3.1 基本内容与考点综述-高等代数考研解析

3线性方程组 3.1基本内容与考点综述 3.1.1基本概念 3.1.1.1线性组合、线性表出 设a,c2,…,an为一组向量，k1,k2,…,kn为一组数，且： B=ka1+k2a2+…+ka 则称向量B为向量组a4,a2,,an的一个线性组合，也称B可由a,a2,…,an线性表出。 3.1.1.2向量组等价 设向量组①a,a2,…,an,②月，B2,…,P,若向量组①中每个向量都可由向量 组②线性表出，且向量组②中的每个向量都可由向量组①线性表出，则称两组向量 等价，即两组向量相互线性表出。 3.1.1.3线性相关、线性无关 设4,2，…，an为一组向量，若存在不全为零的数K,k2,…,kn,，使得： kC1+k202+…+knCn=0 则称向量组c,a2,…,an线性相关。 当且仅当k=k2=…=k,=0时，ka4,+k2a2+…+k,an=0,则称向量组a, a2,…,an线性无关。 3.1.1.4极大线性无关组 设向量组a,a。,,a（m≤n）是向量组a,a2,…,an的部分组，且满足 0511 高等代数考研解析 (1)a,C,…,a线性无关； （2）a,a2,…,an中任一向量a,（j=1,2,…,n)可由a,a,…,a,线性表出。 则称向量组c,a,…,a为向量组a,a2,…,an的一个极大线性无关组。 3.1.1.5向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。 3.1.1.6矩阵的行秩、列秩、矩阵的秩 矩阵的行构成的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列构成的列向量组的秩 称为矩阵的列秩；矩阵的行秩或列秩称为矩阵的秩，矩阵的行秩与列秩相等。 3.1.1.7基础解系 设7，n2,…,n,为齐次线性方程组AX=0的一组解，若 (1)7,72,…,线性无关； (2）AX=0的任一解均可由7,72，…，7线性表出。 则称7,2，，n为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系。 3.1.2基本结论 判定向量组a,a2,,cn线性相关性时，往往采用以下结论： (1)向量组，2，…，线性相关的充分必要条件为存在不全为零的数k,k2,…,kn, 使得k11+ka2+…+knan=0; 向量组a%,2,,an线性无关的充分必要条件为ka1+k2++k,an=0,当且 仅当k=k2=…=kn=0。 （2)向量组a,a2,…,an线性相关的充分必要条件为a,a2,…,an中至少一个向 量是其余向量的线性组合。 (3)向量组a,a2,…,n线性相关的充分必要条件为R(A)=R(c,a2,…,Cn)<n。 （4)m>n,m个n维向量必线性相关。 052 3线性方程组川 (5)a,a2,…,a,可由月，B2,…,B,线性表出，且s>t,则4，a2,,C,必线性 相关。 (6)4,a2,,a,线性无关，若c,a2,…,,月，（i=1,2,,m）线性相关，则 %,a2,…,C,B,…,Bn线性相关。 (7）设B,B2,…,B,为n维向量组a,a2,…,c,添加分量后的m(m>n)维向量 组，若C,2,…,C,线性无关，则B,B2,…,B,线性无关；若B,B2,…,B,线性相关，则 a,02,…,a线性相关。 (（8）设a,a2,…,c&,为4，a2,,an的部分组，若a,a2…,a,线性相关，则 c,a2,…,an线性相关；若a,a2,,&n线性无关，则a,a2,,,线性无关。 （9）B,B2,…,Bn线性无关，且B,B2,…,Bn可由a,2,…,an,则a,c2,…,an线 性无关。 （10)若%，a2,…,an两两正交，则c,a2,…,an线性无关。 (11)矩阵（线性变换）属于不同特征值的特征向量线性无关。 （12)设A=(a,a2,,an),则Ax=0只有零解的充分必要条件为a,a2,,an线 性无关；Ax=0有非零解的充分必要条件为，心2，…，a线性相关。 （13)若A=(a,a2,…,an),则A≠0的充分必要条件为a,2,,an线性无关； |A=0的充分必要条件为a,c2,…,Cn线性相关。 3.1.3基本方法 令A=(a)n,x=(:,,x),b=(,…,xn)T,则线性方程组Ax=b利用向量 组表示为ax+a2x2+…+Cnxn=b, （1)若R(A)=r,则Ax=0只有零解的充分必要条件为R(A)=r=n。 (2)齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件为R(A)=r<n。 0531 高等代数考研解析 (3)线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为R(A)=R(Ab); 当R(A)=R(Ab)=n,则Ax=b有唯一解； 当R(A)=R(Ab)<n,则Ax=b有无穷多解。 (4)克莱期法则：当4≠0时，则=6有壁一解=合.（i=12n). (5)齐次线性方程组Ax=0的解的线性组合仍为其解。Ax=0的解向量构成一 个向量空间。Ax=0的基础解系为其解向量所构成的向量空间的基，基础解系中解 向量的个数等于解空间的维数，也等于未知量的个数减去系数矩阵的秩。 (6)线性方程组通解（全部解）：设，2，，。-，为齐次线性方程组A=0的 一个基础解系，则其通解为7=k初，+k++kn,m,其中n是未知量的个数， R(A)=r;若n是Ax=b的任一个解，则A=b的通解为： 1=o+k71+k刀2+…+kn-nm- 其中k,k2,…,k,为常数。 3.2线性方程组的同解 3.2.1基本概念 若两个线性方程组的解集相等，则称这两个线性方程组是同解的，或是等 价的。 高斯消元法求线性方程组的过程就是将原线性方程组化为与之同解的线性方 程组。 3.2.2基本结论 定理1：设A=(a)mn,B=(b,)xn,则下列命题等价。 (1)n元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解。 054