专题04 指数函数、对数函数与幂函数（期末复习讲义）高一数学上学期人教B版必修第二册

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理指数函数、对数函数与幂函数的核心考点，明确复习目标与考情规律，再按知识点分设定义、性质、易错点及典型示例，构建“考点-知识-应用”递进体系，突出概念内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如指数幂化简的“三化原则”、函数建模的“审设列解验答”六步法，培养数学思维与应用意识。典例与变式覆盖基础到综合，易错点拨助力突破难点，教师可据此实施分层教学，学生能自主查漏补缺提升能力。

专题04 指数函数、对数函数与幂函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 实数指数幂及其运算 理解概念，掌握性质、法则；能准确、熟练地进行实数指数幂的四则运算和化简求值，能解决含指数幂的代数式变形问题 基础考题，多为选择题、填空题.偶尔会作为解答题的基础步骤，与单调性等综合考查. 指数函数的性质与图象 理解定义、掌握图象特征、熟记指数函数的核心性质，能解决函数值比较大小、定义域值域求解、单调性判断等应用问题. 高频核心考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题.考查图象识别、性质应用、函数值比较大小等，大题综合性强. 对数运算 理解对数定义，掌握指数式与对数式的互化，熟记对数的性质. 高频考点，多为小题，大题中往往与对数函数结合. 对数运算法则 熟记对数的运算性质，掌握换底公式及其推论. 高频考点，重点考查对数的化简、求值.多为小题，大题中往往与对数函数结合. 对数函数的性质与图象 理解定义、掌握图象特征、熟记对数函数的核心性质，能解决函数值比较大小、定义域值域求解、单调性判断等应用问题. 高频核心考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题.考查图象识别、性质应用、函数值比较大小等，大题综合性强. 指数函数与对数函数的关系 理解反函数的定义、掌握指数函数与对数函数互为反函数的核心结论、熟记互为反函数的两个函数的图象关系 考查重点是图象对称关系，有的话多是小题，可作为大题的一问或作为条件 幂函数 理解定义、掌握常见幂函数的图象与性质、理解幂函数的图象变化规律、能运用性质解决比较大小、求定义域值域、判断单调性与奇偶性等基础问题. 基础考点，多为选择题、填空题.极少单独命制解答题，常与指数函数、对数函数结合考查函数的概念辨析、性质对比，或融入不等式比较大小的问题中. 增长速度的比较 理解不同函数模型的增长特征、一次函数线性增长、指数函数指数爆炸式增长、对数函数缓慢增长、幂函数的增长特点 多为选择题、填空题，偶尔会有解答题或作为解答题的一部分，结合实际应用问题 函数的应用（二） 掌握常见函数模型的特征、建模的基本步骤、熟练求解函数模型中的实际问题 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题 知识点01 实数指数幂及其运算 1.根式 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．2.实数指数幂 3.实数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． ·易错点：应用性质、法则运算错误 示例：（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 知识点02 指数函数的性质与图象 1.定义：形如y＝ax（a是常数，a>0且a≠1）的函数为指数函数 2.指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． ·易错点：忽略底数a的取值范围限制 示例：（25-26高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 知识点03 对数运算 1.对数的概念： （1）定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）对数的性质：①loga1＝0；②a＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)． 2.常用对数与自然对数 （1）常用对数：底数是10的对数称为常用对数，log10N=lgN； （2）自然对数：底数是无理数e≈2.71828……的对数称为自然对数，logeN=lnN. ·易错点：忽略真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1的条件. 示例：（多选）（25-26高一上·江西南昌·月考）下列命题是真命题的有（ ） A． B． C．若，则 D． 知识点04 对数运算法则 1.积、商、幂的对数：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 2.换底公式： （1）换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． （2）换底公式的三个重要结论 ①logab＝； ②logambn＝logab； ③logab·logbc·logcd＝logad. ·易错点：混淆对数的运算性质. 示例：（25-26高一上·山西·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，求. 知识点05 对数函数的性质与图象 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ·易错点：忽略底数a的取值范围限制 示例：（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数. (1)若，，，求函数的最小值； (2)若，求实数的取值范围. 知识点06 指数函数与对数函数的关系 1.反函数：一般地，如果在函数 y =f (x) 中，给定值域中任意一个 y 的值，只有 唯一的x与之对应，那么x是 y 的函数称为 y=f(x) 的反函数.此时，称 y=f(x) 存在反函数，而且，如果函数的自变量仍用x表示.因变量仍用 y表示，则函数 y=f(x) 的反函数的表达式，可以通过x,y对调y=f(x) 中的 x 与 y. 然后从x=f(y) 中求出 y 得到. 2.一般地，函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x). 值得注意的是，y=f(x)的定义域与y=f-1 (x)的值域相同，y=f (x) 的值域与 y=f-1 (x)的定义城相同，y=f (x) 与 y=f-i (x)的图像关于直线 y=x 对称.且二者的单调性一致. 3.对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． ·易错点：混淆反函数的存在条件 示例：（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 知识点07 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 2.常见的5种幂函数的图象 3.常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 ·易错点：忽略幂函数的定义域限制 示例：（多选）（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点08 增长速度的比较 1. 平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.可用平均变化率来比较函数值变化的快慢. 2.三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax几种函数模型的应用 ·易错点：混淆 “增长速度快” 与 “函数值大” 示例：（多选）（24-25高一上·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 知识点09 函数的应用（2） 1. 函数建模的基本步骤 可总结为 “审、设、列、解、验、答” 六步： （1）审：仔细审题，明确问题中的已知量、未知量，理清变量之间的数量关系，识别问题属于哪种函数模型（一次、二次、分段）. （2）设：设定自变量和因变量，通常选择影响因变量的关键量作为自变量x，所求的量作为因变量y. （3）列：根据题意中的等量关系，列出函数解析式y=f(x)，务必标注自变量的取值范围（这是实际问题的关键约束，不能遗漏）. （4）解：利用函数的图象、单调性、最值等性质，求解函数在定义域内的对应值. （5）验：检验求解结果是否符合实际意义（比如人数、长度、利润不能为负数），不符合的要舍去. （6）答：规范写出最终答案，回答实际问题的设问. ·易错点：忽视实际问题对变量的限制. 示例：（25-26高一上·江苏无锡·月考）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.5以下（不含0.5）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：） A．2 B．3 C．4 D．5 题型一 指数幂的化简、求值 解｜题｜技｜巧 1.运算前先判断每个幂式有意义的条件，确定底数的取值范围； 2.根式与分数指数幂互化的 “三步走”：（1）判符号：偶次根式要求底数非负；（2）定对应：根指数→ 分母，被开方数的指数→ 分子；（3）去根号：将根式转化为分数指数幂，便于运用运算性质. 3. 运算性质的 “三优先” 原则：（1）优先化同底数；（2）优先化正指数；（3）优先化分数指数为根式（或反之）. 4.整体代换法的核心技巧： 易｜错｜点｜拨 1. 忽略底数的取值限制； 2. 混淆根式与分数指数幂的转化规则； 3.负指数幂转化时的符号错误； 4. 整体代换时的漏解或错解 【典例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）化简求值： (1)； (2)已知，求：. 【变式1】（25-26高一上·福建龙岩·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 【变式2】（25-26高一上·天津南开·期中）计算 (1)； (2)若，，求的值. 题型二 指数函数的性质与图象及其应用问题 解｜题｜技｜巧 1. 定义辨析的 “三要素” 判定法：系数、底数、指数. 2. 图象与过定点问题的 “令指数为 0” 法. 3. 单调性应用的 “分类讨论 + 同增异减” 法. 4. 函数值比较大小的 “中间量搭桥（介值法）” 法. 5. 值域与最值的 “分层（内层、外层）求解” 法. 易｜错｜点｜拨 1.忽略底数a的取值限制； 2. 复合函数单调性判断遗漏定义域； 3. 值域求解忽略内外层单调性匹配. 【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数． (1)试确定函数的解析式； (2)求实数，的值； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【典例2】（25-26高一上·陕西汉中·月考）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性并用单调性定义证明； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【变式1】（22-23高一上·北京·期末）已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 【变式2】（25-26高一上·广东·月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，求的取值集合. 题型三 对数式的化简、求值、证明问题 解｜题｜技｜巧 1.化简问题：“三化” 原则：（1）化同底 —— 换底公式的妙用；（2）化系数为指数 —— 逆用幂的对数性质；（3）化同真数 —— 合并对数. 2.求值问题：（1）无条件求值，含根号、分式的对数求值 —— 先化简真数；（2）已知对数式问题：将所求对数式拆分为已知对数的组合形式，再代入计算；（3）已知指数式，求对数式：指对互化法. 3.对数恒等式证明：核心是将等式两边化为同底数对数，或化为同指数式，常用 “左推右”“右推左” 或 “左右同时推中间量” 4.易｜错｜点｜拨 1. 忽略对数的 “有意义条件”； 2. 公式、性质应用错误； 3.整体代换时的符号遗漏； 4.对数与指数互化时的对应错误. 【典例1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【变式1】（25-26高一上·河北承德·期中）计算： ． 【变式2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 题型四 对数函数的性质与图象及其应用 解｜题｜技｜巧 1. 定义辨析的 “三要素” 判定法：系数、底数、真数. 2. 图象与过定点问题的 “令真数为1” 法. 3. 单调性应用的 “定义域优先 + 分类讨论” 法：（1）单一对数函数的单调性与不等式求解：求定义域、分类讨论底数、取交集；（2）对数型复合函数的单调性：求定义域、判断内外层单调性、同增异减 4. 函数值比较大小的 “中间量搭桥（介值法）+单调性” 法. 5. 值域与最值的 “分层（内层、外层）限制” 法. 易｜错｜点｜拨 1.忽略对数函数的定义域限制； 2.讨论单调性时漏分底数范围； 3. 复合函数单调性判断遗漏定义域； 4.指对互化时的对应错误. 【典例1】（25-26高一上·河北唐山·月考）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围 (3)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【典例2】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值； (3)已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数． (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 【变式2】（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 题型五 幂函数的性质与图象及其应用 解｜题｜技｜巧 1. 幂函数定义的 “三要素” 判定法：系数、底数、指数是常数. 2. 幂函数图象的 “三特征” 分析技巧：指数范围、第一象限图象、过定点情况. 3. 单调性应用的 “指数分类 + 区间判断” 法. 4. 定义域与值域的 “指数决定” 法. 5. 奇偶性判断的 “定义域优先” 法. 易｜错｜点｜拨 1. 混淆幂函数与指数函数的定义； 2. 忽略定义域对单调性的影响； 3.复合函数奇偶性判断错误，注意：内奇外偶为偶，内偶不管外啥都为偶，内奇外奇为奇. 【典例1】（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知幂函数，且在上单调递增． (1)求的值． (2)设为偶函数，当时，． （i）求； （ii）当时，求的表达式． 