5.1 基本内容与考点综述-高等代数考研解析

5二次型 5.1基本内容与考点综述 5.1.1基本概念 5.1.1.1二次型 设P是一个数域，关于变元x,x,,x的二次齐次多项式 f(化，x2,,x)=412+2022++2awxx。+a2++2a2n2xn++amx 称为数域P上的一个n元二次型。 令XT=(3,x2,,x),A=AT=(a,),则二次型的矩阵形式为： f(x,X2.,x)=XTAX 其中A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型f(x,x2,,x)的秩。 5.1.1.2非退化线性替换 设x,x2,,x与%，y2,,y为两组文字，系数在数域P上的一组关系式： x1=C1为+C12y2++C1myn X2=C2+C22V2++C2n.y Xn=Cn.y+Cn2V2++Cm.yn 称为由x,x2,,x到y,y2,y的一个线性替换，记： X (C C12 Cn X- X2 C= C C C ,Y= Cni Cn2 y. 1191 高等代数考研解析 则线性替换的矩阵表示为X=CY。若C是可逆矩阵，则称X=CY为可逆线性替换； 若C是正交矩阵，则称X=CY为正交线性替换。 由于以上线性替换中系数矩阵的行列式不为零，所以该线性替换是非退化的。 5.1.1.3矩阵合同 设A,B∈Pxm,若存在可逆矩阵C∈Px”,使CTAC=B,则称A,B合同。 对矩阵做一次初等行变换，再做一次同样的列变换，这样就对矩阵完成了一次 合同变换。 5.1.1.4标准形、规范形 数域P上的二次型f(化，2，，x)经过非退化线性替换X=CY化为： dx2+d2x+…+dnx 则称上式为f(x,x2,,x)的一个标准形。 复数域上的二次型f(x,x2,,x)经过非退化线性替换X=CY化为： z+z号+…+z2,=R(f) 则称上式为f(x,x2,,x)在复数域上的规范形。 实数域上的二次型f(x,x2,,x)经过非退化线性替换X=CY化为： 子+…+26-1-z2p,r=R() 则称上式为f(x,x2,,x)在实数域上的规范形。 5.1.15正惯性指数、负惯性指数、特号差 实二次型f(x,x2,,x)的标准形中正的平方项的个数称为f(x,x2,,x)的正惯 性指数；负的平方项的个数称为f(,x2,,x)的负惯性指数；正惯性指数与负惯性 指数的差称为f(x,x2,,x)的符号差。 5.1.1.6正定二次型、正定矩阵 对于实二次型f(,2,,x),任意一组不全为零的实数c,C2,,Cn,有如下 结论： 120 5二次型川 （1)若f(C,C2,,cn)>0,则实二次型f(x,x2,,x)称为正定二次型； (2)若f(C,C2,,cn)<0,则实二次型f(x,x2,,x)称为负定二次型； (3)若fC,c2,,C)≥0，则实二次型(，x2,,x)称为半正定二次型； （4)若f(C,C2，,cn)≤0，则实二次型f(x,x2,,x)称为半负定二次型； (5)若fC,c2,,cn)既不是半正定也不是半负定的，则实二次型f(x,x2,,x) 称为不定二次型。 若实二次型f(X)=XTAX是正定的，则二次型f(X)对应的矩阵A为正定矩阵； 若实二次型f(X)=XTAX是半正定的，则A为半正定矩阵。 5.1.2基本结论 (1)矩阵合同是等价关系，具有自反性、对称性、传递性；合同的矩阵具有相 同的秩。 (2)数域P上任何二次型均可经过非退化线性替换化成标准形，即数域P上任 何对称矩阵合同于一个对角矩阵。 (3)任何复二次型f(X)=XTAX均可经过合适的非退化线性替换化成规范形 f=z子+z2+…+z子，其中r=R(A),且规范形是唯一的。 E.O 任何复对称矩阵A合同于对角矩阵 0 其中r=R(A)。 0 两个复对称矩阵合同的充要条件为它们的秩相等。 (4)任何实二次型f(X)=XTAX均可经过合适的非退化线性替换化成规范形 f=子++弓-z--2子p,其中r=R(4,且规范形是唯一的。 E 任何实对称矩阵A合同于对角矩阵 E- 其中r=R(A)。 0 两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩相等，且正惯性指数相等。 1211 高等代数考研解析 5.1.3基本方法 二次型化为标准形常用的方法如下： 5.1.3.1非退化线性替换法 此法为确保所做线性替换为非退化的，通常先将所有含第1个变元的项放在一 起配完全平方式，再将所有含第2个变元的项放在一起配完全平方式，依次进行直 至用完所有变元。 5.1.3.2合同变换法 设二次型为f(X)=XTLX,对矩阵做如下合同变换： (AE)合同变换)(BCT) 合同变换 B 这样所做的非退化线性替换为X=CY,且CTAC=B,B为对角矩阵，二次型化为 标准形f(X)=XTLX=YTBY。 5.1.3.3正交变换法 设二次型为f(X)=XTAX,矩阵A为实对称矩阵，则A一定可以对角化，从而 存在正交矩阵P使得PAP=PTAP=diag{2,2,,,},其中A（i=1,2,,n)为A 的特征值。 5.2正定矩阵与半正定矩阵 5.2.1正定矩阵的判定与性质 对于实二次型f(x,x2,,x)=XTAX,其中A是实对称矩阵，则下列条件相互 等价： (1)实对称矩阵A正定； (2)A与单位矩阵E合同； (3)存在正定矩阵B,使得A=B2(A=B,k为正整数)； 122