3.4 向量组的线性相关性-高等代数考研解析

3线性方程组 另一四元齐次线性方程组2的基础解系为a=(2,-1,a+2,1)T,a=(-1,2,4,α+8)T; (1)求方程组1的一个基础解系； (2)当a为何值时，方程组1、2有非零公共解，并求出全部非零公共解。 解：(1)对方程组1的系数矩阵做初等变换，得： 40到 得1的一个基础解系为B1=(5,-3,1,0),B2=(-3,2,0,1)。 （2)令B=(B,P2,,a),做初等变换，得： 5-3 -1 (1 0 a+2 4 -3 2 -1 0 1 1 B= 2 a+8 1 0 a+2 4 00-5(a+1) 3(a+1) 01 1. a+8 003(a+1) -2(a+1) -5(a+1) 3(a+1) 注意当a≠-1时， 做任何非零的线性组合都不可能使 3(a+1) -2(a+1) 之为零，而要方程组（1)(2)有非零公共解，则α=-1，此时有： 4 101 4 3 3 10 0117 B→ 、又 01 00 00 3 3 0000 0 000 0 000 即B,B,与a,a,相互线性表出，则方程组（1)(2)的所有非零公共解为kB,+kB2, k,k,为任意常数。 3.4向量组的线性相关性 向量组的线性相关性在数学专业中有非常重要的作用，它与行列式、矩阵、线 性方程组的解、二次型、线性变换和欧氏空间都有非常密切的联系；同时在空间解 析几何、高等几何、复变函数及常微分方程中都有广泛的应用，因而需要准确掌握 0611 高等代数考研解析 其基本概念，灵活运用有关定理、结论，然而向量组的线性相关性的判定与证明比 较抽象和难理解。实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，只要掌握了线 性相关的判定与证明，求解与线性无关相关的问题就变得容易了。下面从一个向量 组向量间的线性相关性和两个向量组间的线性相关性出发，总结出了判定与证明向 量组线性相关性的几种方法。 3.4.1一个向量组向量间线性相关性的判定与证明 3.4.1.1定义法 定义法是判定或证明向量组的线性相关性的基本方法，对于分量给出的具体向 量组和分量没有给出的抽象向量组均适应。 定义1：设向量组%，必2，，a,(5≥1)，若数域P中存在不全为零的数k,k2,…,k。, 使得k%+k22++k&=0,则称向量组，，，C线性相关，否则，称向量组 a,C2,,C线性无关。 3.4.1.2利用向量组的线性相关性的相关结论 定理1：设4，a,,&线性相关，则至少有一个向量可由其余s-1个向量线性 表示。反之亦然。由定义可知，此方法为(1)的等价变形。 定理2：设c,a,,C线性无关，a,a,,C,B线性相关，则B可由 心，心，，C线性表示且表法唯一。 定理3：线性无关的向量组的任意部分也线性无关。 定理4：若一个向量组中有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。 定理5：设a,a2,,&∈R,若s>n,则a,,,&,线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。 定理6：若维向量a,%,,a线性无关，将a,a2,,&加长成n维向量 B,B2,,阝，则B,B2,,B线性无关。若B,B2,,B线性相关，则，%，，C也线 性相关。 062 3线性方程组川 定理7：一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。 定理8：含有零向量的向量组线性相关。 3.4.1.3利用方程组的解 此方法是将向量组的线性相关性问题转化为线性方程组的解的问题，利用线性 方程组是否有非零解来判断。适合各分量给出的向量组。 定理9：向量组a,%,,a心线性相关的充要条件为以，a2,,a的列向量为系 数的齐次线性方程组x+x,心2+…+xa=0有非零解。 定理10：向量组a,,,a线性无关的充要条件为以%，a,,Q,的列向量为 系数的齐次线性方程组x,+x,a,++x&,=0只有零解。 3.4.1.4利用矩阵的秩与向量组的秩的关系 此方法就是将向量组按行（列）向量构成矩阵，然后利用初等变换将矩阵化为 阶梯形，确定矩阵的秩，此时向量组的秩等于矩阵的秩。此法大多适合分量给定的 向量组。 定理11：维列（行）向量组a,a,,a线性相关的充要条件是以 %,&,,&为列（行）向量的矩阵的秩小于向量的个数n。 此定理也可理解为以4,2，，&为列（行）向量的矩阵经初等变换化为阶梯形 矩阵，若阶梯形矩阵有零行（列），则a,a,,α线性相关，否则线性无关。 3.4.1.5利用行列式的值 定理12：若a,2,,a是n维向量组，其构成的矩阵A=(@,a,,c)为 n阶方阵，则当A=0时，向量组a,a心2，，心线性相关；当4A≠0时，向量组 g,a2,,C线性无关。 3.4.1.6反证法 在有些题目中，直接判定或证明结论比较困难，可以从结论的反面出发，推 出与已知条件、已知定义、定理、公理等相矛盾的结果，从而证明结论的反面不成 0631 高等代数考研解析 立，结论成立。反证法是一种常用的方法。此方法对于分量给出的具体向量组和分 量没有给出的抽象向量组均适用。 3.4.1.7数学归纳法 此方法为数学中常用的方法，主要用于线性相关性的证明。 3.4.1.8利用向量组的正交性 定理13：若%，心2，，C为n维两两正交非零向量组，则%，c2,,an线性无关。 3.4.1.9利用向量组在线性空间中像的线性关系 定理14：线性空间V中向量组%，a,,线性相关的充分必要条件是其像 C,%2,,an线性相关。 3.4.1.10利用矩阵的特征值与特征向量 定理15：设o是线性空间V的一个线性变换，若a,a2,,为o的不同特征值 乃，2，，n的特征向量，则a,,,an线性无关。 3.4.2两个向量组线性相关性的判定与证明 3.4.2.1一个向量b与一个向量组C1,C2,,Cm的判定与证明 此类问题主要判定与证明D能否被向量组，心，，心线性表示，通常转化为非 齐次线性方程组Ax=b有无解的判定。 定理16：向量组a,C2,,c&m,b线性相关的充要条件为以c,a2,,c&n的列向量 为系数的非齐次线性方程组xC+x,a凸，++xnC。=b有非零解。 定理17：设a,,,Cn线性无关，C,,,&n,B线性相关，则B可由 a,42,,&线性表示且表法唯一。 定理18：向量b可由向量组，a2,,a线性表示的充要条件是向量组构成的 矩阵A=(a,a2,,Cn)的秩等于矩阵B=(a,a2,…,&m,b)的秩。 064 3线性方程组 3.4.2.2两个向量组是否等价或其线性相关性的判定与证明 此类问题主要判定与证明两个向量组是否等价，或两个向量组的线性相关性， 通常转化为两个向量组的极大无关组间的关系。 定理19：设a,a2,,am与月，B2,,Bn为两个向量组，如果向量组a,a2,,am 可以经向量组P,B2,,Bn线性表出，且m>n,那么C,a2,,n必线性相关；若 a,&2,,Cn线性无关，则≤n。 定理20：任意一个极大无关组都与向量组本身等价。 定理21：所含向量个数相等的两个等价的向量组具有相同的线性相关性。 以上归纳了向量组线性相关性的判定与证明的几种常用的方法，在判定与证明 向量组线性相关和线性无关时，需要根据条件灵活运用。 3.5试题解析 例1（南昌大学，2020)证明向量组%，a2,,α，线性相关的充要条件为至少有 一个a（1<i≤r)可被%，a2,,a线性表出。 证明：若向量组c,必2，，至少有一个（1<i≤r)可被以，心，，C1线性表 出，则存在不全为零的数k,k,,k,使得C=ka+ka+…+k-C1,从而： k必+kc2+…+k-1-1-之+0a+1+.…+0a=0 故a,a,,a线性相关。 设a,C,,C线性相关，则存在不全为零的数k,k2,,k,使： k凶1+…+k-1C-1+kC++k&=0 若k是最后一个不为零的系数，即ka+…+ka1+ka=0。由已知C≠0， 则i≠1，即不可能是k必=0，从而1<i≤P,故： &= k k k 0651