【典例2】（25-26高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知幂函数的图象经过点，则的值是 . 【变式2】（25-26高一上·陕西西安·月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 题型六 增长速度的比较问题 解｜题｜技｜巧 1. 函数增长类型的 “特征判定” 法：判定增长类型时，优先看函数形式； 2. 增长速度的 “图象观察” 法：图象越陡峭 → 增长速度越快；图象越平缓 → 增长速度越慢. 3. 增长速度的 “定量比较” 法：当需要精确比较两个函数的增长速度时，可通过计算函数的变化率或作差 / 作商比较. 4. 实际问题的 “模型选择” 技巧：根据实际情境的增长特征匹配函数模型，是增长速度比较的核心应用. 5. 不同区间增长速度的 “分段分析” 法：遇到底数和指数都不同的函数比较，优先找分界点，再分段分析. 易｜错｜点｜拨 1. 混淆 “增长速度快” 与 “函数值大”； 2. 忽略 “x 足够大” 的前提条件； 3.混淆 “增长速度” 与 “单调性”：注意：单调性反映函数 “增或减” 的趋势，增长速度反映 “增减的快慢. 【典例1】（25-26高一上·江西·月考）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点、，且．请指出示意图中曲线、分别对应哪一个函数. 【变式1】（多选）（24-25高一下·山西·月考）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）把一次函数，对数函数和指数函数的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异． 题型七 函数的应用（二） 解｜题｜技｜巧 1.实际问题建模的 “四步走” 法：（1）审清题意，提取关键量；（2）设定变量，建立函数关系式； （3）确定函数的定义域；（4）化简解析式，匹配函数模型. 2. 不同函数模型的 “针对性求解” 技巧：根据函数模型的特征，选择对应的方法求解最值、范围、临界点等； 3. 含参数函数模型的 “分类讨论”； 4. 实际问题解的 “验证与回归” ； 5. 多模型对比的 “优劣分析” 技巧：（1）拟合程度：模型计算值与实际数据的误差大小； （2）适用范围：模型是否符合实际问题的增长 / 衰减特征； （3）预测能力：模型能否合理预测未来趋势（如指数模型不能预测人口的长期增长）. 易｜错｜点｜拨 1.忽略自变量的实际取值范围； 2. 函数模型选择不当； 3.含参数问题遗漏分类讨论； 4.数学解与实际意义脱节. 【典例1】（25-26高一上·江苏苏州·月考）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月12日我国汶川发生里氏级地震，它所释放出来的能量大约是2025年12月4日15时44分新疆克州阿合奇县发生里氏级地震所释放能量的多少倍（   ） A． B． C．1000 D．3165 【典例2】（24-25高一上·贵州黔西·期末）近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面，与莘莘学子的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步．问：大约经过 年，小王的“聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：） 【变式1】（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【变式2】（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为（    ） A．9 B．3 C． D． 2．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·陕西西安·月考）下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期中）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·天津·月考）设函数则的值为 . 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（多选）（24-25高一上·安徽·月考）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．函数的零点小于1 2．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是 ；函数的值域是 ． 3．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知函数． (1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性； (2)解不等式． 2．（24-25高一下·云南·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：； (3)若的最小值为求实数的值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数、对数函数与幂函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 实数指数幂及其运算 理解概念，掌握性质、法则；能准确、熟练地进行实数指数幂的四则运算和化简求值，能解决含指数幂的代数式变形问题 基础考题，多为选择题、填空题.偶尔会作为解答题的基础步骤，与单调性等综合考查. 指数函数的性质与图象 理解定义、掌握图象特征、熟记指数函数的核心性质，能解决函数值比较大小、定义域值域求解、单调性判断等应用问题. 高频核心考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题.考查图象识别、性质应用、函数值比较大小等，大题综合性强. 对数运算 理解对数定义，掌握指数式与对数式的互化，熟记对数的性质. 高频考点，多为小题，大题中往往与对数函数结合. 对数运算法则 熟记对数的运算性质，掌握换底公式及其推论. 高频考点，重点考查对数的化简、求值.多为小题，大题中往往与对数函数结合. 对数函数的性质与图象 理解定义、掌握图象特征、熟记对数函数的核心性质，能解决函数值比较大小、定义域值域求解、单调性判断等应用问题. 高频核心考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题.考查图象识别、性质应用、函数值比较大小等，大题综合性强. 指数函数与对数函数的关系 理解反函数的定义、掌握指数函数与对数函数互为反函数的核心结论、熟记互为反函数的两个函数的图象关系 考查重点是图象对称关系，有的话多是小题，可作为大题的一问或作为条件 幂函数 理解定义、掌握常见幂函数的图象与性质、理解幂函数的图象变化规律、能运用性质解决比较大小、求定义域值域、判断单调性与奇偶性等基础问题. 基础考点，多为选择题、填空题.极少单独命制解答题，常与指数函数、对数函数结合考查函数的概念辨析、性质对比，或融入不等式比较大小的问题中. 增长速度的比较 理解不同函数模型的增长特征、一次函数线性增长、指数函数指数爆炸式增长、对数函数缓慢增长、幂函数的增长特点 多为选择题、填空题，偶尔会有解答题或作为解答题的一部分，结合实际应用问题 函数的应用（二） 掌握常见函数模型的特征、建模的基本步骤、熟练求解函数模型中的实际问题 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题 知识点01 实数指数幂及其运算 1.根式 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．2.实数指数幂 3.实数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． ·易错点：应用性质、法则运算错误 示例：（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】（1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； 【详解】（1）； （2）； （3）， ，则， . 知识点02 指数函数的性质与图象 1.定义：形如y＝ax（a是常数，a>0且a≠1）的函数为指数函数 2.指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． ·易错点：忽略底数a的取值范围限制 示例：（25-26高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求指数函数解析式、根据指数函数的最值求参数 【分析】（1）由，,求出的值，进而求解即可； （2）当时，在区间上单调递增，结合单调性的性质求解即可. 【详解】（1）由题可知，， 解得，，所以. 因为，所以，所以在上的值域为. （2）当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去），故. 知识点03 对数运算 1.对数的概念： （1）定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）对数的性质：①loga1＝0；②a＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)． 2.常用对数与自然对数 （1）常用对数：底数是10的对数称为常用对数，log10N=lgN； （2）自然对数：底数是无理数e≈2.71828……的对数称为自然对数，logeN=lnN. ·易错点：忽略真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1的条件. 示例：（多选）（25-26高一上·江西南昌·月考）下列命题是真命题的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】根据对数的运算及指数与对数的转化判断各选项即可. 【详解】对于A，无意义，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 知识点04 对数运算法则 1.积、商、幂的对数：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 2.换底公式： （1）换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． （2）换底公式的三个重要结论 ①logab＝； ②logambn＝logab； ③logab·logbc·logcd＝logad. ·易错点：混淆对数的运算性质. 示例：（25-26高一上·山西·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根式的化简求值、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用对数的运算性质可得出所求代数式的值； （2）利用根式的运算性质以及对数的换底公式化简可得出所求代数式的值； （3）解方程，得出的值，即可得出的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由可得，即，解得，故. 知识点05 对数函数的性质与图象 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ·易错点：忽略底数a的取值范围限制 示例：（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数. (1)若，，，求函数的最小值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）令，问题等价于求函数，的最小值，进而可求解； （2）通过和，利用单调性，去求解即可. 【详解】（1）当时，则，，， 令，，问题等价于求函数，的最小值， 因为函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以， 所以函数的最小值为. （2）当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当时，函数在上单调递增，若， 则，解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 知识点06 指数函数与对数函数的关系 1.反函数：一般地，如果在函数 y =f (x) 中，给定值域中任意一个 y 的值，只有 唯一的x与之对应，那么x是 y 的函数称为 y=f(x) 的反函数.此时，称 y=f(x) 存在反函数，而且，如果函数的自变量仍用x表示.因变量仍用 y表示，则函数 y=f(x) 的反函数的表达式，可以通过x,y对调y=f(x) 中的 x 与 y. 然后从x=f(y) 中求出 y 得到. 2.一般地，函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x). 值得注意的是，y=f(x)的定义域与y=f-1 (x)的值域相同，y=f (x) 的值域与 y=f-1 (x)的定义城相同，y=f (x) 与 y=f-i (x)的图像关于直线 y=x 对称.且二者的单调性一致. 3.对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． ·易错点：混淆反函数的存在条件 示例：（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求指数型复合函数的值域、求反函数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）先根据的图像经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可. （2）先列出函数的解析式，然后结合内层二次函数的值域与外层指数函数的单调性求复合函数的值域即可. （3）先化简不等式，然后结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可. 【详解】（1）因为（，且）的图像过点， 所以，解得，所以． 又函数是函数的反函数，所以． （2）由（1）可知， 因为是减函数， 所以，所以函数的值域为． （3）因为在上单调递减，， 即，所以， 解得，所以x的取值范围为. 知识点07 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 2.常见的5种幂函数的图象 3.常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 ·易错点：忽略幂函数的定义域限制 示例：（多选）（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】首先根据指数函数的性质求定点，即得函数的解析式，再判断函数的图象经过的象限. 【详解】由指数函数的性质可知，当时，， 所以恒过定点， ， 则函数恒过定点，且是单调递增函数，其图象不经过第二象限. 故选：ACD. 知识点08 增长速度的比较 1. 平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.可用平均变化率来比较函数值变化的快慢. 2.三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax几种函数模型的应用 ·易错点：混淆 “增长速度快” 与 “函数值大” 示例：（多选）（24-25高一上·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 知识点09 函数的应用（2） 1. 函数建模的基本步骤 可总结为 “审、设、列、解、验、答” 六步： （1）审：仔细审题，明确问题中的已知量、未知量，理清变量之间的数量关系，识别问题属于哪种函数模型（一次、二次、分段）. （2）设：设定自变量和因变量，通常选择影响因变量的关键量作为自变量x，所求的量作为因变量y. （3）列：根据题意中的等量关系，列出函数解析式y=f(x)，务必标注自变量的取值范围（这是实际问题的关键约束，不能遗漏）. （4）解：利用函数的图象、单调性、最值等性质，求解函数在定义域内的对应值. （5）验：检验求解结果是否符合实际意义（比如人数、长度、利润不能为负数），不符合的要舍去. （6）答：规范写出最终答案，回答实际问题的设问. ·易错点：忽视实际问题对变量的限制. 示例：（25-26高一上·江苏无锡·月考）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.5以下（不含0.5）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则,由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为3次． 故选：B. 题型一 指数幂的化简、求值 解｜题｜技｜巧 1.运算前先判断每个幂式有意义的条件，确定底数的取值范围； 2.根式与分数指数幂互化的 “三步走”：（1）判符号：偶次根式要求底数非负；（2）定对应：根指数→ 分母，被开方数的指数→ 分子；（3）去根号：将根式转化为分数指数幂，便于运用运算性质. 3. 运算性质的 “三优先” 原则：（1）优先化同底数；（2）优先化正指数；（3）优先化分数指数为根式（或反之）. 4.整体代换法的核心技巧： 易｜错｜点｜拨 1. 忽略底数的取值限制； 2. 混淆根式与分数指数幂的转化规则； 3.负指数幂转化时的符号错误； 4. 整体代换时的漏解或错解 【典例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）化简求值： (1)； (2)已知，求：. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则求解即可； （2）法一：由，平方可求得，进而可求值.法二：设，解得，进而计算可求值. 【详解】（1） ； （2）方法一：由已知条件可得， ，所以. 方法二：由已知条件，不妨设， ，解得或. 当时，； 当时，； 综上所述：. 【变式1】（25-26高一上·福建龙岩·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）应用有理数指数幂的运算化简即可； （2）由指数幂的运算性质得且，即可得. 【详解】（1）原式； （2）因为，所以，则， 由，因为，所以，所以. 【变式2】（25-26高一上·天津南开·期中）计算 (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算、根式的化简求值 【分析】（1）借助指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）原式. 题型二 指数函数的性质与图象及其应用问题 解｜题｜技｜巧 1. 定义辨析的 “三要素” 判定法：系数、底数、指数. 2. 图象与过定点问题的 “令指数为 0” 法. 3. 单调性应用的 “分类讨论 + 同增异减” 法. 4. 函数值比较大小的 “中间量搭桥（介值法）” 法. 5. 值域与最值的 “分层（内层、外层）求解” 法. 易｜错｜点｜拨 1.忽略底数a的取值限制； 2. 复合函数单调性判断遗漏定义域； 3. 值域求解忽略内外层单调性匹配. 【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数． (1)试确定函数的解析式； (2)求实数，的值； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】由奇偶性求参数、指数型函数图象过定点问题、函数基本性质的综合应用 【分析】（1）根据指数函数的定义即可得到； （2）借助奇函数的定义计算出、即可； （3）结合函数的单调性与奇偶性即可得到. 【详解】（1）设且，图象过点 所以，解得，所以. （2）由（1）得，因为是上奇函数，所以，所以， 再由可得，所以， 当，时，， ，符合是奇函数， 所以，. （3）， 是增函数，所以是减函数， 因为是奇函数，且， 所以， 所以恒成立， 即，又， 所以. 【典例2】（25-26高一上·陕西汉中·月考）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性并用单调性定义证明； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，在R上单调递增，证明见解析 (2)奇函数，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据指数函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据的单调性求出，然后利用单调性的定义求证； （2）利用奇函数的定义求证； （3）利用参变分离求函数最值，设，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由在上单调，则其最值必在端点处取得， 则由题意得，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下： 任取，令， 则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2）奇函数，证明如下： ，函数定义域为R，关于原点对称， 则， 所以为奇函数； （3）， 因不等式对恒成立， 所以，即恒成立， 则， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以，即. 所以实数m的取值范围为. 【变式1】（22-23高一上·北京·期末）已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【知识点】判断指数函数的单调性、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、指数型函数图象过定点问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）求出即可得出结果； （2）由已知，令，，可得，即可求出最小值； （3）令，则.分类讨论当以及时，根据指数函数的单调性求出在上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a的值． 【详解】（1）因为，所以定点坐标为. （2）当时，. 令，. 则，当，即时，函数有最小值. （3）令，则. ①当时，可知在上单调递减，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或. 因为，所以两个数值均不满足； ②当时，可知在上单调递增，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或（舍去），所以. 综上所述，. 【变式2】（25-26高一上·广东·月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数的奇偶性直接求函数解析式； （2）分别判断函数在各区间内的函数值范围，分别解不等式即可. 【详解】（1）由已知当时，， 当时，，则， 又函数为奇函数， 则当时，， 且当时，， 综上所述； （2）由（1）可得当时，，此时， 当时，，此时， 又不等式，即或， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为或. 题型三 对数式的化简、求值、证明问题 解｜题｜技｜巧 1.化简问题：“三化” 原则：（1）化同底 —— 换底公式的妙用；（2）化系数为指数 —— 逆用幂的对数性质；（3）化同真数 —— 合并对数. 2.求值问题：（1）无条件求值，含根号、分式的对数求值 —— 先化简真数；（2）已知对数式问题：将所求对数式拆分为已知对数的组合形式，再代入计算；（3）已知指数式，求对数式：指对互化法. 3.对数恒等式证明：核心是将等式两边化为同底数对数，或化为同指数式，常用 “左推右”“右推左” 或 “左右同时推中间量” 4.易｜错｜点｜拨 1. 忽略对数的 “有意义条件”； 2. 公式、性质应用错误； 3.整体代换时的符号遗漏； 4.对数与指数互化时的对应错误. 【典例1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】运用换底公式证明恒等式、对数的运算性质的应用、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 【变式1】（25-26高一上·河北承德·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】由指数、对数的运算性质即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算性质得， 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】运用换底公式证明恒等式、运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 题型四 对数函数的性质与图象及其应用 解｜题｜技｜巧 1. 定义辨析的 “三要素” 判定法：系数、底数、真数. 2. 图象与过定点问题的 “令真数为1” 法. 3. 单调性应用的 “定义域优先 + 分类讨论” 法：（1）单一对数函数的单调性与不等式求解：求定义域、分类讨论底数、取交集；（2）对数型复合函数的单调性：求定义域、判断内外层单调性、同增异减 4. 函数值比较大小的 “中间量搭桥（介值法）+单调性” 法. 5. 值域与最值的 “分层（内层、外层）限制” 法. 易｜错｜点｜拨 1.忽略对数函数的定义域限制； 2.讨论单调性时漏分底数范围； 3. 复合函数单调性判断遗漏定义域； 4.指对互化时的对应错误. 【典例1】（25-26高一上·河北唐山·月考）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围 (3)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）分析可知对任意的，，结合二次不等式恒成立求解即可； （2）分析可知函数的值域包含，结合二次函数的基本性质求解即可； （3）按照、和分类讨论，结合二次函数性质和对数函数性质，利用复合函数单调性法则列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意知对任意的恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得． 综上，a的取值范围是. （2）若的值域为，则函数的值域包含， 当时，，符合题意， 当时，则，解得. 综上所述，若的值域为，则的取值范围为； （3）由和复合而成， 显然在定义域上单调递减，所以要使在区间上单调递减， 则在区间上单调递增，且在区间上恒成立， 当时，函数在区间上单调递增，且，符合题意； 当时，由题意，所以； 当时，由题意，所以． 综上，a的取值范围是. 【典例2】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值； (3)已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【知识点】求对数型复合函数的值域、根据对数函数的值域求参数值或范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据对数函数的单调性分类讨论进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）利用换元法，结合对数函数的单调性、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 由题意可得：， 此时区间为； 当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2） 令，因为，所以， 所以， 所以，， ， 所以当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； （3）令， 方程， 因为关于的方程的两个实根满足， 所以， 即 所以关于的方程的两个实根满足， 设， 要想关于的方程的两个实根满足， 只需， 所以实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数． (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)最小值为，； (2) 【知识点】求函数的单调区间、对数型复合函数的单调性、求对数函数的最值、复合函数的最值 【分析】（1）令，结合二次函数性质求解即可； （2）利用复合函数的单调性列不等式求解可得. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以， 令，，则， 当，即，即时，取得最小值，最小值为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 令，解得， 所以的单调递减区间为. 【变式2】（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)；2 (3) 【知识点】求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的最值求参数或范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组得，然后解指数函数不等式即可求解定义域； （2）利用偶函数的概念列式求得，然后利用基本不等式求解的最小值； （3）由题意，由（2）可知，然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得的值域，进而按照和分类讨论，利用对数函数单调性求得的最大值，列不等式即可求解. 【详解】（1）， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； （2）因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； （3） ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 题型五 幂函数的性质与图象及其应用 解｜题｜技｜巧 1. 幂函数定义的 “三要素” 判定法：系数、底数、指数是常数. 2. 幂函数图象的 “三特征” 分析技巧：指数范围、第一象限图象、过定点情况. 3. 单调性应用的 “指数分类 + 区间判断” 法. 4. 定义域与值域的 “指数决定” 法. 5. 奇偶性判断的 “定义域优先” 法. 易｜错｜点｜拨 1. 混淆幂函数与指数函数的定义； 2. 忽略定义域对单调性的影响； 3.复合函数奇偶性判断错误，注意：内奇外偶为偶，内偶不管外啥都为偶，内奇外奇为奇. 【典例1】（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知幂函数，且在上单调递增． (1)求的值． (2)设为偶函数，当时，． （i）求； （ii）当时，求的表达式． 【答案】(1) (2)（i）9；（ii） 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据幂函数的概念建立关于的方程，解之，验证即可； （2）当时，令计算即可；当时，利用函数的奇偶性求解函数解析式即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，所以不符合题意； 当时，在上单调递增，所以符合题意. 故. （2）（i）当时，，则，解得. （ii）当时，.因为为偶函数， 所以. 【典例2】（25-26高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①0；② 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由幂函数的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由幂函数的概念和单调性即可求解； （2）①由内向外代入解析式求解即可；②将问题转换成在上恒成立，分参求最值即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． （2）①，则， 所以． ②由①可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知幂函数的图象经过点，则的值是 . 【答案】 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据条件得，即可求解. 【详解】由题知，所以，则，所以 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·陕西西安·月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【详解】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. （2）由，可得，整理得， 解得，即. 题型六 增长速度的比较问题 解｜题｜技｜巧 1. 函数增长类型的 “特征判定” 法：判定增长类型时，优先看函数形式； 2. 增长速度的 “图象观察” 法：图象越陡峭 → 增长速度越快；图象越平缓 → 增长速度越慢. 3. 增长速度的 “定量比较” 法：当需要精确比较两个函数的增长速度时，可通过计算函数的变化率或作差 / 作商比较. 4. 实际问题的 “模型选择” 技巧：根据实际情境的增长特征匹配函数模型，是增长速度比较的核心应用. 5. 不同区间增长速度的 “分段分析” 法：遇到底数和指数都不同的函数比较，优先找分界点，再分段分析. 易｜错｜点｜拨 1. 混淆 “增长速度快” 与 “函数值大”； 2. 忽略 “x 足够大” 的前提条件； 3.混淆 “增长速度” 与 “单调性”：注意：单调性反映函数 “增或减” 的趋势，增长速度反映 “增减的快慢. 【典例1】（25-26高一上·江西·月考）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【答案】ABC 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】作出函数 的图象，数形结合，结合函数的增长趋势，一一判断各选项，即得答案. 【详解】作出函数 的图象，如图所示： 由图象知，对任意的 ，，A，B选项正确， 由于函数呈爆炸式增长，当x增大到一定程度后的函数值将会超过的函数值，并一直持续， 即一定存在 ，当时，总有 ，C正确； 对于选项，当时， 与 的图象有一个交点， 当时 与 的图象有2个交点，一共有3个交点，D错误， 故选：ABC 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点、，且．请指出示意图中曲线、分别对应哪一个函数. 【答案】对应的函数为，对应的函数为． 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】利用指数函数和幂函数的增长速度可得出结论. 【详解】当充分大的时候，指数函数的增长会快于幂函数的增长， 存在，当时，， 所以，对应的函数为，对应的函数为． 【变式1】（多选）（24-25高一下·山西·月考）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 【答案】BC 【知识点】比较对数式的大小、指数、对数、幂函数模型的增长差异、幂函数图象的判断及应用 【分析】赋特殊值可判断A，由对数函数的单调性可判断B，由幂函数的图象特征可判断C，由指数、对数、幂函数图象的增长趋势可判断D. 【详解】当时，则，故A错误； 由，得，所以，故B正确； 当时，得，故C正确； 由幂函数、指数函数、对数函数的性质可知，当足够大时，指数函数的增长速度最快，所以更有前途的投资方案是①，故D错误． 故选：BC． 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）把一次函数，对数函数和指数函数的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异． 【答案】答案见解析 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异、画出具体函数图象 【分析】作出函数的图象，再比较增长的差异. 【详解】如图， 一次函数匀速增长，指数函数增长越来越快，对数函数增长最慢． 题型七 函数的应用（二） 解｜题｜技｜巧 1.实际问题建模的 “四步走” 法：（1）审清题意，提取关键量；（2）设定变量，建立函数关系式； （3）确定函数的定义域；（4）化简解析式，匹配函数模型. 2. 不同函数模型的 “针对性求解” 技巧：根据函数模型的特征，选择对应的方法求解最值、范围、临界点等； 3. 含参数函数模型的 “分类讨论”； 4. 实际问题解的 “验证与回归” ； 5. 多模型对比的 “优劣分析” 技巧：（1）拟合程度：模型计算值与实际数据的误差大小； （2）适用范围：模型是否符合实际问题的增长 / 衰减特征； （3）预测能力：模型能否合理预测未来趋势（如指数模型不能预测人口的长期增长）. 易｜错｜点｜拨 1.忽略自变量的实际取值范围； 2. 函数模型选择不当； 3.含参数问题遗漏分类讨论； 4.数学解与实际意义脱节. 【典例1】（25-26高一上·江苏苏州·月考）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月12日我国汶川发生里氏级地震，它所释放出来的能量大约是2025年12月4日15时44分新疆克州阿合奇县发生里氏级地震所释放能量的多少倍（   ） A． B． C．1000 D．3165 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数函数模型的应用（2） 【分析】分别设里氏级地震和里氏级地震所释放出来的能量为和，通过给定的式子求出和，再求比值可得答案. 【详解】设里氏级地震所释放出来的能量为，里氏级地震所释放出来的能量为， 则，所以， ，所以， 所以． 故选：C 【典例2】（24-25高一上·贵州黔西·期末）近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面，与莘莘学子的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步．问：大约经过 年，小王的“聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：） 【答案】16 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】先分别表示出两人的“聪慧值”，利用等量关系可求答案. 【详解】设两人的“年提升值”为，经过年小王的“聪慧值”是小李的2倍． 则经过年小王的“聪慧值”为，小李的“聪慧值”为， 由题意，即； 取对数可得， ， 所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍． 故答案为：16 【变式1】（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【分析】由已知得出，，，代入等式计算即可. 【详解】由题意可得，，， 所以该试验火箭的理想速度为 . 故选：A. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据指数函数性质求得点，然后将点P的坐标代入对数函数解析式求解即可. 【详解】当时，，所以函数过定点， 将代入中，得，解得. 故选：D. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的图象与性质，求得，再由指数函数的图象与性质，可得，即可得到答案. 【详解】由对数函数的图象与性质，可得，即， 又由，所以， 又由，指数函数为单调递增函数，可得，所以， 又由，所以， 综上可得：. 故选：D. 3．（多选）（25-26高一上·陕西西安·月考）下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用函数奇偶性定义及在上的单调性逐项判断即可 【详解】对于A，函数的定义域为，，是奇函数，A不合题意； 对于B，函数，定义域为，，是偶函数，且在上单调递增，B符合题意； 对于C，函数定义域为，，是偶函数， 当0时，在上单调递增，C符合题意； 对于D，函数的定义域为， 又，即函数为偶函数， 当0时，在上单调递增，D符合题意. 故选：BCD 4．（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期中）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数图像的识别、二次函数的图象分析与判断、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据题意结合二次函数与指数函数的图象性质逐项分析即可． 【详解】A：由图可得二次函数的对称轴为且，结合图可得，即得， 由图知为减函数，则有，符合，故A不合题意； B：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故B符合题意； C：由图可得且，即得，由图知为减函数，则，符合，故C不合题意； D：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故D符合题意； 故选：BD. 5．（25-26高一上·天津·月考）设函数则的值为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、求分段函数值 【分析】求“多层”函数值，按照“从内到外”依次赋值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（多选）（24-25高一上·安徽·月考）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．函数的零点小于1 【答案】AD 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、求函数的零点 【分析】利用指数函数单调性即可判断A；根据即可判断B；根据范围即可判断C；利用对数函数单调性放缩即可判断D. 【详解】对于A，由图可知单调递减，所以，故A正确； 对于B，由题意得，解得，故B错误； 对于C，由，，可得，所以，故C错误； 对于D，由，得， 因为，所以，即函数的零点小于1，故D正确. 故选：AD. 2．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是 ；函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性 【分析】设，先求得的定义域，再由二次函数的性质，得到在上递减，且，结合对数函数的单调性，以及复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，设， 令，可得，即，解得， 所以函数的定义域为， 又由函数的图象开口向下，对称轴为， 可得在上单调递增，在上单调递减，且， 所以函数在上的值域为，即， 又由函数为单调递增函数， 根据复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递减区间为； 且函数的值域为，即. 故答案为：；. 3．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意结合指数函数单调性可得，去绝对值可得，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】因为，即， 且在定义域内单调递增，可得， 且，则，可得， 原题意等价于对，恒成立， 又因为，则，可得，解得且， 可知在内的最小值为1，可得且， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知函数． (1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性； (2)解不等式． 【答案】(1)，偶函数 (2)当时不等式解集为，，当时不等式解集为. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）定义域，根据对数函数真数大于$0$的性质，列出不等式组求解；判断奇偶性，通过计算并与比较，依据奇偶性定义得出结论； （2）对于解不等式，先化简不等式，再根据对数函数单调性（分和两种情况）求解. 【详解】（1）由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； （2）即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 2．（24-25高一下·云南·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：； (3)若的最小值为求实数的值. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、指数幂的运算 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断. （2）分别写出与进行化简整理即可. （3）先明确的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，分类讨论求函数的最小值，利用最小值为，可得实数的值. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为，所以为奇函数. （2）由，则， ， 所以得证. （3）由，得， 令，所以， ①当时在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $