专题04 相似三角形全章复习（期末复习讲义，知识点+16题型）九年级数学上学期浙教版

该初中数学相似三角形期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将成比例线段、相似判定与性质等10大考点按“概念-判定-性质-应用”逻辑分层，各知识点配套易错点提示，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习与题型创新，如动点问题通过设t表示线段构建比例方程，培养推理意识；实际测量问题结合影子、反射原理建立模型，发展应用意识。基础通关、重难突破、综合拓展三级练习适配不同学生，教师可据此实施精准复习教学。

专题04 相似三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解线段的比与成比例线段的概念，能运用比例性质进行有关计算和证明。 基础考点，常作为相似问题的前置知识出现在选择题或填空题中。 相似图形 理解相似图形的定义，能识别相似图形并理解相似比的意义。 概念考查题，通常要求判断图形是否相似或直接运用相似比。 相似三角形的判定 熟练掌握两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及平行线分线段成比例等判定方法。 核心高频考点，常作为几何证明题的关键步骤，或直接用于求解边长和角度。 相似三角形的性质 掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等性质。 必考性质，广泛用于几何计算，常与判定结合在综合题中出现。 相似三角形的应用 能利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题，建立数学模型。 中考常见应用题，考查将实际问题转化为相似模型并求解的能力。 黄金分割 理解黄金分割的定义，掌握黄金比（≈0.618）的计算，能判断或构造线段的黄金分割点，并了解其简单应用。 中考常考概念题，通常以选择题或填空题形式出现，常与比例线段、相似图形或实际生活情境（如艺术、建筑）结合考查。 位似图形相关概念 理解位似图形的定义，能识别位似中心、位似比，并区分位似与相似。 概念考查点，常以选择题形式出现，要求对位似的本质（对应点连线交于一点）有清晰认识。 位似图形的位似比 能根据位似比确定图形放大或缩小的倍数，并进行相关坐标或尺规作图。 常与坐标系结合考查，要求掌握位似比与坐标变化的关系。 图形的变换与坐标 掌握图形平移、轴对称、旋转（中心对称）及位似变换后，对应点坐标的变化规律。 综合易错点，常在中档题中考查，需熟记各种变换的坐标规则并准确应用。 比例的性质 熟练掌握比例的基本性质（交叉相乘）、合比性质、分比性质、等比性质及其变形，并能灵活运用这些性质进行比例式的计算、证明与转化。 高频基础工具考点，虽较少单独命题，但作为核心运算工具，广泛渗透在相似形、三角函数、几何证明及各类比例计算题中，必须牢固掌握。 知识点一、比例的基本性质 1.比例的基本性质 如果 ，那么 ；如果 ，那么 ． 2.比例的基本性质推广 （1）合比性质： ； （2）等比性质： 0） ． 知识点二、成比例线段 1．两条线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。线段 与线段 的比记作＂＂或" a: b ". 2.对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比，如 （或 ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ．此时也称这四条线段成比例 ． 易错点： 在通常情况下，四条线段a, b, c, d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使与的单位一致， 与 的单位一致。 线段a, b, c, d成比例，只可以写成 或 ，即四条线段a, b, c, d成比例是有顺序的，不能随便更改位置。 3 ．比例中项 如果 ，那么 叫做 和 的比例中项，当a, b, c为一般实数时，则由 得 同号）；当a, b, c为线段长时，则由 得 ． 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”) 数学语言：如图 ，∵ ， 可简记为： ． 易错点： 1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； 2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上 知识点四、 平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 数学语言：如图，若 ，则有 或 或 ． 易错点： 1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况。 2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线 知识点五、 相似图形 1.定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 易错点： 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 2.两个关系 (1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 知识点六、 相似三角形 1.定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似·反之:两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.表示方法 相似用符号＂ ＂来表示，读作＂相似于＂。例如 与 相似，记作＂＂，读作 ＂ 相似于 ＂。 3.相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比，当相似比为1时两个三角形全等 易错点： 用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性。 知识点七、 平行线截三角形相似的定理 定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 易错点： 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 ，图（1）（2）很像大写字母 ，故我们称之为 ＂A＂型相似；图③很像大写字母X，故我们称之为X”型相似(也像阿拉伯数字“8”） 知识点八、 由角的关系判定三角形相似 1.相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似 易错点： 由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角，一般地，相等的角是对应角，如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件 2.常见的相似三角形的类型 （1）平行线型：如图①，若 ，则 . （2）斜交线型：如图②，若 ，则 . （3）子母型：如图③，若 ，则 . （4）＂K＂型：如图④，若 ，则 ，整体像一个横放的字母 K ，所以称为“K”型相似. 知识点九、 由边角关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 数学语言：如图，在 和 中，∵ 知识点十、 由三边关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似， 数学语言：如图，在 和 中， 易错点： 由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可 应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况 知识点十一、 相似三角形对应线段的比 1.相似三角形对应线段的比 相似三角形对应边上的高的比、中线的比、对应角的平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比 易错点： (1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段; (2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序 2.相似三角形周长的比 相似三角形的周长之比等于相似比 知识点十二、 相似三角形面积的比 1．相似三角形面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方．若 ，且它们的相似比为 ，则 . 易错点： 面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆． 2.相似多边形面积的比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 易错点： 两个相似三角形，各角对应都相等各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知识点十三、 利用相似测量物体的高度 1.利用影长测量物体的高度 (1)测量原理:同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 (2)测量方法:在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 2.利用直尺或标杆测量物体的高度 (1)测量原理:用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边,利用视点和盲区构造相似三角形 (2)测量方法:借助直尺或标杆测量物体高度 易错点： 使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达 3.利用镜子的反射测量物体的高度 (1)测量原理:利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 (2)测量方法:测出观测者站立点与镜面标记点的距离待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等 知识点十四、 利用相似测量宽度 1.测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 2.常见的测量方式 (1)构造“A”型相似，如图①② (2)构造“X”型相似，如图 易错点： 利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤: 1.利用标杆等构造相似三角形: 2.测量与表示未知量的线段相对应的线段，以及另外任意一组对应边的长度: 3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量 4.检验并得出答案. 知识点十五、 位似图形的定义 1.定义，两个图形不仅相似，而且对应点的连线所在直线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 2.位似与相似的关系 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线所在直线相交于一点 (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况 易错点： 两个位似图形的位似中心有且只有一个. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部边上或某一顶点处，常见位似图形的构成如图 知识点十六、 位似图形的性质 位似图形具有的性质 (1)位似图形每组对应点的连线所在直线必过位似中心 (2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比. (3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上) (4)两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 易错点： 利用位似图形的性质，可以把一个图形放大或缩小，同时也可以确定位似中心利用位似图形的性质可以求两个位似图形的相似比 知识点十七、 位似图形的画法 画位似图形的步骤 (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或某一个顶点处); (2)分别连结位似中心和能代表原图的关键点; (3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连结所作各点，可以得到位似图形 易错点： 位似中心的选取一般考虑使画图方便且符合要求以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 知识点十八、 平面直角坐标系中的位似 1.位似变换中对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.即若原图形的某一顶点坐标为()，则其位似图形对应顶点的坐标为()或()◎这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比 2.