14.3.1 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的性质”，涵盖定义、尺规作图、性质证明及应用。从角平分线定义切入，通过探究OM=ON时PM=PN的关系，用SAS证全等引入性质，再逆向探究PM=PN时点P位置，过渡到尺规作图，构建递进式知识支架。 其亮点是“探究-证明-应用”闭环设计，分组讨论测量角平分线上点到两边距离（数学眼光：几何直观），严格用AAS证性质（数学思维：推理能力），规范符号语言表达（数学语言：符号意识）。助力学生养成探究习惯，为教师提供可直接使用的系统教学流程。

14.3.1 角的平分线的性质 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫作 这个角的角平分线 探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点。M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系。 当OM与ON满足什么关系时，PM=PN? O B A C P M N 专心一点，多学一点 人教新版八年级 △OPM≌△OPN(SAS) △OPM和△OPN中, OP=OP ∠POM=∠PON OM=ON ∴PM=PN.（全等三角形对应边相等） O B A C P M N 反过来 ，PM与PN满足什么关系时点P在∠AOB的平分线上？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 如图，△OPM和△OPN中, OP=OP ∴∠POM=∠PON OM=ON PM=PN △OPM≌△OPN(SSS)， 即点P在∠AOB的平分线OC上. ∴OP平分∠AOB O B A C P M N 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗? 思考 专心一点，多学一点 人教新版八年级 作角平分线的方法 如图，已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心,适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心。大于MN的长为半径作弧两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线. 用尺规作已知角的平分线 A B O M N C 专心一点，多学一点 人教新版八年级 证明：∵在△MOC和△NOC中 OM=ON OC=OC MC=NC ∴△MOC ≌ △NOC(SSS). ∴∠MOC=∠NOC 即OC是∠AOB的角平分线 A B O M N C 符号语言 专心一点，多学一点 人教新版八年级 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 尺规作已知角的平分线的方法 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 尺规作已知角的平分线的方法 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 想一想为什么？ 分析问题，寻找对应 探究为什么大于MN的长为半径作弧？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 B M N A B O M N A 小于MN:没有交点 等于MN:交点不止1个 分析问题，寻找对应 给定一个平角，你能作出角的平分线. 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 分析问题，寻找对应 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，...分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3... 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3...，你有什么发现？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 测量一下长度，填写表格 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 垂线 P1D1 P1E1 P2D2 P2E2 P3D3 P3E3 长度 测量发现，P1D1 = P1E1， P2D2 = P2E2， P3D3 = P3E3 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. A C B O D P E 1 2 证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等). 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 角的平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，OC 是∠AOB 的平分线 几何语言： A O B P C D E P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线的性质 C A B O D E P 知识点2 角的平分线的性质 几何语言： 专心一点，多学一点 人教新版八年级 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 知识点2 角的平分线的性质 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 专心一点，多学一点 人教新版八年级 针对训练 1. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______. 4 M B C A D E P 专心一点，多学一点 人教新版八年级 针对训练 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC = 8，则点 P 到 AB 的距离为______. 8 A C P B 专心一点，多学一点 人教新版八年级 当堂达标 2.如图所示，在△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD 上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF．其中，正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . D 1.如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（ ） A.PC = PD B.OC = OD C.∠CPO =∠DPO D.OC = PO D 3 解:点E即为所求,如图所示. 4.如图所示,四边形ABCD,在CD上求作一点E，使点E到射线AD与射线AB的距离相等. 5.如图AB=AC,BD=CD,DE⊥BA,点E为垂足,DF⊥AC, 点F为垂足,求证:DE=DF. 证明:在△ABD和△ACD中, 所以△ABD≌△ACD(SSS). 所以∠BAD=∠CAD. 因为DE⊥BA,DF⊥AC, 所以DE=DF. 课堂小结 角的平分线的性质 会用尺规作图法画出一个已知角的平分线 性质 应用 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 利用角的平分线的性质解决计算与证明题 命题的证明的一般步骤 4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ( ) A．8 B．6 C．4 D．2 C C B A D P 5．如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN. 证明：∵OD平分∠AOB， ∴∠1＝∠2. 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD(SAS)， ∴∠3＝∠4，∴PD平分∠BDA. ∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN. M A B O N D P 1 2 3 4 1.如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中错误的是 ( ) A. PC=PD. B. ∠CPO=∠DPO. C. OC=OP. D. OC=OD. C 随堂练习 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB. 若AC=2，DE=1，则S△ACD=_______. 1 F 随堂练习 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. （2）分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E. （3）作射线OE.交MN于P. 此时点P到射线OA和OB的距离相等. 3.如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等. O B A M N E C D P 随堂练习 4.如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2. 在△AOD和△BOD中, OA=OB， ∠2=∠1， OD=OD， ∴△AOD≌△BOD（SAS）， 随堂练习 4.如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∴∠3=∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM=PN. (角平分线上的点到角两边的距离相等) 随堂练习 $