阶段检测验收卷 三角形（综合训练）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第四章 三角形 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 2．三角形的三个内角的度数比为．这是一个（　　）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据三个内角的度数之比与三角形的内角和为，求出最大的内角的度数，即可作出判断． 【详解】最大的内角的度数为：， 所以这是一个直角三角形． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形的内角和等于． 3．已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 4．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图-作一个角等于已知角等知识．连接，由作图可得，根据“”证明，即可证明． 【详解】解：连接， 由作图可得． 在和中， ， ∴， ∴． 故选：C 5．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的判断，根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．）即可得到结论． 【详解】解：图中共有6个三角形，分别是，，，，，． 故选：C． 6．中，的外角平分线，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，准确作图以及熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用外角平分线的定义和平行线的性质，找出角度之间的等量关系，进一步判断三角形形状． 【详解】解：如图： ∵ ， ∴ （同位角相等），（内错角相等）， ∵为的角平分线， ∴， ∴ =， ∴， 故是等腰三角形， 故选C． 7．如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，属于简单题，表示出是解题关键． 根据角平分线定义求出，根据垂线定义求出，相减即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 8．如图，一条河的两岸和互相平行，两名游客分别坐船从，两处出发，沿路线和前往岸边上的码头，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键；由题意得，，然后根据角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：，， ，， 又平分， ， ． 故选：D． 9．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A中，，，两个对应角相等，， 选项B中，，，两个对应角相等，， 选项C中，，，不是夹这两个角的边，所以不相似． 选项D中，，，两条对应边的比相等，且夹角相等，． 故选C． 10．如图是一块面积为42的三角形纸板，点，，分别是线段，，的中点，则阴影部分（）的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质．由三角形中线的性质可得被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，据此解答即可求解． 【详解】解：连接， ∵点分别是线段的中点， ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的， ∴阴影部分的面积是， 故选：C． 11．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形， 故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线， 故⑥正确，符合题意； 正确的有6个． 故选：D． 12．如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，，由题意可知平分，可得，由圆周角定理可推出，从而得到，可判定选项A；利用证明，即可推出，可判断选项B；根据圆内接四边形对角互补即可推出，可判断选项C；利用反证法，假设，可得，再根据，但无法根据已知条件推出，可判断选项D． 【详解】解：如图所示，连接，， 由题意可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； B、∵内接于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； C、∵点，，，四点共圆， ∴四边形为圆内接四边形， ∵圆内接四边形对角互补， ∴， 故此选项成立，不符合题意； D、假设， ∴， ∵， ∴， 而根据已知条件无法推出， ∴假设不成立， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接三角形和圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的尺规作图等，根据题意作辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．若在中，，，．则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为： 14．若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 15．如图，在中，，，，交于点D，若，则的长是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．根据等腰三角形性质得，则，再根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即BC的长是9． 故答案为：9． 16．如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得的长，延长和交于点G，证明，可得，，得，根据F是的中点，证明是的中位线，再证明，可得，根据，证明，可得，进而可以求出的面积． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 17．如图，E是的斜边上一点，作点E关于，的对称点F，G，连接．若，，则的最小值为 . 【答案】/9.6/ 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理及利用三角形面积公式求对应边的高，根据轴对称的性质得出，，进而得到与的关系，再利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式求出的最小值即可． 【详解】解：在中，， 由题意知，，， ∴， ∴如图，当时，最小，此时为中边上的高， 由可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积= ； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 作图见解析；利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求 【分析】本题考查了网格中求三角形的面积，全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定； （Ⅰ）在网格中，用正方形的面积减去三个三角形的面积； （Ⅱ）利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）的面积为：， 故答案为：16； （Ⅱ）如图所示：利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； 根据网格可得的网格对角线相等，即， ∴， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 三、解答题（本大题共13小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（1）.（2）． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂分别化简，进而得出答案． （2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘方，乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）原式…………4分 （2） ．…………8分 20．（8分）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的角平分线，中线和高，解题的关键是理解题意，正确画出图形． （1）由于点和点竖直方向距离固定4格，连接与正中间水平网格线交点即为中点，此时得到； （2）根据点向右移动1格再向上移动2格又回到线段上，把点向左移动2格再向上移动1格到达格点，连接，则，得到，证明，即，延长交于点，线段即为所求； （3）根据点向右移动2格再向上移动4格到达点，把点向右移动4格再向下移动2格到达格点，则得到，，得到，即是等腰直角三角形，连接交于点，，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； …………2分 （2）解：如图，线段即为所求； …………4分 （3）解：如图，点即为所求． …………8分 21．