2.1 基本内容与考点综述-高等代数考研解析

2行列式 2.1基本内容与考点综述 2.1.1基本概念 2.1.1.1逆序、逆序数 在一个排列中，若一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的 数，则它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。 2.1.1.2n阶行列式 n阶行列式： a a2 an D.= 22 =∑（-1)rha-a=(-1)4'a1a ay2 =∑(-1)aAa方 2.1.1.3余子式、代数余子式 在n阶行列式中，去掉元素a所在的行与列，剩下元素按照原来位置构成的n-1 阶行列式称为a,的余子式，记为M,而(-1)M称为a,的代数余子式，记为A,o 2.1.2基本性质 (1)行列式与其转置行列式相等，即D=D'(或D)。 (2)用一个数乘行列式等于用这个数乘行列式某一行（列）的所有元素；行列 式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 027 高等代数考研解析 (3)若行列式中有两行（列）元素对应相等，则行列式为零；若行列式中有两 行（列）元素对应成比例，则行列式为零；若行列式中有一行（列）元素都为零， 则行列式为零。 (4)交换行列式中任意两行（列），则行列式反号。 (5)将行列式中某一行（列）的k倍加到另一行（列），则行列式不变。 Ch 42 Chin 42 Cin 41 42 -: ... (6)b+c1b,+C2 b.+cn b b, b. S C .:. .:. a. C42 … d Gi a. .. (7)(按行按列展开定理)行列式D,等于行列式某一行（列）元素与其代数余 子式的乘积的代数和，但行列式的某一行（列）元素与另一行（列）的代数余子式 的代数和为零，即： d i=k a1A1+ae2A2+…+aAm= 0i≠k d j=1 4A+aAy+…+amA= 10j≠1 (8)(拉普拉斯定理)设在行列式D,中，任取k(1≤k≤-1)个行（列），由 这行（列）元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列 式Dno 2.1.3基本方法 本章的重点内容是行列式的计算方法，核心是通过观察、分析行列式的元素特 点，探索、寻找最佳的解题思路，常见的计算方法有以下几种。 2.1.3.1定义法 定义法适用于计算低阶或非零元素较少（稀疏行列式）的行列式。 028 2行列式 2.1.3.2三角化法 利用性质化为上（下）三角行列式 2.1.3.3滚动相消法 若行列式中两行元素的值比较接近，可用相邻两行中的一行加上（减去）另一 行的若干倍。 2.1.3.4降阶法 利用按行按列展开定理将高阶行列式化为较低阶的行列式，再进行计算。 2.1.3.5加边法（升阶法) 给行列式D,添加一行一列得到D1,使得D=D,。此方法添加的行与列通 常为第一行一列或最后一行一列，添加行列的交叉位置的元素为1，剩下的行元素 (或列元素)均为零，列元素（或行元素)根据行列式的元素适当添加。 2.1.3.6拆分法 若行列式的第i行（列）由k个数码的和，则行列式按此行（列）可以拆分为飞 个行列式，其余位置的元素不变。 42 4 412 412 : : ... : b +c b2+C2 b+c b 6 b. C2 ... ... .:. C 42 Cn a 42 a 42 2.1.3.7 数学归纳法 行列式的阶数为自然数。先求出A,A,A,A,,通过观察元素与幂的关系猜 测出A”，再用数学归纳法加以证明。 2.1.3.8递推法 (1)若n阶行列式D满足aD.+bD+c=0,再找一个这样的等式，二式联立 消去D-,即可得D,。 (2)若n阶行列式D满足aD.+bDa-1+cD-2=0,则特征方程为ax2+bx+c=0。 0291 高等代数考研解析 ①若△≠0，则特征方程有两个复根x,x2,X≠x2,令Dn=AX1+Bx, 其中A,B为待定系数，令n=1,2可求出A,B。 ②若△=0，则特征方程有重根x=x2,令D,=(A+B)x,其中A,B为待定系 数，令n=1,2可求得A,B。 特别地，三对角行列式的求解经常采用此方法。 2.1.3.9利用重要公式与结论 (1)对角、三角行列式。 (2)范德蒙德行列式。 a b...b 6 (3)a,b行列式公式 a...b .: =(a-b)[a+(n-1)b]。 b b… a (4)箭形行列式。 2.2 试题解析 110 000 0 3 000 例1（中国人民大学，2024)计算行列式4 56006 1 8 91-2 10111234 解：行列式阶数较低，零元素主要集中在右上角，容易求解。 (方法一)按第一行展开，即： 10 0 0 0 3 00 0 2 3 0 0 0 160 0 4 5 6 0 0 0 =1·(-1) 6 =39 1 -2 8 1 -2 3 -2=180 9 4 8 9 1 -2 4 1112 3 4 123 101112 3 4 030