浙教版七上全册期末压轴11大题型汇总（期末压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

专题01 期末压轴题汇总（82题11大压轴题型） 题型1 绝对值及几何意义 题型7 有理数加减混合运算的实际应用 题型2 与数轴有关的计算 题型8 求代数式的值或最值 题型3 整式加减的应用 题型9 一元一次方程及其应用 题型4 数字规律类问题 题型10新定义类问题 题型5 图形规律推断类问题 题型11几何中分类讨论问题 题型6 动点类问题 题型一 绝对值及几何意义（共5小题） 1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 2．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．下列选项中错误的是（    ） A．表示数a在数轴上的对应点与原点的距离 B．若满足时，则的值是或2.5 C．表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离 D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6 4．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）已知，，且，则 ． 5．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 题型二 与数轴有关的计算（共9小题） 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）数轴上点与点相距3个单位，若点表示，则点表示的数是 8．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴的单位长度为，如果点与点是互为相反数，那么点表示的数是 ． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．已知点B到原点的距离为，则点C表示的数是 ． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 11．（20-21七年级上·浙江宁波·期末）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________； （2）请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 12．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 13．（21-22七年级上·浙江金华·期末）如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 14．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1． (1)若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1， ①若点C表示的数是3，求线段MN的长． ②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长． (2)若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数． 题型三 整式加减的应用（共10小题） 15．（21-22七年级上·浙江温州·期末）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片（大长方形的宽与小长方形的长相等），按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 16．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（   ） A．891 B．694 C． D． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙．若想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法： 甲说：只需要知道①与③的周长和； 乙说：只需要知道①与⑤的周长和； 丙说：只需要知道③与④的周长和； 丁说：只需要知道⑤与①的周长差； 下列说法正确的是（    ） A．只有甲正确 B．甲和乙均正确 C．乙和丙均正确 D．只有丁正确 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道③号正方形的边长即可 B．只需知道④号正方形的边长即可 C．只需知道⑤号长方形的周长即可 D．只需知道图1中大长方形的周长即可 20．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图所示的一个大长方形，它被分割成个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为，，，，长方形⑤的周长为，整个大长方形的周长为，则下列关系式不正确的是(　　) A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，若已知两个阴影部分周长的差，则下列结论可求出的是（  ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将图中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号四个正方形和号长方形，并将它们按图的方式无重叠地放入另一个大长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为S，则大长方形的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 题型四 数字规律类问题（共11小题） 25．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，当分别取1，2，3，，时，所对应的值的总和是（　　） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·浙江·期末）某数学探究课上有这样一段对话： 老师：数学家斐波那契在《计算之书》中记载了这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，即从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和． 甲同学：这一列数的前2025个数中，能被3整除的数共有506个． 乙同学：这一列数的前2025个数的和为奇数． 以下对两位同学的看法判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 28．（24-25七年级上·浙江金华·期末）把一列数：、、、、、……放置在如图所示的小圆圈内，则从上到下第行，且从左到右第个小圆圈内的数是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）有这样一个数字游戏：将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字、每一列从上到下的数字均按从小到大排列，当数字3和4固定在图中所示的位置时，此时根据游戏规则填空格，则所有可能出现的填写结果共有（   ）种． 3 4 A．6 B．8 C．10 D．12 30．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）大约从20世纪50年代开始，许多国家流传着这样一个数学猜想，其原理如下图数值转换器．若开始输入的值是5，则第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2025次输出的结果是（） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，依此类推，则等于（    ）． A． B． C． D．3 32．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于（　　）    A．第18行，第7列 B．第17行，第7列 C．第17行，第11列 D．第18行，第11列 33．（22-23七年级上·浙江·期末）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是，第二次经运算是，第三次经运算是，第四次经运算是……，则第次运算结果是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：（其中为正整数），规则为：．下列说法中，①若，则生成的这个数串中必有（为正整数）；②若，生成的前2022个数之和为55；③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32；④若，则的值是9或56．其中正确的个数是 个． 35．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）有一行数，，，，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数，，，，，，，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 题型五 图形规律推断类问题（共4小题） 36．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2025次跳跃后它所停在的点对应的数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 37．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，用规格相同的2023根小棒按照图案规律从左往右摆放，最多可以摆出小正方形的个数是（    ） A．505个 B．252 C．202个 D．183个 38．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 39．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 题型六 动点类问题（共9小题） 40．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（    ）    A． B． C． D． 41．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 42．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． （1）当 时，； （2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是 ． 43．（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为___________； (2)图中点所表示的数是___________，点所表示的数是___________； (3)受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄． 44．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的一条“型数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个单位长度．动点从点出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动到点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求相遇时间是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 45．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上放置边长为2的正方形和边长为3的正方形．点表示的数为12，点位于原点处，点位于点处．正方形向右以1个单位/秒的速度运动，正方形以2个单位/秒的速度向左运动．相遇后正方形继续向右运动，正方形上的点A运动到点处后，正方形立即返回向右运动．设运动时间为（秒）． (1)两正方形第一次相遇（即点A，重合）时，______，此时点A所表示的数为______； (2)当正方形追上正方形（即点，第二次重合）时，求点表示的数； (3)在整个运动过程中，当两正方形重叠部分面积为1时，请直接写出点A表示的数． 46．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 47．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知数轴上，两点对应的数分别为，，，两点对应的数互为相反数． (1)求，的长． (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点到达点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的移动时间为（秒）． ①问为何值时，为的中点？ ②当时，求的值． 48．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 题型七 有理数加减混合运算的实际应用（共4小题） 49．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是 （写出一对即可）． 50．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 51．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是 ． 52．（24-25七年级上·浙江金华·期末）账单中的数学 素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准． 阶梯名称 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年累计用电量（千瓦时） 以上 单价（元/千瓦时） 0.55 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.05元 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.35元 素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元． 素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．） 根据以上素材，解决下列问题： (1)文文家2月份的电费是多少元？ (2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时． ①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？ ②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？ ③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 题型八 求代数式的值或最值（共3小题） 53．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）小慧同学在计算，，，的值时，发现有三个结果恰好相同，其中a和b都是有理数，则 ． 54．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ． 55．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 56．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知，，为正整数，且若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为 ． 题型九 一元一次方程以及实际应用（共7小题） 57．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 58．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石．则这一标志性建筑的底面边长x是（   ）米． A．3.8 B．4 C．4.2 D．5 60．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按下图方式放置在同一个大长方形内（两种方式均有重叠）．按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为．若，，则正方形甲的边长为（    ） A． B．7 C．7.5 D．8 61．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）新年将至，学校组织了一场数学创意比赛．老师准备了个彩色气球，先在每个气球上分别标记着这个数，在把这些气球挂在教室里后提出了一个有趣的问题：在每个气球标注的数前面添加“”或者“”号，要使这些数的代数和为，那么“”号最多能够添加 个． 62．（23-24七年级上·浙江·期末）我校金沙校区的小叶同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点，在直线上，第一步，绕点顺时针旋转度至；第二步，绕点顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至， 以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点反方向旋转．当时，则等于 度． 63．（24-25七年级上·浙江金华·期末）一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 64．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 65．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）下列说法中 ①，； ②若，则有； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与x无关，则该代数式的值为2025； ⑤，，则的值为3或． 正确的判断是 ． 72．（21-22七年级上·浙江台州·期末）元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_________元； (2)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元， ①若使用代金券，实际花费_________元（用含的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 73．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 74．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒：3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务1 制作图3规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板可以做成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ 任务2 制作图3、图4规格的纸盒共11个 若有25张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板能够恰好完成制作？ 75．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，已知正方形的边长为个单位，两点分别从顶点，同时出发，以个单位秒的速度沿正方形的边按的方向运动，以个单位秒的速度沿正方形的边按的方向运动，运动时闻为秒． (1)点的运动路程为______个单位，点的运动路程为_____个单位；（用含的式子表示） (2)当______秒时，与第一次相遇；当______时，与第二次相遇； (3)①当与第一次都在边AD上，若是QD的中点，求运动时间； ②当第二次成为QD的中点时，求的值，并指出此时点与点相遇了多少次? 76．（23-24七年级上·浙江台州·期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为的单轨普速铁路．客车以的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 驶出时间 (1)求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为，标记40．（只要求写数字，单位为）． (2)一列货运列车以的速度匀速行驶开往永康南站，在通过临海南站． ①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾． ②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）． 题型十 新定义类问题（共7小题） 66．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 67．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若一个四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，同时满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数为“对称数”． （1）当一个四位数的个位数字与千位数字之和为3时，这个“对称数”为 ． （2）记某个“对称数”为，若存在一个自然数，满足且除以9后余数为2．当取得最大值时，这个“对称数”的值为 ． 68．（24-25七年级上·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 69．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 70．（22-23七年级上·浙江台州·期末）把千位数为a、百位数为b、十位数为c、个位数为d的四位数记为；规定：若一个四位数的各位数满足：（其中k为整数），则称这个四位数为“k阶位数”：例：5367是“阶位数”，因为；7264不是“k阶位数”． (1)判断数8231与2597是不是“k阶位数”，若是，求出k的值； (2)若四位数是“2阶位数”，且，，求所有满足条件的四位数； (3)若记四位数．将各位数顺序颠倒后记为．若M是“k阶位数”，且，，试用含k的式子表示的值． 71．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点向左移动个单位，将得到的点表示的数乘以，此时所得数对应的点为，则称点为点的“倍联动点”（、均为正整数）． 例如，点表示的数为2，当时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是______． (2)若点的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点表示的数． (3)已知数轴上两点表示的数分别为，且点为点的“倍联动点”（为正整数）．点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点的其中一个“6倍联动点”与点之间的距离始终为3，求的值． 题型十一 几何中分类讨论问题（共7小题） 77．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知是直线上的一点，是直角，平分． 【猜想】 如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表： 猜想与的数量关系． 【探究】 小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由． 【拓展】 将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒10度，旋转时间秒（），为的角平分线，当时，求的值．    78．（21-22七年级上·浙江湖州·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当时，求和的度数； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数； ②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值． 79．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 80．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若两个共顶点的角满足：一个角的大小为另一个角的5倍，则称这对角互为“和合角”．如图所示，已知直角三角板和直角三角板，，．将两块三角板摆放在一起，且点重合，，为的角平分线．请回答以下问题： (1)如图1，点A和点E重合时． ①求的度数； ②图中是否存在“和合角”？若有，请直接写出，若没有，请说明理由． (2)如图2，固定三角板的位置，将三角板绕着点按每秒3度的速度逆时针旋转一周，假设旋转的时间为．在整个过程中，是否存在某个时刻，使得和互为“和合角”？请求出对应的时刻． 81．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）在小学我们已经学习过三角形的三个内角和为，某校七年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】探究三角尺中的学问． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，如果，请写出图中所有与互余的角？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：如图3，探究当时，三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数（请直接写出结果）． 82．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 1．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 2．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了I，II，II，IV四个部分，点，，对应的数分别是，，．则下列①；②；③；④四个条件中，（   ）两个条件组合，可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中的某一部分．    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3．我国数学家杨辉在他1275年写的《续古摘奇算法》一书中，已经编制出三至十阶幻方．杨军老师稍加创新改成了“幻三角游戏”，现在将，，0，1，2，3，4，6，8分别填入图中的圆圈内，使三条实线以及内、中、外三个虚线三角形上的各数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（   ） A．10 B．7 C．5 D．0 4．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 5．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 6．已知：如图1，点依次在直线上，现同时将射线绕点按逆时针方向分别以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为（）秒，经过 秒． 7．如图，数轴上的单位长度为1，A，B两点表示的数互为相反数． (1)点A表示的数是______，点B表示的数______； (2)数轴上一个动点M表示的数为x，先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度，此时点M到表示数的点的距离为3，求x的值； (3)在数轴上，点O为坐标原点，点P从点A出发，以每秒3个单位长度向右作匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点P表示的数为______；点Q表示的数为______；（用含t的式子表示） ②当t为何值时，点P、点Q、点O三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 8．【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． ． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的“巧点”，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图2，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，P为A、Q的“巧点”？说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末压轴题汇总（82题11大压轴题型） 题型1 绝对值及几何意义 题型7 有理数加减混合运算的实际应用 题型2 与数轴有关的计算 题型8 求代数式的值或最值 题型3 整式加减的应用 题型9 一元一次方程及其应用 题型4 数字规律类问题 题型10新定义类问题 题型5 图形规律推断类问题 题型11几何中分类讨论问题 题型6 动点类问题 题型一 绝对值及几何意义（共5小题） 1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为1或3． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：当时，，，，故A不符合题意； 当时，，，，故B不符合题意； 当时，，，，故C不符合题意； 当时，，，，故D符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．下列选项中错误的是（    ） A．表示数a在数轴上的对应点与原点的距离 B．若满足时，则的值是或2.5 C．表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离 D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义以及两点间的距离公式即可判断． 【详解】解：A、表示数在数轴上的对应点与原点的距离，故A选项不符合题意； B、当时，（舍； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述：若满足时，则的值是或2.5，故B选项不符合题意； C、因为表示5、在数轴上对应的两点之间的距离是为8，所以此选项说法错误，故C选项符合题意； D、、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为4，则、两点之间的距离为，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）已知，，且，则 ． 【答案】8 【分析】根据绝对值的定义即可求出x、y的两个值，然后根据绝对值的非负性即可求出满足题意的x、y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴， ∴； 故答案为：8． 【点睛】此题考查的是代数式求值，绝对值和有理数的减法运算，掌握绝对值的意义、有理数减法法则是解决此题的关键． 5．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 题型二 与数轴有关的计算（共9小题） 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两数比较大小及有理数运算，解题关键是正确得出a，b的信息并熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则. 先观察数轴可知：，根据得，然后然后对四个选项逐一分析即可. 【详解】观察数轴可知：， ∵， ∴， A．，，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； D．，所以，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）数轴上点与点相距3个单位，若点表示，则点表示的数是 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，分类讨论：点在点左边，则点表示的数为；若点在点右边，则点表示的数为，熟练利用数轴是解题的关键． 【详解】解：点表示，点与点相距3个单位， 若点在点左边，则点表示的数为； 若点在点右边，则点表示的数为， 即点表示的数为或． 故答案为：或． 8．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴的单位长度为，如果点与点是互为相反数，那么点表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据在数轴上，互为相反数的两个点到原点的距离相等，且在原点的两旁，得出表示的数是 ，进而得出答案． 【详解】解：数轴的单位长度为，，点与点是互为相反数， 点表示的数是， 点在点的左侧，且， 故A点表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值等知识点，关键是理解相反数在数轴上表示的意义，即在数轴上，互为相反数的两个点到原点的距离相等，且在原点的两旁． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．已知点B到原点的距离为，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有关实数和数轴的简单应用，先根据点B到原点的距离，求出点B表示的数，然后分两种情况：当点B在点A右侧时和当点B在点A左侧时，利用两点间的距离公式，求出和，进行解答即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为， ∴点B表示的数是， 当点B在点A右侧时， ∵点A表示的数为1，点B表示的数为， ∴， ∵点B，C到点A的距离相等， ∴， ∴当点B表示的数是时，点C表示的数是：； 当点B在点A左侧时， ∵点A表示的数为1，点B表示的数是， ∴， ∴， 点C表示的数是， 综上可知：点C表示的数为：或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 【答案】不是唯一确定，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 【分析】本题主要考查了用数轴表示数，两点间的距离等知识点，根据两人的对话分类讨论即可得解，熟练掌握用数轴表示数，两点间的距离公式并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：不是唯一确定．理由如下：    情形①当小明家在学校西5千米（即在数轴原点的左侧）时， 小明家表示的数为， 若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 情形②当小明家在学校东5千米（即在数轴原点的右侧）时， 小明家表示的数为，   若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 综上所述，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 11．（20-21七年级上·浙江宁波·期末）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________； （2）请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】（1），；（2）①图见解析，；②见解析 【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数 （2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N． 【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：，； （2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 13．（21-22七年级上·浙江金华·期末）如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循环，由此可以确定出数轴上1998这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴6次一循环， ∴， 数轴上1998这个数所对应的点是E点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 14．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1． (1)若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1， ①若点C表示的数是3，求线段MN的长． ②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长． (2)若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数． 【答案】(1)①5；②线段的长为或 (2) 【分析】（1）①先根据数轴上两点的距离可得的长，由线段中点的定义可得的长，同理得的长，由线段的和差关系可得的长； ②存在两种情况：在的左边或右边，同理根据线段的和差关系可得的长； （2）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，结合数轴上两点间的距离公式，中点坐标公式和线段的和差关系列方程求解． 【详解】（1）解：①如图1， 点，表示的数分别是，， ， 是的中点， ， 同理得：，， ； ②若，存在两种情况： 如图2，点在的左边时，与原点重合，表示的数为0， ； 如图3，点在的右边时，表示的数为2， ； 综上，线段的长为或； （2）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点、、、、、是数轴上的点，且点是线段的中点，点是线段的中点， 点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示， ， 点，，均在点的右侧，且始终满足， ， 整理，得， 当时， 解得（不符合题意，舍去）， 当时， 解得：， 点在数轴上表示的数为， 综上，点在数轴上所对应的数为． 【点睛】本题主要考查了数轴，数轴上的点的几何意义，绝对值的意义等知识的应用．掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键． 题型三 整式加减的应用（共10小题） 15．（21-22七年级上·浙江温州·期末）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片（大长方形的宽与小长方形的长相等），按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意；设小长方形的长为，宽为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由方式一可知大长方形的长为； 由方式二可知大长方形的长为； ∴， ∴， ∴； 故选：D． 16．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，设大长方形的长为，宽为，分别表示出两个阴影部分的周长，作差即可得出结果． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，由图可知： 左下角阴影部分的周长为：， 右上角阴影部分的周长为：， 故左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为； 故选B． 17．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（   ） A．891 B．694 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的加减法计算，设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数，即可得：，且，据此即可作答． 【详解】解：设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数， ∴，， ∴， ∵a、b、c为1至9的整数， ∴， 又∵，，，， ∴符合要求， 即正确的是D， 故选：D． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙．若想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法： 甲说：只需要知道①与③的周长和； 乙说：只需要知道①与⑤的周长和； 丙说：只需要知道③与④的周长和； 丁说：只需要知道⑤与①的周长差； 下列说法正确的是（    ） A．只有甲正确 B．甲和乙均正确 C．乙和丙均正确 D．只有丁正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正方形和矩形的性质，解题关键是通过设③的边长为，④的边长为，②的宽为，求出各个图形的周长． 设③的边长为，④的边长为，②的宽为，根据图形求出⑤的边长为，②的长为：，①的长为，宽为，然后先求出②的周长，再分别算出①③④⑤的周长，最后通过计算①与③的周长和、①与⑤的周长和、③与④的周长和、⑤与①的周长差，与②的周长比较，再进行判断即可． 【详解】解：设③的边长为，④的边长为，②的宽为， ⑤的边长为，②的长为：，①的长为，宽为， ②的周长为：， ①的周长，③的周长为， ①与③的周长和为：， 甲的说法正确； ①的周长，⑤的周长为， ①与⑤的周长和为：， 乙的说法错误； ③的周长，④的周长， ③与④的周长和为：， 丙的说法错误； ⑤的周长为，①的周长， ⑤与①的周长差为：， 丁的说法错误； 综上可知：说法正确的只有甲， 故选：． 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道③号正方形的边长即可 B．只需知道④号正方形的边长即可 C．只需知道⑤号长方形的周长即可 D．只需知道图1中大长方形的周长即可 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，⑤号长方形的长为，宽为，根据图2得没有覆盖的阴影部分的周长，计算即可得到结果． 【详解】 解：设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，⑤号长方形的长为，宽为，，， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长 ， ③号正方形的边长为， ④号正方形的边长为， ⑤号长方形的周长； 图1中大长方形的周长； 选项A，C，D说法正确，不符合题意，选项说法错误，符合题意． 故选：B． 20．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图所示的一个大长方形，它被分割成个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为，，，，长方形⑤的周长为，整个大长方形的周长为，则下列关系式不正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，数形结合是解题的关键．根据题意，设正方形①②的边长分别为，，结合图形，表示出四个正方形，和长方形的周长，即可判断各选项． 【详解】解：设正方形①②的边长分别为，， 则正方形③的边长为， 正方形④的边长为， 长方形⑤的长为，宽为， 大长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ．，该关系式成立，不符合题意； ．，该关系式成立，不符合题意； ．，故关系式不成立，符合题意； ．，该关系式成立，不符合题意． 故选：C． 21．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，若已知两个阴影部分周长的差，则下列结论可求出的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先利用代数式表示出两阴影部分的周长，再利用整式的加减运算表示出两个阴影部分周长的差，然后利用已知两个阴影部分周长的差可对各选项进行判断． 【详解】解：∵左边的阴影部分为长方形，其长为，宽为，右边的阴影部分为长方形，其长为，宽为， ∴两个阴影部分周长的差为， ∴当已知两个阴影部分周长的差时，可求出． 故选：C 22．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将图中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号四个正方形和号长方形，并将它们按图的方式无重叠地放入另一个大长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算，设号正方形的边长为，号正方形的边长为，则号正方形的边长为 ，号正方形的边长为，号长方形的长为，宽为，根据图得没有覆盖的阴影部分的周长，计算即可得到答案，熟练表示出阴影部分的周长是解题的关键． 【详解】解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为，则号正方形的边长为，号正方形的边长为，号长方形的长为，宽为， ∴，， ∴没有覆盖的阴影部分的周长 ∵图中大长方形的周长 即， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为， 故选：． 23．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为S，则大长方形的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，，，依题意得，则，进而得，，再由，继而可求出长方形的面积． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，如图所示： ∴，，，，， ∴，， ∴小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵阴影部分的面积为S， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，由可得，将阴影部分的周长和表示出来，再把各条线段用含有a、b、c的式子代换，然后再化简，看最后结果与哪条线段有关即可． 本题主要考查了列代数式及代数式的化简．把各条线段用含有a、b、c的式子表示是解题的关键． 【详解】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∵， ， ， ，， ， ∴阴影部分的周长和= ， ∴知道的长就可以求出图中阴影部分的周长和． 故选：B 题型四 数字规律类问题（共11小题） 25．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，当分别取1，2，3，，时，所对应的值的总和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，熟练掌握绝对值的化简运算并找出规律是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．当时，，即当分别取2，3，，时，对应的值都等于1，根据规律，再计算所对应的值的总和即可． 【详解】解：当时，， 当时，，即当分别取2，3，，时，对应的值都等于1， ， 所对应的值的总和是． 故选：C． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 27．（24-25七年级上·浙江·期末）某数学探究课上有这样一段对话： 老师：数学家斐波那契在《计算之书》中记载了这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，即从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和． 甲同学：这一列数的前2025个数中，能被3整除的数共有506个． 乙同学：这一列数的前2025个数的和为奇数． 以下对两位同学的看法判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、数学常识及数的整除，能根据所给数列发现能被3整除的数的位置规律及奇数和偶数的位置规律是解题的关键． 根据所给数列发现能被3整除的数的位置规律及奇数和偶数的位置规律，再对两位同学的说法依次进行判断即可． 【详解】解：由所给数列可知， 从第1个数开始，这列数中每4个数有1个数能被3整除，且这个数在最后一位， 因为， 所以这一列数的前2025个数中，能被3整除的数共有506个． 故甲对． 从第1个数开始，这列数中每3个数有2个奇数和1个偶数，且奇数为前2位，偶数为后1位， 因为， 所以这一列数的前2025个数中有675个偶数和1350个奇数， 所以这一列数的前2025个数的和为偶数． 故乙错． 故选：A． 28．（24-25七年级上·浙江金华·期末）把一列数：、、、、、……放置在如图所示的小圆圈内，则从上到下第行，且从左到右第个小圆圈内的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的规律题，合理分析出规律是解题的关键． 第一行有个数，第行有个数，第行有个数第行有个数，求出第行的第个数后即可推出第个数． 【详解】解：∵第一行有个数，第行有个数，第行有个数第行有个数， ∴第行有个数， ∴第行的第个数为：， ∴第行的第个数为：， 故选：B． 29．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）有这样一个数字游戏：将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字、每一列从上到下的数字均按从小到大排列，当数字3和4固定在图中所示的位置时，此时根据游戏规则填空格，则所有可能出现的填写结果共有（   ）种． 3 4 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，数字问题是排列计数原理中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解决问题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏． 每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填右上角或左下角，有2种方法，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，有3种选择；余下的两个数字按从小到大只有一种方法，根据分步计数原理可得结果． 【详解】解：∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大， ∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角， 5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个， 余下的两个数字按从小到大只有一种方法， ∴共有2×3=6种结果， 故选：A． 30．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）大约从20世纪50年代开始，许多国家流传着这样一个数学猜想，其原理如下图数值转换器．若开始输入的值是5，则第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2025次输出的结果是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据题目所给运算程序，先计算出前几次输出结果，得出一般规律是关键．从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1次输出的结果是16， 第2次输出的结果是8， 第3次输出的结果是4， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， ， 从第3次开始，数出结果每3次按照4，2，1的顺序循环， ， 第2025次输出的结果为4， 故选：D． 31．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，依此类推，则等于（    ）． A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查找规律，根据找到规律为每3项循环一次，则，，，代值求解即可得到答案，根据题中式子找到规律是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， 按照上面代数式呈现的规律可知，每3项循环一次，则，，， ， ， 故选：A． 32．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于（　　）    A．第18行，第7列 B．第17行，第7列 C．第17行，第11列 D．第18行，第11列 【答案】C 【分析】本题是数字类的规律题，此类题变化多样，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样；因此要认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法；有时也会利用方程解决问题．前5行的数表显示的规律有：①第行有个数；②每一行的同一列的分母相同；③每一行的分母与分子是连续整数的正排列和倒排列；④第行的任意一个数的分子与分母的和为；因此根据这些规律得出结论． 【详解】解：观察数表，发现：①第一行的每个数的分子、分母的和为2，第二行的每个数的分子、分母的和为3，第三行的每个数的分子、分母的和为4，，由此可知，就是每行各数的分子、分母的和为行数加1， ②每行的第一个数的分母为1，第二个数的分母为2，，即分母是几就是第几个数； 所以所在的行数为，即第17行中，位于自左至右第11个数． 故选：C 33．（22-23七年级上·浙江·期末）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是，第二次经运算是，第三次经运算是，第四次经运算是……，则第次运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是探索规律题，根据运算的定义找到运算结果的变化规律是解题的关键． 【详解】取，第一次经运算是， 第二次经运算是， 第三次经运算是， 第四次经运算是， 第五次经运算结果是， 第六次经运算结果是， 第七次经运算结果是， 第八次经运算结果是， 第九次经运算结果是， 第十次经运算结果是， 第十一次经运算结果是， 由上可知：从第四次经运算结果开始出现，，，的循环， ∵，， ∴第次运算结果与第次运算结果结果相同为， 故选：． 34．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：（其中为正整数），规则为：．下列说法中，①若，则生成的这个数串中必有（为正整数）；②若，生成的前2022个数之和为55；③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32；④若，则的值是9或56．其中正确的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，新定义，能够理解定义，分别计算出每一组数串是解题的关键． 根据定义，是偶数，按计算，可得，是偶数，同理可得， 是奇数，按代入可得4，依次可得生成的数串为4，2，1，4，2，1，，发现每3个数一循环，有（为正整数），可作判断； 同理可得若，生成的数串为6，3，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，，由此可计算生成的前2022个数之和可作判断； 计算16的前一个数，可能是32或5两种情况，从而作判断； 计算第4个数是7时，前3个数，分情况讨论可作判断． 【详解】解：①若，即是偶数，， ， ， ， ， 每个数一循环，有，，， ∴若，则生成的数串中必有：（为正整数），故①符合题意； ②若，即是偶数， ， ， ， ， ， ， ， ， 从开始，每个数一循环，， ∴生成的前个数之和，故②不符合题意； ③若生成的数中有一个，则有两种情况： 当是偶数时， ， 当是奇数时， ， 若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5，故③不符合题意； ④当时，有两种情况： 当是偶数时，，，，或， 当是奇数时，，（不符合题意，舍去），故④符合题意； 综上，其中正确的结论是①④，共个． 故答案为：． 35．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）有一行数，，，，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数，，，，，，，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索；根据所给计算方式炸出规律是解题的关键． 分别计算第一次操作所得数的和、第二次操作所得数的和；找出规律即可求解． 【详解】解：由题可得：原来这行数的和为：； 令原来四个数分别为，，，， 原来这行数的和为：； 第一次操作所得数的和为：， 整理为：； 即第一次操作所得数的和为原来这数行的和加上首数与尾数的差， ∴第一次操作所得数的和为：； 令第一次操作所得数为：，，，，，，， 第一次操作所得数的和为：， 则第二次操作所得数的和为：， 整理为：； 即第二次操作所得数的和为第一次操作所得数的和加上首数与尾数的差， 所以第二次操作所得数的和为：； …， 所以第次操作所得数的和为：； 当时，； 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为； 当时，， 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为． 故答案为：，． 题型五 图形规律推断类问题（共4小题） 36．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2025次跳跃后它所停在的点对应的数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查是对图形变化规律的考查，读懂题目信息，理解跳动方法并求出每4次跳动为一个循环组，依次循环是解题的关键．根据题意写出前几次跳动的停靠点，发现4次跳动后回到出发点，即每4次跳动为一个循环组，依次循环，用2025除以4，根据商和余数的情况确定所停的位置即可． 【详解】解：从1这点开始跳，第1次停在数字3， 第2次跳动停在5， 第3次跳动停在2， 第4次跳动停在1， …， 依此类推，每4次跳动为一个循环组依次循环， ， 即经过2024次后与第1次跳动停的位置相同，对应的数字是3． 故选：C． 37．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，用规格相同的2023根小棒按照图案规律从左往右摆放，最多可以摆出小正方形的个数是（    ） A．505个 B．252 C．202个 D．183个 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探究，根据图形具有周期性，图形可以看成：从第2根开始，每10根小棒，可以多构成一个八边形和一个正方形，进而即可求解． 【详解】图形具有周期性，图形可以看成：从第2根开始，每10根小棒，可以多构成一个八边形和一个正方形， 根据题意有，． 2023根小棒可以摆出的小正方形的个数为202个． 故选：C． 38．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据图形变化的规律归纳总结出，然后代入式子变形求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， ， ， ， ， ．．． (n为正整数)， ∴ 故选∶C． 39．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数加减运算，根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即，求出，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可． 【详解】解：∵乙同学答对了一半以上， ∴乙同学至少答对了3道题， ∴， ∴， ∴甲、丙至少答对了2道题， 假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意； ∴第3题的答案一定是B， 假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意； ∴乙同学答对了3道题， 假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意； ∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题， ∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A， ∴甲、丙、丁都答对了2题，即，， ∴． 故选：B． 题型六 动点类问题（共9小题） 40．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差关系，根据题意可设，，则，，可求出，，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， 故选：D． 41．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 42．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． （1）当 时，； （2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是 ． 【答案】 2或 【分析】本题考查的是绝对值的化简，一元一次方程的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先求解B对应的数，再由，再建立方程求解即可； （2）分三种情况化简绝对值，再求解代数式的值，得到的最小值为，此时，再建立方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点表示的数为8，是数轴上一点，且， ∴，即对应的数为， 而运动中对应的数为：， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：2或； （2）当时， ∴ ， 当时，此时代数式有最小值； 当时， ∴ ， 当时， ∴ ， 当时，此时最小值为； 综上：的最小值为，此时， 当时，解得， 当时，解得， ∴． 故答案为：． 43．（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为___________； (2)图中点所表示的数是___________，点所表示的数是___________； (3)受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄． 【答案】(1) (2)12；21 (3)爷爷67岁，小明15岁 【分析】（1）由图象可知3倍的长为，即可求得长度． （2）A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21． （3）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爷爷的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知这跟木棒的长为， ∴A点表示为，B点表示的数是， 故答案为：12，21； （3）解：借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为， ∴爷爷比小明大岁， ∴爷爷现在的年龄为岁． ∴小明现在的年龄为岁． 【点睛】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键． 44．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的一条“型数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个单位长度．动点从点出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动到点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求相遇时间是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)； (2)； (3)，，11，14． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． （1）根据时间，分段求出每段折线上的时间再求和即可； （2）先判断点P与点Q在线段OB上相遇，再根据等量关系建立一元一次方程求解即可； （3）根据、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等可以判断时间相等，分别讨论并建立一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）动点从点运动到点需要：； （2）由题意可得点Q运动到点B需要8秒，此时点行走的路为：，即此时点P在线段OB上， 所以点P与点Q在线段OB上相遇， 由题意可得方程：， 解得：， 所以、两点经过秒相遇； （3）①在上，在上， ， ②在上，在上， ， ③在上，在上， ， ④在上，在上， ，无解 ⑤在上，在上， ， 综上，，，11，14 45．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上放置边长为2的正方形和边长为3的正方形．点表示的数为12，点位于原点处，点位于点处．正方形向右以1个单位/秒的速度运动，正方形以2个单位/秒的速度向左运动．相遇后正方形继续向右运动，正方形上的点A运动到点处后，正方形立即返回向右运动．设运动时间为（秒）． (1)两正方形第一次相遇（即点A，重合）时，______，此时点A所表示的数为______； (2)当正方形追上正方形（即点，第二次重合）时，求点表示的数； (3)在整个运动过程中，当两正方形重叠部分面积为1时，请直接写出点A表示的数． 【答案】(1)秒； (2)用时8秒，点表示的数为8 (3)5或或7或15 【分析】（1）根据题意列出关于t的方程，解方程即可； （2）先求出点A运动到点处时，，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动后，表示出，，根据此时，得出，求出结果即可； （3）分四种情况进行讨论：正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段上，正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段左侧，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段上，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段右侧，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：正方形向右以1个单位/秒的速度运动，正方形以2个单位/秒的速度向左运动时， ，，两正方形第一次相遇（即点A，重合）时，， 即， ， 此时点A所表示的数为； （2）解：正方形以2个单位/秒的速度向左运动，点A运动到点处后，正方形立即返回向右运动， 点A运动到点处时，， 正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动后，，，当正方形追上正方形（即点，第二次重合）时，， ， 此时，点表示的数为8； （3）解：如图1， 正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段上，两正方形重叠部分面积为1时，，，， ∵，， ， ∴， 解得：， 此时，； 如图2， 正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段左侧，两正方形重叠部分面积为1时，，， ， ∵，， ， ∴， 解得：， 此时，； 如图3， 正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段上，两正方形重叠部分面积为1时，，，，， ∵，， ， ∴， 解得：， 此时，； 如图4， 正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段右侧，两正方形重叠部分面积为1时，，，， ∵，， ， ∴， 解得：， 此时，； 综上所述，在整个运动过程中，当两正方形重叠部分面积为1时，点A表示的数为5或或7或15． 【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 46．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10 (2)或时， (3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离可求出点B表示的数，然后根据相反数的定义即可求出点A表示的数； （2）根据数轴上两点间的距离求出，，然后根据得出关于t的方程，然后解方程即可； （3）根据数轴上两点间的距离求出，，，代入化简得，然后分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且， 点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数， 点A表示的数是， 故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ， ， 或． 答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为， 当时，其值为360， 当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等，弄清并表示线段的长是解题的关键． 47．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知数轴上，两点对应的数分别为，，，两点对应的数互为相反数． (1)求，的长． (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点到达点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的移动时间为（秒）． ①问为何值时，为的中点？ ②当时，求的值． 【答案】(1)， (2)①20秒；②6秒或21秒或27秒 【分析】（1）根据相反数的定义求出点C对应的数，再根据两点间的距离求出和； （2）①求出M，N表示的数，根据为的中点列出方程，解之即可；②求出，分和两种情况，根据M，N表示的数列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，两点对应的数分别为，，，两点对应的数互为相反数， ∴点对应的数为， ∴，； （2）①由题意可得：点M表示的数为， 点N表示的数为， 若为的中点， ∴， 解得：， ∴为20秒时，为的中点； ②∵， ∴， 当时， ，即； 当时， 或， 解得：或， ∴当时，t的值为6秒或21秒或27秒． 【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据点的运动表示出点的位置以及列出方程是解题的关键． 48．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ 故答案为：3； （2）由题意可得：， ∴， 点是线段的三等分点，分两种情况： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：当为或时，点是线段的三等分点； 由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 点，点分别是，的三等分点，的值为或或． 题型七 有理数加减混合运算的实际应用（共4小题） 49．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是 （写出一对即可）． 【答案】3与74 【分析】本题考查了有理数的乘法，加法运算，正确理解题意是解题的关键． 先确定三位数的因数中一定有111，再根据可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，然后讨论分析即可． 【详解】解：一个百位数字、十位数字与个位数字相同的三位数一定是111的倍数， 所以它的因数中一定有111， 而， 由此可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数， 因为两个非零自然数的和是一个十位数字与个位数字相同的两位数， 所以说明这两个非零自然数可能是一位数，也可能是两位数， 而在两位数中，37 的倍数只有37 和74，大于 37且十位数字与个位数字相同的两位数有44、55、66、77、88、99， 所以：经尝试发现 (18是3的倍数），， 因此，这两个自然数分别是37与18或3与74， 故答案为：3与74． 50．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 【答案】 2.5 3.2 80 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键． （1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间． 【详解】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 甲船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 乙船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 故答案为：2.5，3.2； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时， 所以乙往返的次数为． 因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口， 所以为整数，且最小， 所以x最小可取32， 所以航行时间为时． 故答案为：80． 51．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，整式加减的应用等知识点，根据已知条件逐步推理并充分利用，，，的约束条件是解题的关键． 设这个四位数为，则，，，，首先，因为若，则可推出与已知条件不符，因而，，于是，根据题意可得，即，可推出，，因而，于是可得，即，进而可得出其整数解为或，于是得解． 【详解】解：设这个四位数为，则， 首先， ，，，若，则有： ， ，与已知条件不符， ， ， ， 根据题意可得： ， 整理，得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 整数解为：或， 故所求四位数为或， 经检验，两个数都符合要求， 故答案为：或． 52．（24-25七年级上·浙江金华·期末）账单中的数学 素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准． 阶梯名称 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年累计用电量（千瓦时） 以上 单价（元/千瓦时） 0.55 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.05元 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.35元 素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元． 素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．） 根据以上素材，解决下列问题： (1)文文家2月份的电费是多少元？ (2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时． ①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？ ②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？ ③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 【答案】(1)132元 (2)①400千瓦时；②211.7元；③ 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合运算，以及简单的应用题，明确每个阶段的电量是本题解题的关键. （1）先计算出二月份的用电量，再根据电费单价电量计算即可； （2）①先计算用满第一阶段的电量所需费用，从而求出第二阶段所用费用，再除以单价即为用电量； ②计算出峰电和谷电的电量，根据其单价计算费用，再加上第二阶段额外的费用； ③两种方式阶段价格增加的单价相同，所以不需要考虑阶梯价，根据电费相同列出a，b的等式，化简即可． 【详解】（1）解：二月用电量为：(千瓦时)， ∴二月的电费为：(元)； （2）解：①9月用满第一阶梯电量需要电费：， ∴第二阶段电费为：(元)， ∴第二阶段用电量为：(千瓦时)， ∴九月份用电量为：(千瓦时)； ②峰电用电量为：(千瓦时)， 谷电用电量为：(千瓦时)， ∴九月份的电费是：(元)； ③∵是否开通峰谷电，阶梯价上涨相同， ∴不需要考虑阶梯价， ∴当时，开通和不开通峰谷电电费相同， 即时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 题型八 求代数式的值或最值（共3小题） 53．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）小慧同学在计算，，，的值时，发现有三个结果恰好相同，其中a和b都是有理数，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解一元一次方程，代数式求值等知识点，根据已知条件推出与的值是解题的关键． 根据有意义，可得，进而推出，依据题意可得，于是可得或，然后分类讨论求出与的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 依据题意，可得：， ∴或， 当时，， ∵， ∴，，不符合题意， ∴； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，， 当时， 解得：， 当时， 解得：， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 54．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，根据题意要求的的最小值，结合题意，得出，，进而根据，得出，或，，代入式子，即可求解． 【详解】解：∵且为非零整数 ∴， 要使得最小，则都为最小值， ∴ ∵，且最小，则 ∵ ∴ ∵，为整数，且最小，则都为负数， ∴，， ∴， 故答案为：． 55．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定且是解题的关键． 【详解】解：方程， ，即， 或， 或， 方程始终存在四个不同的实数解， ，， 且， ， 故答案为：1． 56．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知，，为正整数，且若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的拓展应用，可设，，，解得：，，，即可求解；会解含有参数的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解： ，，是三个连续正整数的平方， 可设，，， 解得：，，， ，，为正整数， ， 是正整数， ， ，，， ， 的最小值为； 故答案：． 题型九 一元一次方程以及实际应用（共7小题） 57．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，首先计算得甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：，设两人相週的次数为，根据一元一次方程的性质列方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为： 设两人相遇的次数为 ∵起跑后时间总共为2分钟，即120 s ∴ ∴ 根据题意，两人相遇的次数为整数 ∴，即两人相遇的次数为5次 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 58．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 59．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石．则这一标志性建筑的底面边长x是（   ）米． A．3.8 B．4 C．4.2 D．5 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，掌握正方形的面积是解决问题的关键． 设标志性建筑底面的边长是x米，则外面的边长是米，利用两个正方形的面积差等于144块边长为0.8米的正方形花岗石的面积列出方程解答即可． 【详解】解：由图可得：标志性建筑底面正方形的边长是x米，则外面的边长是米， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 60．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按下图方式放置在同一个大长方形内（两种方式均有重叠）．按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为．若，，则正方形甲的边长为（    ） A． B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．首先，我们需要分别表示出图1中阴影部分①和②的周长之和m以及图2中阴影部分③和④的周长之和n，然后根据以及正方形甲和长方形乙周长相等这两个条件建立方程，进而求出正方形甲的边长． 【详解】设正方形甲的边长为x，长方形乙的长为a，宽为b，， ∵正方形甲和长方形乙的周长相等， ∴， 阴影部分①的周长， 阴影部分②的周长， ∴ n=阴影③的周长+阴影④的周长， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴正方形甲的边长为7． 故选：B． 61．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）新年将至，学校组织了一场数学创意比赛．老师准备了个彩色气球，先在每个气球上分别标记着这个数，在把这些气球挂在教室里后提出了一个有趣的问题：在每个气球标注的数前面添加“”或者“”号，要使这些数的代数和为，那么“”号最多能够添加 个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，一元一次方程的应用；先算出的值，再用整体法设标注的数前面添加“”号的总和为，则标注的数前面添加“”号的绝对值为，根据这些数的代数和为，列方程求出的值，最后确定“”号最多能够添加的个数． 【详解】解：因为. 所以可设标注的数前面添加“”号的总和为，则标注的数前面添加“”号的绝对值为， 所以， 解得． 因为， 所以最多能够添加的个数为83个． 故答案为：83． 62．（23-24七年级上·浙江·期末）我校金沙校区的小叶同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点，在直线上，第一步，绕点顺时针旋转度至；第二步，绕点顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至， 以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴ 此时满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴ ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去 综上所述，等于或． 故答案为：或． 63．（24-25七年级上·浙江金华·期末）一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 设丙出发与乙相遇，求出乙的速度为；当丙与甲相遇时，①若甲在乙前面，可求得丙速度为，故，②若乙在甲前面，求出丙的速度为，故，分别解方程可得答案． 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得， 综上所述，丙出发或与乙相遇， 故答案为：或． 64．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 65．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）下列说法中 ①，； ②若，则有； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与x无关，则该代数式的值为2025； ⑤，，则的值为3或． 正确的判断是 ． 【答案】②④/④② 【分析】绝对值的意义和除法法则，判断①，绝对值的意义，乘法法则判断②；两点间的距离判断③；化简绝对值，进行计算，判断④，根据两正一负，两种情况进行讨论求解，判断⑤． 【详解】解：，则：；故①错误； 若，则：或， ∴或， ∴；故②正确； A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则：，解得：，或，解得：或，故③错误； 若代数式的值与x无关，则： ；故④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴均为负数不成立， 当两正一负时，则：中两个，一个1，和为； ∴的值为；故⑤错误； 故答案为：②④ 【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间的距离，化简绝对值，有理数的运算，一元一次不方程的应用，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 72．（21-22七年级上·浙江台州·期末）元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_________元； (2)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元， ①若使用代金券，实际花费_________元（用含的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)168 (2)①；②当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意通过所给的优惠方案列出算式和方程求解是解题的关键． （1）根据所给的方案一列式计算即可； （2）①用消费的钱数减去300再加上三张优惠券的钱即可得到答案；②先求出方案二的花费，再列方程求出两种方案花费一样时x的值，即可讨论得到答案． 【详解】（1）解：元， ∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元， 故答案为：168； （2）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费元， 故答案为：； ②使用方案二的实际花费为元， 当时， 解得， ∴当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱． 73．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 74．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒：3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务1 制作图3规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板可以做成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ 任务2 制作图3、图4规格的纸盒共11个 若有25张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板能够恰好完成制作？ 【答案】任务1：用18张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，用3张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，可以做成的无盖纸盒数最多，最多为9个； 任务2：当裁剪长方形的纸张的数量为20，裁剪小正方形的纸张数量为5时，恰好完成制作 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：设用张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，则用张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，根据4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒，列出方程进行求解即可； 任务2：设制作图3规格的纸盒为个，则制作图4规格的纸盒为个，根据纸张共25张，列出方程进行求解即可． 【详解】任务1：设用张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，则用张长方形纸板按图2所示的方法裁剪， 由题意，得：， 解得：， ∴， ∴可以裁剪小正方形的个数为：， ∴用18张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，用3张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，可以做成的无盖纸盒数最多，最多为9个； 任务2：设制作图3规格的纸盒为个，则制作图4规格的纸盒为个，由题意，得： ， 解得：， ∴裁剪小正方形的纸张数量为： ，裁剪长方形的纸张的数量为：； 答：当裁剪长方形的纸张的数量为20，裁剪小正方形的纸张数量为5时，恰好完成制作． 75．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，已知正方形的边长为个单位，两点分别从顶点，同时出发，以个单位秒的速度沿正方形的边按的方向运动，以个单位秒的速度沿正方形的边按的方向运动，运动时闻为秒． (1)点的运动路程为______个单位，点的运动路程为_____个单位；（用含的式子表示） (2)当______秒时，与第一次相遇；当______时，与第二次相遇； (3)①当与第一次都在边AD上，若是QD的中点，求运动时间； ②当第二次成为QD的中点时，求的值，并指出此时点与点相遇了多少次? 【答案】(1)， (2)， (3)①运动时间为秒；②当第二次成为DQ的中点时，，此时点与点相遇了1次 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据路程速度时间，列出代数式，即可求解； （2）根据第一次相遇点比点多走个单位，即，当第二次相遇时，点比点多走个单位，即，解方程，即可求解； （3）①根据题意得出，根据是QD的中点，建立方程，解方程，即可求解； ②依题意得出在上，则，根据是QD的中点，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，点的运动路程为个单位，点的运动路程为个单位 故答案为：，． （2）解：∵点的速度大于点的速度， 则第一次相遇点比点多走个单位，即， 解得：， 当第二次相遇时，点比点多走个单位，即， 解得：， 故答案为：，． （3）解：①当与第一次都在边AD上，由（2）可得，第二次相遇前， 是QD的中点，则都已走完一圈， ∴ ∵是QD的中点 ∴ 解得：； ②由（2）可得第二次相遇时间为，，则点在上， ∵点的速度大于点的速度， ∴第二次相遇前，第二次成为QD的中点，则在上， 则 ∵是QD的中点 ∴， 解得： ∵ ∴ ∴在第一次相遇后每秒，相遇一次， ∵ ∴此时点与点相遇了1次 76．（23-24七年级上·浙江台州·期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为的单轨普速铁路．客车以的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 驶出时间 (1)求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为，标记40．（只要求写数字，单位为）． (2)一列货运列车以的速度匀速行驶开往永康南站，在通过临海南站． ①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾． ②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟 【分析】（1）根据路程=速度×时间求出各段距离即可； （2）①分别求出货车和客车到终点永康南站前的时间，然后比较即可判断客运列车是否与货运列车发生追尾事故；假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟，根据客车和货车行驶的路程方程列方程求解即可； ②分别计算停仙居南站、 停磐安南站、 停壶镇站等待的时间，然后比较即可求解． 【详解】（1）解：客运列车的行驶速度； 临海南到仙居南铁路公里数：； 仙居南到磐安南铁路公里数：； 磐安南到壶镇铁路公里数：； 标注在示意图中 （2）解：  货运列车速度． 客运列车的行驶速度． ①  首先判断到终点永康南站前，客运列车是否与货运列车发生追尾事故． 由题意可得，以临海南站为起点，客运列车比货运列车晚10分钟出发． 临海南至永康南：铁路总里程为． 货运列车用时为， 客运列车行驶时间为．三站停车总时长． ，客运列车总用时比货运列车少，但很接近，所以猜测两车在壶镇至永康段追尾． 验证追尾：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟． 根据题意可知： ， 解得：， 追尾点与临海南站的距离为； ②  临海南至永康南铁路总行程为． 因， 所以，若货车不等待客车先通过，两车在壶镇至永康南段将会追尾． 为避免两车追尾，因此货运列车可以停靠在仙居南站、磐安南站或壶镇站等待客运列车先通过．        停仙居南站：货车用时为分钟，客车用时为分钟，货车等待时间：分钟，所以货车停仙居站等待客车通过要7分钟． 停磐安南站：分钟，分钟，所以货车停磐安南站等待客车通过要3分钟． 停壶镇站：分钟，分钟（客车在站点停3分钟），所以货车停壶镇站要4分钟． 综上所述，货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．用到的公式为：路程=速度×时间． 题型十 新定义类问题（共7小题） 66．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 【答案】 1 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，绝对值的应用，读懂题意寻找规律，利用规律计算，得到的规律写出含有绝对值的等式，逐一分析得到规律，即可解答，解题的关键是掌握绝对值的意义，得到规律 【详解】解：和关于1的“单位数”， ， 当都小于等于1时，可得， 可得， 当都大于1时，可得， 可得， 当时，由于， 可得，此时和都取最小值时，相加最小，值为， 同理当时，相加最小值为1， 故有最小值1； 由题意可知：， 同理可得的最小值为3； 同理可得的最小值为7， 同理可得的最小值； 同理可得的最小值； ； 同理可得的最小值； 的最小值：． 故答案为：1；． 67．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若一个四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，同时满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数为“对称数”． （1）当一个四位数的个位数字与千位数字之和为3时，这个“对称数”为 ． （2）记某个“对称数”为，若存在一个自然数，满足且除以9后余数为2．当取得最大值时，这个“对称数”的值为 ． 【答案】 1452或2541/2541或1452 6952 【分析】本题考查了整式的加减、有理数的加法、有理数的除法，解决本题的关键是根据“对称数”的定义，表示出对称数． （1）假设这个四位数为，根据四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，得，或，，再根据题意得，，分别代入a、b的值，即可求出这个四位数； （2）设P的千位为a，个位为b，百位为，十位为，则，，因为Q除以9后余数为2，所以除以9后余数为2，再由四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，得，，得，进而得，，因为Q取得最大值，所以，，据此可表示出这个四位数． 【详解】解：（1）假设这个四位数为， 则有， 因为四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0， 所以，或，， 因为，， 所以当，时，，，这个数是1452； 当，时，，，这个数是2541； 故答案为：1452或2541； （2）设P的千位为a，个位为b，百位为，十位为， ， ， 因为Q除以9后余数为2， 所以除以9后余数为2， 因为四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0， 所以，， 所以， 所以， 所以， 因为Q取得最大值， 所以，， 所以，， 因此这个数为6952． 故答案为：6952． 68．（24-25七年级上·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 69．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 【答案】(1)不是； (2)，，7；，6； (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断352不是“好六数”； （2）按照“好六数”的定义，根据证明过程，填写完整步骤即可； （3）仿照第（2）题的过程，得到，即可证明能被3整除． 【详解】（1）解：，， 不是“好六数”， 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，， 所以， 所以是“好六数”， 故答案为：，，7；，6； （3）解：， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 是“好六数”， ， 即， ， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除． 70．（22-23七年级上·浙江台州·期末）把千位数为a、百位数为b、十位数为c、个位数为d的四位数记为；规定：若一个四位数的各位数满足：（其中k为整数），则称这个四位数为“k阶位数”：例：5367是“阶位数”，因为；7264不是“k阶位数”． (1)判断数8231与2597是不是“k阶位数”，若是，求出k的值； (2)若四位数是“2阶位数”，且，，求所有满足条件的四位数； (3)若记四位数．将各位数顺序颠倒后记为．若M是“k阶位数”，且，，试用含k的式子表示的值． 【答案】(1)8231是，；2597不是 (2)所有满足的四位数有：9330，9341，9352，9363，9374，9385，9396 (3) 【分析】本题考查了新定义运算与数字类游戏，解题的关键是紧扣定义作灵活的变形运算． （1）根据“k阶位数”的定义进行判定即可，注意k必须为整数． （2）根据“2阶位数”的定义并结合已知条件求得a、b的值，然后根据等式确定四位数的个位数与十位数字． （3）先将M与N用a、b、c、d的代数式表示出来，分别求得的表达式，代入的表达式中即可． 【详解】（1）是k阶位数， ∵， ∴； 不是k阶位数． ∵， ∴不是整数． （2）根据题意得， ∵，， ∴ 解得；． ∵c，d是小于的整数， 由可知，d可取之间的整数，则相应得到c的值． ∴所有满足的四位数有： （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ ． 71．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点向左移动个单位，将得到的点表示的数乘以，此时所得数对应的点为，则称点为点的“倍联动点”（、均为正整数）． 例如，点表示的数为2，当时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是______． (2)若点的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点表示的数． (3)已知数轴上两点表示的数分别为，且点为点的“倍联动点”（为正整数）．点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点的其中一个“6倍联动点”与点之间的距离始终为3，求的值． 【答案】(1)1或4 (2)或4 (3)或9 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解新定义的意义并能根据新定义得到解决问题的相等关系是解决本题的关键． （1）选取合适的和的值，根据新定义的意义计算即可； （2）求得相应的的值，进而选取合适的和的值代入即可求得点表示的数； （3）易得点和点表示的数，进而得到点表示的数，根据点与点之间的距离始终为3判断出和无关的和的值，根据点为点的“倍联动点”进行整理即可得到的值． 【详解】（1）解：①当，时，点的“倍联动点”表示的数为； ②当，时，点的“倍联动点”表示的数为； 所以点的“倍联动点”表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：设表示的数为，则 ①，解得； ②，解得； ③，无解， 所以所表示的数为或4． （3）解：设运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为， 若表示的数为， 则，此时，等号左边的代数式仍与t有关，不符题意； 四种情况中，只有表示的数为时，符合题意， 则，， 得， 或， 由概念可知：表示点先向左移动3个单位，再乘以3得到，所以， 表示点先向左移动1个单位，再乘以3得到，所以， 所以或9． 题型十一 几何中分类讨论问题（共7小题） 77．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知是直线上的一点，是直角，平分． 【猜想】 如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表： 猜想与的数量关系． 【探究】 小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由． 【拓展】 将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒10度，旋转时间秒（），为的角平分线，当时，求的值．    【答案】猜想：；探究：符合，理由见解析；拓展：的值为3或15 【分析】猜想：由角平分线的定义结合角的和差运算可得，而，从而可得结论； 探究：设，则，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论； 拓展：分两种情况讨论：①当时，，则，②当时，，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：猜想：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 探究：符合，理由如下：如图，    设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 拓展：①当时，，则，    ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ②当时，，则，    ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为3或15． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解决问题是解本题的关键． 78．（21-22七年级上·浙江湖州·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当时，求和的度数； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数； ②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值． 【答案】(1)， (2)①当与重合前，，；当与重合后，且与重合前，，；②或4或或 【分析】本题考查的是在新定义的条件下，用方程的思想解决角的变化问题，重点要抓住角的变化过程中出现的每一种情况． （1）根据补角的定义以及旋转的性质计算即可； （2）①先求出，据此可得的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；②分，以及三种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，， ， 当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：， 故，； （2）①由图1，得， 设运动时间为s, 当与重合前，时，如图2， ，，，， ，，，， ， ； 当与重合后，且与重合前，即时， ， ； ②当时， ， ， ， ， 故不存在的值； 当时， ， ， 解得：或. 当时， , 方程无解； 当时，如图： ， ， ， 故不存在的值； 当时，如图：   ，， ， ， 解得，， 综上所述，的值为或4或或． 79．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 80．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若两个共顶点的角满足：一个角的大小为另一个角的5倍，则称这对角互为“和合角”．如图所示，已知直角三角板和直角三角板，，．将两块三角板摆放在一起，且点重合，，为的角平分线．请回答以下问题： (1)如图1，点A和点E重合时． ①求的度数； ②图中是否存在“和合角”？若有，请直接写出，若没有，请说明理由． (2)如图2，固定三角板的位置，将三角板绕着点按每秒3度的速度逆时针旋转一周，假设旋转的时间为．在整个过程中，是否存在某个时刻，使得和互为“和合角”？请求出对应的时刻． 【答案】(1)①；②存在，与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角” (2)存在，t的值为20或90或114 【分析】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①分别求出和的度数，即可求解； ②先求出的度数，即可求解； （2）分两种情况，由“和合角”的定义列出方程可求解． 【详解】（1）解：①，，，为的角平分线． ，， ， ； ②存在，理由如下： ，， ， ∵，为的角平分线， ∴， 与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角”； （2）解：如图3，当在的右侧时， 和互为“和合角”， ， 旋转角度为， ， 如图4，当在的左侧时， 和互为“和合角”， 或， 旋转角度为或， 或， 综上所述：的值为20或90或114． 81．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）在小学我们已经学习过三角形的三个内角和为，某校七年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】探究三角尺中的学问． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，如果，请写出图中所有与互余的角？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：如图3，探究当时，三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数（请直接写出结果）． 【答案】任务1：图中所有与互余的角有：，；任务2：；任务3：另一条直角边与边的夹角可能是，，，． 【分析】本题主要考查余角和补角定义及三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想． 任务1：利用直角三角形两锐角之和为直角及平角的定义来解题； 任务2：设，通过角的和差关系列出方程求解即可； 任务3：根据题意，画出图形，分四种情况进行分类讨论即可． 【详解】解：任务1：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴与互余的角有：，； 任务2：∵， ∴设，， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 任务3：分四种情况讨论： ①当与边的夹角为，且在下方时，如图1：                   （图1） ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角为，且在上方时，如图2：                          （图2） ∵，，， ∴； ③当与边的夹角为时，且在下方时，如图3：              （图3） ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角为时，且在上方时，如图4：                          （图4） ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是，，，． 82．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)21 (3)①10.8或54；② 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数． （1）由，求出，，故当射线位于射线的左侧时，， （2）根据得：，即可解得的值为21； （3）①当到达所在的位置前，，当到达所在的位置后，，解方程可得答案； ②分两种情况可求得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据题意，， 当射线位于射线的左侧时，， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的值为21； （3）解：由题意可得， ①当到达所在的位置前，， 解得； 当到达所在的位置后，， 解得； 的值为10.8或54； ②当与重合时，， ， 此时与重合； 当到达所在的位置前，，， ； 当到达所在的位置后，，， ； 综上所述，． 1．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 2．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了I，II，II，IV四个部分，点，，对应的数分别是，，．则下列①；②；③；④四个条件中，（   ）两个条件组合，可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中的某一部分．    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴上表示有理数，有理数的乘法加法，正确理解题意是解题的关键．分别从每一个选项出发，根据有理数的运算进行判断即可． 【详解】解：A、∵，而， ∴， ∵， ∴， 而， ∴原点在Ⅲ这一区域，符合题意； B、∵，， ∴， 不能确定的正负， 故B不能确定原点的位置，不符合题意； C、∵，， ∴， ∵， ∴可能大于0，也有可能小于0， 那么就确定不了原点的位置，不符合题意； D、∵， ∴可能都小于0，或者， ∵，， ∴当时，；当时，， 故不能确定原点位置，不符合题意； 故选：A． 3．我国数学家杨辉在他1275年写的《续古摘奇算法》一书中，已经编制出三至十阶幻方．杨军老师稍加创新改成了“幻三角游戏”，现在将，，0，1，2，3，4，6，8分别填入图中的圆圈内，使三条实线以及内、中、外三个虚线三角形上的各数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（   ） A．10 B．7 C．5 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，求平均数，理解题意列方程是解题的关键． 根据内、中、外三个虚线三角形上的各数字之和都相等，得出各个三角形上数字之和为，然后列方程，即可求解． 【详解】解：∵内、中、外三个虚线三角形上的各数字之和都相等， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26． 【详解】解：如图： ∵AB=10，BC=8， ∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36， ∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形， ∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=×12=6， ∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即MN+LK+IJ+OP=12， ∴XW+UV+ST+QR=12， ∵四个重叠部分的周长之和为28， ∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=×28=14， ∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26， ∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形周长，解题的关键是掌握长方形周长等于长加宽和的2倍． 5．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 6．已知：如图1，点依次在直线上，现同时将射线绕点按逆时针方向分别以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为（）秒，经过 秒． 【答案】或或24 【分析】本题考查的是角的动态定义，角的和差关系，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 第一次追上之前，，得到；第一次追上之后，，得到；第二次追上之前，，得到；第二次追上之后，，，分别解方程，最后一次不成立． 【详解】解：①如图，第一次追上之前，， 由题可知， ， 的运动速度是每秒， ， ， 即， 解得； ②如图，第一次追上之后，， 此时，， ， ， 解得； ③如图，第二次追上之前，， 此时，， ， ， 解得； ④如图，第二次追上之后，， 此时，， ， ， 解得（不合题意）； 综上，的值为6或12或24． 故答案为：6或12或24． 7．如图，数轴上的单位长度为1，A，B两点表示的数互为相反数． (1)点A表示的数是______，点B表示的数______； (2)数轴上一个动点M表示的数为x，先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度，此时点M到表示数的点的距离为3，求x的值； (3)在数轴上，点O为坐标原点，点P从点A出发，以每秒3个单位长度向右作匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点P表示的数为______；点Q表示的数为______；（用含t的式子表示） ②当t为何值时，点P、点Q、点O三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 【答案】(1)，2 (2)或 (3)①，，②或或6或 【分析】本题考查了相反数的概念，数轴上点的移动规律，绝对值的几何意义及一元一次方程的应用． （1）A、B互为相反数且，即可表示A和B的数； （2）根据题意列出方程，解得或； （3）①点P从点A出发，速度为3，则t秒后表示为，点Q从点B出发，速度为1，则t秒后表示为；②分三种情况讨论：点O到点P、Q距离相等，点P到点O、Q距离相等，点Q到点O、P距离相等，分别列出不同情况下的方程，并解得t的值，再根据取符合要求的值即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点表示的数互为相反数，且， ∴点A表示的数是，点B表示的数是2， 故答案为：，2． （2）解：根据题意得：， 即或， 解得：或． （3）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； ②当点O到点P、点Q的距离相等时，， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 当点P到点O、点Q的距离相等时，， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当点Q到点O，点P的距离相等时，， 即或， 解得：或， 即当t的值为2或或6或时，点P、点Q、点O三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等． 8．【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． ． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的“巧点”，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图2，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，P为A、Q的“巧点”？说明理由． 【答案】（1）是；（2）8；（3）当，或3秒时，为、的“巧点” 【分析】本题考查新定义、线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分类讨论．（1）根据“巧点”的定义解答即可；（2）点C是线段的“巧点”，则最长为，即，进而作答即可；（3）根据“巧点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵点在线段上，且点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：点是线段上，且点是线段的“巧点”， 则有或或，显然当时，最长， 当时， 即， ∴， 故答案为：8； （3）解：设运动时间为秒， 则， 若为的“巧点”，则需满足以下三种情况：当时，， 解得，当时，， 解得，当时，， 解得， ∴当为或或时，点为的巧点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $