类问题中，关键是确定“所有可能结果组成的区域”和“事件A发生的区域”，并计算它们的面积。 【题型一】算术平均数与加权平均数 【例1】小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，10，9，9，11，7．则小丽该周每天的平均睡眠时间（    ） A．9 B．9.1 C．9.2 D．9.3 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数的计算，熟练掌握其算法是解题的关键．利用平均数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意得， 小丽该周每天的平均睡眠时间为：． 故选：A． 【变式1-1】河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题的比例命题，满分为120分．若小明容易题得分率、中档题得分率、较难题得分率，则他的最终成绩是（    ） A．96分 B．98分 C．100分 D．102分 【答案】A 【分析】本题主要考查了加权平均数，理解“权”的含义和掌握求加权平均数的方法是解答本题的关键．根据试卷命题比例计算各部分分值，再根据得分率计算各部分得分，求和得总成绩． 【详解】解：根据题意，得 （分） 则他的最终成绩是分． 故选：A． 【变式1-2】某校体育期末考核“仰卧起坐”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．已知小林这两项的考试成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为 分． 【答案】 【分析】本题主要考查加权平均数，理解和掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， 小林的体育期末成绩为：（分）． 故答案为：． 【题型二】中位数与众数 【例2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 【变式2-1】第九届亚洲冬季运动会于2月14日在哈尔滨正式收官，这是继北京冬奥会后，我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会． 中国队在历届亚冬会上获得的金牌数分别是：4，9，15，15，9，19，11，12，32． 这组数据的中位数是（ ） A．9 B．12 C．15 D．19 【答案】B 【分析】本题考查中位数，熟知中位数是将数据按从小到大排序后，位于中间位置的数．本题数据个数为奇数，中位数是将数据按照从小到大排序后的第5个数据，进而求解即可． 【详解】解：数据排序后为：4, 9, 9, 11, 12, 15, 15, 19, 32． ∵数据个数为奇数， ∴中位数为第5个数据，即12． 故选：B． 【变式2-2】小红等五名同学五月份参加某次数学测验的成绩如下：90、90、y、y、70．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数y的值为 ． 【答案】50或100 【分析】本题考查了中位数和平均数，根据数据90、90、y、y、70，分情况讨论y的取值范围，确定中位数，并令中位数等于平均数，解方程求整数y，熟练掌握中位数和平均数的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：数据总和为， 故平均数为， 当时，数据排序为、、70、90、90，则中位数为70， 故，解得，符合； 当时，数据排序为70、、、90、90，则中位数为， 故，解得，不是整数，舍去； 当时，数据排序为70、90、90、、，则中位数为90， 故，解得，符合； 综上所述，整数的值为50或100， 故答案为：50或100． 【题型三】方差与标准差 【例3】在三次安全知识测试中，八年级的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩的平均分是，方差是，，，，则成绩最理想的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查了数据分析中平均数、方差的意义，平均数是用来描述数据集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越小，波动越小，也越稳定，反之则越不稳定． 由于四位同学的平均分相同，因此成绩的稳定性由方差决定，方差越小表示成绩越稳定，越理想． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵ 平均分相同，方差越小越稳定， ∴乙成绩最理想． 故选：B． 【变式3-1】运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【答案】A 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 【变式3-2】若一组数据，，…，的方差是3，则另一组数据，，，…，的标准差是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．先设这组数据，，…，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…，的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：设这组数据，，…，的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为， ∵， ∴ = = ， ∴，，，…，的标准差是． 故答案为：． 【题型四】结合条形、扇形图计算集中趋势 【例4】粮店计划从10袋面粉（质量如图所示）中挑选出7袋面粉，其中五袋面粉的质量已经确定，且这五袋面粉质量的中位数为，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，若要使选出的7袋面粉质量的中位数仍为，则第6袋面粉和第7袋面粉可能会选择（    ） A．A、D B．A、E C．B、E D．C、E 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数的含义，由图形可知，要使选定7袋面粉质量的中位数仍为10kg，则第6袋面粉和第7袋面粉需要选择一袋不低于，另一袋不高于，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：∵序号为1到5袋的面粉已选定，这5袋面粉质量的中位数恰好为10kg，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，使选定7袋面粉质量的中位数仍为， ∴选定的第6袋面粉和第7袋面粉的质量应该一袋不低于，另一袋不高于， 结合题图可得，第6袋面粉和第7袋面粉分别可以选择A和E、或B和D、或C和D， 选项B符合题意 故选：B． 【变式4-1】某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数和中位数是（   ） A．岁和岁 B．岁和岁 C．岁和岁 D．岁和岁 【答案】D 【分析】本题考查众数与中位数的概念及统计图分析，利用众数（出现次数最多的数）和中位数（排序后中间位置数）的定义求解，关键是准确统计人数并确定中位数位置，易错点是未排序或数错总人数；解题思路为：从条形图得各年龄人数，找出现次数最多的数得众数，统计总人数确定中位数位置得中位数． 【详解】解：从图中可知：21 岁 3 人、22 岁 1 人、23 岁 2 人、24 岁 5 人、25 岁 1 人； 众数：24 岁（出现次数最多）； 总人数：，中位数是第 6、7 个数的平均数，排序后第 6、7 个数平均数为 岁，故中位数为 岁； 故选D． 【变式4-2】《义务教育课程方案（2022版）》在改进教育评价部分强调：要强化素养导向，注重对正确价值观，必备品格和关键能力的考查，开展综合素质评价．某校积极响应号召，期末从德、智、体、美、劳进行综合素质评价．小明同学本学期五项评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数和中位数分别为 ． 【答案】8，8 【分析】本题考查了众数和中位数，利用众数、中位数的定义写出答案即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，8，9，10， 出现次数最多的数是8，所以众数为8， 位于中间位置的数是8，所以中位数是8． 故答案为：8，8． 【题型五】结合频数分布表计算平均数 【例5】为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】本题考查了求平均数． 先根据统计图得到评9分的评委人数，进而根据平均数的定义计算即可． 【详解】解：由统计图可知，评9分的人数为（人）， 则901班平均得分（分）． 故选：D． 【变式5-1】如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的平均成绩(单位：环)约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算公式是解题的关键．根据平均数的计算公式即可求得平均数． 【详解】解：（环）， 故选：B． 【变式5-2】小亮调查本班同学的身高后，将数据绘制成如图所示的频数直方图（每组数据包含最小值，但不包含最大值）．设班上学生身高的平均数为x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，平均数的含义，取各组身高阶段的最小值，然后乘以各组人数，再除以总人数，得到最小值；各组中的最大值乘以各组的人数，然后除以总人数，得到最大值，从而可得答案． 【详解】解：依题意有：． ． 因此的取值范围是 ． 故答案为： 【题型六】利用集中趋势比较数据 【例6】如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 【答案】D 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，折线统计图，根据折线统计图以及中位数，平均数和众数的定义来判断A、B、C，根据方差与稳定性之间的关系可判断D． 【详解】解：A、由统计图可知，甲的中位数为8个，乙的中位数为8个，故甲的中位数与乙的中位数相同，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知，甲的众数是8个，原说法错误，不符合题意； C、甲的平均数为个，乙的平均数为个，故甲的平均数与乙的平均数相同，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可知甲成绩的波动比乙成绩的波动小，故甲的成绩比乙的成绩稳定，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-1】某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查方差，折线统计图，掌握方差越大，数据的波动程度越大；方差越小，数据的波动程度越小是解决问题的关键．解题思路是通过观察折线统计图中甲乙成绩的波动幅度，判断方差的大小关系． 【详解】解：从折线统计图中可以看出，甲的成绩折线波动幅度较小，乙的成绩折线波动幅度较大， 根据方差的意义，数据波动幅度越小，方差越小；波动幅度越大，方差越大， ∴甲的方差小于乙的方差，即． 故选：B． 【变式6-2】2029年将在长沙举办第十六届全国运动会．为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选 参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 【答案】丙 【分析】本题考查了方差，掌握方差的意义是解题的关键．方差表示的是一组数据的波动大小，方差越小这组数据的波动越小，成绩越稳定，所以三个人的平均成绩相同时要选三个人中方差最小的丙去参加全运会． 【详解】解：∵甲、乙、丙的平均成绩均为9.5环，且，，，其中丙的方差最小， ∴应选丙参加全运会． 故答案为：丙． 【题型七】含参数的统计量计算 【例7】数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【答案】A 【分析】此题考查了平均数的定义，首先根据题意得到，求出，然后根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵，，的平均值是333， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式7-1】是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵是的平均数，是的平均数，是的平均数， ∴，， ∴. 故选：B. 【变式7-2】一组数据，，的平均数是90，方差是13.5，则，，，的平均数是 ，方差是 ．如果这组数据再加上一个数90，那么这11个数的方差 （“变大”、“变小”或者“不变”）？ 【答案】 190 121.5 变小 【分析】此题考查了平均数和方差，利用平均数和方差的计算方法求新数据的平均数和方差；通过计算加数后的新方差与原方差比较变化． 【详解】∵一组数据，，的平均数是90， ∴ ∴ ∴，，，的平均数是190； ∵一组数据，，的方差是13.5， ∴ ∴ ∴ ∴，，，的方差是121.5， 如果这组数据再加上一个数90， ∴平均数为 ∴ ∴这11个数的方差变小． 故答案为：190，121.5，变小． 【题型八】直接列举法求概率 【例8】小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过列举法求概率，列举出点数之和小于6的情况数与总情况数是解题的关键． 先确定总情况数，再列举出点数之和小于6的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解∵总共有种等可能结果，点数之和小于6的情况有：①和为2：，共1种；  ②和为3：共2种；③和为4：共3种；④和为5：共4种；   ∴掷得面朝上的点数之和小于6的情况数共有种情况．   ∴ 掷得面朝上的点数之和小于6的概率是． 故选D． 【变式8-1】用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，同时转动两个转盘一次，可能出现的结果为（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（白，黄），（白，蓝），（白，绿），共6种等可能的结果，其中配成紫色的结果只有（红，蓝）1种， ∴； 故选A． 【变式8-2】有三张外观一样的牌，牌面数字分别为3、4、5，从中随机抽出两张牌，牌面数字和为奇数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，通过列举所有可能抽出的两张牌的组合，并计算数字和为奇数的组合数，再除以总组合数，得到概率即可． 【详解】解：所有可能抽出的两张牌的组合有：，共3种情况． 其中数字和为奇数的组合有：和，共2种情况． 故概率为． 故答案为：． 【题型九】几何概率 【例9】如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率计算，正确理解概率的几何意义是解题的关键．连接，，圆的直径为正方形的边长即直径为，，用小正方形的面积除以大正方形的面积即可． 【详解】解：正方形镖盘的边长为， 圆的直径为正方形的边长，即直径为， 如图， 连接，， ， 阴影部分的面积为：， 故飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 【变式9-1】如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=该事件所占有的面积与总面积之比． 把大正方形分成四个小正方形，每个正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，然后用白色区域的面积除以大正方形的面积得到扎中白色区域的概率． 【详解】解：小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是 故选：B． 【变式9-2】在一家大型连锁超市中，智感扫码技术发挥了重要作用．超市员工配备了带有智感扫码功能的手持终端．在日常巡店过程中，员工只需扫描货架上商品的二维码．系统不仅能立即显示商品的详细信息，如名称、规格、进价、售价等，还能实时更新库存数据．如图是某二维码示意图，用黑白打印机打印于面积为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右．据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【答案】6.3 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.7，再乘以正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴估计点落入黑色部分的概率为0.7， ∴估计黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 【题型十】用频率估计概率 【例10】某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行了质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.951 0.95 0.951 由表可知，从这批玩具中任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率是（精确到0.01）（    ） A．0.94 B．0.95 C．0.96 D．0.97 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率的集中趋势估计概率是解题的关键．根据频率估计概率的原理，从表格数据可知，优等品的频率在0.95附近波动即可得答案． 【详解】解：表格中优等品的频率大概在左右浮动， 从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是， 故选B． 【变式10-1】在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右， 设白球有个， ，解得． 故选：B． 【变式10-2】七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有 人． 【答案】 【分析】本题考查频率估计概率，设第一次确定的同学中，女生有人，由题意可得，解一元一次方程即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设第一次确定的同学中，女生有人， 抽中女生的概率是， ，解得， 故答案为：． 【题型十一】数据分析综合题 【例11】某射击队为了从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加市级比赛，对他们进行了5次测试，测试成绩统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8.8 ①________ 0.96 乙 ②________ 9 0.16 丙 8.8 9 ③________ (2)根据（1）中表格里的信息，你认为推荐谁参加市级比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)①9；②8.8；③0.56． (2)乙运动员参加市级比赛更合适，理由见解析． 【分析】本题考查了平均数、中位数和方差，以及利用方差做决策，掌握方差的意义是解题关键． （1）根据平均数、中位数以及方差的定义计算即可； （2）根据方差的意义计算即可． 【详解】（1）解：甲运动员成绩从小到大排列为：7、9、9、9、10， 则甲运动员的中位数为9； 乙运动员成绩的平均数为：， 丙运动员成绩的方差为：， （2）解：乙运动员参加市级比赛更合适． 理由：三名运动员成绩的平均数和中位数相同，但是乙运动员的方差更小成绩更稳定，所以乙运动员参加市级比赛更合适． 【变式11-1】为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，现对他们在近六场比赛中得分、篮板和失误三个方面数据进行统计． 甲、乙两名队员比赛得分折线统计图： 甲、乙两名队员技术统计表如下： 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是______（填“甲”或“乙”）； (2)求甲队员得分的中位数和众数； (3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】(1)甲 (2)中位数为分，众数是28分 (3)乙队员表现更好 【分析】本题考查了数据的稳定性、中位数的计算及根据特定公式计算综合得分并进行比较． （1）根据比赛得分统计图观察，波动幅度小的说明更稳定，所以得分更稳定的队员是甲； （2）将甲的六次成绩按从小到大依次排序，由于总数为偶数个，所以选择第三、四个成绩进行平均数的计算即为该队员的中位数，再将出现次数最多的成绩找出即为该队员成绩的中位数； （3）分别计算甲和乙的综合得分，再进行比较，综合得分高者即为表现最好的． 