专题06 幂函数的图象与性质（重点+二级结论+15题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

该高中数学讲义以思维导图系统构建幂函数知识体系，通过对比表格呈现y=x、y=x²等五类幂函数的定义域、值域、奇偶性及单调性，梳理核心考点与二级结论，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于15类分层题型设计，从概念辨析到综合应用，如通过“幂函数判断三要素”指导概念理解，结合真题与提升专练培养数学思维与表达能力。基础题巩固知识，综合题提升逻辑推理，助力分层教学与学生自主复习。

专题06 幂函数的图象与性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】幂函数的概念 我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 【考点02】幂函数的图象和性质 （1）幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： （2）幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 注：(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质： ①函数的图象过点(0，0)，(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数. (2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为： ①函数的图象都过点(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数. 【二级结论1】幂函数奇偶性规律 (3)对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数 ①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； ②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； ③当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 【二级结论2】幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 （1）恒过点（1，1）； （2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大. 【题型1 幂函数的概念辨析】 高妙技法 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 1．【多选】（24-25高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 2．【多选】（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解. 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. 3．（21-22高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 4．（24-25高一上·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数解析式结构特点及奇偶性概念逐个判断即可； 【详解】对于A，易知不是幂函数，错误； 对于B，易知其为偶函数，错误； 对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为， 又，奇函数，正确； 对于D，易知其为偶函数，错误； 故选：C 【题型2 求幂函数的解析式或值】 高妙技法 若已知图象过点,将点坐标代入,解方程求。得到解析式后,求函数值直接代入自变量 5．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 6．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·月考）已知幂函数的图象过点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】设，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】解：设，则，所以， 所以，所以. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【答案】B 【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. 8．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】将代入幂函数的解析式中可求得的值，进而可求解. 【详解】因为幂函数满足， 所以，所以， 则，从而. 故选：B. 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 高妙技法 由幂函数定义，令函数系数为 1，列方程求参数初步值。 9．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 10．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】由题意得，求出，再把点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为： 11．（24-25高一上·江苏徐州·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念可求得，利用函数图象过点可得，由此可计算的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，即，所以， 因为函数的图象经过点， 所以，即， 所以，解得， 所以. 故选：A. 12．（24-25高二下·江西·期末）“点在幂函数图象上”的充要条件是 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义确定，即得，由点在幂函数图象上即可推得等价条件. 【详解】是幂函数等价于，即．则得. 则点在幂函数图象上,当且仅当点满足方程，即． 故答案为：. 13．（24-25高二下·广西南宁·期末）“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 14．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数是幂函数，则实数的值是（   ） A．1或 B． C．2 D．或2 【答案】D 【详解】由幂函数的定义知，解得或． 【题型4 幂函数的定义域问题】 高妙技法 1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为。 2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为。 15．【多选】（22-23高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】设，因为的图象经过点， 所以，显然选项A不正确； 因为只有非负实数有算术平方根，所以的定义域为，因此选项B正确； 因为，所以有，因此选项C正确； 由，所以选项D正确， 故选：BCD 16．（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 17．（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 18．（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 【题型5 幂函数的值域问题】 高妙技法 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 20．（24-25高三上·上海·月考）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 21．（22-23高一上·贵州毕节·期末）下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意； 对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意； 对于C：的定义域和值域都为，不符合题意； 对于D：的定义域为； 当时，；当时，； 所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意； 故选：D． 22．（25-26高一上·上海浦东新·月考）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 23．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 【题型6 幂函数的图象及应用】 高妙技法 1.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2.解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 24．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 25．（25-26高三上·江苏淮安·月考）幂函数的图象一定不经过哪个象限（   ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】由题意可知当时，，进而可得结论. 【详解】因为，当时，可得， 所以幂函数的图象一定不经过第四象限. 故选：D. 26．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 27．（2022高二下·浙江·学业考试）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 28．（23-24高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】待定系数法求出解析式，从而选出答案. 【详解】设幂函数解析式为，将代入得， 即，故，解得， 所以，C选项为其图象. 故选：C 29．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C 30．（25-26高一上·福建龙岩·月考）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 31．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 32．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数的图象与轴相交，则实数 . 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义及图象特征判断. 【详解】由题可知，，所以，即. 解得或. 当时，，其定义域为，值域为，与轴不相交； 当时，，在轴相交于坐标原点. 所以. 故答案为：2. 33．（24-25高一下·河南·开学考试）已知幂函数的图象经过第三象限，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由幂函数的概念求得，再验证即可； 【详解】由题意得，得．当时，的图象不经过第三象限； 当时，的图象经过第三象限．综上，． 故选：A 【题型7 幂函数的图象过定点问题】 高妙技法 1. 基本定点为(1,1),代入任何幂函数均成立。 1. 若函数为,令得,定点为。 34．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 35．（25-26高一·全国·假期作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 36．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 37．（25-26高一上·山西·月考）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 38．（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 39．（24-25高三上·上海·期中）设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 【答案】B 【分析】由幂函数的函数图像及性质可以得出结论. 【详解】设，， 由幂函数图像可知，，故至少存在一个解； ②若，在0处都有定义，则，故可能存在解， ③若，同为奇函数或者偶函数，由对称性可知，或，故可能存在解， 综上所述：中的元素个数的可能是：1,2,3. 故选:B. 【题型8 判断幂函数的单调性】 高妙技法 关键是"根据指数的符号分区间判断"； 1.当时,幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性； 2.当时,幂函数在上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间； 3.对定义域分段的幂函数(如为偶分数),仅在对应区间判断单调性. 40．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设幂函数，则“”是“在定义域内单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质即可作出判断. 【详解】若幂函数在定义域内单调递减，则必有； 但如，不在定义域内单调递减. 故选：B. 41．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 . 【答案】 【分析】直接代入即可求出，则得到其增区间. 【详解】由题意得，则，则， 则其增区间为. 故答案为：. 42．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的奇偶性、第一象限的单调性写出一个满足要求的幂函数. 【详解】对于幂函数在上单调递减，则， 函数为奇函数，取，即满足要求. 故答案为：（答案不唯一） 43．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 44．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得或， 又，所以.所以，故A正确； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数， 由于，故在区间上单调递减， 根据偶函数性质知在区间上单调递增，故B错误； ，故C错误； 因为的定义域为，则，所以的值域为，故D正确. 故选：AD. 【题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 高妙技法 核心是“用同增异减法则,分内外层函数分析”。 1.设复合函数为,其中是幂函数,先确定内外层定义域。 2.分别判断内层函数和外层幂函数的单调性。 3.若内外层均增或均减,复合函数递增；一增一减则递减。 45．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 46．（21-22高一上·江苏南通·期末）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求得原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，即可得到原函数的减区间． 【详解】由，得或， 令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数， ∴函数的单调递减区间为． 故答案为：． 47．（22-23高一上·重庆渝中·期中）函数的单调减区间为 ； 【答案】 【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可. 【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数. 令，得或. 易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为：. 48．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，由结合函数的递减区间可得结果. 【详解】， 由得，又， 所以函数的单调递减区间为. 故选：． 【题型10 由幂函数的单调性求参数】 高妙技法 1.若幂函数在单调递增,則；单调递减则。 2.分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值。 49．（23-24高一上·江苏镇江·期中）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 50．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断在上是增函数即可． 【详解】若幂函数在区间上是增函数， 则由解得：或， 时，，是增函数， 时，，在上是减函数（不合题意，舍去）， 故答案为：2． 51．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义以及单调性即可列关系求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为：3 52．（21-22高一上·江苏无锡·期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 53．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 【答案】C 【分析】由函数为幂函数可得或，再结合函数的性质确定，结合单调性的性质可得结论. 【详解】因为函数为幂函数， 所以， 解得或； 因为对任意且，都有， 可知函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减，矛盾， 当时，，函数在上单调递增，满足条件， 所以，， 函数为奇函数，函数在上单调递增， 由，可得，所以，即， 所以. 故选：C. 54．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 55．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 【题型11 比较幂值的大小】 高妙技法 比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 56．（24-25高二下·重庆·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性得到答案. 【详解】在R上单调递增，故，， “”是“”的充要条件. 故选：C. 57．【多选】（23-24高一上·浙江金华·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】根据幂指数的取值，结合幂函数的性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】当时，，此时的值域为，故A错误； 当时，在R上单调递增，所以，故B正确； 当时，，，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，故C正确； 当时，，则，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误． 故选：BC 58．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 59．（21-22高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于，进而结合幂函数在上单调递减比较大小即可. 【详解】解：， 因为幂函数在上单调递减，， 所以，即. 故选：B 60．（21-22高一上·安徽·期中）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可． 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 61．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，则，解得，， 对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，函数的定义域为，，函数为偶函数，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：CD 【题型12 利用幂函数的单调性解不等式】 高妙技法 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 62．（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 63．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 64．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】待定系数法求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性求解. 【详解】设，则，解得， 所以，定义域为，且在定义域上单调递减， 故，解得. 故答案为：. 65．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解. 【详解】设幂函数，由题意得，解得，故， 所以，则，即为. 令，解得. 根据在上为单调递增函数， 则有，解得或，故所求解集为， 故答案为:. 66．【多选】（24-25高三上·贵州·月考）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，即可求出函数解析式，从而判断A、B、C；判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可判断D. 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 【题型13 幂函数的奇偶性的应用】 高妙技法 1.判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,再验证 与 的关系, 为整数时,奇数则奇,偶数则偶。 2.应用时,可将负自变量转化为正自变量,如求 ,若为奇函数则 。 3.利用奇偶性简化图象绘制或值域、单调性的分析。 67．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 则，解得或， 若，则为偶函数，符合题意； 若，则为奇函数，不符合题意； 综上所述：. 不等式，即为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 68．（22-23高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】先通过函数为幂函数求出的值，再通过图象关于y轴对称来确定的值. 【详解】由已知得，解得或， 当时，，其图象关于y轴对称， 当时，，其图象关于原点对称. 故答案为： 69．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 70．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，为偶函数，满足题意； 当时，为奇函数，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 71．（2023·江苏南京·二模）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可. 【详解】取，则定义域为R，且， ，，满足. 故答案为：. 72．（22-23高二上·河南·开学考试）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 73．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数的图像关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可； （2）由（1）知，进而分，两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解:由题意知，解得，或． 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数，从而． 所以，. （2）解：由（1）知，， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，的单调递增区间为． 【题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用】 高妙技法 关键是 "先定奇偶性缩范围,再用单调性解问题"。 1.判断幂函数的奇偶性,确定函数在对称区间的性质关联,如奇函数在 与 单调性一致。 2.分析函数在某一区间(如 )的单调性,结合奇偶性推导另一区间的单调性。 3.综合两者解决比较大小、解不等式等问题,避免忽略定义域限制。 74．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性得到，再利用奇函数和偶函数的定义逐个检验即可. 【详解】因为是幂函数且在区间上单调递增，所以， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是偶函数，符合题意， 当时，，定义域为，与题意不符，故排除， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是奇函数，不符合题意，故排除. 故答案为：. 75．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】由于函数的定义域为， 且，所以是偶函数， 又因为，由当时，在上是减函数， 所以在上是减函数， 则由，可得， 平方得：，解得， 故选：D. 76．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 77．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解； （2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解. 【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 78．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 79．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 80．（23-24高一上·河南开封·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【答案】(1)或1， (2)2 【分析】（1）根据幂函数的概念和性质求解； （2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值． 【详解】（1）幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； （2）∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以的最小值是2. 【题型15 幂函数性质的综合应用 】 高妙技法 解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 81．【多选】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 【答案】ABD 【分析】由幂函数可得，即可对A判断；由幂函数的性质，即可对B判断；由为偶函数且在上单调递减，即可对C判断；要证，即证，化简得，从而可对D判断. 【详解】A：函数是幂函数，则，解得或，经检验符合题意，故A正确； B：幂函数始终经过点和，故B正确； C：函数，， 则为偶函数且在上单调递减，所以在区间上单调递增，故C错误； D：则对于任意的，要证，即证， 即，即，则成立，故D正确. 故选：ABD. 82．【多选】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】先由是幂函数得到的值，从而可得的解析式，然后根据幂函数的图象性质依次判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，所以，即． 对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为，且，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 83．【多选】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列判断正确的有（    ） A．在区间上为减函数 B．的值域为R C．方程的实数根为 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】A选项，利用待定系数法求解析式，然后判断单调性即可；B选项，根据幂函数的性质判断；C选项，解方程即可；D选项，根据奇偶性的定义判断. 【详解】由题意可设幂函数，的图象经过点， 则，解得，故，在上为减函数，故A正确； 的值域为，故B错误； ，则，解得，故C错误； ，定义域为，故为偶函数，故D正确． 故选：AD． 84．【多选】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 85．【多选】（24-25高二上·云南红河·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据幂函数得，进而确定其定义域、奇偶性、区间单调性，并应用单调性解不等式判断各项正误. 【详解】对于A：由题意，解得，正确； 对于B：的定义域为，正确； 对于C：，所以函数为偶函数，错误； 对于D：为偶函数且在单调递增， 由得，解得或，错误； 故选：AB 86．【多选】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，如果存在不全为零的实数a，b，使得为奇函数，那么叫做关于的“类奇函数”．下列结论正确的有（   ） A．为“类奇函数” B．为“类奇函数” C．若为“类奇函数”，则可以是偶函数 D．若是关于的“类奇函数”，则的图象关于点成中心对称图形 【答案】ACD 【分析】利用新定义，构造函数，根据奇偶性的定义以及性质，结合函数图象变换，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，当时，可得，令，因为关于原点对称， ，所以为奇函数，所以叫做关于的“类奇函数”， 故A正确； 对于B，对于，其定义域为，若存在不全为零的实数a，b，使得 为奇函数，设，因为的定义域为， 不关于原点对称，所以不是“类奇函数”； 对于C，若，则为偶函数，则，令， 其定义域为，，所以是奇函数， 所以是“类奇函数”，故C正确； 对于D，若是关于的“类奇函数”，则为奇函数， 设，因为是奇函数，其图象关于对称， 所以的图象关于点成中心对称图形，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解和应用. 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根奇偶函数的性质和幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A， 的定义域为， 且，所以在定义域内为偶函数，故A错误； 对于B， 的定义域为R， 且，所以在定义域内为偶函数，故B错误； 对于C，，的定义域为， 且是奇函数, 因为，所以在单调递减，故C正确； 对于D，的定义域为R，且是奇函数， 因为，所以在单调递增，故D错误； 故选: C. 2．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据条件求出，然后根据函数的解析式，列出不等式求得定义域. 【详解】设，∵函数的图象过点， ∴，则，∴， ∴， ∴且，即， 则函数的定义域为. 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏苏州·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由幂函数性质分析充分性和必要性即可得解. 【详解】当时，幂函数单调递增，充分性成立； 幂函数在区间上单调递增，则，必要性成立. 综上，“”是“函数在区间上单调递增”的充要条件. 故选：C. 4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据求出的值，由此可得出幂函数的解析式. 【详解】根据题意，设，则，可得，解得，故. 故选：D. 5．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 6．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得. 故选：C. 7．（22-23高一上·四川遂宁·期中）若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【答案】B 【分析】根据函数为幂函数以及幂函数具有的性质，可列式计算，即得答案. 【详解】由题意函数为幂函数，且在区间上单调递减， 可得，且， 解得， 故选：B 8．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再分析其性质即可得出答案. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为在上单调递增， 故，所以. 故选：B 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用幂函数和偶函数定义确定，再用二次函数对称轴与单调区间的关系讨论即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，得或． 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不合题意， 所以，， 则，对称轴为直线． ①若函数在上为增函数，则，解得； ②若函数在上为减函数，则，解得． 综上所述，实数a的取值范围是 故选：B． 10．（22-23高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用指数函数、对数函数、幂函数的单调性及对数运算性质寻找中间值比较大小即可. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∵，∴. ∴， 故选：A. 11．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质得解. 【详解】由题意可知，，解得或， 故选：C 12．（25-26高一上·全国·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C. 13．（2023·江西南昌·一模）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数的奇偶性及单调性即可解得. 【详解】易知是奇函数且单调递增， 故原不等式等价于 即 所以， 所以在任意的上恒成立，故. 故选：D 二、多选题 14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断A，B，由，可判断C， 假设，对不等式进行证明，即可判断D. 【详解】将点代入函数得：，则. 所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误； ，所以为偶函数，所以B正确； 当时，，即，所以C错误； 当若时， 假设，整理得 ，化简得，， 即证明成立， 利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立； 即成立，所以D正确. 故选：BD. 15．（20-21高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．该函数在定义域上是偶函数 B．对定义域上任意实数，，且，都有 C．对定义域上任意实数，，且，都有 D．对定义域上任意实数，，都有 【答案】BC 【分析】求出函数，可求得定义域不关于原点对称，从而可判断选项A；由函数为增函数，即可判断选项B；作差判断符合，即可判断选项C；计算与，即可判断选项D． 【详解】解：因为幂函数的图象经过点，所以，所以， 所以，定义域为,，为非奇非偶函数，故A错误； 由幂函数的性质可知在,上为增函数，所以对任意实数，,，不妨设，则，所以，，所以，故B正确； 任意实数，,，不妨设，则，又，所以，即，所以，故C正确． ，，所以与不一定相等，故D错误． 故选：BC． 16．（21-22高一上·山东烟台·期末）幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】根据幂函数定义可知，即可解得的值，结合是正整数即可对选项做出判断. 