位似变换与平移、轴对称两种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称变换是全等变换，而位似变换是相似变换 易错点： 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换分两种情况:一种是位似图形与原图形在原点的同侧;另一种是在原点的两侧当时，图形扩大为原来的倍;当时，图形缩小为原来的 以下是按照您提供的图片格式整理的“黄金分割”和“三角形重心”相关内容： 知识点十九、 黄金分割 1. 黄金分割的定义与比值 把一条线段分成两部分，使其中较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例称为黄金比。 设线段 ( AB ) 的全长为 ( 1 )，黄金分割点为 ( C )（( AC > BC )），则满足： 其中较长段，较短段。 2. 黄金分割的作图与应用 黄金分割不仅是一个数学比例，在艺术、建筑、自然界中广泛存在（如帕特农神庙、蒙娜丽莎构图、鹦鹉螺壳等）。在数学题中，常要求判断某点是否为黄金分割点，或已知线段长求黄金分割段长。 易错点： “黄金分割点”通常指线段上靠近某一端满足该比例的点，一条线段有两个黄金分割点（分别靠近两端）。在计算时，要明确题目所求是较长段还是较短段。 知识点二十、三角形的重心 1. 重心的定义与性质 三角形三条中线的交点称为三角形的重心。重心是三角形的一个重要几何中心，具有以下核心性质： · 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心将每条中线分为 ( 2:1 ) 的两段，从顶点起）。 · 重心与三个顶点相连，将原三角形分为三个面积相等的小三角形。 2. 重心坐标公式 在平面直角坐标系中，若三角形三个顶点坐标分别为，则重心 ( G ) 的坐标为： 3. 重心的物理意义与实际应用 重心在物理上也是三角形的质量中心（均匀三角板的重心即几何重心）。在解题中，重心常用于： · 求线段比例（利用 ( 2:1 ) 关系）； · 求三角形面积平分； · 坐标系中快速确定重心坐标并进行后续计算。 易错点： 重心、垂心、内心、外心是三角形四个不同的“心”，勿混淆。重心只与中线有关，与角平分线、高、垂直平分线无关。 题型一 成比例线段 解｜题｜技｜巧 ☆四条线段a、b、c、d若满足a:b=c:d，则成比例 ◎统一单位后比较长度 ◎利用比例基本性质：若，则ad=bc ◎合比/分比性质可用于拆分复杂比例 【典例1】下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【典例2】已知线段，，则，的比例中项线段等于 ． 【变式1】已知线段，，则线段，的比例中项是 ． 【变式2】在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为 ． 【变式3】已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 题型二 平行线分线段成比例 解｜题｜技｜巧 ☆平行线截两条直线，所得线段对应成比例 ◎识别“A字型”或“X字型”基本图形 ◎直接写出对应线段比例式，如 ◎求未知线段时，可设x列方程求解 【典例1】如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ． 【变式1】如图，已知，．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式2】如图，在中，分别是上的点，且，，，求和的长． 【变式3】如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 题型三 相似图形 解｜题｜技｜巧 ☆形状相同、大小可不同的图形 ◎判断对应角是否相等，对应边是否成比例 ◎对于多边形，需同时满足角相等和边成比例 ◎常见相似图形：正多边形、圆 【典例1】下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【变式1】下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【变式2】“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法： ①放大（缩小）的图片与原图片是相似形； ②比例尺不同的中国地图是相似形； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形； ④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形； ⑤平面镜中，你的像与你本人是相似形． 其中正确的说法有 个． 题型四 相似多边形 解｜题｜技｜巧 ☆边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形 ◎按顺序对比对应角与对应边 ◎相似比k=对应边之比，面积比=k² ◎已知部分边长，可通过比例求未知边长 【典例1】两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【典例2】如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ． 【变式1】下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【变式3】如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值． 题型五 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 ☆五大判定方法（AA、SAS、SSS、HL、平行线） ◎优先找角相等（AA最常用） ◎有平行线时，直接用“平行得相似” ◎直角三角形注意HL（斜边直角边对应成比例） 【典例1】如图，在中，点，分别在，上，连接．若单独添加下列条件，其中不能使的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【变式3】如图，．求证：． 题型六 相似三角形的性质 解｜题｜技｜巧 ☆对应元素成比例，面积比=相似比² ◎求边长：利用对应边比例式 ◎求面积：先求相似比，再平方得面积比 ◎求高/中线：对应高之比=相似比 【典例1】如图，点D，E分别在的边，上且E是AC的中点，若，，．     (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例2】如图，中，，为上任意一点，，． (1)求证：； (2)若，且的面积为，求四边形的面积． 【变式1】如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点，使，与交于点． (1)求证：． (2)若为的中点，的面积为，求的面积． 【变式2】如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式3】如图，在中，D为边上一点，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 题型七 相似三角形的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题转化为相似模型 ◎测量问题：构造相似三角形，利用影子或反射原理 ◎绘图问题：确定相似比，按比例缩放 ◎注意单位统一与结果合理性检验 【典例1】一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【典例2】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【变式1】学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站在地面点处，他的同学在点处竖立“标杆”，使得点、、在一条直线上（点、、也在一条直线上）已知小明的目高为米，“标杆”为米，米，米，、、均垂直于地面，求教学楼的高度． 【变式2】某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米． (1)在计算过程中、之间的距离应是________米； (2)根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 【变式3】【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 题型八 黄金分割 解｜题｜技｜巧 ☆将一条线段分割成两部分，使其中较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，该比例约为0.618:1 ◎若点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），则满足： ◎已知线段总长，求黄金分割段长：较长段 = 总长 × 0.618，较短段 = 总长 - 较长段 ◎在几何图形（如正五边形、黄金矩形）中识别黄金分割比，常与相似三角形结合考查 【典例1】点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是黄金比，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应该是 米．（保留根号） 【变式1】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【变式2】已知宽与长之比为黄金比的长方形称为黄金矩形，已知长方形为黄金矩形，若长方形的长为，则该长方形的宽为 ． 【变式3】黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（用含的代数式表示） 题型九 重心的有关性质 解｜题｜技｜巧 ☆三角形三条中线的交点称为重心，重心将每条中线分为2:1的两段 ◎重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍 ◎重心坐标公式：若三角形顶点坐标为 ，则重心坐标为： ◎重心与面积：重心与三个顶点连接将三角形分成三个面积相等的小三角形 ◎在解题中，常通过作中线找到重心，利用比例关系求线段长度或证明线段关系 【典例1】如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 【典例2】已知中，，，若为重心，则 【变式1】如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为．则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式2】如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是 ；连接，，当点G恰好是的重心时，的长是 ． 【变式3】我们知道：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心． (1)如图1，尺规作图，求作的重心； (2)如图2，D为内一点，连结．若． ①求证：D为的重心； ②若，，求的最大值． 题型十 比例的性质 解｜题｜技｜巧 ☆掌握比例的基本性质、合比性质、分比性质、等比性质及其应用 ◎基本性质：若，则 ◎合比性质： ◎分比性质： ◎等比性质：若，则（分母和不为0） 在相似图形、线段计算中灵活选用合适性质，常通过设比值为简化运算 【典例1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知，则 ． 【变式1】（1）已知，且，求a的值． （2）已知，求x的值． 【变式2】根据下列条件，求的值. (1)； (2). 【变式3】已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 题型十一 位似图形的识别与判断位似中心 解｜题｜技｜巧 ☆对应点连线交于一点，对应边平行 ◎延长对应顶点连线，交点即为位似中心 ◎若对应边平行，则位似中心在交点处 ◎注意内位似（中心在图形内）与外位似（中心在图形外） 【典例1】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例2】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【变式1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是 ． 题型十二 位似图形的相似比 解｜题｜技｜巧 ☆相似比=对应边之比=对应点到位似中心距离之比 ◎直接测量对应边求比值 ◎在坐标系中，若位似中心为原点，则坐标比=相似比 ◎相似比大于1为放大，小于1为缩小 【典例1】如图，与是位似图形，位似中心为点．若的面积为，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 ． 【变式3】图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 题型十三 相似三角形的动点问题 解｜题｜技｜巧 ☆在动态图形中，根据相似条件建立动点位置与线段比例的关系 ◎设动点运动时间为 t，用含t的代数式表示相关线段长度 ◎根据相似条件（AA、SAS、SSS）列出含t的比例方程 ◎注意分类讨论：动点位置可能导致不同对应关系 ◎检验解的合理性（如t≥0，线段长为正，点在图形内） ◎常见于坐标系中的动点相似问题，结合坐标与距离公式求解 【典例1】如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当 秒时，与相似． 【典例2】如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． (1)当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ (2)当为何值时，的面积为？ (3)当为何值时，与相似？ 【变式1】如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【变式2】如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． (1)是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)t为何值时，和相似？ 题型十四 利用相似求坐标 解｜题｜技｜巧 ☆位似变换下，坐标按相似比缩放 ◎若位似中心为原点，新坐标=(kx, ky) ◎若中心为(a,b)，先平移使中心到原点，缩放后再平移回去 ◎新坐标 = (k(x-a)+a, k(y-b)+b) ◎注意k的正负决定同侧或异侧 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【典例2】已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【变式2】如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    【变式3】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 题型十五 在坐标系中画位似图形 解｜题｜技｜巧 ☆按相似比在射线上截取对应点 ◎从位似中心向各顶点引射线 ◎按相似比在射线上取点，得到新顶点 ◎顺次连接新顶点，检查对应边是否平行 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请以原点O为位似中心，在x轴下方画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别为点、、），使得与的相似比为，并直接写出点、的坐标； (2)请以原点为旋转中心将顺时针旋转画出旋转后的．（点、的对应点分别为点、） 【典例2】如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【变式1】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． (1)画出位似中心点O； (2)以点P为位似中心，在点P右侧的网格中再画一个，使它与的位似比为． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【变式3】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 题型十六 坐标与图形综合 解｜题｜技｜巧 ☆综合运用坐标、变换、相似、几何性质 ◎求图形面积：可用割补法或坐标公式 ◎判断图形形状：计算边长、对角线、斜率等 ◎动态问题：设参数表示坐标，根据几何关系列方程 【典例1】如图，在直角坐标系中，轴于，连接，E，F分别是线段，上的动点，，则的最小值为 ．此时，点的坐标为 ． 【典例2】已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，边与轴交于点，点的坐标分别为，，． (1)求的面积； (2)在轴上找一点，连接，使得（不包括全等），并求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如分别是边和边上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中．已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1．若、满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角三角形．求___________，___________，点的坐标为___________． (2)如图2．若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：： (3)如图3，设，的平分线过点，请问的值是否为定值，请说明理由． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【变式3】平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，设交轴于点，若平分，，求点纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值．（用含的式子表示） 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 2．九年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度为（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为 ． 5．“浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深秋时节的象征，被赋予一种忧伤、愁绪的意象．如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段，点是的黄金分割点．经测量得知的长度为14厘米，则的长度为 厘米． 6．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 7．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 8．如图，点C在的内部，，与互补， (1)求证：； (2)若，，求的长度． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．如图所示，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．如图，在正方形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，连接交于点P，则的长为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 5．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 6．如图，四边形中，，，，且四边形的面积为，连接，则的面积为 ；在上取点，使，则最小值为 ． 7．已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 8．如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．C，O，三点在同一直线 C． D． 2．如图，在矩形中，，E是的中点，连接，点B与点F关于对称，连接并延长，交于点G，交于点．若G是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 4．如图，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图所示，则的值为 ． 5．如图，是的外接圆，，是的切线，，点E是弧的中点，连接，，若，，则 ， 6．如图，图中小方格都是边长为1的小正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心O； (2)与的相似比为_________； (3)以点O为位似中心，在网格中将按相似比缩小． 7．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． (1)求证：； (2)如果，求证：． 8．数学课本126页第5题是这样的：“如图1，在中，D是上一点，，分别交，于点E，F，G，求证：．”学数有邻批改学生作业后，将所求证内容改为“．” (1)请证明学数有邻提出的结论是正确的； (2)如图2，已知在菱形中，， O是上一点，连接交于T，点S在上，连接，过S作，交于P，交于Q，且，相似比是，求的长． (3)如图3，点E，H在上，，，且与，分别交于点D，N，M，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解线段的比与成比例线段的概念，能运用比例性质进行有关计算和证明。 基础考点，常作为相似问题的前置知识出现在选择题或填空题中。 相似图形 理解相似图形的定义，能识别相似图形并理解相似比的意义。 概念考查题，通常要求判断图形是否相似或直接运用相似比。 相似三角形的判定 熟练掌握两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及平行线分线段成比例等判定方法。 核心高频考点，常作为几何证明题的关键步骤，或直接用于求解边长和角度。 相似三角形的性质 掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等性质。 必考性质，广泛用于几何计算，常与判定结合在综合题中出现。 相似三角形的应用 能利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题，建立数学模型。 中考常见应用题，考查将实际问题转化为相似模型并求解的能力。 黄金分割 理解黄金分割的定义，掌握黄金比（≈0.618）的计算，能判断或构造线段的黄金分割点，并了解其简单应用。 中考常考概念题，通常以选择题或填空题形式出现，常与比例线段、相似图形或实际生活情境（如艺术、建筑）结合考查。 位似图形相关概念 理解位似图形的定义，能识别位似中心、位似比，并区分位似与相似。 概念考查点，常以选择题形式出现，要求对位似的本质（对应点连线交于一点）有清晰认识。 位似图形的位似比 能根据位似比确定图形放大或缩小的倍数，并进行相关坐标或尺规作图。 常与坐标系结合考查，要求掌握位似比与坐标变化的关系。 图形的变换与坐标 掌握图形平移、轴对称、旋转（中心对称）及位似变换后，对应点坐标的变化规律。 综合易错点，常在中档题中考查，需熟记各种变换的坐标规则并准确应用。 比例的性质 熟练掌握比例的基本性质（交叉相乘）、合比性质、分比性质、等比性质及其变形，并能灵活运用这些性质进行比例式的计算、证明与转化。 高频基础工具考点，虽较少单独命题，但作为核心运算工具，广泛渗透在相似形、三角函数、几何证明及各类比例计算题中，必须牢固掌握。 知识点一、比例的基本性质 1.比例的基本性质 如果 ，那么 ；如果 ，那么 ． 2.比例的基本性质推广 （1）合比性质： ； （2）等比性质： 0） ． 知识点二、成比例线段 1．两条线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。线段 与线段 的比记作＂＂或" a: b ". 2.对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比，如 （或 ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ．此时也称这四条线段成比例 ． 易错点： 在通常情况下，四条线段a, b, c, d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使与的单位一致， 与 的单位一致。 线段a, b, c, d成比例，只可以写成 或 ，即四条线段a, b, c, d成比例是有顺序的，不能随便更改位置。 3 ．比例中项 如果 ，那么 叫做 和 的比例中项，当a, b, c为一般实数时，则由 得 同号）；当a, b, c为线段长时，则由 得 ． 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”) 数学语言：如图 ，∵ ， 可简记为： ． 易错点： 1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； 2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上 知识点四、 平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 数学语言：如图，若 ，则有 或 或 ． 易错点： 1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况。 2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线 知识点五、 相似图形 1.定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 易错点： 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 2.两个关系 (1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 知识点六、 相似三角形 1.定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似·反之:两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.表示方法 相似用符号＂ ＂来表示，读作＂相似于＂。例如 与 相似，记作＂＂，读作 ＂ 相似于 ＂。 3.相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比，当相似比为1时两个三角形全等 易错点： 用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性。 