2.2 试题解析-高等代数考研解析

高等代数考研解析 ①若△≠0，则特征方程有两个复根x,x2,X≠x2,令Dn=AX1+Bx, 其中A,B为待定系数，令n=1,2可求出A,B。 ②若△=0，则特征方程有重根x=x2,令D,=(A+B)x,其中A,B为待定系 数，令n=1,2可求得A,B。 特别地，三对角行列式的求解经常采用此方法。 2.1.3.9利用重要公式与结论 (1)对角、三角行列式。 (2)范德蒙德行列式。 a b...b 6 (3)a,b行列式公式 a...b .: =(a-b)[a+(n-1)b]。 b b… a (4)箭形行列式。 2.2 试题解析 110 000 0 3 000 例1（中国人民大学，2024)计算行列式4 56006 1 8 91-2 10111234 解：行列式阶数较低，零元素主要集中在右上角，容易求解。 (方法一)按第一行展开，即： 10 0 0 0 3 00 0 2 3 0 0 0 160 0 4 5 6 0 0 0 =1·(-1) 6 =39 1 -2 8 1 -2 3 -2=180 9 4 8 9 1 -2 4 1112 3 4 123 101112 3 4 030 2行列式 (方法二)利用拉普拉斯定理。 11000 0 2 3 0 0 0 1 00 1 4 5 6 0 2 3 3 =180 4 7 8 9 -2 4 5 6 1011123 例2（南京师范大学，西南大学，2024）计算行列式 a+x a+x" a+x" a+x2 a+x2 a+x2 D.= a+x, a+x好 a+x 解：先采用加边法，再利用拆分法。 1 1 1 1 111 1 0 a+x a+x2 a+x 2 … D.=D+= 0 a+x2 a+x; a+x2 芍 : :. :: 0 a+x。a+x a+x -a x x x” a+11 -a 1 1 1 0 x x -a 王 0 0 好 + -:: 0 Xn x好 x a x好 x 1 1 1 x x2 =(a+1)xx2…xa +(-a)l1x2 x好 x经 .: -1 x X2 =a+0xΠc-x)-aΠc-门c-少 -@+DTIx-TIG-DIII@- 0311 高等代数考研解析 1 1 1 2- 1 1 2-n1 例3（集美大学，2024)计算行列式D,= 1 2-n 1 2-n 1 1 1 解：将所有行元素加到第一行。 2- y 1 1 1 2-n 1 1 1 2-n1 D.= 12-n 1 12-n 1 2-n1 11 2-n1. 1 1 1 1 0 0 ..1-n 0 2(2-1) =(←1)21-m"-1 0 1-n.… 0 0 1-n 0 0 a ap a'p ap d 例4（陕西科技大学，2019）计算行列式D.= ap 其 a'p a'p 中a≠0，p≠1。 解：先提取公因子，再利用行列式性质将该行列式化为三角行列式。 a ap ap 1p ap a 1. D.= =(d2) : ... apap… a p 0. =2"[1+(n-1)p]A-p)-1 032 2行列式[ x+y xy 1 x+y 例5（湘潭大学，2024)计算行列式D.= 1 x+y 解：三对角行列式可以采用递推法计算。 (1)将行列式按第一行展开，可得： D.=(x+y)D1-xyD-2 D -(x+y)D+xD-2=0 设，B为特征值方程m2-(x+y)+xy=0的根，则a+B=x+y,p=y, 于是有=x,B=y;可设Dn=Axm1+By-1，,又D=x+y,D,=x2+y2+xy,则 (x-y)A=x2,(x-y)B=-y2; 若x≠，则A=，B=少，从而得D.= x-v x-V x-v 若x=y,则D,=(A+B)x”,同理得A=B=x,从而得Dn=(+1)x”。 (2)由(1)Dn=(x+y)D1-wD.-2,则： D-yD=x(D-1-yD2) D.-xD-1=y(D-1-xD-2) 若x≠y,则： D=D,-0)-y(D,-x2) x-V 从而得： D.p x-V 若x=y,则D,=(n+1)x”。 0331 高等代数考研解析 例6（北京交通大学，2024；西安电子科技大学，2023)计算行列式 y· D.= .. 3 解：此题可以用拆分法。 z+(x-2)y 2 x-zy… z+0 0 D.= .:. ... 2+0 x 0 =zx-y)-1+(t-2)D- y+(x-y)y+0 y+0 yy x-y0. 9 0 D.= ... ... : 0 =v(x-z）-1+(x-y)D-1 若：≠y,将两式联立消去D可得D,=-少--习。 z-y 若z=y,可得Dn=(x-y)-[x+n-1)。 例7（浙江大学，2020）设s(x)= 0,已知4=a,a,=50-D, 0x=0 求A 解：由题可知，当i=时，4=0,4，=- i-J 从而有： 034 2行列式 -1-1 -1 1-1 -1-1 0 -1 -1 1+0 0 -1 D,= 1 1 0 -1 1+0 1 0 11 0 1+0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 O =1 2 1.. 0+(-1)D.-1=1+(-1)D : .: 22.1 0 -1 -1 -11-10-10-1. 0-1 1 0 -1 0 -1 -1 D= 1 0 -1= 1 0 -1 1 1 0 1 1 1 0 -1-1-1… -1 0 -12 一2 =1D-1+ 0 0-1 -2=1D.1+(-1) 0 0 0.…-1 即D.=1+(1)D,D.=1D+←1y,解D.=1+1少 2 当n为奇数时，有D,=0;当n为偶数时，有D.=1。 例8（陕西师范大学，2024）已知n≥2阶行列式 1123 n-1 n 1-10 0 0 2 -2 0 0 D.= 0 0 0 .2-n 0 000 n-11-W A为D的第i行j列元素a,的代数余子式，求A1+A2+…+A。 0351 高等代数考研解析 解：此行列式属于三线型行列式。由题可知： 111. 1 1 1-10 0 0 0 2-2 0 0 A1+A2+…+An= 0 0 2-n 0 0 0 0 n-11-z 将所有列加到最后一列，有： 11 1 风 -10 0 0 0 2-2 0 0 A1+A2++Am= 0 0 0 2-n0 0 0. n-1.0 1 -1 2-2 =n(-1)+ n-22-n n-1 =（-1)+"l a b o .0 0 ⑨ a b 0 0 0 0 .0 0 例9（云南大学，2020)计算行列式D.= E 0 00 a b00 .0 解：按第一列展开： a b 0 0 b 0 0 0 0 0 0 Q b 0 0 D。=a(-1)H :: +b(1)+ 00 0 b 0 0 b 0 /0 0 …0 /0 0 a b 036 2行列式 =d+(-1)+b” 1 n 2 ny n-1 例10（北京科技大学，2024）计算行列式D=3 2 n-2 n n-1 n-2 1 解：从最后一行开始每行减去前一行，再每列加上第一列： 123 345 n+1 -1-1 -1 -1 0 0 0 0 D=1 1-1-1 -1 200 0 1 111 -1 222 0 000 0 12 00 =(←1)+(n+1)1 20 0=(←-1)(n+1)22 : 222 .2 11… 1 x x2 例11（长安大学，2024）设xx2xn≠0，计算行列式D= x x 解：此行列式为缺少一行一列的范德蒙德行列式，给此行列式添加第二行和最 后一列构成范德蒙德行列式，而添加行列交叉位置元素的系数与所求行列式有关。 设： 1 .11 X2 D= 2 ...x2 =Π6-x)Π2-) x”z” 0371 高等代数考研解析 令f(z)=D,则(1)+3D是f(z)中z的系数；由等式右边知z的系数为 ⅡΠ)，得： D=(-0(-)ΠⅡ-y)=ⅡxⅡa-x) 兵J<e2 \as b b...b 6 b a b.. 例12（新疆大学，2024）计算行列式D,=b b 6 9 解：行列式元素除主对角线元素以外的元素都相同，此类行列式多采用加边法 计算。 1 bb 6 1 1 1 0 b b -1 4-b 0 0 D.=0b b = -1 0 42-b 0 o b b 0 -1 0 0 a,-b 1 1 1 1 4-b42-b 4.-b -11 =(a-B)(as-B).-(-b)1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 h+ 1 1 1 1 14-b 4-b 4-b a-b 0 1 0 0 =(4-b)(a2-b).(a.-b) 0 0 1 0 0 0 0 1 -空。'na 038 2行列式 1+x1X 1 例13（首都师范大学，2024)计算行列式D,= X2 1+x2 X2 n 1+x 解：此题通常采用加边法计算，也可以将所有行加到第一行， 提取公因子。 0 1+ 0 x 为 1+x2 1+x 2 D= X2 1+x2 节 .: 1+x x. …1+x -1 -1 . -1 1+ 00 1 0 0 10 0 0 =1+∑x X2 01 .: 0 0 00 1+x 水 0 0 x+x2 0 例14(（南开大学，2024)计算行列式D= 0 x2 x2+x3 0 0 tw x+x 解：根据元素特点，本题先提取公因子，再利用多项式性质计算或按行列 展开。 1+x 0 0 1 1+x 0 D=x.x2.x3 0 11+x 0 0 1 1+x 1+xx 0 1 x 0 =x6(1+x)1 1+x -x6.x01+xx 0 11+x 10 1+x =a+对11+ 1+xx 1 1+x =x‘(1+x)4-3x71+x)2+x8 0391