【详解】（1）解：从比赛得分统计图观察，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度，所以得分更稳定的队员是甲， 故答案为：甲． （2）解：把甲的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三个、第四个的成绩分别为27和28， 所以中位数为（分）， 甲的六次成绩中28出现的次数最多，所以众数是28分． （3）解：甲的综合得分为：（分）， 乙的综合得分为：（分）， ∵， ∴乙队员表现更好． 【变式11-2】嘉琪想了解青少年活动中心射击队甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：根据信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为___________环，乙队员成绩的中位数为___________环； (2)已知甲、乙两名队员成绩的方差分别为：，，从平均数和方差的角度判断甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ (3)如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是“平均数、众数或中位数”中的哪个？说明你的理由； (4)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 【答案】(1)8，7 (2)甲队员射击的整体水平高一些 (3)平均数会发生变化，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义计算即可得解； （2）求出甲、乙队员成绩的平均数和方差，比较即可得解； （3）结合平均数、中位数、众数的定义求解比较即可； （4）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵甲队员8环出现的次数最多， ∴甲队员成绩的众数为8环； ∵排序后第5位和第6位数都为7环， 乙队员成绩的中位数为7环； 故答案为：8，7； （2）解：甲队员的平均数为（环）； 乙队员的平均数为（环）； ∵， ∴从平均数的角度判断甲队员射击的整体水平高一些； ∵，，， ∴甲队员发挥比较稳定，从方差的角度判断甲队员射击的整体水平高一些； 综上，甲队员射击的整体水平高一些； （3）解：平均数会发生变化，理由如下： 如果乙队员再射击1次，命中8环， 那么平均数为，会发生变化； 出现次数最多的依然是6环，众数不会发生变化； 排序后第6位数为7环，中位数依然是7环，不会发生变化； 综上，平均数会发生变化； （4）解：补全统计图如下： 此时，丙队员的众数为9环， 中位数为9环， 平均数为（环）； 均大于甲队员． 【题型十二】列表法或树状图求概率 【例12】为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看． (1)乙同学选择电影C的概率为_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）解：现有共3部电影， 乙同学选择C部电影的概率是． 故答案为：； （2）解：用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择相同电影的结果有3种， （甲、乙2位同学选择相同电影）． 【变式12-1】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献． (1)从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____； (2)某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用简单概率公式进行求解即可； （2）用树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：抽到《四元玉鉴》的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 等可能的结果有12种，其中抽到组合的结果有2种， ∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为． 【变式12-2】一个不透明的口袋中装有3张分别标有数字，，4的卡片，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一张卡片，记下数字为，在剩下的2张卡片中再随机摸出一张，记下数字为． (1)第一次摸出标有数字4的卡片的概率是___________． (2)用列表法或画树状图的方法，求点落在第二象限的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列出表格，进而根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共3种情况，4占一种，则第一次摸出标有数字4的卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 4 4 可知共6种情况，其中点落在第二象限的情况有种， （落在第二象限） 【题型十三】统计与概率综合 【例13】成都市双流区环境优美、底蕴丰厚．拥有白河流域“五湖四海”的生态格局，我校九年级准备组织学生开展一场关于“五湖四海”生态研学活动，现在想调查了解本年级学生对“五湖四海”的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的学生共有 人，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数； (3)在“非常了解”里选4人，有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人作领队，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)1000；图见解析 (2) (3)列表见解析，恰好抽到一男一女的概率 【分析】（1）根据调查结果为“了解”的人数和所占百分比，列式计算即可得到总人数；然后利用总人数减去其它调查结果的人数，求得“一般”的人数，据此补全条形统计图即可； （2）先求得“非常了解”的人数所占百分比，再根据对应圆心角度数等于360度乘以其所占百分比即可求解； （3）根据题意，列出表格，得到所有等可能的结果数以及恰好抽到一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次调查的学生共有（人）， 调查结果为“一般”的人数有（人）， 补全条形统计图，如下图即为所求： 