知识点七、 平行线截三角形相似的定理 定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 易错点： 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 ，图（1）（2）很像大写字母 ，故我们称之为 ＂A＂型相似；图③很像大写字母X，故我们称之为X”型相似(也像阿拉伯数字“8”） 知识点八、 由角的关系判定三角形相似 1.相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似 易错点： 由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角，一般地，相等的角是对应角，如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件 2.常见的相似三角形的类型 （1）平行线型：如图①，若 ，则 . （2）斜交线型：如图②，若 ，则 . （3）子母型：如图③，若 ，则 . （4）＂K＂型：如图④，若 ，则 ，整体像一个横放的字母 K ，所以称为“K”型相似. 知识点九、 由边角关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 数学语言：如图，在 和 中，∵ 知识点十、 由三边关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似， 数学语言：如图，在 和 中， 易错点： 由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可 应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况 知识点十一、 相似三角形对应线段的比 1.相似三角形对应线段的比 相似三角形对应边上的高的比、中线的比、对应角的平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比 易错点： (1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段; (2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序 2.相似三角形周长的比 相似三角形的周长之比等于相似比 知识点十二、 相似三角形面积的比 1．相似三角形面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方．若 ，且它们的相似比为 ，则 . 易错点： 面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆． 2.相似多边形面积的比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 易错点： 两个相似三角形，各角对应都相等各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知识点十三、 利用相似测量物体的高度 1.利用影长测量物体的高度 (1)测量原理:同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 (2)测量方法:在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 2.利用直尺或标杆测量物体的高度 (1)测量原理:用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边,利用视点和盲区构造相似三角形 (2)测量方法:借助直尺或标杆测量物体高度 易错点： 使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达 3.利用镜子的反射测量物体的高度 (1)测量原理:利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 (2)测量方法:测出观测者站立点与镜面标记点的距离待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等 知识点十四、 利用相似测量宽度 1.测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 2.常见的测量方式 (1)构造“A”型相似，如图①② (2)构造“X”型相似，如图 易错点： 利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤: 1.利用标杆等构造相似三角形: 2.测量与表示未知量的线段相对应的线段，以及另外任意一组对应边的长度: 3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量 4.检验并得出答案. 知识点十五、 位似图形的定义 1.定义，两个图形不仅相似，而且对应点的连线所在直线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 2.位似与相似的关系 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线所在直线相交于一点 (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况 易错点： 两个位似图形的位似中心有且只有一个. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部边上或某一顶点处，常见位似图形的构成如图 知识点十六、 位似图形的性质 位似图形具有的性质 (1)位似图形每组对应点的连线所在直线必过位似中心 (2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比. (3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上) (4)两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 易错点： 利用位似图形的性质，可以把一个图形放大或缩小，同时也可以确定位似中心利用位似图形的性质可以求两个位似图形的相似比 知识点十七、 位似图形的画法 画位似图形的步骤 (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或某一个顶点处); (2)分别连结位似中心和能代表原图的关键点; (3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连结所作各点，可以得到位似图形 易错点： 位似中心的选取一般考虑使画图方便且符合要求以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 知识点十八、 平面直角坐标系中的位似 1.位似变换中对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.即若原图形的某一顶点坐标为()，则其位似图形对应顶点的坐标为()或()◎这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比 2.位似变换与平移、轴对称两种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称变换是全等变换，而位似变换是相似变换 易错点： 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换分两种情况:一种是位似图形与原图形在原点的同侧;另一种是在原点的两侧当时，图形扩大为原来的倍;当时，图形缩小为原来的 以下是按照您提供的图片格式整理的“黄金分割”和“三角形重心”相关内容： 知识点十九、 黄金分割 1. 黄金分割的定义与比值 把一条线段分成两部分，使其中较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例称为黄金比。 设线段 ( AB ) 的全长为 ( 1 )，黄金分割点为 ( C )（( AC > BC )），则满足： 其中较长段，较短段。 2. 黄金分割的作图与应用 黄金分割不仅是一个数学比例，在艺术、建筑、自然界中广泛存在（如帕特农神庙、蒙娜丽莎构图、鹦鹉螺壳等）。在数学题中，常要求判断某点是否为黄金分割点，或已知线段长求黄金分割段长。 易错点： “黄金分割点”通常指线段上靠近某一端满足该比例的点，一条线段有两个黄金分割点（分别靠近两端）。在计算时，要明确题目所求是较长段还是较短段。 知识点二十、三角形的重心 1. 重心的定义与性质 三角形三条中线的交点称为三角形的重心。重心是三角形的一个重要几何中心，具有以下核心性质： · 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心将每条中线分为 ( 2:1 ) 的两段，从顶点起）。 · 重心与三个顶点相连，将原三角形分为三个面积相等的小三角形。 2. 重心坐标公式 在平面直角坐标系中，若三角形三个顶点坐标分别为，则重心 ( G ) 的坐标为： 3. 重心的物理意义与实际应用 重心在物理上也是三角形的质量中心（均匀三角板的重心即几何重心）。在解题中，重心常用于： · 求线段比例（利用 ( 2:1 ) 关系）； · 求三角形面积平分； · 坐标系中快速确定重心坐标并进行后续计算。 易错点： 重心、垂心、内心、外心是三角形四个不同的“心”，勿混淆。重心只与中线有关，与角平分线、高、垂直平分线无关。 题型一 成比例线段 解｜题｜技｜巧 ☆四条线段a、b、c、d若满足a:b=c:d，则成比例 ◎统一单位后比较长度 ◎利用比例基本性质：若，则ad=bc ◎合比/分比性质可用于拆分复杂比例 【典例1】下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选：B． 【典例2】已知线段，，则，的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：设比例中项线段长为，则 ， 所以（负值已舍去）． 故答案为：． 【变式1】已知线段，，则线段，的比例中项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义． 设线段，的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设线段，的比例中项为， 则， ， （负数舍去）． 故答案为：． 【变式2】在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为 ． 【答案】 300 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．根据比例尺图上距离实际距离，进行计算即可求解． 【详解】解：∵比例尺图上距离实际距离， ∴温州与杭州的实际距离约为． 故答案为：300． 【变式3】已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）设 ，则，，然后代入即可求解； （）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 题型二 平行线分线段成比例 解｜题｜技｜巧 ☆平行线截两条直线，所得线段对应成比例 ◎识别“A字型”或“X字型”基本图形 ◎直接写出对应线段比例式，如 ◎求未知线段时，可设x列方程求解 【典例1】如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 【典例2】如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 构造三角形中位线可以得出，然后按比例设参数，由平行线分线段成比例性质可得． 【详解】解：取中点，连接， ∵点、分别为、中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ∵， ∴． 故答案为：7． 【变式1】如图，已知，．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 先根据平行线分线段成比例定理可得，得到，则可得的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2】如图，在中，分别是上的点，且，，，求和的长． 【答案】， 【详解】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 由，利用平行线分线段成比例，可得出结合“，”，可求出的长，由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合“，”，可求出的长，再结合，即可求出的长． 【解答】解：∵， ∴. ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 【变式3】如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 题型三 相似图形 解｜题｜技｜巧 ☆形状相同、大小可不同的图形 ◎判断对应角是否相等，对应边是否成比例 ◎对于多边形，需同时满足角相等和边成比例 ◎常见相似图形：正多边形、圆 【典例1】下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 【典例2】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键．根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，此项不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，此项符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，此项不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，此项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确． 故选：D． 【变式2】“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 【变式3】下列说法： ①放大（缩小）的图片与原图片是相似形； ②比例尺不同的中国地图是相似形； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形； ④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形； ⑤平面镜中，你的像与你本人是相似形． 其中正确的说法有 个． 【答案】5 【分析】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键．根据相似图形的定义，对各选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：①放大（缩小）的图片与原图片是相似形，正确； ②比例尺不同的中国地图是相似形，正确； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形，正确； ④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似形，正确； ⑤平面镜中，你的像与你本人是相同的，正确． 综上所述，正确说法有①②③④⑤，共5个． 故答案为：5． 题型四 相似多边形 解｜题｜技｜巧 ☆边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形 ◎按顺序对比对应角与对应边 ◎相似比k=对应边之比，面积比=k² ◎已知部分边长，可通过比例求未知边长 【典例1】两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形，根据相似多边形的定义进行判定即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意； D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意． 故选：C． 【典例2】如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ． 【答案】1.6 【分析】本题考查相似多边形的知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质；根据题意，相似比为，则，然后求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴， ∴， 故答案为：1.6． 【变式1】下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质． 由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 由平移的性质可得四边形是矩形，，，由此可证得，，于是可得，，进而可得，于是可证得矩形 矩形，由题意可得，于是得解． 【详解】解：由平移的性质可得： 四边形是矩形，，， ，， ，， ， 矩形 矩形， 由题意可得：， ，即：． 题型五 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 ☆五大判定方法（AA、SAS、SSS、HL、平行线） ◎优先找角相等（AA最常用） ◎有平行线时，直接用“平行得相似” ◎直角三角形注意HL（斜边直角边对应成比例） 【典例1】如图，在中，点，分别在，上，连接．若单独添加下列条件，其中不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，解决本题的关键是根据添加的条件与已知条件是否满足相似三角形的判定定理． 【详解】解：和中已有， A选项：，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：，故A选项不符合题意； B选项：，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：，故B选项不符合题意； C选项：，，其中不是对应成比例的两边的夹角，不能判定，故C选项符合题意； D选项：，，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得：，故D选项不符合题意． 故选：C． 【典例2】如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：，， A、当时，，能证明相似，故选项A不符合题目要求， B、当时，，能证明相似，故选项B不符合题目要求， C、当时，不能判定与相似，故选项C符合题目要求， D、当时，，能证明相似，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【变式1】如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由得到，结合，根据三角形相似的判定解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：由得到， 又， 故， 故选：B． 【变式3】如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 题型六 相似三角形的性质 解｜题｜技｜巧 ☆对应元素成比例，面积比=相似比² ◎求边长：利用对应边比例式 ◎求面积：先求相似比，再平方得面积比 ◎求高/中线：对应高之比=相似比 【典例1】如图，点D，E分别在的边，上且E是AC的中点，若，，．     (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用两边对应成比例且夹角相等证明三角形相似． （1）由E是中点得，计算得，结合公共角，证明； （2）利用相似三角形的对应边成比例，结合计算的长． 【详解】（1）证明：∵E是的中点，， ∴ 又∵，， ∴，， 即 ∵， ∴ （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， 解得． 答：的长为． 【典例2】如图，中，，为上任意一点，，． (1)求证：； (2)若，且的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用平行线的性质可得，，进而根据相似三角形的判定即可求证； （）由已知可得，再利用相似三角形的性质可得，，进而根据解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点，使，与交于点． (1)求证：． (2)若为的中点，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，关键是相似三角形的论证． （1）由是边上的高线，得，由，得，即可证明； （2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得． 【详解】（1）证明：是边上的高线， ， ， ， ， ； （2）解：为的中点，的面积为， ， ，， ， ， ． 的面积是． 【变式2】如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边对等角、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边对等角可得，再结合对顶角相等可得，即；再说明，进而证明结论； （2）由勾股定理可得，即，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：在中，． ∴， ∵， ∴，即，解得：． 【变式3】如图，在中，D为边上一点，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． （1）根据相似三角形的判定即可求出答案； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七 相似三角形的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题转化为相似模型 ◎测量问题：构造相似三角形，利用影子或反射原理 ◎绘图问题：确定相似比，按比例缩放 ◎注意单位统一与结果合理性检验 【典例1】一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 【典例2】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 【变式1】学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站在地面点处，他的同学在点处竖立“标杆”，使得点、、在一条直线上（点、、也在一条直线上）已知小明的目高为米，“标杆”为米，米，米，、、均垂直于地面，求教学楼的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键． 过点作交于，垂足为，则四边形、、都是矩形， 即可得、、、长，进而求出、长，由得，利用相似比求出长，由即可得出． 【详解】解：如图，过点作交于，垂足为，则四边形、、都是矩形， ∴米，米， 米，米，， ∴米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米． 【变式2】某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米． (1)在计算过程中、之间的距离应是________米； (2)根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定； （1）、之间的距离应是测量者的眼睛距地面的高度； （2）证，得，即可求解． 【详解】（1）解：∵测量者的眼睛距地面的高度为米． ∴、之间的距离应是米． （2）解：由题意得：， ∴， ∴，即，解得； ∴学校旗杆的高度为米． 【变式3】【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1）；（2）能，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，从实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； （2）过点M作交于点N，可证，得到比例式，求出即可解答． 【详解】解：（1）根据题意知， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴； （2）能，理由如下： 如图，过点M作交于点N， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴驾驶员能观察到物体． 题型八 黄金分割 解｜题｜技｜巧 ☆将一条线段分割成两部分，使其中较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，该比例约为0.618:1 ◎若点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），则满足： ◎已知线段总长，求黄金分割段长：较长段 = 总长 × 0.618，较短段 = 总长 - 较长段 ◎在几何图形（如正五边形、黄金矩形）中识别黄金分割比，常与相似三角形结合考查 【典例1】点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为． 根据黄金分割的定义，点P为线段的黄金分割点且时，较长部分与较短部分的比值等于整体与较长部分的比值，即．据此分析各选项． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点，且， ∴由黄金分割定义，有． 选项A：，符合黄金分割比例，正确； 选项B：，符合黄金分割比例，正确； 选项C：，与定义不符，错误； 选项D：，符合黄金分割比例，正确； 故选：C． 【典例2】如图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是黄金比，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应该是 米．（保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金比的应用与一元二次方程求解，涉及知识点：黄金比（）、矩形边长与边衬宽度的关系．解题方法是设边衬宽度为未知数，根据装裱后宽与长的黄金比列方程求解；解题关键是正确表示装裱后长和宽的表达式，易错点是混淆 “宽与长的比” 的顺序或解方程后取舍不合理的根．解题思路：设边衬宽度为，表示出装裱后长和宽，根据黄金比列方程，求解后取符合实际的正根． 【详解】设边衬的宽度为米，则装裱后整幅图画的长为米，宽为米． 由黄金比的定义（宽与长的比为），列方程： 交叉相乘化简得： 展开并整理： 移项合并同类项： 即 解得： 故边衬的宽度为米． 故答案为：． 【变式1】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割比，掌握黄金分割的定义是关键． 由黄金分割的定义可得，，代入值计算即可． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】已知宽与长之比为黄金比的长方形称为黄金矩形，已知长方形为黄金矩形，若长方形的长为，则该长方形的宽为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金矩形的定义，宽与长的比值为黄金比，已知长，通过比例关系求宽即可． 