3.2 线性方程组的同解-高等代数考研解析

高等代数考研解析 (3)线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为R(A)=R(AD); 当R(A)=R(Ab)=n,则Ax=D有唯一解； 当R(A)=R(AD)<n,则Ax=D有无穷多解。 (4)克莱姆法则：当4=0时，则4=6有唯一解x-号、(1=12n). (5)齐次线性方程组Ax=0的解的线性组合仍为其解。Ax=0的解向量构成一 个向量空间。Ax=0的基础解系为其解向量所构成的向量空间的基，基础解系中解 向量的个数等于解空间的维数，也等于未知量的个数减去系数矩阵的秩。 （6)线性方程组通解（全部解)：设，2，，-，为齐次线性方程组Ax=0的 一个基础解系，则其通解为7=k,+k,++k-,刀n-,其中n是未知量的个数， R(A)=r;若是Ax=b的任一个解，则Ax=b的通解为： 刀=刀。+k☑+k☑2++k.-7m- 其中k,飞2，，kn-为常数。 3.2 线性方程组的同解 3.2.1基本概念 若两个线性方程组的解集相等，则称这两个线性方程组是同解的，或是等 价的。 高斯消元法求线性方程组的过程就是将原线性方程组化为与之同解的线性方 程组。 3.2.2基本结论 定理1：设A=(4)mn,B=(亿，)xm,则下列命题等价。 (1)n元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解。 054 3线性方程组 A （2)Ax=0与 x=0同解，且Bx=0与 A x=0同解。 B B A (3)R(A)=R =R(B)o B (4)A的行向量组与B的行向量组等价。 (5)存在Ps,Qxm,使得A=PB,B=QA。 证明：（1）→（2)由Ax=0与Bx=0同解，可知 x=0的解是Ax=0的解。 设x,为Ax=0的任一解，则A比。=0，从而Bx。=0,即 x。=0,故 A 七为 x=0,即Ax=0与 A x=0同解。 B x=0同解。同理Bx=0与 B A (2)→(3)由Ax=0与 x=0同解，则两个方程组具有相同的解，即有相 B 同的基础解系，从而基础解系所含向量个数相等，即n-R(A)=n-R R(A)= B A A R 同理R =R(B),故R()=R =R(B) B B A A (3)→(4)由R(A)=R 可知A的行向量组的极大无关组也是 的行 B 向量组的极大无关组，从而B的行向量组可由A的行向量组的极大无关组线性表出， 即B的行向量组可由A的行向量组线性表出；同理A的行向量组可由B的行向量组 线性表出，从而A的行向量组与B的行向量组等价。 (4)→(5)由A的行向量组与B的行向量组等价，可知A的行向量组可由B的 行向量组线性表出，从而存在Pnx,使得A=PB;同理存在Qxm,使得B=QA。 (5)→(1)若存在P,Om,使得A=PB,B=QA,则对于Ax=0的任一 0551 高等代数考研解析 解x。,有Ax。=0,从而由B=QA有Bx。=QAx。=0,可知x,也是Bx=0的解，即 Ax=0的解都是Bx=0的解；同理Bx=0的解都是Ax=0的解，从而Ax=0与 Bx=0同解。 定理2：设n元线性方程组Ax=b与Bx=d均有解，则下列命题等价。 (1)Ax=b与Bx=d同解。 A (2)Ax=B,Bx=d, 个方程组两两同解。 B d (3)R(A)=R(A,D)=R A b =R(B,)=R(B)。 B d (4)n+1元方程组(A,D)y=0与(B,)y=0同解。 (5)(A,)的行向量组与(B,)的行向量组等价。 (6)存在Px,xm,使得(A,b)=P(B,),(B,)=Q(A,D)。 证明：条件中(4)→（5)一（6)→(4)的证明仿定理1。 )→(2)由4x=b与x=同解，则8x=7 的解为Ax=b的解。设x。 为Ax=b的任一解，则A比，=b,且有Bx。=1,从而 即x为 即Ax=b,Bx=d, x 三个方程组两两同解。 A b (2)→(3)由Ax=b,Bx=d r- 两两同解，可知它们各自的解向 B d 量的极大无关组所含向量个数相等，即： A n-R(A)+1=n-R +1=n-R(B)+1 B 056 3线性方程组 A 又Ax=b,Bx=d都有解，则 x= 也有解，从而R(A)=R(A,D),R d A D (B,)=R(B),R =R 即： B B d R(A)=R(A,D)=R AD=R(B,四=R(B B d (3)→(4)由R(A,D)=R(B,)及定理1，可知(A,b)y=0,(B,)y=0同解。 (4)→(1)设。为Ax=的任一解，则Ax。=b,从而Ax。-b=0,即 ]=0。令y 则y。为(A,D)y=0的解，从而y。为(B,)y=0的解，即 Bx。=d,故Ax=b的解都是Bx=d的解；同理Bx=d的解也都是Ax=b的解，从而 (A,D)y=0与(B,d)y=0同解。 例（西安工程大学，2021)设两个线性方程组： +x2+x3=0 与J5+4,+dx=0 x+2x2+ax,=0x+2x2+x,=a-1 有公共解，求α的值及所有公共解。 解：（方法一）由于方程组1和方程组2有公共解，即联立的方程组3有解： x1+x2+x3=0 x1+2x2+3=0 x1+4x2+ax3=0 x1+2x2+x3=a-1 对增广矩阵做初等变换，得： 111 0 71 01 1-4 1 2 0 010 a-1 4a2 △B 1 0 00a-1 1-a 121a-1 000 (a-1)(a-2) 由于方程组3有解，则有(a-1)(a-2)=0,即a=1,a=2; 0571 高等代数考研解析 101 0 0100 当a=1时，B= 可得方程组1,2的公共解x=(-1,0,1)T,其中k 0 00 0 0 0 00 为任意常数； 101 -1 100 0 01 0 1 010 1 当a=2时，B= 故其公共解为 001-1 001-1 0 0 0 0 0 000 111 (方法二)方程组1的行列式为2a=(a-1)(a-2),当a≠1，a≠2时，方程 14a2 组1只有零解，而零解不是方程组2的解； 111 101 当a=1时，对方程组1的系数矩阵做初等变换121 → 010 得其通 141 000 解为x=k(-1,0,1)T,k为任意常数，此解也为方程组2的解，故为公共解； 11 1 10 0) 当a=2时，对方程组1的系数矩阵做初等变换12 011 得其 144 000 通解为x=k(O,-1,1)T,k为任意常数，将此解代入方程组2得k=-1,故其公共解为 x=(0,1,-1)。 3.3 反求方程组 3.3.1齐次线性方程组 求以n维列向量组a,c2,,am为解的齐次线性方程组： 设%，a,,a线性无关（若线性相关，取其极大无关组)，令4，a,,an为 058