4.1 基本内容与考点综述-高等代数考研解析

4矩阵 4.1基本内容与考点综述 4.1.1基本概念与运算 4.1.1.1矩阵的加法、减法与数乘 设A=(a,)mm,B=(仍，)m是数域P上的矩阵，规定矩阵的加法和数乘为 A+B=(ax+Dj)mn,A-B=(a-by)mn kA=(kay)mnkEp 4.1.1.2矩阵的乘法 设A=(a,)mw,B=(仍，)是数域P上的矩阵，规定AB=(C)m,其中： c,=ab,+a,b,++abw,i=1,2,,;j=1,2,,s 4.1.1.3转置矩阵 设A=(a,)mn是数域P上的矩阵，规定A'=(an)m,或AT=(a)nm为矩阵的转 置矩阵。 4.1.1.4幂与矩阵多项式 设A是阶方阵，m个A的乘积称为A的m次幂，记为A”=AA·A。 设f(x)=axm++ax+a,∈P[x),A是n阶方阵，则： f(A)=aA"++aA+a E 4.1.1.5伴随矩阵 设A=(a,),由元素a,的代数余子式A,构成的矩阵A=(⑦，)a(D,=A)称 为A的伴随矩阵。 0791 高等代数考研解析 4.1.1.6非奇异矩阵 设A是级方阵，若A≠0，则称A为非奇异矩阵或非退化矩阵；若A=0,则 称A为奇异矩阵或退化矩阵。 4.1.1.7可逆矩阵 设A=(a,)mm,若存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A是可逆矩阵，B是 A的逆矩阵，记为A1=B。 4.1.1.8几种常见的矩阵 (1)对角阵：除主对线上的元素外，其他元素均为0的阶方阵。 (2)上（下)三角阵：设A=(a,)m,若a=0(i<j),称A为下三角矩阵。 若4=0(i<j),称A为上三角矩阵。 (3)初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初 等矩阵共三类。 ①P亿，)：交换E的第i行与第j行（或第i列与第j列）得到的矩阵。 ②P((k):用数域P中的非零数k乘E的第i行（或第i列）得到的矩阵。 ③P(i,):把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第列)得到的 矩阵。 (4)幂等矩阵与对合矩阵：设A=(a,)m,若A=A,则称A为幂等矩阵；若 A=E,则称A为对合矩阵。 4.1.1.9分块矩阵 用若干条横线与纵线将矩阵分成若干小块，每个小块称为矩阵的子块，以子块 为元素构成的矩阵称为该矩阵的分块矩阵，以上过程称为矩阵的分块。 A=(a)mn=(a,,a)= =(4,A)= B 080 4矩阵 4.1.1.10广义初等变换 交换分块矩阵的两行或两列。 用某一矩阵左乘分块矩阵的某行或右乘某一列。 用某一矩阵左乘某一行或右乘某一列加到另一行或列。 广义初等矩阵分三类： 20g%9 其中D,P均为可逆矩阵。 4.1.1.11等价矩阵、等价标准形 如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B,则称A与B等价。 秩为r的s×n矩阵A等价于形如 的s×n矩阵，称之为A的等价标准形。 0 4.1.1.12满秩矩阵 设A是s×n矩阵，如果A的秩为s,则称A为行满秩矩阵；如果A的秩为，则 称A为列满秩矩阵。若n级方阵的秩为n,则称A为满秩矩阵。 4.1.2基本结论 (1)矩阵的加法运算满足交换律、结合律，矩阵的乘法运算满足结合律、分配 律，但不满足交换律与消去律。 (2)若A,B为n阶方阵，则AB=AB。 (3)设A,B∈Px,L,1∈P,则： (AT)T=A,(A+B)T=AT+BT,(kA)T=kAT,(AB)T=BTAT A"A=A",(4")=4",()"=a"4",4"4 0811 高等代数考研解析 若f(x),g(x)∈PLx],则： f(A)+8(A)=8(A)+f(A),f(A)8(A)=8(A)f(A) (4)上（下）三角阵的乘积仍然是上（下）三角矩阵，而可逆的上（下）三角矩 阵的逆矩阵也是上（下）三角矩阵。 (5)一个初等矩阵左（或右）乘矩阵A,相当于对A做一次初等行（或列) 变换。 初等矩阵皆可逆，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵。 初等变换不改变矩阵的秩。 (6)设A,B是n级可逆矩阵，则： ①(A)1=A。 ②若：0，则4可送，且八 ③A,B可逆且(AB)1=BA1。 ④A'可逆且(A)=(A)'。 ⑤A*可逆且(A)1=(A-)。 ⑥A=A。 (7)设A,B为阶矩阵，A为A的伴随矩阵，则： AA=AA=AE,A=A,n≥2 (8)矩阵可逆的充分必要条件如下。 n级矩阵A可逆的充分必要条件为A≠0。 n级矩阵A可逆的充分必要条件为A可经过初等变换化为n级单位矩阵。 级矩阵A可逆的充分必要条件为A可以写成一些初等矩阵的乘积。 n级矩阵A可逆的充分必要条件为A的n个特征值不为零。 (9)分块矩阵的运算。 082 4矩阵 设A,B为n阶方阵， B B= B A,B,(i=1,2,,)为n×矩阵，则|A曰A…|A|, A+B AB A+B= A+B A.B (若A可逆) A R(A)=R =R(A)+.+R(AR A (A 0 A R O B) R =R(A)+RR B O (A 0 R C B ≥R(A)+R(B) (A1 A】 ≥R(4),(i=1,2,,,j=1,2,,S) An 当A与D均可逆时， 080n 0(c40 (10)对称矩阵与反对称矩阵的性质如下。 0831 高等代数考研解析 ①两个阶（反）对称矩阵的和与差仍为（反)对称矩阵。 ②（反）对称矩阵的转置、伴随矩阵仍为（反)对称矩阵。 ③可逆的（反）对称矩阵的逆矩阵也是（反）对称矩阵。 ④若A,B均为阶（反）对称矩阵，则AB为对称矩阵的充分必要条件为 AB=BA. ⑤若A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则AB为反对称矩阵的充分必要 条件为AB=BA。 ⑥A=(a,)nn为对称矩阵的充分必要条件为a=a.。 ⑦A=(a,)m为对称矩阵的充分必要条件为4，=-a。 ⑧反对称矩阵的迹为零。 ⑨若A为对称矩阵，R(A)=r,则A可表示成r个秩为1的对称矩阵之和。 ①若A为复对称矩阵，R(A)=r,则A合同于dig(d,,d,0,,0),d=1;若 A为实对称矩阵，R(A)=r,则A合同于iag(d,,d,0,,0),d=1或-1。 ①若A为反对称矩阵，则A合同于dig ②实对称矩阵的特征值均为实数；实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数。 ③实对称矩阵关于维欧氏空间的一组标准正交基对应的线性变换为对称变换； 实反对称矩阵关于维欧氏空间的一组标准正交基对应的线性变换为反对称变换。 ④实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交；实对称矩阵必正交相似于 对角矩阵。 4.1.3求逆矩阵的基本方法 4.1.3.1定义法 此法适合阶数较低的矩阵，直接设出矩阵的元素，利用等式条件建立矩阵相等 关系，求出元素即可。 084 4矩阵 4.1.3.2利用判定定理 n级矩车A可递的充要条件4：0且4八有式。 4.1.3.3初等变换法 (4,E)行(E,A'), E 4.2 矩阵的秩 矩阵的秩是矩阵的一个数量特征，在初等变换下保持不变。 矩阵A的行秩和列秩称为矩阵的秩；矩阵A的最高阶非零子式阶数为r, 则矩阵Axn的秩为r。 注意：矩阵的秩的两个定义中，对于具体矩阵的秩的确定多采用第二个定义， 特别是含字母的矩阵的相关问题的求解，可以简化计算（矩阵通过初等变换得到的 阶梯形矩阵，可以判断矩阵的秩，其实就是找到一个最高阶非零子式)；第一个定 义主要从向量组出发来判定矩阵的相关性质。 矩阵的秩的性质如下。 （1)矩阵Amw的秩为0≤R(A)≤(A); 当R(A)=0时，则A=0; 当R(A)=nin{,,则称Am为满秩矩阵。 (2)设Axm,Bnxn为数域P上的矩阵，则R(AB)≤nin(R(A),R(B),即乘积的 秩不超过各因子的秩。 事实上，R(AB)≤R(A),R(AB)≤R(B), R(A)+R(B)-n≤R(AB)≤nin(R(A),R(B) n为A的列数，R(A)-R(B)≤R(A士B)≤R(A)+R(B)。 （3)设A=AAA,则R(A)≤min[R(A),R(A),,R(An]。 0851