3.3 反求方程组-高等代数考研解析

高等代数考研解析 101 0 0100 当a=1时，B= 可得方程组1,2的公共解x=(-1,0,1)T,其中k 0 00 0 0 0 00 为任意常数； 101 -1 100 0 01 0 1 010 1 当a=2时，B= 故其公共解为 001-1 001-1 0 0 0 0 0 000 111 (方法二)方程组1的行列式为2a=(a-1)(a-2),当a≠1，a≠2时，方程 14a2 组1只有零解，而零解不是方程组2的解； 111 101 当a=1时，对方程组1的系数矩阵做初等变换121 → 010 得其通 141 000 解为x=k(-1,0,1)T,k为任意常数，此解也为方程组2的解，故为公共解； 11 1 10 0) 当a=2时，对方程组1的系数矩阵做初等变换12 011 得其 144 000 通解为x=k(O,-1,1)T,k为任意常数，将此解代入方程组2得k=-1,故其公共解为 x=(0,1,-1)。 3.3 反求方程组 3.3.1齐次线性方程组 求以n维列向量组a,c2,,am为解的齐次线性方程组： 设%，a,,a线性无关（若线性相关，取其极大无关组)，令4，a,,an为 058 3线性方程组 行向量构成矩阵A,设Ax=0的基础解系为B,B2,,Bm,其按行向量构成矩阵B, 则方程组Bx=0（所求方程组)的一个基础解系为a,c,,&m 3.3.2非齐次线性方程组 与齐次线性方程组不同，以任意向量组为解的非齐次线性方程组不一定存在。 命题：设a=(41,42,,an)T，i=1,2,,t线性无关，以a-a,&,-a,, a1-a,为基础解系的齐次线性方程组为Bx=0,B为-t-1)×n矩阵，则 Bx=BC的全部解以a,,a为极大无关组。 例1求以月=4，-1,0,0)T,B2=1,10,1)T,B,=(2,0,1,1)T为解向量的齐次线性方 程组。 解：易知B,B2,B,的极大无关组为B,B2,构造矩阵B=(BT,B,T)为系数矩阵的 齐次线性方程组，其基础解系为么=(}10F&=(分30，所求齐次线 11 性方程组为： -x+2x2+x3=0 -2x1-之x2+x4=0 即： ￥-x2-2x3=0 x1+x2-2x4=0 例2设a=(1,2,-1,0,4),a2=(-1,32,4,1),a=(2,9,-1,4,13),W=L(a,a2,a)是 由这三个向量生成的线性空间P的子空间；(1)求以W为其解空间的齐次线性方程 组；(2)求以V={)+α|a∈W)为解集的非齐次线性方程组，其中7=1,2,1,2,1)。 解：(1)对矩阵做初等行变换，得： 0591 高等代数考研解析 10 3 011 (a,a2,a)→00 0 000 000 由此可得a,a,为a,a2,c,的一个极大无关组，即W=L(a,a)。(1)以a,a为行 向量作矩阵A,解线性方程组Ax=0可得基础解系： A=(7,-1,5,0,0)F,B2=(8,-4,0,5,0)F,B2=(-2-1,0,0,1)T 取： /7-1500 B= 8-405 0 -2-100 1 则所求方程组为： 7x1-x2+5x3=0 8x1-4x2+5x4=0 -2x1-x2+x=0 (2)由(1)中所得B,做线性方程组Bx=B7,则该线性方程组是以V为解集 的非齐次线性方程组：事实上，对V中任意向量7+a,∈V有： B(I+)=B7 即刀+a为Bx=Bn的解；又若5是Bx=Bn的解，则5-刀是齐次线性方程组Bx=0 的解，则存在数看k,k,使得5-7=k%+ka2,即5=n+k+k2%2,说明5∈V, 则所求方程组为： 7x1-x2+5x3=0 8x-4x2+5x4=10 -2x1-x2+x3=-3 例3（西安电子科技大学，2005）设四元齐次线性方程组1为 2x1+3x2-x3=0 x+2x2+X-x,=0 060 3线性方程组 另一四元齐次线性方程组2的基础解系为a=(2,-1,a+2,1)T,a=(-1,2,4,α+8)T; (1)求方程组1的一个基础解系； (2)当a为何值时，方程组1、2有非零公共解，并求出全部非零公共解。 解：(1)对方程组1的系数矩阵做初等变换，得： 40到 得1的一个基础解系为B1=(5,-3,1,0),B2=(-3,2,0,1)。 （2)令B=(B,P2,,a),做初等变换，得： 5-3 -1 (1 0 a+2 4 -3 2 -1 0 1 1 B= 2 a+8 1 0 a+2 4 00-5(a+1) 3(a+1) 01 1. a+8 003(a+1) -2(a+1) -5(a+1) 3(a+1) 注意当a≠-1时， 做任何非零的线性组合都不可能使 3(a+1) -2(a+1) 之为零，而要方程组（1)(2)有非零公共解，则α=-1，此时有： 4 101 4 3 3 10 0117 B→ 、又 01 00 00 3 3 0000 0 000 0 000 即B,B,与a,a,相互线性表出，则方程组（1)(2)的所有非零公共解为kB,+kB2, k,k,为任意常数。 3.4向量组的线性相关性 向量组的线性相关性在数学专业中有非常重要的作用，它与行列式、矩阵、线 性方程组的解、二次型、线性变换和欧氏空间都有非常密切的联系；同时在空间解 析几何、高等几何、复变函数及常微分方程中都有广泛的应用，因而需要准确掌握 0611