9.4 矩阵的分解-高等代数考研解析

9欧氏空间 123 10 0）2010 解：令A= 6 0 1 0 即将单位矩阵的第二行加到第三行2010 > P 9 011 001)209 次， 01 0 即将单位矩阵的第一列与第三列交换2009次，从而： 1 00 10 0)2010 0 0 0 0 1）209 001 0 10 0 1 0 0 10 0 10 0 11 02010 1 00 1 00 则： 1002010/123/001209 1 0123001 010 45 6010 0 1 .56 010 011 7 8 9八100 02010 1八789八100 3 2 1 6 5 4 12069100588047 9.4矩阵的分解 一般地，矩阵的分解分为加法分解和乘法分解。加法分解是将一个矩阵分解 成若干个矩阵之和，乘法分解是将一个矩阵分解成若干个矩阵之积。两个矩阵的 关系：等价（一般矩阵）、合同（方阵）、相似（方阵），它们对应矩阵的等价分 解、合同分解、相似分解；等价变换可将任意矩阵转化为等价标准形，合同变换 可将方阵转化为合同标准形，相似变换可将任意方阵转化为若尔当标准形。矩阵 分解的一般思路：首先将矩阵转化为合适的标准形，其次对于标准形建立所要求 的形式，最后还原为原矩阵。矩阵分解的关键：寻求适当的标准形，验证分解式 对于标准形成立。 2571 高等代数考研解析 9.4.1加法分解 9.4.1.1秩1的分解 此法解决的是将矩阵分解为秩为1的若干矩阵的和的问题。 例1（武汉大学，2019）设A∈Pm*,R(A)=r,其中0≤r≤min{,,则存在 秩为1的矩阵Aep,i=1,2,,r,满足A=∑A。 证明：一般矩阵由等价标准形出发。 由R()=T,知存在可逆矩阵Pnm,Om,使得A=P 令A=PE0,i=1,2,,1,则R(4)=1,满足A=∑A。 例2设矩阵A的秩为r,则A相似于后-r行全为零的矩阵。 证明：由(4)=r,知存在可逆矩阵卫，Q,使得A=P区O Q,从而 00 PAP= QP,显然矩阵 E.O QP的后n-r行全为零。 00 00 例3设矩阵Axn的秩为r,则存在可逆矩阵Pm,.m,使得PA的后-r行全 为零，AQ的后n-r列全为零。 证明：由R(A)=r,知存在可逆矩阵Pm,Qu,使得： 4=pE02,PA= 00月 8e 显然其后m-r行全为零，A0=PE0 后n-r列全为零。 (00 例4设矩阵Ax,Bxn满足AB=C,若R(A)=r（r<S),则存在一个秩为 min{s-r,1心的矩阵Dm,对任意矩阵Gnm,都有A(DG+B)=C。 258 9欧氏空间 证明：由AB=C,知只要证明ADG=O即可。 由风闭=、知存在可逆矩阵PQe,使得4=P气8Q,取： D=2 Rxn(X)min{s-r,n 则对于任意矩阵Gxn,有： ADG=P E.O (00 =p[E. 9.4.1.2小秩分解 此法解决的是将矩阵分解为秩较小的若干矩阵的和的问题。 例5（西南交通大学，2023）设A∈pmm,R(A)=r,其中0≤r≤min{,), 证明对任意正整数1,2，若5+5=r,则存在A,A,∈Pm,满足A+A,=A且 R(A)=1,i=12。 证明：由R(A)=T,知存在可逆矩阵Pmm,Qm,使： E O 0) 0 0 0 E.O A=P E 0, 0 0 0 E。 0 0 0 0 0 0 0 0 则： E 0 0 0 0 0 (E, 0 A=P 00 Q=P 0 O o 2+P 0E6 0 2=A+A2 0 0 0 000 且R(A)=r,i=1,2。 小秩分解的推广：任一矩阵可分解为若干矩阵之和，使秩之和等于和之秩。事 实上，一般矩阵由等价标准形出发。 设A∈P,R(4)=r,其中0≤r≤min{,川，则存在可逆矩阵Pxm,,使 2591 高等代数考研解析 oe. 从而： 0 A=P (E, 00 E o 0 (0 .0 0 0 =P O 0 Q+.+P :0 0 0 .0 0 0 0 =A+…+A。 且R(A)=1,i=1,2,…,S。 9.4.1.3对称反对称分解 对称矩阵与反对称矩阵是特殊的矩阵，而任意方阵都可分解为两者之和。 例6数域P上任一阶方阵A可分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 证明：令A=A+4A-Ar 2 2其中4十4为对称矩陈、 2 A-A为反对称 2 矩阵。 9.4.1.4对角、暴零矩阵的分解 对角矩阵和幂零矩阵有其特殊性质，求逆、高次幂都有一定的规律。 例7（北京师范大学，2019）设R(A)=r,则存在可对角化矩阵Bnx和幂零矩 阵CmM,使得A=B+C,且BC=CB。 证明：问题可以从若尔当标准形出发解决。 设A的若尔当标准形为J,则存在可逆矩P使PAP=J,即A=PP,其中： 令 260 9欧氏空间 0 10 =B+C 10 其中B为对角矩阵，C为幂零矩阵，且BC=CB,。令： C B P,C=P C, B=P 则B是可对角化矩阵，C为幂零矩阵，且BC=CB。 9.4.1.5迹分解 矩阵的迹不仅可以用于矩阵的特征值分析中，由其性质也可以应用在矩阵分 解中。 例8（厦门大学，2019）设A∈P",则存在数量矩阵B和方阵C,使A=B+C, 且t(A=女(B),r(C)=0。 证明：设A=a·则r④=正a,取B=CAE,C=《m…其中： a 0,i=j,-2.” 0,i≠j 这样有A=B+C,且血(A)=r(B),r(C)=0。 9.4.2乘法分解 9.4.2.1等价分解 （1)若Ax,B等价，则存在可逆矩阵Pxm,Qm,满足A=PBQ; （2)任一矩阵AR(4)=r)有等价标准形，即存在可逆矩阵卫m,m,满 足A=P E.O 00 e. 261 高等代数考研解析 13-2 1 例9（西北大学，2019)设A= 201 求可逆矩阵P,Q使得A化为等 33-12 价标准形，并说明这样的P,Q是否唯一。 解：对矩阵做初等变换，得： 13-2110 0) 1 0 001 00 201101 0 01 0 -210 33-12 001 0 0 0 0 -1-11 A 10 0 0 0 0 0 →11-3 0 0 0 00 E 01 0 0 0 0 0 0-15 -10 00 001 0 00 0 0-1 6 -10 0 000100 0 0 0 0 10 00 取 1 1-3 10 0 0 -2 0 -1 5 P- 0 0= 入 0 -1 -11 6 -1 00 0 1 则 100 0 PAO= 0 100 (0 000 显然，满足条件的P,Q不唯一。 9.4.2.2合同分解 (1)若对称矩阵A,Bn合同，则存在可逆矩阵P,满足A=PTBP; (2)对称矩阵Ax合同于其合同标准形，即存在可逆矩阵Pm,满足： E A=P 262 9欧氏空间I 9.4.2.3相似分解 （1)若矩阵A,Bx相似，则存在可逆矩阵P,满足A=PBP; (2)矩阵A相似于其若尔当标准形，即存在可逆矩阵P,满足： 注：①等价、合同、相似不仅是两个矩阵之间的关系，其定义也构成三种不同 的乘法分解，以此为工具，可以将任意一个矩阵转化为标准形这样的特殊矩阵，这 在很大程度上方便了矩阵分解；②等价分解适合于一切矩阵，合同分解与相似分解 适合于方阵。 9.4.2.4满秩分解 对于非满秩的一般矩阵，都可以通过等价标准形分解为行满秩与列满秩矩阵的 乘积。 例10设A∈Rm,R(A)=r,则存在M∈Rmx",N∈R,满足A=MN, 且R(O=R(N)=ra 证明：一般m×n矩阵转化为等价标准形。 (方法一）由R(4)=r,知存在可逆矩阵Pmm,2m,满足： A=P0 (E. oe-(.oe 令M=P E,N=(E,O)0,则A=MW,且0=R(N)=r N (方法二)由R(A)=r,知存在可逆矩阵Pm,使得PA= 0 ,N为rxn的阶 梯形矩阵，从而： A=P ( 2631 高等代数考研解析 -101 2 例11求矩阵A= 1 2-11的满秩分解。 2 2-21 解：对矩阵做初等变换，得： -1012100 -101210 0) (A:E)= 12-11010→020311 0 22-2100100021-11 10 0 100 取P=110, 可得P1 -110。 1-11 -211 0 -1012. 0203 则A=MN,且R(M0=R(N)=2。 例12设A是m×r矩阵，则 (1)A是列满秩的充要条件为存在可逆矩阵Pm使得A=P E. 0 (2)A是行满秩的充要条件为存在可逆矩阵Qx,使得A=(E,mO)Q。 证明：(1)由于R(A)=r,则存在可逆矩阵(B)mxm,(C)x,使得： 188c=B8-8G26 反之，若P可逆，且A=P 则R(4)=R =r,即A是列满秩的。 (2)由于A是行满秩的，则AT是列满秩的。由(1)可知有可逆矩阵P,使得 A=P (Em 0 则A=(EmO)PT,令Q=pr,则A=(EmO)0。 264 9欧氏空间[ 反之，易证。 例13设A是秩为r的阶实对称矩阵，则A的满秩分解是A=HSHT,其中H是 ×r列满秩矩阵，S是r阶可逆矩阵。 证明：由于A是秩为r的阶实对称矩阵，则存在可逆矩阵P使得： A=PT E. O\P 00 从而有： A=B E.0 P=. 0八0-E (E,O)P 00 令H=pr ,S= E。 则A=HSHT,H为列满秩矩阵，S为r阶可 -E 逆矩阵。 例14设A是一个n阶矩阵，且R(A)=r,证明A=A的充要条件为存在行满秩 矩阵B,与列满秩矩阵Cx使得A=CB且BC=E。 证明：（1）必要性。由A2=A,知存在阶可逆矩阵P使得： E 0E. (E.O) 故A=P EEo)P'=CB,其中C=P 0 为列满秩矩阵，B=(EO)P为行 满秩矩阵，且BC=(E,O)PP E, =E。 0 (2)充分性。由于A=CB且BC=E,则有A=CBCB=CB=A。 9.4.2.5可逆暴等分解 任一方阵可分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，可以考虑其等价标 准形。 2651 高等代数考研解析 例15（西北大学，2022；中国矿业大学，2020）设A∈Px",则存在可逆矩阵 Bn和幂等矩阵Cnm,使得A=BC。 证明：设R(A)=r,则存在阶可逆矩阵2，Q2,使得： -afoja-oceoe 令B=Q2,C=0 E. 0,9 B可逆且C2=C,满足A=BC。 0 例16证明对于任一非零方阵A,存在可逆矩阵P,使得： PAF-(B C) 其中B,C都是方阵且B为幂零矩阵，C为可逆矩阵。 证明：设A的若尔当标准形为： PAP=J- 且J,J2,,J主对角线上的元素全为零，JH,J42,,J主对角线上的元素全非 零，取： Jk+ 其中，，分别为4，%阶若尔当块，则P-后C 令l=max{h,,n},则： 266