（10分）已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ∵， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 【答案】，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，根据“两直线平行，内错角相等”证明，而，，可根据“”证明，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”得，，即可根据“内错角相等，两直线平行”证明，于是得到问题的答案． 【详解】证明：∵， （两直线平行，内错角相等），…………4分 在△和△中， ，…………6分 ，…………7分 （全等三角形的对应边相等），…………8分 （全等三角形的对应角相等），…………9分 （内错角相等，两直线平行）．…………10分 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 22．（10分）如图，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴．…………6分 （2）解：∵， ∴， ∴．…………10分 23．（10分）如图所示，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于． (1)求证：； (2)求； (3)若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据边角边判定两个三角形全等即可； （2）先根据全等三解形的性质，得，再根据三角形外角的性质： （3）根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半，先求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， ， ；…………4分 （2）解：由（1）知， ， ， ， ；…………7分 （3）解：由（1）知， ， 于， ， 由（2）知， ， ， ． 故答案为：9．…………10分 24．（10分）如图是两座建筑物和，已知建筑物的高为米，从A点测得C点的俯角为，从B点测得D点的仰角为，求建筑物的高度为________米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，再由正切函数得出，再次利用正切函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 在中，，…………5分 在中，， 故答案为：．…………10分 25．（10分）平面直角坐标系中，正方形的点在轴上，点在轴上，点，另有一动点，连接． (1)如图，当点在边上时，将绕点顺时针旋转，得到，连接交轴于点， 若点的坐标为，求 ①线段的长； ②点D的坐标； (2)设点， （I），试用含的式子表示（直接写出关系式） （II）当点E满足，（点E不与点O重合），连接．现在以O为中心，将顺时针旋转，得到，求当取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)（I）①；② ； (2)，（II） 【分析】本题是几何变换综合题，其中涉及到旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，二次函数最值的求法以及圆的有关计算等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合是解题的关键． （1）①由旋转的性质及正方形的性质可知，，，由，，可得，．然后在中，利用勾股定理即可求得；②由①得，，根据待定系数法得出，即可求解； （2）（I）由，，可得，，根据三角形的面积公式求出，，那么； （II）根据知点E在以A为圆心，长为半径的圆上运动，而是由顺时针旋转得到的，将绕点O顺时针旋转得到，则点P在以为圆心，为半径的圆上运动，此时最大，运用勾股定理求出，以及，可得结论． 【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转，得到， ∴，； ∵，， ∴，，， 在中，．…………3分 ②由①得，， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴；…………6分 （2）解：（I）∵，， ∴，． ∴，． ∴；…………8分 （II）∵ ∴点E在以A为圆心，长为半径的圆上运动，而是由顺时针旋转得到的， ∴将绕点O顺时针旋转得到，则点P在以为圆心，为半径的圆上运动，此时最大， 连接并延长，与的交点为点P，如图， 将逆时针旋转得到，连接， 过作于点D，过点E作轴于点F， 由旋转得，是等边三角形， ∴，， ∴， 又为，中点， ∴， ∴， ∴， ∴．…………10分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第四章 三角形 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．计算：（　　） A． B．1 C． D． 2．三角形的三个内角的度数比为．这是一个（　　）三角形 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．无法判断 3．已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 6．中，的外角平分线，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 7．如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，一条河的两岸和互相平行，两名游客分别坐船从，两处出发，沿路线和前往岸边上的码头，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 10．如图是一块面积为42的三角形纸板，点，，分别是线段，，的中点，则阴影部分（）的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 11．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 12．如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．若在中，，，．则的取值范围是 ． 14．若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 15．如图，在中，，，，交于点D，若，则的长是 ． 16．如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是 ． 17．如图，E是的斜边上一点，作点E关于，的对称点F，G，连接．若，，则的最小值为 . 18．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积= ； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题（本大题共13小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（1）.（2）． 20．（8分）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； 21．（10分）已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ∵， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 22．（10分）如图，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 23．（10分）如图所示，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于． (1)求证：； (2)求； (3)若，，则_____． 24．（10分）如图是两座建筑物和，已知建筑物的高为米，从A点测得C点的俯角为，从B点测得D点的仰角为，求建筑物的高度为________米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，，，） 25．（10分）平面直角坐标系中，正方形的点在轴上，点在轴上，点，另有一动点，连接． (1)如图，当点在边上时，将绕点顺时针旋转，得到，连接交轴于点， 若点的坐标为，求 ①线段的长； ②点D的坐标； (2)设点， （I），试用含的式子表示（直接写出关系式） （II）当点E满足，（点E不与点O重合），连接．现在以O为中心，将顺时针旋转，得到，求当取得最大值时点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $