4.5 试题解析-高等代数考研解析

4矩阵[ f()=E。-AB= fin()=E-AB|= 。E副 比较两式有： AE,-B=入-mf4B()=入"f4(2) 即f4B()=入m-"f4()。 4.5 试题解析 例1（上海交通大学，2020）设A是数域P上的阶矩阵，则(1)若A与所有 对角矩阵可交换，则A是对角矩阵；(2)若A与所有矩阵可交换，则A是数量矩阵。 证明：(1)设 41142 凸a (by 0… 0 421a22 0 0 A a 与B= b 0142… Xxmn 0 0. b. 可交换，则有ab=a,b,ij=1,2,,n,即4（他-b,)=0;当i≠j时，b≠b,则 4=0i≠)，从而A是对角矩阵。 (2)由A与所有矩阵可交换，可知A与特殊矩阵E,可交换，从而： AE=EA 即a=a6,j=1,2,,m,4,=06≠)，从而A是数量矩阵。 -20-1 例2（华东师范大学，2020）设A= 12 b 求所有a,b的值，使得A是 a子 0 幂零矩阵（矩阵A称为幂零矩阵是指存在正整数k使得A=0)。 1071 高等代数考研解析 解：由题可知 -20-1-20-1 4-a - A2= 12 b 1 2 b 4+b 2b-1 a 0八a号 0 -2a+号 -a+号b 显然A2≠0，从而必有A3=0,即： 4a-9 0 a-b-4 = 4+b-a 兰+b -ab+4b+3b2 4a-a2+ab是-a+4b 2a-号+号b 解之可得a=3,b=- 6 4 例3（南昌大学，2020)设A,B为阶方阵，且A+B=AB,(1)证明A-E为 1-30 可逆矩阵；（2)已知B= 210, 求矩阵A。 002 解：(1)由A+B=AB,可知(A-E)(B-E)=E,从而可知A-E为可逆矩阵。 (2)由(1)可知： (1 0 A=(B-E)+E -10 00 2 101 例4（中山大学，2020)已知矩阵A= 020,(1)求所有与A可交换的 (1 01 矩阵；(2)若AB+E=A+B,求B。 解：设与A可交换为： B= 则AB=BA,解之可得x1=X=x,=xg,2=,x4=x6,从而得： 108 4矩阵 B= 专 其中，x,x2,x,x为任意常数。 （2)由AB+E=A+B,则(A-E)B=A-E;又A-E≠0，则A-E为可逆 矩阵，从而： 201 0 B=A+E=03 102 例5（西北大学，2023)已知A,B为3阶方阵，且满足2AB=B-4E,（1) 1-20 证明A-2E是可逆矩阵，并求A-2E的逆矩阵；(2)若B=120, 求A。 (002 解：(1)由2AB=B-4E,将式子两边同时左乘A,右乘A1,则： (A-2E)BA-E 可知A-2E是可逆矩阵，且(4-2E)-1BA'。 (2)由2AB=B-4E,给式子两边同时左乘A,则： 2B=A(B-4E) 又B-4E≠0，则B-4E是可逆矩阵，从而有： 1-2 0 -3-2 0)1 02 0 A=2B(B-4E)1=2 1 -2 0 -1-10 0 0 2 0 0-2 00-2 例6（大连理工大学，2018)设A为n阶实对称矩阵，E为n阶单位矩阵，若R (A)=T,A2+2A=0,求A+3E。 1091 高等代数考研解析 解：由A为实对称矩阵，则A可对角化，从而存在正交矩阵P,使得： P-AP=diag(,) 其中，2，，2为A的特征值； 又A2+2A=0,且R(A)=r,则A的特征值为0(n-r重)，-2（r重)，从而： P(A+3E)P=diag{0+3,,0+3,-2+3,,-2+3} 即A+3E=3。 210 例7（扬州大学，2024)设矩阵A= 120 A为A的伴随矩阵，若矩阵B 001 满足ABA=2BA+E,求B及B。 解：由题可知A=3,由ABA=2BA+E,得3AB=6B+A,即： (3A-6E)B=A 易知3A-6E是可逆矩阵，则： 712 0 B=6A-6E)'A= 210, B=1 3 00-1 例8（北京师范大学，2020)设A,B都是n×n矩阵，则(AB)=BA 证明：当|AB≠0时，则(AB)=AB|(AB)=B|B|A|A=BA。 当AB=0时，令A(x)=A-xE,B(x)=B-xE,有x,使： |A(x)≠0，|B(x)≠0 (1) 则： (4(x)B(x))"=B(x)A(x)" (2) 设(A(x)B(x)》=(,(x)》,B(x)'A(x)=(g,(x),则： (x)=8m(x)0,j=1,2,,m) (3) 110 4矩阵川 由于使(1)成立的x有无穷多个，它们也使（3)成立。但是，(x),8,(x)都 是有限次的多项式，从而(3)为x恒等式，则(2)对于一切x都成立，当然对于 x=0也成立，于是： (AB)=(A(0)B(0))"=B(0)A(0)=BA 1000 0100 例9（中国海洋大学，2020)设矩阵A的伴随矩阵为A= 1 010 0-308 ABA1=BA+3E,（1)计算行列式A;(2)求矩阵B。 解：(1)由A4=AE,且A=8,A=4,则4=2，从而A为可逆矩阵。 (2)由ABA=BA1+3E,则有B=AB+3E,即(E-A)B=3E,从而有： 600 0 B=3(E-A)=3E-4 E- 0 60 0 2A 6 06 0 030-1 例10（兰州大学，2020）设n阶实矩阵A=(a,),则有：(1)若a>∑小 则4≠0；(2)若a>∑小则4>0。 证明：(1）设A=(@,&2,,C),若a,a2,C线性无关，则A4≠0。 （2)事实上，若，，，C线性相关，则存在不全为零的数k,k2,,k,使得 kc+kc2+…+kan=0。 令k=maxk,k,,k},则k>0;不妨设k=k,则： -a--2a1-a--a k k k k 111 高等代数考研解析 4= a1-- k k k 与假设矛盾，故a,&2,,a线性无关，即4≠0。 设0≤t≤1，用A做新行列式： 4142t… at D(t)= a2t422 at dt at 显然对于任意0≤t≤1，行列式D()仍满足(1)条件，则D)≠0，且D(t)展开后是 关于t的连续函数，满足： D(0)=4142-am>0,D0)=4 若4<0，则D①)<0，而D(O)>0,由连续函数性质可知，存在一点t∈(0,1)， 使得Dt)=0,与D(O)>0矛盾，故A>0。 例11（大连理工大学，2018)设A,B为阶矩阵，(1)证明AB与BA有相同 (A B 的特征多项式；(2)若A+B,A-B均可逆，则分块矩阵 可逆并求其逆。 B A 解：(1)由4.4降级公式例5可知aE-AB=2E-BA,即AB与BA有相同的 特征多项式。 (2)对分块矩阵做广义初等变换，得： 两边取行列式，得： A B A+B O B AB A-B =4+B4-B 由A+B,A+B均可逆，则： 112 4矩阵 A BA日A+BA-A0 A B 即 为可逆矩阵。 B A 设 A 0. 可得： AD+BD=E AD,+BD=O BD +AD=O BD,+AD=E 解之可得： D1+D3=(A+B) D-D,=(A-B) D,=4+B+(1- D,=【(A+B1(M-B] 同理有D2=D,D,=D,从而得： (AB1(A+B)+(A-B)(A+B)-(A-B)1 BA=24+B)1-(4-B)(A+B)+(A-B)) 例12正北家工业大学，2020)设矩阵4A号 递归定义矩阵 A1E】 4.=E n≥2，回答下列问题： (1)证明：对于任意的n≥1，A=nE; (2)求A的所有特征值； 1131 高等代数考研解析 (3)求A的行列式A的值。 解：(1)利用数学归纳法证明。当=2时，则： 即命题成立。 假设A=(1n-1)E,则： -任无Et。ee”小信es 综上所述，对于任意的n≥1，A2=nE。 (2)由A2=nE及哈密尔顿-凯莱定理可知，2=n,且n≥1为偶数，则 =n,即A的特征值为乃=Vn,名=-n,且都是)重。 (3)由(2)可知： 4=(m(-m=(n.(m)=(←m 例13（华中科技大学，2021）已知A,B为同阶方阵，且AB=BA,则： R(AB)+R(A+B)<R(A)+R(B) 证明：设方程组AX=0与BX=0的解空间分别为V,V,方程组ABX=0与 (A+B)X=0的解空间分别为W,W,则有乃二，乃二W,从而有+乃二W; 同理有Y+V,三W,利用维数公式有： dim+dimv,dimV+)+dim(V)s dim+dimw, 即n-R(A)+n-R(B)≤n-R(AB)+n-R(A+B),故： R(AB)+R(A+B)<R(A)+R(B) 例14设A,A,为n阶正定矩阵，B,B2为阶实对称矩阵，则存在可逆矩阵C使 114 4矩阵 得CTAC=A,CTB,C=B,的充要条件为24-B=0与4-B,=0同解。 证明：由CTAC=A,CTB,C=B2,可得CTAC=A,CTBC=B2,即： C(AA-B)C=A,-B, 从而有24-B=24,-B,即24-B=0与24-B,=0同解。 反之，由A正定，B对称，则存在正交矩阵P使得： PAP=E,P B P=diag P"(AA-B)P diag 同样存在正交矩阵使得： PA,P.=E,PB,P.=diagi,u P'(A2-B2)P2=diag{2-4,,-4} 故2A1-B,=0,即PAP-PBP=0有根，为，，，同样242-B,=0有根， 为4，，L 又A-B=0与242-B,=0同解，不妨1=4，i=1~;令C=D且C 可逆，则有： CTAC=(PP)A(PP) =(PPAPP=(PT)EP=(P)PTAPP=4 即CTAC=A;同理有CTBC=B,o 例15（长安大学，2019）若A,B,A+B为可逆矩阵，则A1+B-1也为可逆矩阵。 证明：由A,B,A+B为可逆矩阵，得(A+B)(A+B)1=E,从而有： B(A+B)A(A+B)=E 即(A1+B)A(A+B)B=E,从而得A+B1为可逆矩阵，且： 1151 高等代数考研解析 (A+B)=A(A+B)B 例16（南开大学，2020）设A为正交矩阵且-1不是A的特征值，则 B=(A-E)(A+E)是反对称矩阵且A=(E+B)(E-B)1。 证明：由于-1不是A的特征值，则A+E可逆；又A为正交矩阵，则AT=A, 且A+E为正交矩阵，从而有： A(A+E)=A(A+E)=4(A+E)=A4+A=A+A4 =A+AA-(A+E)A=(A+E)A=(A+E)4 即A(A+E)1=(A+E)A,进一步有： B=[(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) =(A+AA)(A-E)=[AE+A)(A-E) =(E+A)A(A1-E)=(E+A)(E-A)=-(A-E)(A+E)1=-B 即B为反对称矩阵，且： (E+B)E-B)'=[E+(A-E)(A+E)][E-(A-E)(A+E)]P =[(A+E+A-E)(A+E)][(A+E-A+E)(A+E)] =[2A(A+E)'][2E(A+E)] =2A(A+E)(A+E)片E=A 例17设Axm是实矩阵，c为实数，则对于任意维非零实列向量a均有： aAa =C aa 的充要条件为存在实反对称矩阵B使得A=cE+B。 证明：对于Va≠0，有aAa=ca+aBa,而aBa=0,则： diAd=c aa 116