6.1 基本内容与考点综述-高等代数考研解析

6线性空间 6.1基本内容与考点综述 6.1.1基本概念 6.1.1.1线性空间 设V是一个非空集合，P是一个数域。 (1)在V中定义了“加法”，对于任意a,B,y∈V,满足 ①运算封闭a+BeV; ②交换律a+B=B+a; ③结合律(a+B)+y=a+(B+Y); ④存在零元素，即存在0∈V,使对V中任意一个元素a,有0+a=a; ⑤存在负元素，即对V中任意一个元素a,存在B∈V,使ax+B=0。 (2)在V与P之间定义了“数乘”，对于任意a,B∈V,k,l∈P,满足 ⑥运算封闭kaeP; ⑦单位元1·=； ⑧结合律k(Ia)=()a; ⑨(k+I)a=ka+la: ⑩k(ax+B)=ka+kp。 称V为数域P上的线性空间或向量空间或矢量空间。 6.1.1.2线性子空间 设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集，对于任意a,B∈W,任意 1491 高等代数考研解析 k∈P,若满足a+B∈W,ka∈W,则W是V的线性子空间。 6.1.1.3维数、基与坐标 设V是数域P上的线性空间，若存在一组线性无关的向量a,必2，，a,∈V, 对任意B∈V,B可由，a2,,&线性表出，即B=k%+k&++knc,则称向 量组%，2，，心，为V的一组基；该组向量的个数称为线性空间V的维数，记为 dimV=n;有序数组(k,k2,,kn)称为B在基a,a2,,an下的坐标。 6.1.14过渡矩阵 设4，a,…,an和B,B2,…,Bn为V的两组基，且满足： 4142 … 9n】 (F,f2,,Bn)=(a,a2,…,an) 421 d422 42n 则矩阵A=(a)n称为由基4，，，a到基B,B2,,B的过渡矩阵。 6.1.1.5子空间的和 设Y,V,是V的两个子空间，称W={a+B|a∈，B∈V}为V,V,的和空间， 记为W=V+V,。 6.1.1.6子空间的交 设Y,V,是V的两个子空间，称W={aa∈V,a∈V,}为V,V,的交空间，记 为W=V∩V,g 6.1.1.7子空间的直和 设V,V,是的两个子空间，若V+V,中每个向量a的分解式： a=a+a2,a∈V,ax2e'g 是唯一的，则称和V+V,为直和，记为V⊕V。 150 6线性空间口 6.1.1.8同构 数域P上两个线性空间V与V'称为同构的，若由V到'有一个双射σ，具有性 质：对于任意a,B∈V,k∈P,有： o(a+B)=o(a)+(B),o(ka)=ko(a) 这样的映射称为同构映射，记为V三'。 6.1.2基本结论 6.1.2.1常见的线性空间 (1)P:数域P上的所有n维向量构成的线性空间（行空间或列空间)，维数为 n,基本基（单位向量构成的基）为ε(i=1,,m。 (2)Pm:数域P上的所有阶矩阵构成的线性空间，维数dim px=n,基本 基为E,(i=1,2,…,j=1,2,…,0。 (3)P[x]:数域P上的次数小于n的多项式（含零多项式）构成的线性空间， 维数dimP[x]n=n,基本基为l,x,,x。 (4)生成子空间：设V是数域P上的n维线性空间，a,a,,a∈V,则称 L() ak∈P 是数域P上由a4,,,&生成的子空间，其中 %,2,,心称为生成元。 6.1.2.2基变换与坐标变换 (1)设a,a,,an和B,B2,,Bn为线性空间V的两组基，若矩阵T为由基 %,a2,,心到基B,p2,,Bn的过渡矩阵，则T为可逆矩阵，并且矩阵T1为由基 B,P2,,Pn到基，a2,,C的过渡矩阵。 反之，若a,a,,a,为V的一组基，T为可逆矩阵，则由(a,a,,心)T表示 出的向量组B,B2,,Bn也为V的一组基。 1511 高等代数考研解析 （2)设a,a2,…,a和B,B2,,Bn为V的两组基，对于任意5∈V,有： y x2 5=(a1,a2,,an） (f,f2,…,Bn) y y. 41 412 y X2 421 az 9 .:. x da a2 其中T=(a)mn为由基%，凸，，a到基B,P2,,Pn的过渡矩阵。 6.1.2.3 常见的结论 (1)线性空间V的非空子集W是V的子空间的充要条件为W对于V的两种运算 是封闭的。 (2)n维线性空间V的任一组n个线性无关的向量都可为基。 (3)设C,必2，…，&，与B,B2,,B为线性空间V的两个向量组，则： L(C,c2,,&)=L(B,B2,,B) 的充要条件是向量组a,C,,与B,B2,,B等价。 （4)生成子空间L(a,%,,)的维数等于向量组，C%2,,的秩。 (5)设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，g,a2,,2是W的一 组基，则，心，，心必可扩充为整个空间的基，也就是说，在V中必定可以找到 n-l个向量an+1,am+2,,a,使得%，凸2，，an是V的一组基。 (6)设V,V,是线性空间V的两个子空间，则V+V,,V∩V,都是子空间。 (7)设V,V,是线性空间V的两个子空间，则有维数公式： dim+dimv,dim(+)+dim(V2) (8)数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件为它们有相同的维数。 152 6线性空间 6.1.3基本方法 6.1.3.1子空间的和 设a,a,,a和B,B2,,B,为线性空间V的两组向量，令： W=L(%,a2,,&),W2=L(B,B2,,B) 则W+W2=L(g,,a,B,,B),且： dim(w+w)=R(a,,a,BB) ,,心，B,,P,的极大无关组为子空间W+W的一组基。 6.1.3.2子空间的交 设4，%，，a和p,P2,,B为线性空间的两组向量，令： W=L(C%,%2,,a),W2=L(B,B2,,f) 令5∈m∩m,则5=ka+ka,++ka=lB+1,P2++,p,解方程组 ka1+k2a2+…+ka-1B1-1B2--1,B,=0 可得基础解系5,52，，5，则5,5，，5为m∩m的一组基，且： dim(W∩W2)=r 6.1.3.3子空间直和的判定 设Y,V,是线性空间V的两个子空间，则以下条件等价： (1)V+V是直和； (2)V中的任意向量的分解唯一，即a=a+a,,a∈V,a&∈V,a,∈V,; (3)V中的零向量的分解唯一，即0=0+02,0∈V,0,∈，0，∈'2； (4)dim+dim dim(+2); (5)V∩V,={0}; （6)设4，心2，…，&是的一组基，P,B2,,B,为的一组基，则： 1531 高等代数考研解析 g,a2,,a,f,f2,,f 为+V,的一组基。 证明：(1)与（6)等价。设a4,a2,,a为乃的一组基，B,B2,,B,为的 一组基，由Y+V为直和，设k%+ka,++ka+1,B+lB2++1,B,=0,则有 ka+ka+…+kc=-(B+1,p2+…+1B)。令： a=ka+ka+…+k&∈7，B=-0B,+lB2+…+l,p,)eyg 则a=B∈V∩V,,从而V∩V,={0},即a=B=0。 又%，a,,a,B,B2,,B,为，的基，则k=…=飞=0，{==1，=0，即 a,a,,&,B,P2,,B,线性无关，为Y+V的一组基。 反之，若a,a2,,&,B,p2,,f,为7+的一组基，设0=a+B,ae乃， B∈，不妨设a=k&+ka,+…+ka,B=lB,+l,β2++1，B,从而： a+B=k%+k2a2+…+ka+lB+12f2+…+1,B,=0 则k=…=k。=1=…=1,=0,即α=B=0,故零向量的分解唯一，从而Y+V,为 直和。 6.1.3.4推广到任意有限个子空间的直和 设，V,,V是线性空间V的子空间，则以下条件等价： (1)V+V,++V是直和； (2)V中任意向量的分解唯一； (3)V中零向量的分解唯一； (4)V∩（∑'）={0}i=1,2,,); (5)∑dimy=dim/; (6)分别取Y,乃2，…，V的一组基，放在一起就是+V2++V的一组基。 154