【详解】由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以；故A正确； 时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确； 由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误； 函数的值域为，即D正确； 故选：ABD. 17．（22-23高一上·江苏南京·期末）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 【答案】AC 【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以设， 又的图像经过点，所以，所以，即， 所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误； 故选：AC. 三、填空题 18．（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的表达式即可求解. 【详解】点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 19．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象经过点，则的值是 . 【答案】/ 【分析】根据幂函数的图象过的点求出，可得函数解析式，代入求值，即得答案. 【详解】由题意知幂函数的图象经过点, 故，即， 故， 故答案为： 20．（23-24高一上·江苏镇江·期末）幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数满足的性质，即可写出答案. 【详解】由题意知幂函数满足性质：对定义域中任意的，有， 则函数为偶函数； 又函数满足对中任意的，都有， 可知函数为上的单调递减函数， 故满足题目中要求， 故答案为： 21．（23-24高二下·江苏镇江·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方收缩区间．函数的次方的一个收缩区间为 ；若函数存在次方收缩区间，则k的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】令函数的次方的一个收缩区间为，根据幂函数的单调性及函数新定义有且，即可求区间，令的次方收缩区间为，结合函数单调性及函数新定义有是的两个根，利用二次函数与一元二次方程的关系列不等式求参数范围. 【详解】由在R上单调递增，令函数的次方的一个收缩区间为， 所以在上单调递增，且值域为，故且，可得， 所以函数的次方的一个收缩区间为， 由在R上单调递增，令其次方收缩区间为且，对应值域为， 所以，即是的两个根，记， 则，可得且. 故答案为：，且 22．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 四、解答题 23．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 24．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 25．（24-25高一上·山东威海·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的性质确定的值，进而确定函数的解析式，再根据函数单调性的定义证明. （2）先根据函数的单调性，确定集合，再分情况讨论二次函数在给定区间上的最值，根据条件列出不等式求参数的取值范围. 【详解】（1）由，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则. 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由. 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 26．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由幂函数的性质即可列方程求解； （2）由题意得，由对勾函数性质可判断在上单调递增，再结合定义法证明即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 因为在上单调递增，所以，所以，则. （2）由（1）可知，则，故在上单调递增. 证明如下： 任取，，且， 则. 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增. 27．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数为幂函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数，其定义域为. ①根据定义证明在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据幂函数的定义和偶函数的性质求解即可； （2）①利用单调性的定义按照步骤证明即可； ②利用的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 又因为，所以为奇函数，故. （2）①证明：由（1）知，则， 设， 则， 因为，所以，所以， 故. 所以在上为减函数. ②因为在上为减函数.，其定义域为， 所以等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 28．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知幂函数在区间单调递增. (1)求k的值; (2)若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)1 (2)存在m=3 【分析】（1）根据幂函数的定义，可求得k值，根据的单调性，分析判断，即可得答案. （2）由（1）得，则，分别讨论对称轴、和三种情况，根据二次函数的性质，求解即可得答案. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以. （2）由 （1） 函数的解析式为， 由函数，得， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， ①当即时，则，解得，满足题意； ②当时，即时，则，无解，舍去； ③当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4. 29．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)在上为减函数，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域和单调性结合可得出关于的等式与不等式，即可得出原方程的解集； （3）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论. 【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得，故. （2）因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得，解得， 故方程的解集为. （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数. 30．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）令，求出函数在区间上的值域即可； （3）令，可得，不等式转化为，由参变量分离法可得，其中，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 故. （2）当时，可得， 令，因为，所以，即可得， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，，当时，. 所以函数在区间上的值域为. （3）令，因为，所以， 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 幂函数的图象与性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】幂函数的概念 我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 【考点02】幂函数的图象和性质 （1）幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： （2）幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 注：(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质： ①函数的图象过点(0，0)，(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数. (2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为： ①函数的图象都过点(1，1). ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数. 【二级结论1】幂函数奇偶性规律 (3)对于形如（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数 ①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； ②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； ③当m为偶数时，（或），是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处） 【二级结论2】幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 （1）恒过点（1，1）； （2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大. 【题型1 幂函数的概念辨析】 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 1．【多选】（24-25高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 2．【多选】（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（    ） A．y=2x B． C． D． 【题型2 求幂函数的解析式或值】 若已知图象过点,将点坐标代入,解方程求。得到解析式后,求函数值直接代入自变量 5．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 6．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·月考）已知幂函数的图象过点，则的值为 . 7．（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 8．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 由幂函数定义，令函数系数为 1，列方程求参数初步值。 9．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则 . 10．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ． 11．（24-25高一上·江苏徐州·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D． 12．（24-25高二下·江西·期末）“点在幂函数图象上”的充要条件是 ． 13．（24-25高二下·广西南宁·期末）“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数是幂函数，则实数的值是（   ） A．1或 B． C．2 D．或2 【题型4 幂函数的定义域问题】 1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为。 2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为。 15．【多选】（22-23高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．的解集为 16．（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【题型5 幂函数的值域问题】 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 20．（24-25高三上·上海·月考）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 21．（22-23高一上·贵州毕节·期末）下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·上海浦东新·月考）函数，的值域为 . 23．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【题型6 幂函数的图象及应用】 1.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2.解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 24．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 25．（25-26高三上·江苏淮安·月考）幂函数的图象一定不经过哪个象限（   ） A．一 B．二 C．三 D．四 26．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   27．（2022高二下·浙江·学业考试）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   29．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 30．（25-26高一上·福建龙岩·月考）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数的图象与轴相交，则实数 . 33．（24-25高一下·河南·开学考试）已知幂函数的图象经过第三象限，则（    ） A． B．1 C． D．2 【题型7 幂函数的图象过定点问题】 1. 基本定点为(1,1),代入任何幂函数均成立。 1. 若函数为,令得,定点为。 34．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 35．（25-26高一·全国·假期作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 37．（25-26高一上·山西·月考）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 38．（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 39．（24-25高三上·上海·期中）设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 【题型8 判断幂函数的单调性】 关键是"根据指数的符号分区间判断"； 1.当时,幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性； 2.当时,幂函数在上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间； 3.对定义域分段的幂函数(如为偶分数),仅在对应区间判断单调性. 40．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设幂函数，则“”是“在定义域内单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 41．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 . 42．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式 ． 43．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 44．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 【题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 核心是“用同增异减法则,分内外层函数分析”。 1.设复合函数为,其中是幂函数,先确定内外层定义域。 2.分别判断内层函数和外层幂函数的单调性。 3.若内外层均增或均减,复合函数递增；一增一减则递减。 45．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 46．（21-22高一上·江苏南通·期末）函数的单调递减区间为 ． 47．（22-23高一上·重庆渝中·期中）函数的单调减区间为 ； 48．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【题型10 由幂函数的单调性求参数】 1.若幂函数在单调递增,則；单调递减则。 2.分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值。 49．（23-24高一上·江苏镇江·期中）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 50．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 51．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 52．（21-22高一上·江苏无锡·期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 53．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 54．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型11 比较幂值的大小】 比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 56．（24-25高二下·重庆·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 57．【多选】（23-24高一上·浙江金华·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 58．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 59．（21-22高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 60．（21-22高一上·安徽·期中）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 61．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 【题型12 利用幂函数的单调性解不等式】 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 62．（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 63．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 65．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 66．【多选】（24-25高三上·贵州·月考）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【题型13 幂函数的奇偶性的应用】 1.判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,再验证 与 的关系, 为整数时,奇数则奇,偶数则偶。 2.应用时,可将负自变量转化为正自变量,如求 ,若为奇函数则 。 3.利用奇偶性简化图象绘制或值域、单调性的分析。 67．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 68．（22-23高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为 ． 69．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 70．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为 . 71．（2023·江苏南京·二模）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ． 72．（22-23高二上·河南·开学考试）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 73．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数的图像关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 【题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用】 关键是 "先定奇偶性缩范围,再用单调性解问题"。 1.判断幂函数的奇偶性,确定函数在对称区间的性质关联,如奇函数在 与 单调性一致。 2.分析函数在某一区间(如 )的单调性,结合奇偶性推导另一区间的单调性。 3.综合两者解决比较大小、解不等式等问题,避免忽略定义域限制。 74．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 . 75．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 76．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 77．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 78．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 79．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 80．（23-24高一上·河南开封·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【题型15 幂函数性质的综合应用 】 解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 81．【多选】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 82．【多选】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 83．【多选】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列判断正确的有（    ） A．在区间上为减函数 B．的值域为R C．方程的实数根为 D．为偶函数 84．【多选】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 85．【多选】（24-25高二上·云南红河·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 86．【多选】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，如果存在不全为零的实数a，b，使得为奇函数，那么叫做关于的“类奇函数”．下列结论正确的有（   ） A．为“类奇函数” B．为“类奇函数” C．若为“类奇函数”，则可以是偶函数 D．若是关于的“类奇函数”，则的图象关于点成中心对称图形 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏苏州·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．或1 B．或2 C．1 D． 7．（22-23高一上·四川遂宁·期中）若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 8．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 12．（25-26高一上·全国·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·江西南昌·一模）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 15．（20-21高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．该函数在定义域上是偶函数 B．对定义域上任意实数，，且，都有 C．对定义域上任意实数，，且，都有 D．对定义域上任意实数，，都有 16．（21-22高一上·山东烟台·期末）幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 17．（22-23高一上·江苏南京·期末）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 三、填空题 18．（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 19．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象经过点，则的值是 . 20．（23-24高一上·江苏镇江·期末）幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 . 21．（23-24高二下·江苏镇江·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方收缩区间．函数的次方的一个收缩区间为 ；若函数存在次方收缩区间，则k的取值范围是 ． 22．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 四、解答题 23．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 24．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 25．（24-25高一上·山东威海·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 26．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 27．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数为幂函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数，其定义域为. ①根据定义证明在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 28．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知幂函数在区间单调递增. (1)求k的值; (2)若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 29．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 30．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $