14.3.1 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线”，核心内容包括尺规作图及“角的平分线上的点到角两边的距离相等”的性质定理。课堂导入从回顾角平分线概念开始，通过量角器度量、折纸、角平分仪等方法引导，逐步过渡到尺规作图，构建从直观操作到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于采用“情境导入—合作探究—抽象概括—示范讲解”流程，结合拓展例题、对照练习及一题多问设计，强化数学思维中的推理能力与数学语言的符号意识。如通过证明几何命题步骤培养推理习惯，实例题提升应用能力，助力学生发展推理与创新意识，也为教师提供系统教学资源以提高效率。

【R·数学八年级上册】 第1课时 角的平分线的性质 14.3 角的平分线 学习目标 理解角的平分线的概念，探索并证明角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 并能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力. 能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析与作图能力. 回顾导入 我们学过的角的平分线的概念是什么？ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. 如图，因为 回顾导入 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：用角平分仪 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 5 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具——尺规，能实现该仪器的功能吗？ A B O 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 尺规作角的平分线 A B M N C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角的平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）作射线OC.射线OC即为所求. 讲授新课 知识点1 角的平分线的尺规作图 （1）以“适当长为半径”是为了方便作图，不能太长，也不能太短. （2）“以大于 MN的长为半径作弧” 是因为小于 MN的长为半径作弧时 两弧没有交点，等于 MN的长为半 径作弧时不容易操作. A B M N C O （3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. （4）“作射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. A B M N C O 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 符号语言： 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 证明：过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠B=∠C=90°，∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF. ∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线. 拓展例2 如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. 求证：AE是∠DAB的平分线. A B C E D ┌ ┌ F ┌ 拓展例3 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC. 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC. C A B D F E ┐ ┐ 拓展例4 如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14. (1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)； (2) 求△PDB 的周长. ∴ AB · PD = 7m. 解：（1）由角平分线的性质，可知 PD = PC = m， （2）由题意可证 △ACP≌△ADP， ∴ AC = AD. A B C P D 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP D 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图,在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的长. 解:∵在△ABC中, AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴DE=DF. ∵△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm, ∴DE=DF=2 cm,即DE的长是2 cm. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中, ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL), ∴PD=PE. ∵P是OC上点,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴OC是∠AOB的平分线. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2025·四川资阳）如图，在射线BA,BC上，分别截取BM,BN，使BM-BN;再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC 内，两弧交于点D，作射线BD;过点D作DE //BC交BA于点E.若∠BDE=30°，则∠AED的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° [答案]C [分析]本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺规作图，由平行线的性质可求∠CBD=∠BDE=30°，由角平分线的定义得 ∠ABC=2∠CBD=60°，然后再根据平行线的性质可得∠AED的度数. [详解]:DE// BC,∠BDE=30°， ∴∠CBD=∠BDE=30°， 由作图可知，BD平分∠ABC， ∴ㄥABC=2∠CBD=60°. ∵DE // BC ∴∠AED=∠ABC=60° 知识点2 角的平分线的性质 3．如图，C为∠AOB平分线上的一点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，若CD＝6，则CE的长为( ) A．3 B．5 C．6 D．9 C 4． 如图，C是∠AOB平分线上的一点，CD⊥OA于点D，E是边OB上的一动点，若CD＝4，则： (1)CE长度的取值范围是( ) A．CE＜4　B．CE＞4　C．CE≥4　D．CE≤4 (2)若OE＝6，则△COE的面积为________． C 12 5．(教材习题变式)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF，求证：BD＝CD. 知识点3 文字命题的证明 6． 小颖要证明命题“全等三角形对应边上的高相等”成立，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证： 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，____________________________________________________， 求证：______________． AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的边BC，B′C′上的高 AD＝A′D′ 请帮小颖补全已知和求证，并写出证明过程． 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°，DE＝DF. 在△BDE和△CDF中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,∠BED＝∠CFD，,DE＝DF，)) ∴△BDE≌△CDF(SAS). ∴BD＝CD. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′. 又∵AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的边BC，B′C′上的高， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°. 在△ABD和△A′B′D′中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠B＝∠B′，,∠ADB＝∠A′D′B′，,AB＝A′B′，)) ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS). ∴AD＝A′D′. $