1.1 基本内容与考点综述-高等代数考研解析

1多项式 1.1基本内容与考点综述 1.1.1基本概念 1.1.1.1数域 若P是数环，若①P含有一个不等于零的数：②若Va.beP,b0,名eP, 则称P是一个数域。 若在非空数集S上定义两个运算：加法和乘法，对于Va,b∈S,b≠0，有 a+b∈S,a-beS,abES,a∈S,则称S是一个数域。 1.1.1.2一元多项式 设x是一个文字（符号），n是非负整数，形如anx”+an1x+…+ax+a,其 中a∈P,i=0,l,…,n的表达式称为数域P上关于x的一元多项式，通常记为f(x)。 1.1.1.3整除 设f(x),g(x)∈P[x],若存在h(x)∈P[x],使f(x)=g(x)h(x),则称g(x)整除f(x), 记为g(x)儿f(x),称g(x)为f(x)的因式，称f(x)为g(x)的倍式。 1.1.1.4最大公因式 设f(x),g(x)∈PLx],PLx中的多项式d(x)称为f(x,g(x)的一个最大公因式，如 果它满足以下两个条件： (1)d(x)是f(x),g(x)的公因式。 0011 高等代数考研解析 (2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式。 1.1.1.5互素 设f(x),g(x)∈PLx],若(f(x),g(x)=1,则多项式f(x,g(x)称为互素的。 1.1.1.6不可约多项式 对于多项式p(x)∈PLx],Op(x)≥1，且不能表示成数域P上两个次数比它低的 多项式的乘积，则称(x)为数域P上的不可约多项式。 (1)一次多项式是不可约多项式。 （2)多项式是否可约与数域有关。 (3)零多项式与零次多项式不谈可约与不可约。 1.1.1.7重因式 设f(x)∈P[],p(x)为数域P上的不可约多项式，k为非负整数，若p(x)儿f(x), 且p+(x)不整除f(x),则称p(x)为f(x)的k重因式。 当k=0时，p(x)不是f(x)的因式；当k=1时，称p(x)为f(x)的单因式；当 k≥2时，称p(x)为f(x)的重因式。 1.1.1.8多项式函数 设f(x)=anx”+an-x"-+…+ax+a,其中a,∈P,i=0,l,,n,数a∈P,将 f(x)中的x用a代替得到P中的数aa+an-1a-+…+a,a+a。,称之为当x=a时 f(x)的值，记为f(a)；即： f(a)=ana”+an-1a-+…+a,a+ao 这样对每个数∈P,由多项式f(x)确定唯一的数f(a)与之对应，称f(x)为数域P上 的一个多项式函数。 1.1.1.9根 若多项式f(x)在x=a时f(a)=0,则a称为f(x)的一个根或零点。 若x-a是f(x)的k重因式，则称a为f(x)的k重根。 002 1多项式 当k=1时，称a为f(x)的单根；当k>1时，称a为f(x)的k重根。 1.1.1.10本原多项式 若一个非零的整系数多项式f(x)的系数互素，则称f(x)为本原多项式。 1.1.1.11多元多项式 设P是数域，x,x,,xn为文字，形式为ax…x的式子，其中a∈P, k,k2,…,kn∈Z称为一个单项式；此类单项式之和： fx,x2,…,x)=∑akx… kk2k 称为n元多项式；当n≥2时统称为多元多项式。 1.1.1.12对称多项式 设f(x,x2,…,xn)为数域P上n元多项式，若对于i,j,1≤i<j≤n都有： f(X1,…,X,…,xj3…,xn）=fx,…,xj3…,x,,xn), 则这个多项式称为对称多项式。 n元多项式： O1=x+X2+…+xn;O2=XX2+xX3+…+xXn+…+xm-xn; O3=XX2X3+XX2X4++X1X2Xn+…+Xm-2Xm-1式m;On=X3X2…尤n 都为对称多项式，称之为初等对称多项式。 1.1.2本章结论 1.1.2.1次数定理 (1)若非零f(x),g(x)∈PLx时，则当a(f(x)±g(x)≠0时，则有： d(f(x)±g(x)≤max{af(x),og(x)} (2)若非零f(x),g(x)∈P[x]时，则： 8(f(x)g(x))=of(x)+ag(x) 0031 高等代数考研解析 1.1.2.2带余除法 设f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，则存在唯一的q(x),r(x)∈PLx],使： f(x)=g(x)q(x)+r(x) 成立，其中r(x)=0或者r(x)<Cg(x),且q(x),r(x)是唯一确定的。 1.1.2.3整除的性质 (1)自反性：任一多项式都整除它自身。 (2）传递性：若f(x)g(x),g(x)h(x),则f(x)h(x). (3)互伴性：互相整除的两多项式相差一个非零常数倍。 若f(x)g(x),g(x)f(),则f(x)=cg(w),其中c为非零常数。 (4)一个多项式能整除几个多项式就能整除它们的组合。 若f(x)g,(x),i=1,2,…,r,则f(x)4,(x)g(x)+…+4,(x)g(x),其中4，(x)是数 域P上的多项式。 若g(x)f(x),g(x)f5(),则g(x)(x)±f(x);若g(x)f()+f(x》, g(x)f(x),则g(x)f(x)；若g(x)f(x)+f3(x),g(x)不整除f(x),则g(x) 不整除(x)。但是若g(x)不整除f(x),g(x)不整除f5(x),不能得出g(x)不整 除f(x)+f(x) (5)任一多项式都能整除零多项式。 (6)零多项式只能整除零多项式。 (7)零次多项式能整除任一多项式，但它只能被零次多项式整除。 1.1.2.4最大公因式的性质 (1)若d(x)称为f(x),g(x)的一个最大公因式，则存在u(x),v(x)eP[x],使： u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x) (2)设f(x),g(x)∈PLx],g(x)≠0，若f(x)=g(x)q(x)+r(x),则(f(x),g(x)》= (g(x),r(x)。 004 1多项式 1.1.2.5互素的性质 (1)P[x]中多项式f(x),g(x)互素的充分必要条件为存在u(x),v(x)∈P[x],使 得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。 (2）若f(x)g(x)h(x),且(f(x),g(x)=1,则f(x)h(x)。 (3)若f(x)h(x),g(x)h(x),且(f(x),g(x)=1,则f(x)g(x)h(x)。 (4)若(f(x),g(x)=1,(f(x),h(x)=1,则(f(x),g(x)h(x)=1。 (5)在复数域上，非零多项式f(x),g(x)没有公共根的充分必要条件为f(x),g(x) 互素。 1.1.2.6不可约多项式的性质 设(x)为数域P上的不可约多项式，则有 (1)cp(x)为数域P上的不可约多项式，其中0≠c∈P; (2)对于P上任意多项式f(x),必有(p(x),f(x)=1或p(x)f(x): (3)对于任意f(x),g(x)∈PLx],若p(x)儿f(x)g(x),则必有p(x)儿f(x)或p(x)g(x); （4)若p(x)f(x)f(x)…f(x),其中s≥2，则p(x)至少可以整除这些多项式中 的一个。 1.1.2.7重因式的性质 设p(x)为数域P上的不可约多项式，则 (1)p(x)为f(x)的k(k≥1)重因式，则p(x)为f(x)的微商f'(x)的k-1重因式。 （2)p(x)为f(x)的k(k≥1）重因式，则p(x)也为f(x),f'(x),,f-(x)的因式， 不是f(x)的因式。 (3)p(x)为f(x)的重因式的充要条件为p(x)为f(x),f'(x)的公因式， 即p(x)(f(x),f'(x)。 (4)多项式f(x)无重因式的充要条件为(f(x),f'(x)》=1。 0051 高等代数考研解析 (5)设多项式f()为数域P上次数≥1的多项式，则多项式， fx)一是一个 (f(x),f'(x) 没有重因式的多项式，但它与f(x)有完全相同的不可约因式。 1.1.2.8多项式函数的性质 (1)余数定理：设f(x)∈P(X),u∈P,一次多项式x-a除f(x)所得的余式是 一个常数，这个常数等于函数值f(a)。 (2)因式定理：设f(x)∈P(X),a∈P,x-auf(x)的充要条件为f(a)=0。 （3)根的个数定理：在PLx]中，n(n≥0)次多项式在数域P中的根不可能超 过n个（重根按重数算)。 (4)设f(x),g(x)∈PLx),且f(x),g(x)的次数不超过n,若对于n+1个不同的数 a,(i=1,2,,n+1),均有f(a)=g(a,),则f(x)=g(x)a 这表明两个非零多项式若作为函数相等，则作为多项式必相等；若两个多项式 相等，则作为函数也相等，即在数域P上多项式相等与函数相等是一回事。 1.1.2.9因式分解及根的性质 (1)复数域。 ①代数基本定理：每个次数≥1的复系数多项式在复数域中至少有一根。 由此可知：次数n≥1的复系数多项式在复数域内恰有n个复根（重根按重 数算)。 ②因式分解定理：次数≥1的复系数多项式在复数域上可唯一地分解为一次因 式的乘积；即复数域上次数大于1的多项式都是可约的。 ③标准分解式：复系数n次（n≥1)多项式f(x)具有标准分解式： f(x)=a,(x-a)"(x-a)"(x-a)" 其中an为多项式的首项系数，a,(i=1,2,…,s)为不同复数，5∈Z, 2=n ④根与系数关系：设a,(=l,2,…,m)为多项式f(x)=anx”+an-x+…+ax+ao, an≠0的根，则根与多项式的系数的关系为： 006 1多项式 24=-,∑aa,= an ∑a,a,a=-0,,aa,…0.=(-1 1<jk 0 (2)实数域。 ①因式分解定理：实系数n次(n≥1)多项式在实数域上可被唯一地分解为一 次因式与二次不可约因式的乘积，即实系数多项式f(x)在实数域上不可约的充分必 要条件为af(x)=1或f(x)=ax2+bx+c,b2-4ac<0。 ②标准分解式：实系数n(n≥1)次多项式f(x)具有标准分解式： f(x)=a (x-a)"...(x-a,)"(x2+px+g..(x2+px+g)" 其中an为多项式的首项系数，a,(i=1,2,…,s)为不同实数，p,9为互异实数对，且有： p-4q,<0,5,t∈Z*,】 +225，=n ③根的性质：若α是实系数多项式f(x)的一个非实的复根，则它的共轭数也 是f(x)的根，并且α与a有相同的重数。 (3)有理数域。 ①高斯引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 由此可以推出：若一个非零的整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理 系数多项式的乘积，则一定可以分解为两个次数较低的整系数多项式的乘积，故设 f(x)是整系数多项式，g(x)是本原多项式，若f(x)=g(x)h(x),其中h(x)是有理系数 多项式，则h(x)一定是整系数多项式。 ②艾森斯坦(Eisenstein)判别法：设f(x)=anx”+an-x-+…+a是一个整系 数多项式，若存在一个素数p,使得 a.p不整除an; b.pan-1,an-2,…,a0 0071 高等代数考研解析 c.p不整除a; 则f(x)在有理数域上不可约。 注意：有理数域Q上有任意次不可约多项式（如x”+2)。 该判别法为判别一个整系数多项式不可约的充分条件，即若一个整系数多项式 不满足判别法条件，则多项式既可能是可约的，又可能是不可约的。有些多项式不 能直接用判别法，可以对多项式进行线性替换，用x=ay+b,使f(ay+b)=g(y), 来满足判别法条件，从而判断原多项式f(x)不可约。 ③有理根的判定：设f(x)=a,x+an1-1+…+a,是一个整系数多项式，而2是 其有理根，(r,s)=1,则必有san,ra 特别地，若f(x)的首项系数an=1,则f(x)的有理根都是整数根，而且是a的因子。 给定多项式fx),判定有理根，一种方法是先写出所有可能的有理根三，逐个 检验是否有 =0。若有，则三可能是根，最后通过综合除法检验余数是否为零。 另一种方法是先检验f仕)是否为零。若不为零，则可检验仙，-山是香否均为整 1-a’1+a 数。若为整数，则可能为有理根，再利用综合除法检验余数是否为零。 1.1.3基本方法 1.1.3.1多项式相等的证明方法 (1)定义法：同次项的系数相等。 (2)利用多项式函数相等（证明多项式是零多项式常用反证法，由根的个数定 理引出矛盾)。 （3)利用次数定理：常用反证法。 (4)利用整除性质：证明多项式能互相整除，再比较首项系数相等。 1.1.3.2整除性的证明 (1)利用定义及其性质。 (2)利用带余除法：余式为零。 008 1多项式 (3)利用多项式的标准分解。 (4)利用因式分解及n次单位根的性质。 (5)利用不可约多项式的性质。 (6)利用多项式的最大公因式及互素的性质。 1.1.3.3最大公因式的证明 (1)定义法。 (2)最大公因式性质：多项式d(x)为f(x),g(x)的最大公因式的充分必要条件为 存在u(x),v(x),使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x),且d(x)川f(x),d(x)川g(x)。 (3)反证法。 (4)f(x)=g(x)g(x)+r(x),(f(x),g(x))=(g(x),r(x)). (5)互素的性质。 1.1.3.4重因式（重根）的判定 (1)f(x)无重因式台(f(x),f'(x)=1((f(x),f'(x)≠1或f(x),f'(x)有公共根)。 （2)p(x)为f(x)的k+1重因式台p(x)为f'(x)的k重因式，且p(x)川f(x)（p(x)为 f(x)的重因式的充要条件为p(x)为f(x),f'(x)的公因式)。 (3)待定系数法。 (4) f(x) 、是一个与f()有相同的不可约因式，且无重因式的多项式。 (f(x),f'(x) 1.1.3.5不可约多项式的判别方法 (1)定义法。 (2)反证法。 (3)艾森斯坦判别法：注意如果不能找到满足定理的素数，可用线性替换重新 进行判定。 1.2试题解析 例1（延安大学，2021)设f(x),g(x),g,(x),h(x),(x)都是数域P上的多项式， 且f(x)(g(x)-g2(x),f(x)h(x)-(x),则： 0091