专题05 图形的相似（期末复习专项训练，10大题型）九年级数学上学期苏科版

专题05 图形的相似 题型1 比例的性质（常考点） 题型6 相似三角形与三角函数结合（难点） 题型2 黄金分割（常考点） 题型7 位似作图（常考点） 题型3 几何与图形结合（难点） 题型8 相似三角形的判定（重点） 题型4 相似三角形的性质（常考点） 题型9 相似三角形中的动点求t（难点） 题型5 平行线分线段成比例（重点） 题型10 相似三角形的新定义（难点） 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 比例的性质（常考点） 1．已知，均不为，则下列比例式中正确的是(   ) A． B． C． D． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，那么 ． 题型二 黄金分割（常考点） 1．把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 3．佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P（点A、P、B在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则P点到底部B之间的距离是 ．（结果保留根号）； 题型三 几何与图形结合（难点） 1．如图，已知在边长为4的菱形中，，E是边上一动点（与点B，C不重合）．连接，作，交于点F，设，的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图②是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图①，在正方形中，是对角线上一动点，是上的点，且．设，，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么 （1） ； （2）的值为 ． 题型四 相似三角形的性质（常考点） 1．如图，在平行四边形中，点在边上，连接交于点，若，，则线段的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D． 2．如图，、是矩形的对角线，，点为的中点，连接交于点，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 3．已知正方形的边长为4，在边上取一点，连接，作，交边于点．若的长为1，则的长为 ． 题型五 平行线分线段成比例（重点） 1．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 题型六 相似三角形与三角函数结合（难点） 1．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 2．如图，在正方形中，E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接并延长交于点Q，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边运动到点，连接，过点作的垂线交于点． （1）若，则 ； （2）如图，在点的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点所经过的路径长为 ． 题型七 位似作图（常考点） 1．已知，如图所示，的三个顶点坐标分别为，，，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)将向上平移6个单位长度，画出平移后的； (2)作出关于轴对称的，并写出的坐标； (3)以点为位似中心，在网格中画出，使与相似，且与的相似比为． 2．如图，在平面直角坐标系中， (1)画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； (2)在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； (3)与的周长比为_____． 3．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使它与关于轴对称： (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 题型八 相似三角形的判定（重点） 1．如图，四边形内接于平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 2．如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 3．如图，是的直径，C是的中点，连接，，，，．于点E，连接交于点F，交于点H． (1)求证：； (2)求的长； (3)试判断的形状，并说明理由． 题型九 相似三角形中的动点求t（难点） 1．如图，在矩形中，，．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)当t等于多少秒时，S的值是； (3)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 2．如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示长； (2)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (3)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 3．如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)秒后，请用含有的代数式表示以下线段的长：______；____． (2)如图1，当为何值时，； (3)当为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (4)如图2，点P、Q在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型十 相似三角形的新定义（难点） 1．我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 2．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． (1)【应用】 如图，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图，菱形中，，点是边中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 3．新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． $专题05 图形的相似 题型1 比例的性质（常考点） 题型6 相似三角形与三角函数结合（难点） 题型2 黄金分割（常考点） 题型7 位似作图（常考点） 题型3 几何与图形结合（难点） 题型8 相似三角形的判定（重点） 题型4 相似三角形的性质（常考点） 题型9 相似三角形中的动点求t（难点） 题型5 平行线分线段成比例（重点） 题型10 相似三角形的新定义（难点） 45 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 比例的性质（常考点） 1．已知，均不为，则下列比例式中正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质，由已知等式推导出与的比值． 【详解】解：，且， 两边同除以，得， 故选：B． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查比例线段的判断，判断方法为：将四条线段按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，该方法依据的是比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，据此即可得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；将已知比例式拆解为分式之和，利用等式性质求解即可． 【详解】解：由，得，即． 所以． 故答案为． 题型二 黄金分割（常考点） 1．把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的定义，掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割定义，较长部分与全长之比为，先求较长部分，再求较短部分即可． 【详解】解：线段全长， 黄金分割后较长线段的长为 ， 较短线段的长为． 故选：A． 2．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据黄金分割的定义，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意可知，C是的黄金分割点，， ， 故选：C． 3．佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P（点A、P、B在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则P点到底部B之间的距离是 ．（结果保留根号）； 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，解答本题的关键是掌握黄金比是．根据黄金分割为和题意，可以求得底部到球体之间的距离． 【详解】解：由题意可得， 则底部到球体之间的距离米， 故答案为：． 题型三 几何与图形结合（难点） 1．如图，已知在边长为4的菱形中，，E是边上一动点（与点B，C不重合）．连接，作，交于点F，设，的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点函数的图象，相似三角形的判定和性质，求出是本题的关键．如图，延长至H，使，通过证明，可得，可得，由三角形面积公式可求函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该函数图象开口向下，当时，最大值为， 故选：B． 2．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图②是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接．由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，观察图象可知，当点与重合时，，推出，，分别求出的最小值，的长即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴、关于对称，，，， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的值最小，如图， ∵点是正方形的边的中点，的长度为，则， 观察图象可知，当点与重合时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为，即的最小值为， ∴点的纵坐标为， ∵，即， ∴，， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，考查了正方形的性质，对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 3．如图①，在正方形中，是对角线上一动点，是上的点，且．设，，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么 （1） ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键． （1）连接、，证明，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，由题意可知，的最小值为，则， （2）由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】（1）解：如图，由正方形的性质可知点、关于直线对称，连接、， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 由题意可知，的最小值为， ， 故答案为； （2）， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ，即的值为 故答案为：． 题型四 相似三角形的性质（常考点） 1．如图，在平行四边形中，点在边上，连接交于点，若，，则线段的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，，即可证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，则，， ∴． 故选：A． 2．如图，、是矩形的对角线，，点为的中点，连接交于点，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质与相似三角形的判定和性质，涉及知识点：矩形的对角线相等、相似三角形的判定（平行得相似）与对应边成比例．解题方法是利用矩形对边平行证三角形相似，结合中点条件得相似比，再通过对角线长度求线段长；解题关键是找到相似三角形的对应边比例，易错点是相似比的对应关系混淆． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ． 即． 故选D． 3．已知正方形的边长为4，在边上取一点，连接，作，交边于点．若的长为1，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质，得到，同角的余角相等，得到，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（经检验，是原方程的解）． 故答案为：2． 题型五 平行线分线段成比例（重点） 1．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图，已知，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 先求出，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 3．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 题型六 相似三角形与三角函数结合（难点） 1．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查含正切的定义，角平分线的性质，全等三角形、相似三角形的判定及性质；延长交于F，则有，则，易证得，得，在中，因为，所以，所以 ，而，所以． 【详解】解：如图，延长交延长线于F， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 2．如图，在正方形中，E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接并延长交于点Q，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点Q作于点，由正方形得到，则，，然后得到，可得，则，再解，表示出，然后根据表示出即可． 【详解】解：过点Q作于点， 解：∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确利用正方形的性质证明相似三角形，利用相似三角形的性质求解． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边运动到点，连接，过点作的垂线交于点． （1）若，则 ； （2）如图，在点的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点所经过的路径长为 ． 【答案】 / / 【分析】证明，推出，求出即可； 判断出点的运动轨迹是线段，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图中，四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； 如图中，连接，取的中点，连接，， 在等边三角形中，，是的中点， ，， 又是的中点， ， 在中，，是的中点， ， ， 点，，，四点共圆， 连接，则， 点在以点为端点，上方且与射线夹角为的射线上， 如图，过作于点， 点从点出发，沿边运动到点， 点从点沿运动到点， 在中，， ， 点所经过的路径长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、解直角三角形以及四点共圆的综合运用，解题关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上中线的性质以及含角的直角三角形的性质得出结论． 题型七 位似作图（常考点） 1．已知，如图所示，的三个顶点坐标分别为，，，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)将向上平移6个单位长度，画出平移后的； (2)作出关于轴对称的，并写出的坐标； (3)以点为位似中心，在网格中画出，使与相似，且与的相似比为． 【答案】(1)见详解 (2)见详解，的坐标 (3)见详解 【分析】本题考查了平移作图，作轴对称图形，画位似图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质，先找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据轴对称的性质，先找出点，再依次连接，然后读取出的坐标，即可作答． （3）结合以点为位似中心，使与相似，且与的相似比为，找出点，再依次连接，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示， 则的坐标； （3）解：如图所示． 2．如图，在平面直角坐标系中， (1)画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； (2)在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； (3)与的周长比为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了位似图形的画法与位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的作图方法及相似图形的周长比与位似比的关系． （1）以点为位似中心，按位似比确定的位置并画图； （2）以原点为位似中心，在第三象限按位似比确定的位置并画图； （3）利用位似图形的周长比等于位似比计算比值． 【详解】（1）解，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 3．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使它与关于轴对称： (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3) 【分析】本题主要考查轴对称图形与坐标及位似，熟练掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据位似的性质可进行作图； （3）根据位似的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示； （3）解：由（2）可知：点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是； 故答案为． 题型八 相似三角形的判定（重点） 1．如图，四边形内接于平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用圆周角与弧的对应关系转化角的等量关系，通过构造辅助线（延长线段）创造全等或相似的条件． （1）利用平分得到角相等，结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），即可得证． （2）由可得，通过圆内接四边形的对角互补性质得到，结合第一问结论及角平分线性质证明，再通过角的等量转化证明． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ． （2）证明：， ， 四边形内接于， ， 点在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 2．如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 3．如图，是的直径，C是的中点，连接，，，，．于点E，连接交于点F，交于点H． (1)求证：； (2)求的长； (3)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)等腰三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，再结合即可证明结论； （2）先说明、，再运用勾股定理可得，再运用等面积法求解即可； （3）由等弧所对的圆周角相等可得，再根据同角的余角相等可得，进而得到，即，从而证明结论． 【详解】（1）证明：∵所对的圆周角是，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵C是的中点， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，， ∵， ∴． （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型九 相似三角形中的动点求t（难点） 1．如图，在矩形中，，．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)当t等于多少秒时，S的值是； (3)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)S的值是24； (2)当秒时，S的值是； (3)当秒或秒时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似 【分析】本题主要考查了割补法算面积，矩形的性质，相似三角形性质，解决此题的关键是正确的计算； （1）运用矩形的性质和线段的和差得到相关线段的长度，运用直角梯形的面积公式和三角形的面积公式即可得到答案； （2）运用（1）中的思路，分情况讨论进而得到答案； （3）运用三角形相似的性质得到线段的比例即可得到答案； 【详解】（1）解：由题可知：当秒时，，， ∵，， ∴，， ∴的面积为 ， ， ∴S的值是24． （2）解：由题可知分以下两种情况； ①当点F在边上时，即， ∵，， ∴，，， ∴， 解得： ∵， ∴取； ②当点F在边上时，即， ∴， 解得：（舍去）， ∴当秒时，S的值是； （3）解：由题可知分以下两种情况； 当时，， 即， 解得：，， ∵， ∴当秒时，， 当时，, 即， 解得：， ∵， ∴当秒时，， 综上可知：当秒或秒时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似． 2．如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示长； (2)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (3)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用分类讨论的思想方法，利用时间，路程与速度的关系式解答即可得出结论； （2）利用t的代数式表示出相应线段的长度，再利用分类讨论的思想方法解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，连接交于点O，利用平行四边形的性质和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程，解方程即可得出结论；②当时，连接交于点O，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：当时， ，， ； 当时， ， 综上所述：长为或； （2）解：由题意得：， ， 当时，若，则， ， ； 若， ， ， 不合题意，舍去； 当时， 由（2）知：， 若，则， ， ； 若，则， ， 不合题意，舍去； 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t的值为或； （3）解：①当时，连接交于点O，如图， 平分平行四边形的面积， 经过平行四边形的中心， ， ， ， 为边的中点，， ， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，连接交于点O，如图， ∵平分平行四边形的面积， 同理可得：， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，， ，， 综上所述，满足条件的t的值为或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，分类讨论的思想方法，正确利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键 3．如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)秒后，请用含有的代数式表示以下线段的长：______；____． (2)如图1，当为何值时，； (3)当为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (4)如图2，点P、Q在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)存在，． 【分析】（1）根据即可得到，直接利用速度乘以时间表示出； （2）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （3）分和分别讨论即可； （4）过作，垂足为，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出AD，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：当时，， ， ， ， ， 解得：， 当时，； （3）解：， 当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （4）解：存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， 即 解得：或， 当时，，故不合题意， ，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 题型十 相似三角形的新定义（难点） 1．我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 【答案】(1) (2)见详解；见详解 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据等边对等角得出，再结合已知条件进一步即可解决问题； （2）在线段上取一点P，使得，则即为所求，然后证明即可． （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】（1）解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴ 故答案为：． （2）解：如下图：在线段上取一点P，使得，即等腰邻相似三角形， 证明∶∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是一个边上的“等腰邻相似三角形”， （3）解：由题意是等腰直角三角形， ∵与，与相似， ∴，都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段上，时， ∵，，都是等腰直角三角形； ∴，，，，, ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 如图5中，当点P在线段上，时， 作交的延长线于E． 则， 又∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，四边形不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 2．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． (1)【应用】 如图，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图，菱形中，，点是边中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据“完美分割线”定义即可求出答案； （2）根据菱形“对边平行且相等”性质，结合的等腰条件，推出；再通过证明，得到．由“是完美分割线”，得，从而得到比例关系；设，结合列方程，解出的长度； （3）分情况讨论：①当或时，结合正方形性质推导；②当时，根据相似三角形的比例关系推导；③当时，结合角平分线性质与相似比例进行分析，最终通过相似三角形的对应边比例，得出的值． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ，，， ， 是的完美分割线； （2）解：菱形， ，， ， ， ， ， 是的完美分割线，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 即． 答：． （3）解：①当或时，如图： 则四边形是正方形， ； ②当时，如图： 设， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ③当时，如图 此时， 同理可得， ， ， ， ，即， ， ， ， 平分， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为或或． 答：或或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，菱形、矩形的性质，新定义问题的理解与应用，将“完美分割线”的定义转化为几何条件是解题关键． 3．新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)正确；正确；正确 (2)①见解析；； (3)的长为6或． 【分析】（1）①根据四边形内角和定理求解即可； ②连接，利用证明，即可判断； ③利用角平分线的定义结合①的结论，求得，即可判断； （2）①先证明四边形是矩形，利用同角的余角相等求得，即可证明； ②连接，证明四边形是圆内接四边形，推出，据此求解即可； （3）分类讨论：①若，，证明，求得；②若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴“垂直四边形”对角互补，正确； ②连接，不妨设， ∵，， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；正确． ③∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）正确． （2）①证明：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ①若，，如图2， 在与中， ， ； ②若，， 如图3，过点作，垂足为点， 在中，，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为6或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． $