故答案为：1000． （2）解：， ∴在扇形统计图中，“非常了解”对应的圆心角度数为． （3）解：根据题意，列表如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所有等可能结果数有12种，其中恰好抽到一男一女的结果数有8种， 所以恰好抽到一男一女的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，求扇形统计图中的圆心角，画树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【变式13-1】打造书香文化，培养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类；B：文学类；C：政史类；D：艺术类；E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 根据图中信息，请解答下列问题． (1)条形统计图中的______，文学类书籍对应的扇形圆心角的度数是_______． (2)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】(1)18； (2) 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． （1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m， 360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】（1）解：调查总人数（名）， ∴（名）， 文学类书籍对应的扇形圆心角的度数， 故答案为：18； ． （2）列表如下： 甲             乙 B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，B） （B，C） （B，D） C （C，B） （C，C） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【变式13-2】某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②扇形统计图中圆心角______度； (2)学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】(1)①；② (2)见解析，（恰好抽中甲、乙两人） 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意读懂统计图是解题的关键． （1）①用B组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数；②先求出A组的人数，再求出C组的人数，再用360度乘以C组的人数占比即可得到答案； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中甲、乙两人的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①名， ∴这次调查一共随机抽取了400名学生； ②由题意得，A组的学生人数为名，， ∴C组的学生人数为名， ∴； （2）解：由题意可画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种， （恰好抽中甲、乙两人）． 学科网（北京）股份有限公32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数据的集中趋势和离散程度、等可能条件下的概率 （8知识&13题型清单） 【清单01】平均数 1. 算术平均数：一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数。平均数是反映一组数据集中趋势的重要指标，它利用了所有数据的信息。 2. 加权平均数：若n个数的权分别是，则叫做这n个数的加权平均数。权反映了各个数据在该组数据中的重要程度，权的形式可以是整数、百分数、比例等。当各数据的权相同时，加权平均数就是算术平均数，因此算术平均数是加权平均数的特例。 【清单02】中位数与众数 1. 中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数。中位数是一个位置代表值，它不受极端值（偏大或偏小的数据）的影响，适合用于描述偏态分布数据的集中趋势。 2. 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。众数可能不止一个，也可能没有（当所有数据出现的次数都相同时）。众数着眼于各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，它反映了一组数据的集中趋势。 【清单03】用计算器求平均数 1. 基本步骤：不同型号的计算器操作步骤可能略有差异，但一般都包括：进入统计计算模式（通常标记为“STAT”或“统计”）；清除以前的统计数据（避免干扰）；依次输入各数据（对于有重复数据的，可以使用计算器的频数输入功能，输入数据及其对应的频数）；输入完成后，按求平均数的功能键（通常标记为“”或“Mean”），即可得到这组数据的平均数。 2. 注意事项：在输入数据前，务必确保计算器处于正确的统计模式；输入数据时要仔细核对，避免输入错误；对于利用频数输入重复数据的情况，要正确区分数据值和频数的输入位置。 【清单04】方差 1. 方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。 2. 方差的计算公式：设有n个数据，它们的平均数为，则方差。方差的单位是原数据单位的平方。 【清单05】用计算器求方差 1. 基本步骤：通常在使用计算器求完平均数后（或在统计模式下输入数据后），可以直接按求方差的功能键（通常标记为“”或“Var”）来得到方差。具体操作需参考所用计算器的说明书，一般也是先进入统计模式，输入数据（可含频数），然后选择计算方差的选项。 2. 与平均数计算的联系：求方差的前提是已经有了该组数据的平均数，计算器在计算方差时会自动利用之前输入的数据和计算得到的平均数进行计算，因此数据输入的准确性同样至关重要。 【清单06】 等可能性 1. 等可能条件：一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有一个结果出现。如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性。例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”这两个结果是等可能的；抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为1,2,3,4,5,6这六个结果是等可能的。 2. 判断等可能性：判断试验的结果是否具有等可能性，关键在于看在试验中所有可能发生的结果中，每个结果发生的机会是否相同，与结果的具体内容无关。 【清单07】等可能条件下的概率（一）——古典概型（直接列举法） 1. 概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。事件A发生的概率记为P(A)。 2. 古典概型的概率计算公式：在一个试验中，如果有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。其中，n是试验中所有等可能结果的总数，m是所关注的事件A所包含的等可能结果数。 3. 概率的取值范围：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率P(A)是0与1之间的一个常数，即。 4. 计算方法：当试验的所有可能结果数较少时，可直接列举出所有可能的结果，再数出事件A包含的结果数，利用公式计算概率。例如，从装有红、白、蓝三个球的袋子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率，可直接列举所有结果：红、白、蓝，共3种等可能结果，事件A（摸到红球）包含1种结果，所以P(A)=1/3。 【清单08】等可能条件下的概率（二）——几何概型（面积法） 1. 几何概型的特点：试验的结果是无限多个，且每个结果发生的可能性相等，其可能性大小与所考察的对象的面积（或长度、体积等）有关。 2. 面积法求概率：当事件A发生的可能性大小与某一平面区域的面积成正比，而该区域内的每一点被取到的机会均等时，事件A发生的概率可以用“事件A发生的区域面积”与“所有可能结果组成的区域面积”之比来表示，即(P(A) = {事件A发生的区域面积}{所有可能结果组成的区域面积})。 3. 举例：例如，一个可自由转动的转盘，被等分成若干个扇形区域，每个扇形区域的面积相等，指针指向每个区域的可能性相等，求指针指向某一特定颜色区域的概率，就可以用该颜色区域的面积除以转盘的总面积。再如，向一个画有等距平行线的平面上随机投掷一枚针，求针与平行线相交的概率（蒲丰投针问题）也属于几何概型，但初中阶段主要以面积型为主。在这类问题中，关键是确定“所有可能结果组成的区域”和“事件A发生的区域”，并计算它们的面积。 【题型一】算术平均数与加权平均数 【例1】小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，10，9，9，11，7．则小丽该周每天的平均睡眠时间（    ） A．9 B．9.1 C．9.2 D．9.3 【变式1-1】河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题的比例命题，满分为120分．若小明容易题得分率、中档题得分率、较难题得分率，则他的最终成绩是（    ） A．96分 B．98分 C．100分 D．102分 【变式1-2】某校体育期末考核“仰卧起坐”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．已知小林这两项的考试成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为 分． 【题型二】中位数与众数 【例2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-1】第九届亚洲冬季运动会于2月14日在哈尔滨正式收官，这是继北京冬奥会后，我国举办的又一重大综合性国际冰雪运动盛会，也是自1996年后哈尔滨第二次承办亚冬会． 中国队在历届亚冬会上获得的金牌数分别是：4，9，15，15，9，19，11，12，32． 这组数据的中位数是（ ） A．9 B．12 C．15 D．19 【变式2-2】小红等五名同学五月份参加某次数学测验的成绩如下：90、90、y、y、70．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数y的值为 ． 【题型三】方差与标准差 【例3】在三次安全知识测试中，八年级的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩的平均分是，方差是，，，，则成绩最理想的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3-1】运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【变式3-2】若一组数据，，…，的方差是3，则另一组数据，，，…，的标准差是 ． 【题型四】结合条形、扇形图计算集中趋势 【例4】粮店计划从10袋面粉（质量如图所示）中挑选出7袋面粉，其中五袋面粉的质量已经确定，且这五袋面粉质量的中位数为，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，若要使选出的7袋面粉质量的中位数仍为，则第6袋面粉和第7袋面粉可能会选择（    ） A．A、D B．A、E C．B、E D．C、E 【变式4-1】某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数和中位数是（   ） A．岁和岁 B．岁和岁 C．岁和岁 D．岁和岁 【变式4-2】《义务教育课程方案（2022版）》在改进教育评价部分强调：要强化素养导向，注重对正确价值观，必备品格和关键能力的考查，开展综合素质评价．某校积极响应号召，期末从德、智、体、美、劳进行综合素质评价．小明同学本学期五项评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数和中位数分别为 ． 【题型五】结合频数分布表计算平均数 【例5】为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式5-1】如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的平均成绩(单位：环)约为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】小亮调查本班同学的身高后，将数据绘制成如图所示的频数直方图（每组数据包含最小值，但不包含最大值）．设班上学生身高的平均数为x，则x的取值范围是 ． 【题型六】利用集中趋势比较数据 【例6】如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 【变式6-1】某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式6-2】2029年将在长沙举办第十六届全国运动会．为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选 参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 【题型七】含参数的统计量计算 【例7】数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【变式7-1】是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】一组数据，，的平均数是90，方差是13.5，则，，，的平均数是 ，方差是 ．如果这组数据再加上一个数90，那么这11个数的方差 （“变大”、“变小”或者“不变”）？ 【题型八】直接列举法求概率 【例8】小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】有三张外观一样的牌，牌面数字分别为3、4、5，从中随机抽出两张牌，牌面数字和为奇数的概率为 ． 【题型九】几何概率 【例9】如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】在一家大型连锁超市中，智感扫码技术发挥了重要作用．超市员工配备了带有智感扫码功能的手持终端．在日常巡店过程中，员工只需扫描货架上商品的二维码．系统不仅能立即显示商品的详细信息，如名称、规格、进价、售价等，还能实时更新库存数据．如图是某二维码示意图，用黑白打印机打印于面积为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右．据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【题型十】用频率估计概率 【例10】某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行了质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.951 0.95 0.951 由表可知，从这批玩具中任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率是（精确到0.01）（    ） A．0.94 B．0.95 C．0.96 D．0.97 【变式10-1】在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【变式10-2】七年级（2）班在一次活动中分两次选拔参与活动成员．第一次确定了9人，第二次确定了2名男生和1名女生．现从确定的人员中随机抽取一名同学负责展示，若抽中女生的概率是，则第一次确定的同学中，女生有 人． 【题型十一】数据分析综合题 【例11】某射击队为了从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加市级比赛，对他们进行了5次测试，测试成绩统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8.8 ①________ 0.96 乙 ②________ 9 0.16 丙 8.8 9 ③________ (2)根据（1）中表格里的信息，你认为推荐谁参加市级比赛更合适，请说明理由． 【变式11-1】为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，现对他们在近六场比赛中得分、篮板和失误三个方面数据进行统计． 甲、乙两名队员比赛得分折线统计图： 甲、乙两名队员技术统计表如下： 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是______（填“甲”或“乙”）； (2)求甲队员得分的中位数和众数； (3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【变式11-2】嘉琪想了解青少年活动中心射击队甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：根据信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为___________环，乙队员成绩的中位数为___________环； (2)已知甲、乙两名队员成绩的方差分别为：，，从平均数和方差的角度判断甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ (3)如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是“平均数、众数或中位数”中的哪个？说明你的理由； (4)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 【题型十二】列表法或树状图求概率 【例12】为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看． (1)乙同学选择电影C的概率为_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率． 【变式12-1】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献． (1)从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____； (2)某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 【变式12-2】一个不透明的口袋中装有3张分别标有数字，，4的卡片，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一张卡片，记下数字为，在剩下的2张卡片中再随机摸出一张，记下数字为． (1)第一次摸出标有数字4的卡片的概率是___________． (2)用列表法或画树状图的方法，求点落在第二象限的概率． 【题型十三】统计与概率综合 【例13】成都市双流区环境优美、底蕴丰厚．拥有白河流域“五湖四海”的生态格局，我校九年级准备组织学生开展一场关于“五湖四海”生态研学活动，现在想调查了解本年级学生对“五湖四海”的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的学生共有 人，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数； (3)在“非常了解”里选4人，有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人作领队，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【变式13-1】打造书香文化，培养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类；B：文学类；C：政史类；D：艺术类；E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 根据图中信息，请解答下列问题． (1)条形统计图中的______，文学类书籍对应的扇形圆心角的度数是_______． (2)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【变式13-2】某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②扇形统计图中圆心角______度； (2)学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $