3.5 试题解析-高等代数考研解析

3线性方程组 3.4.2.2两个向量组是否等价或其线性相关性的判定与证明 此类问题主要判定与证明两个向量组是否等价，或两个向量组的线性相关性， 通常转化为两个向量组的极大无关组间的关系。 定理19：设a,a2,,am与月，B2,,Bn为两个向量组，如果向量组a,a2,,am 可以经向量组P,B2,,Bn线性表出，且m>n,那么C,a2,,n必线性相关；若 a,&2,,Cn线性无关，则≤n。 定理20：任意一个极大无关组都与向量组本身等价。 定理21：所含向量个数相等的两个等价的向量组具有相同的线性相关性。 以上归纳了向量组线性相关性的判定与证明的几种常用的方法，在判定与证明 向量组线性相关和线性无关时，需要根据条件灵活运用。 3.5试题解析 例1（南昌大学，2020)证明向量组%，a2,,α，线性相关的充要条件为至少有 一个a（1<i≤r)可被%，a2,,a线性表出。 证明：若向量组c,必2，，至少有一个（1<i≤r)可被以，心，，C1线性表 出，则存在不全为零的数k,k,,k,使得C=ka+ka+…+k-C1,从而： k必+kc2+…+k-1-1-之+0a+1+.…+0a=0 故a,a,,a线性相关。 设a,C,,C线性相关，则存在不全为零的数k,k2,,k,使： k凶1+…+k-1C-1+kC++k&=0 若k是最后一个不为零的系数，即ka+…+ka1+ka=0。由已知C≠0， 则i≠1，即不可能是k必=0，从而1<i≤P,故： &= k k k 0651 高等代数考研解析 即a可被a,a,,a线性表出。 例2（西安工程大学，2021)设向量组=1+a,1,1,1)T,%2=(2,2+a,2,2)T, a=(3,3+a,3,3)T,a4=(4,4,4,4+a,问a为何值时，，2,2，a线性相关？当 %,%,心，C,线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用其表示。 解：记A=(a,%,a,必)，则： 1+a 2 3 4 1 2+a 3 4= =(a+10)ad 1 2 3+a 4 1 2 34+a4 当4=0时，即a=0或a=-10时，a,a2,a,a线性相关。 当a=0时，R(A)=1,则a为a,a,a,2,的一个极大无关组，且a2=2a, a%=3a1,a4=4ao 当a=-10时，对矩阵做初等变换，可得： -9234 (0 000 1-83 × 1 -10 0 A= 4 0 =(5,p2,P,P4) 1 -7 -10 1 23 -6 0 0-1 由P2,B,B4为F,P2,B3,B,的极大无关组，且B1=-P2-B3-P4,故a2,,a4为 a,a,2,%的一个极大无关组，且%=-a2--a4o 例3（华南理工大学，2020）已知4=1,2,0)，%，=(1，a+2,-3,必=(1，-b-2, a+2b),B=1,3,-3),求a,b的值使得(1)B不可被，a2,c线性表出；（2)B可被 a,a,a,唯一线性表出，并求表达式；（3)B可被a,a,a,线性表出且不唯一，并求 表达式。 F066 3线性方程组 解：对矩阵做行初等变换，得： 11-11)11-11 (a,a,a,)=2a+2-b-23→0a-b1 0-3aa+2b-3(00a-b0 当a=b=0时，R(a,a,a)≠R(C,a,&,B),则B不可被a,a,a线性表出。 当R(a,a2,a)=R(C,a2,a&,B)=3时，a-b≠0且a≠0，B可被a,凸，a唯一线 性表出，且B=a-1g+ 1 a a 当R(@,a,a)=R(a,a2,a&,)<3时，a-b=0且a≠0，B可被，a2,a线性表 西日不唯，且B。g-侣aa,务任痘宿数 例4（西安工程大学，2019)设向量组%，2，线性无关，B=a+2+2C, B2=a+3,B,=%,+4a,证明向量组B,B2,B线性无关。 证明：设kA+kB2+kB,=0,则： (k1+k2)+(k+k)a2+(2k+3k2+4k)=0 又a,a2,a线性无关，则k1+k2=0,k1+k3=0,2k+3k2+4k3=0,解之可得 飞=k2=k=0,故B,B2,B,线性无关。 例5（西安电子科技大学、西安工程大学，2023)设向量a,a,,C线性无关， 证明g+a2,a2+g,,a-1+&,&+ag线性无关的充要条件为n为奇数。 证明：对于任意x,x2,,xn∈P,令： x1(a+a2)+x2(a2+a)+…+xn-1(an-1+a)+xn(an+ag)=0 即（化+x)a+(x1+x2)2+…+(x-1+xn)a。=0。 由c,,,线性无关，则： 0671 高等代数考研解析 X+x。=0 X1+x2=0 1+x=0 故：+凸，，α。+a:线性无关的充要条件为方程组仅有零解，方程组仅有零解的充 要条件为： 1 0 01 1. 0 0 =1+(-1)+"≠0 : 00..11 系数行列式不为零的充要条件为n为奇数。 例6（福州大学，2023)设a4,a,,a。（n>1）线性无关，且B=a++a, 证明B-a,B-心，，B-a线性无关。 证明：由已知可得： g-0-a0*8a++n0-a) n-1 n-1 ga00-2++0-a) n-1 gB-a8-)++-a) n-1 从而a,C2,,C可由B-%,B-2,,B-线性表出，显然B-%,B-a2,,B- 可由a,心，，线性表出，则这两个向量组等价且秩相等，故B-,B-心2，，B-& 线性无关。 例7（西南财经大学，2020）证明两组向量组等价的充要条件为它们的秩相等， 且其中一个向量组可由另一个向量组线性表示。 证明：设a,a,,a与B,B2,,B为两个等价向量组，则4，，，a,与 068 3线性方程组 B,P2,,B可相互线性表出；不妨设a,a2,,a为4，a2,,a的一个极大无 关组，则4，%，，a,与4,2，，2等价，从而4，%，，a,与B,P2,,P,等价， 即R(C,a2,,a)=R(B,B2,,B,)=r。 反之，若R(4,%2,,a)=R(B,P2,,f)=r，令%，a2,,a为，a2,,a 的一个极大无关组，且B,B2,,B,可由，心2，，a线性表出，则B,B2,,阝可由 a,%2,,a线性表出，从而a,a2,,a,可由B,B2,,B线性表出，即%，a2,,a可 由B1,B2,,f,线性表出，故a,a2,,C,与B,P2,,B,等价。 例8（南京师范大学，武汉理工大学，2024）已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1 4x1+3x2+5x3-2x4=-1 a+x2+3x3+bx4=1 有三个线性无关的解， (1)证明方程组的系数矩阵的秩为2； (2)求a,b的值及方程组Ax=b的通解。 解：（1)设，，，为Ax=D的三个线性无关的解，则Aa=b(i=1,2,3),从 而a-a,4-a,为导出组的一个基础解系，所含向量的个数为4-R(4)=2,即 R(A)=2。 (2)由(1)可知方程组的系数矩阵的秩为2，则有： 1111-1 111 1 -1 (A,)= 435 -2 -1→0-1 1 -6 3 a 13 b 1004-2ab+5a-64-2a 即4-2a=0,b+5a-6=0,解之可得a=2,b=-4,从而有： 1111-11025-2 (A,)=435-2-1-→01-16-3 213-41（00000 原线性方程组的通解方程组为： 0691 高等代数考研解析 x1=-2x3-5x4+2 x2=x3-6x4+3 解之可得方程组的通解为： 7=(2,3,0,0)+k(-2,1,1,0)T+k,(-5,-6,0,1)T 其中k,k为常数。 x1+2x2+3x3+4x4=1 例9（电子科技大学，2019）已知线性方程组{2x,+3x,+4x,+5x,=1有3个线 a1+2x2+3x3+bx4=1 性无关的解，(1)证明方程组系数矩阵的秩为2，即R()=2;（2)求α，b的值及方 程组的通解。 解：记方程组为Ax=b,设，4，为方程组的线性无关的解，则A&,=b, i=1,2,3,从而： 4.4色)8 即： %+.%+ 2 2 为线性方程组解向量组的一个极大无关组，从而2=4-R(A),即R(A)=2。 对增广矩阵作行初等变换及R()=2 1234110-1 -2 3451→01 3 a23b100a-12a+b-6a-1 则a-1=0,2a+b-6=0,即a=1,b=4,从而原线性方程组的同解方程组为： x1=-1+x2+2x x2=1-2x3-3x4 070 3线性方程组「 故方程组的通解为7=(-1,1,0,0)T+k1,-2,1,0)T+k(2,-3,0,1)T,其中k,k2为任意 常数。 x1-2x2+3x3-x4=0 例10（浙江大学，2024）求线性方程组3x+x,+,-3x,=0的基础解系，若 x+5x2-5x3-x4=0 该方程组与另一个解为k(3,-4,-3,0)T+k,(0,2,2,1)T的方程组有公共解，求出所有公 共解。 解：由题可知两个线性方程组均为齐次线性方程组。易得线性方程组的基础解 系为71=（←5,8,7,0），72=1,0,0,1)； 设两个线性方程组的公共解为7，则： 7=1(-5,8,7,0)T+121,0,0,1)T=k(3,4,-3,0)T+k2(0,2,2,1) 解之可得： 2l=k, 12=k2,4,2,k,k2)T=1,2,-1,2)T 2k=-k2 即公共解为。=（←3,8,7,2）F,所有公共解为7，=pm。,其中p为常数。 例11（扬州大学，2024）已知a=(7,-10,11,1),22=(6,-8,-2,3,1), X1+x2+x3+x4+x=0 &=(5,-6,-5,5,1)T都为齐次线性方程组{3x+2x2+x,+x,+x=0的解向量，(1)》 5x1+4x2+3x3+3x4-x=0 试判断方程组的解是否都可以用α，，α，线性表出，并给出理由；(2)请给出线性 方程组的一个基础解系，其中尽可能多的含α，a&,c中的向量。 解：记方程组为Ax=0,则Aa=0,Aa2=0,Aa=0。易知R(a,a,a)=2, 从而a,,a,线性相关，，C2,的一个极大无关组为4，%2。 对方程组的系数矩阵做行初等变换，得： 0711 高等代数考研解析 1111 1 0-1-1 0 A= 32111 0 122 0 5433-1 0000 1 则R(A)=3,即方程组的基础解系含5-R(A)=5-3=2个向量，从而方程组的所有 解都可以由a,a,线性表出，即可由c,心，a心，线性表出，且： X1=X3+X4 x2=-2x3-2x4 x=0 取自由未知量 分别为0 则可得方程组一组解： B1=(1,-2,1,0,0)T,B2=1,-2,0,1,0)T 例12（广西大学，2024)设齐次线性方程组： 41+42X2+…+4nxm=0 21+42X2+…+42nxn=0 0-u+0-1,2X2+…+an-lmxn=0 M为系数矩阵A=(a,)中划去第i列剩下的-)×(1-)矩阵的行列式，若A 的秩为n-1,则7。=(M1,-M2,,(-1)-Mn)为方程组的解。 证明：（方法一)设方程组的系数行列式为D,则(-1)+(M,-M,,(-1)-M) 是D的第n行的代数余子式，故(-1)+[aM-4,M2++an(-1)-M]=0,则 aM-4zM2++4n（-1)”-Mn=0(i=1,2,m),故(M,-M2，…,(-1)-Mn)是方程组 的解。 (方法二)若A的秩为-1，则方程组的基础解系中只有一个解，且(M,-M2,, (-1)-M)≠0，从而得方程组的全部解为(M,-M2,,(-1)-Mn)的倍数。 072 3线性方程组 元1 1 a 例13（杭州电子科技大学，2018）设A= 0-10，b=1 已知线性 (1 1 (1 方程组Ax=b存在两个不同解，(1)求2，a;(2)求Ax=b的通解。 解：(1)由于线性方程组有两个不同解，则R(A)=R(Ab)=2,即： 元11a 11元 (Ab)= 0元-101→01-元 0 -1 11元10 01-元21+a-元 从而有1-2=0,1+a-元=0且1-元≠0，则2=-1,4=-2。 (2)由(1)可知： 10-1 -111-2 2 (AD)= 0 -20 1 1-11 000 0 从而得到线性方程组的通解为？= +k1,0,1),k为任意常数。 例14（华中科技大学，2021)求4，b满足什么条件时，方程组： X+X2+X3+2x4=3 2x1+3x2+(a+1)x3+7x4=8 x1+2x2 +3x4=3 -x2+x3+(a-1)x4=b-1 无解，在满足什么条件时该方程组有解，在有解时求其通解。 解：对增广矩阵做行初等变换，得： 111 2 3 11 12 3a+1 7 7 0 1 -1 0 120 3 3 00 2 0-11a-1b-1 000ab-1 0731 高等代数考研解析 当a=0且b≠1时，方程组无解。 当a=0且b=1时，方程组有无穷多解，则上述矩阵继续进行初等变换，有： 1112 3 10201 01-11 0 0 1-10-1 00a2 2 00 011 000ab-1 00000 从而得到方程组的通解为7=(2，-1,0,1)T+k(-2,1,1,0)T,其中k为常数； 当a≠0时，方程组有唯一解，为： 3n-b+4b-3a-42-b-2b+3a21-b+a)b-1)T a" a a a 例15（南京师范大学，2020)当常数a,b,c满足什么条件时，下列线性方程组 有解，并在有解的条件下求出全部解（用特解和对应齐次线性方程组的基础解系 表示)。 x1+2x2+x3-x4+x-2x6+3x7=1 2x1+4x2+3x3+5x-3x6+7x7=a -3x1-6x2-2x3+5x4+8x6-7x7=b -x1-2x2+x3+5x4+5x+5x6=C 解：对增广矩阵做行初等变换，得： /121-11-231 120-3-205-4a+3b+18 24305-37a 0012300 2a-b-7 -3-6-1508-7b 0000011-a+b+5 -1-215550c 0000000 -a-b+c 则方程组有解的充要条件为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于变元的个数， 则-一b+c=0且方程组有无穷多解，从而原线性方程组的同解方程组为： x1=(-4a+3b+18)-2x2+3x4+2x,-5x x3=(2a-b-7)-2x4-3x x6=(-a+b+5)-x, 则方程组的一个特解为5。=(-4a+3b+18,0,2a-b-7,0,0,-a+b+5,0)T,对应齐次 074