6.3 子空间补的不唯一性-高等代数考研解析

高等代数考研解析 若2a+B∈V,则a+(2a+B)=3a+BY,',','g 如此进行下去，经过有限步后可得(m-1)a+BE,2,,V,V（m≤s),所 以当n=s时，命题成立。 例3证明在有限维线性空间V的真子空间V,',…,'外，存在V的一组基。 证明：设dimV=n,若6，V（i=1,2,,r),令L(8)=W,同理存在62￠y, 62W,6,≠0,82≠0，且8,6，线性无关（若线性相关，则6，∈W矛盾）。 令L(8,62)=W,则存在6，V,6,W2,且6,62,6，线性无关。继续进行 下去，必可找到线性无关的6,62，…，6n,从而6,62，…，6n是V的一组基，且不在 ,V,…,y中。 将以上命题推广（北京大学）：设V为数域P上的n维线性空间，V,V,…,V为 V的真子空间，则 (1)存在aeV,使得aevU...UV; (2)存在一组基，使得： {e,E2,…,en}∩(WUUV)=☑ 6.3子空间补的不唯一性 在线性空间中，对于一个子空间而言，其补子空间是不唯一的。 例1设V,',为n维线性空间V的两个m维子空间（0<m<n),则存在子空间 W使得V=V⊕W=V,⊕W。 证明：对n-m用数学归纳法。 当n-m=1时，n=m+1,V,V,为V的真子空间，存在e∈V,eeV,令 W=L(),则V=L(e,…,6n),其中Y=L(e,…,En),从而V=V⊕W;同理可 156 6线性空间 证V=',田W。 假设当n-m=k时命题成立，当n-m=k+1时，可令： =L(C,…,am),V3=L(B,…,Bm） 则存在6廷，令=L(a,…,an,e),'=L(B,,fn,),则： dim'=dim'=m+1 由于n-(m+1)=(n-m)-1=(k+1)-1=k,则由假设可得存在子空间W使得 V=⊕W,V='⊕W,但'=V⊕L(e),'=V,⊕L(8),从而： V=⊕[L(e)⊕W],V='2⊕[L(e)©W] 令W=L(8)⊕W,则V=V⊕W='⊕W。 举例理解：在实平面R2中，令V={(a,0)川a∈R},即x轴上以原点为起点的所 有向量，V,={(0,b)川b∈R},V={(c,c)川c∈R},则R2=V⊕V2=⊕V,即V的补 子空间不唯一。 6.4试题解析 0 0 例1（郑州大学，2020）已知A 1-00 其中w为3次单位根，令 1-020o2 V={B∈Px3|AB=BA,求V的一组基和维数。 X X2 X3 解：设B= 由AB=BA,得： X7 X8 x9 X X2 x (1-⊙)x,+0x4 (1-D)x2+0x (1-⊙)x3+0x6 (1-02)x1+02x,(1-02)x2+02x(1-02)x3+02x 1571