【详解】解：设该长方形的宽为，由题意，， ∴； 故答案为：． 【变式3】黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 题型九 重心的有关性质 解｜题｜技｜巧 ☆三角形三条中线的交点称为重心，重心将每条中线分为2:1的两段 ◎重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍 ◎重心坐标公式：若三角形顶点坐标为 ，则重心坐标为： ◎重心与面积：重心与三个顶点连接将三角形分成三个面积相等的小三角形 ◎在解题中，常通过作中线找到重心，利用比例关系求线段长度或证明线段关系 【典例1】如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，重心的概念，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 延长到G，使，连接推出是的中位线，利用三角形中位线定理，求得，，再证明，推出，据此即可得出结论． 【详解】解：延长到G，使，连接 点O是三角形的重心， 点D是的中点， 是的中位线， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：A． 【典例2】已知中，，，若为重心，则 【答案】/ 【分析】本题主要考查重心的性质及勾股定理，熟练掌握重心的性质及勾股定理是解题的关键；连接并延长，交于点D，由题意易得点D是的中点，且，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点D， ∵为重心， ∴点D是的中点，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为．则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质．根据重心的特性作出辅助线是解决问题的关键． 根据为重心确定为中位线，再根据为重心确定，最后证明相似利用比例关系求线段的长度即可． 【详解】解：为重心， 直线经过中点， 为重心， 直线经过中点， 直线和直线交于中点处， 连结，并延长，交于一点，连结，如图所示， 是的重心， ， ， P，Q分别是和的重心， ， ∴ ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【变式2】如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是 ；连接，，当点G恰好是的重心时，的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的重心，线段的垂直平分线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点F作，交于点H，交于点M，易得当点G在的垂直平分线上时或点G为重心时，都有H，M，G，F四点共线，由勾股定理可得，证，求得，利用勾股定理求出即可；当点G是的重心时，，易证，利用中位线定理求出，进而得解． 【详解】解：如图：过点F作，交于点H，交于点M， ，，且， ∴四边形为矩形， F是的中点， ∴H是的中点， ， ∴， M也是的中点， 当点G在的垂直平分线上时或点G为重心时，都有H，M，G，F四点共线． 与关于对称， ， ， 当点G落在的垂直平分线上时， ， 由题意得，， ， ， 解得， ， 当点G是的重心时，， ，， ， 又为中点，， ， ， H，M分别是，的中点， ， 故答案为：，． 【变式3】我们知道：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心． (1)如图1，尺规作图，求作的重心； (2)如图2，D为内一点，连结．若． ①求证：D为的重心； ②若，，求的最大值． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；② 【分析】本题考查了作垂线，重心，中线与三角形的面积，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合重心是三角形的中线的交点，故先作出线段，的垂直平分线，得出中点，再连接，得出中线，最后得出的重心， （2）①结合中线与面积的关系，得出结合，则，即三点共线，同理三点共线，即点是中线与中线的交点，所以D为的重心； ②设的延长线交于点Q，延长交于点K，则，，可得，从而得到，再由，，可得点A在以为弦的圆上，设以为弦的圆的圆心为O，连接，根据垂径定理可得，从而得到点Q在以为直径的圆上运动，设以为直径的圆的圆心为点G，设圆G交于点E，连接，过点G作于点T，则，可得当过点G时，最长，此时最长，证明是等边三角形，可得，从而得到，，再根据，可得，从而得到，，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：的重心D如图所示： ； （2）解：①分别取上的中点，连接，如图所示： ∵点是上的中点， ∴ ∵， ∴， 即， 依题意，是的中线， ∴ 即， 则三点共线， ∵点分别是上的中点， ∴ ∵， ∴， 即， 依题意，是的中线， ∴， 即， 则三点共线， 即点是中线与中线的交点， 即D为的重心； ②设的延长线交于点Q，延长交于点K，则，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴点A在以为弦的圆上， 设以为弦的圆的圆心为O，连接， ∴，即， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 设以为直径的圆的圆心为点G，设圆G交于点E，连接，过点G作于点T，则， ∴当过点G时，最长，此时最长， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 题型十 比例的性质 解｜题｜技｜巧 ☆掌握比例的基本性质、合比性质、分比性质、等比性质及其应用 ◎基本性质：若，则 ◎合比性质： ◎分比性质： ◎等比性质：若，则（分母和不为0） 在相似图形、线段计算中灵活选用合适性质，常通过设比值为简化运算 【典例1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，将代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 【典例2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，由比例关系设参数表示未知数，代入表达式化简求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（1）已知，且，求a的值． （2）已知，求x的值． 【答案】（1）12 （2） 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握“设法”和内项乘积等于外项乘积是解题的关键． （1）利用“设法”正确表示出各数，求出代入求值即可； （2）利用内项乘积等于外项乘积列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）因为，则设，，， 所以， 解得 所以； （2） 即 解得． 【变式2】根据下列条件，求的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是熟练掌握内项之积等于外项之积． （1）交叉相乘将比例式化为乘积式，即可求解； （2）交叉相乘将比例式化为乘积式，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式3】已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握其性质及计算方法是关键． （1）根据比例的性质，设，代入计算即可； （2）根据题意，设，代入计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设， ∴． （2）解：由题意，设，则， ∴， ∴． 题型十一 位似图形的识别与判断位似中心 解｜题｜技｜巧 ☆对应点连线交于一点，对应边平行 ◎延长对应顶点连线，交点即为位似中心 ◎若对应边平行，则位似中心在交点处 ◎注意内位似（中心在图形内）与外位似（中心在图形外） 【典例1】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 【典例2】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 【变式1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形； 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 【变式2】如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键． 连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：A． 【变式3】如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键． 根据正方形的性质求得，，，，直线和直线的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线和直线的解析式，再建立二元一次方程组进行求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，， ∴，，，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 把 ，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线和直线的交点即为位似中心， ∴建立方程组得，，解得：， ∴位似中心的坐标为：． 题型十二 位似图形的相似比 解｜题｜技｜巧 ☆相似比=对应边之比=对应点到位似中心距离之比 ◎直接测量对应边求比值 ◎在坐标系中，若位似中心为原点，则坐标比=相似比 ◎相似比大于1为放大，小于1为缩小 【典例1】如图，与是位似图形，位似中心为点．若的面积为，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：D． 【典例2】如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标系中图形的位似变换，熟练掌握位似三角形的有关性质是解题的关键．根据题意知，由，知位似比为，又由，根据对应边的比等于位似比即可求解的长． 【详解】解： ∵，， ∴，． ∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【变式2】如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 【变式3】图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，应用与设计作图、中位线的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，再由相似比与面积比的关系可知，当时，，再作中点即可； （2）根据面积比，作三等分点，连接就可； （3）根据面积比，作四等分位置即可． 【详解】（1），， ， 当时，则， 故取分别为，中点即可， 如图，点即为所作； （2）， ，即， 如图：连接，点即为所作； （3）如图：点即为所作； 题型十三 相似三角形的动点问题 解｜题｜技｜巧 ☆在动态图形中，根据相似条件建立动点位置与线段比例的关系 ◎设动点运动时间为 t，用含t的代数式表示相关线段长度 ◎根据相似条件（AA、SAS、SSS）列出含t的比例方程 ◎注意分类讨论：动点位置可能导致不同对应关系 ◎检验解的合理性（如t≥0，线段长为正，点在图形内） ◎常见于坐标系中的动点相似问题，结合坐标与距离公式求解 【典例1】如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当 秒时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键． 分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】由题可得：，， 设，， ， 当时，， ， ， ， 秒； 当时，， ， ， ， ； 的值是或． 【典例2】如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． (1)当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ (2)当为何值时，的面积为？ (3)当为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或时，与相似 【分析】本题是三角形动点问题，考查了勾股定理，等腰三角形，三角形的面积，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，解题关键是能用t表示相关的线段的长度． （1）勾股定理求得，由题意，，，，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分类讨论，当时，，当时，，分别列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由题意，，， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 解得． （2）过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）当时，， ∴， 解得：． 当时，， ∴， 解得：． 综上所述或时，与相似． 【变式1】如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 【变式2】如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 【变式3】如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． (1)是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)t为何值时，和相似？ 【答案】(1)或 (2)或2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，由相似三角形的性质得出方程是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，求出，根据三角形的面积可得出答案； （2）点在上，点在上时，①当时，，②当时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 由题意得，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或， 或时，的面积为18； （2）解：如图1中， 点在上，点在上时， ①当时，， ， ， ②当时，即， ， 当点在上，点在上时，不存在和相似， 综上所述，或2时，和相似． 题型十四 利用相似求坐标 解｜题｜技｜巧 ☆位似变换下，坐标按相似比缩放 ◎若位似中心为原点，新坐标=(kx, ky) ◎若中心为(a,b)，先平移使中心到原点，缩放后再平移回去 ◎新坐标 = (k(x-a)+a, k(y-b)+b) ◎注意k的正负决定同侧或异侧 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：． 【典例2】已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ． 【答案】 【分析】设点坐标，点坐标，由求出的值，将、代入直线解析式，当时，即可求解，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得出点运动轨迹，即可求出点到点的最大距离，本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用相似求坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握字型相似，隐圆模型． 【详解】解：设直线解析式：，点坐标：，点坐标：， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 则，，，， ，， ， ， ，即：， ， 设直线解析式，将、坐标代入， ，解得：， 则直线解析式：， 当时，，将代入，得：， 与轴的交点为， 设与轴的交点为点，中点为，点为点， ，，为中点， 在中，， 在中，， 点轨迹为，以为圆心，长为半径的圆， 的最大值为：， 故答案为：，． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【答案】 平行 【分析】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解． （1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可． （2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接 绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上 ，， ， 那么在和中 (SAS) ， 那么在和中 (SAS) 三点共线 （2）如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 带入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行；． 【变式2】如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出，设点，用坐标表示三角形面积． 根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，利用位似可得，由轴，结合反比例函数性质可得，进而可，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 【变式3】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标． （2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形 为的中点，点B的坐标为 点E的坐标为 点E在反比例函数上 ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，则 ∴点D的坐标为 （2）由（1）可得 为的中点 ①若时， 则 即： 点F的坐标为 ②若时， 则 即： 点F与点O重合 点F的坐标为 综上所述，点F的坐标为或． 题型十五 在坐标系中画位似图形 解｜题｜技｜巧 ☆按相似比在射线上截取对应点 ◎从位似中心向各顶点引射线 ◎按相似比在射线上取点，得到新顶点 ◎顺次连接新顶点，检查对应边是否平行 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请以原点O为位似中心，在x轴下方画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别为点、、），使得与的相似比为，并直接写出点、的坐标； (2)请以原点为旋转中心将顺时针旋转画出旋转后的．（点、的对应点分别为点、） 【答案】(1)图见解析；、 (2)图见解析 【分析】本题考查直角坐标系中的图形变换问题，掌握位似和旋转的变换是解题的关键． （1）根据位似中心图形的定义，作图即可，由图得出点、的坐标； （2）作图形旋转即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由图可得、． （2）解：如图所示： 【典例2】如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ； （2）解：如图，点M就是所求的点； ； （3）解：如图，点D就是所求的点． ． 【变式1】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． (1)画出位似中心点O； (2)以点P为位似中心，在点P右侧的网格中再画一个，使它与的位似比为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查位似图形的作图，根据位似的性质确定位似中心位置，并按照位似比作出位似图形是解题的关键． （1）根据在位似图形中，对应点连线的交点就是位似中心，据此求解即可； （2）以点为位似中心，延长到，使，延长到，使，延长到，使，然后顺次连接、、得到． 【详解】（1）解：分别延长和，延长线的交点即为位似中心点，如图： （2）解：以点为位似中心，延长到，使，延长到，使，延长到，使，然后顺次连接、、得到，此时，使它与的位似比为，如图： ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)与是位似图形，作图见解析， 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键． （1）①分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可；②分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）根据位似图形的定义进行判断，连接，并延长交于点M，由交点可得位似中心，从而可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意：， 如图，为所作； ②根据题意：， 如图，为所作； （2）解：由平移的性质得与全等，由（1）知与时位似图形， 则与是位似图形； 如图，点为所求，坐标为． 【变式3】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 题型十六 坐标与图形综合 解｜题｜技｜巧 ☆综合运用坐标、变换、相似、几何性质 ◎求图形面积：可用割补法或坐标公式 ◎判断图形形状：计算边长、对角线、斜率等 ◎动态问题：设参数表示坐标，根据几何关系列方程 【典例1】如图，在直角坐标系中，轴于，连接，E，F分别是线段，上的动点，，则的最小值为 ．此时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形，线段最值，平面直角坐标系中点的特征，在平面直角坐标系中找到两点间线段最短时对应的点是解题的关键． 首先根据各点的坐标求出对应线段的长度，再构造合适的辅助线将，放在一条线段中，利用两点间线段最短结合勾股定理即可求解的最小值；求出点F对应的位置后，联立与点F有关的两条直线，联立直线与直线即可求得点F的坐标，进而求出的长度，即可求得得到点E的坐标． 【详解】解：∵点，，轴于， ∴，，， ∴，即垂直平分，， ∴， 如图，在x轴上截取，连接，， 则， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即当A，F，M三点共线时，为最小值， ∴， ∴的最小值为； ∵，， 设直线的表达式为：， ∴将点A，M代入表达式中， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵， ∴直线的表达式为：， 联立，解得：，， ∴此时， ∴， ∴，则， ∴． 【典例2】已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，边与轴交于点，点的坐标分别为，，． (1)求的面积； (2)在轴上找一点，连接，使得（不包括全等），并求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如分别是边和边上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析， (3)存在，或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据，即可求解； （2）如图1，过点B作，交x轴于点D，可证，，可得，可证，可得，可求的长，即可求点D坐标； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，点B的横坐标为1，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的面积为； （2）解：如图1，过点B作，交x轴于点D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为：； （3）解：如图2，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上所述：当或时，与相似． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中．已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1．若、满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角三角形．求___________，___________，点的坐标为___________． (2)如图2．若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：： (3)如图3，设，的平分线过点，请问的值是否为定值，请说明理由． 【答案】(1) ； (2)证明见解析； (3)的值是定值，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由偶次方和算术平方根的非负性质求出，则，再证，得，则，即可求解； （2）过作轴于，证，得，再证是等腰直角三角形，得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）过作轴于轴于交的延长线于，则，由角平分线的性质得，再证，得，同理，得，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点作轴于，则，如图： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ； （2）证明：过作轴于，则，如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：的值是定值，理由如下： 过作轴于轴于交的延长线于，如图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴，即， ∴的值是定值． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 【变式3】平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，设交轴于点，若平分，，求点纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)点的纵坐标为 (3) 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，折叠的性质，角平分线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）作轴于点，根据题意，证明，求得，即可解答； （2）作轴于点，并延长交的延长线于点，证明，求得，即可解答； （3）连接，作于点于点，证明，，根据折叠的性质得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，作轴于点   ，， ，  ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）解：作轴于点，并延长交的延长线于点 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为 ； （3）解：连接，作于点，于点， 的平分线交轴于点，平分， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由，可得，不符合已知条件，原式子不成立，不符合题意； B．由，可得，符合已知条件，原式子成立，符合题意； C．由，可得，不符合已知条件，原式子不成立，不符合题意； D．由，可得，不符合已知条件，原式子不成立，不符合题意． 故选：B． 2．九年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】考查知识点：平行线分线段成比例定理．方法技巧：利用平行线分线段成比例的性质，建立线段的比例关系求解．解题关键：识别平行线组，对应线段成比例．易错点：线段对应关系混淆（如误将对应）． 根据平行线分线段成比例定理，得到；代入已知条件求出的长度；计算得到结果． 【详解】因为，根据“平行线分线段成比例定理”，可得： 已知，，代入得： 因此． 故选：A． 3．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作于点，先根据平行线的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 4．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知比例可得，再把代入所求表达式中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．“浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深秋时节的象征，被赋予一种忧伤、愁绪的意象．如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段，点是的黄金分割点．经测量得知的长度为14厘米，则的长度为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查黄金比例，熟记黄金比的值是解答的关键，根据较长线段为，由黄金比求解即可． 【详解】解：∵点B是的黄金分割点（），厘米， ∴（厘米） 则（厘米） 故答案为：． 6．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 【答案】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 7．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】解：（1）， ． （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 8．如图，点C在的内部，，与互补， (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、互补的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据互补的定义得到，根据三角形内角和定理得到，则有，再利用两角对应相等判定三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵与互补， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴的长度为． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．如图所示，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由得，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，，，得到，可证，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点在正方形的边上， ∴，，，， ，， ， ， ， ． 故选：D ． 3．如图，在正方形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，连接交于点P，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由正方形的性质以及勾股定理可得，再结合折叠的性质可得，再说明是等腰直角三角形，即进而得到，再根据相似三角形的判定与性质以及比例线段求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∵将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 5．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数的应用，解题的关键是需要分情况讨论． 连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，根据待定系数法求出直线，进而求出与轴交点坐标；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：。 ∴， 当时，，即点. 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 故答案为：或． 6．如图，四边形中，，，，且四边形的面积为，连接，则的面积为 ；在上取点，使，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的有关性质等知识，取中点，连接，先证明是等边三角形，则，所以，所以，则，得到，故有，延长交直线于点，则，然后证明，所以，即，则有，取，则，证明，则，从而可得点在以为直径的圆上运动，取中点，所以，通过线段的和与差，所以当三点共线时，最小，又，从而可得最小值为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点， ∴，即， ∴， ∴点在与平行，与距离为的直线上运动， 延长交直线于点，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 取， 则， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴点在以为直径的圆上运动，取中点， ∴， ∴， 如图，当三点共线时，最小， ∵， ∴最小值为， 故答案为：，． 7．已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例，线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）设，得到，代入，求出 ，则，即可解答． （2）推导出，将代入求解即可． 【详解】（1）解：设， 则 ∵ ∴， 解得， ∴． （2）∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴， ∴ ∴． 8．如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的 (2)或 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、平行线的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论思想是解题的关键． （1）设经过秒后的面积为面积的，其中，则，，根据三角形面积公式得出一元二次方程，解方程即可得到答案． （2）设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中，需要分两种情况讨论，和，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）过点作，连接，得到是等腰三角形，进而得到，设，则，，根据勾股定理求得，然后根据垂直定理得出，求出即可解答． 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．C，O，三点在同一直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形是相似形是解题的关键． 直接利用位似图形的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，故选项C错误，符合题意． 故选：C． 2．如图，在矩形中，，E是的中点，连接，点B与点F关于对称，连接并延长，交于点G，交于点．若G是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的斜边中线定理，相似三角形的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键，遇轴对称，常常伴随着全等三角形出现，等腰三角形出现． 过B点作，连接交于点H，连接，先证明，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过B点作，连接交于点H，连接，如图所示： 则， ∵， , ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ， 设，则， 为中点， ， ∴，， ， ， 由轴对称性质可知，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即， 解得， 故选：A． 3．如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 4．如图，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算公式，根据相似三角形的性质求出的底和高是解题的关键．分为点在和上两种情况进行讨论，再利用相似三角形求出对应情况下的底和高进而求出面积的表达式，即可求出结果． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， 当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， 当时，， 如图，当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， 当时， ， ． 故答案为：． 5．如图，是的外接圆，，是的切线，，点E是弧的中点，连接，，若，，则 ， 【答案】 10 【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线定理，直径所对圆周角为直角，三角形中位线，相似三角形的判定与性质，平行线的性质及勾股定理． 连接，与交于点G，过点D作交延长线于点F，连接，根据垂径定理得出，通过勾股定理求出的值，设的半径为r，则，利用三角形中位线定理得出的表达式，进而利用勾股定理列出方程求解r的值，从而得出的值；根据已知条件证明出，利用相似三角形对应边成比例的性质得出和的值，再证明得出和的值，最后利用勾股定理求出的值． 【详解】解：如图，连接，与交于点G，过点D作交延长线于点F，连接， ∵点E为中点， ∴由垂径定理可知，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，， 设的半径为r，则， ∵，O为中点，G为中点， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴，， ∵是切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：10，． 6．如图，图中小方格都是边长为1的小正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心O； (2)与的相似比为_________； (3)以点O为位似中心，在网格中将按相似比缩小． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析 【分析】本题考查位似图形，掌握位似图形的特征是解题的关键． （1）根据位似的性质，延长、、，则它们的交点即为位似中心； （2）根据位似的性质得到，则与的相似比为； （3）根据位似比，并结合位似图形的性质找出缩小后的对应点，再顺次连接各对应点即可． 【详解】（1）解：如图，点为位似中心； （2）解：∵， 则与的相似比为． （3）解：如图，为缩小后的图： 7．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据，得出，证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）证明为等腰直角三角形，得出，，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ． 8．数学课本126页第5题是这样的：“如图1，在中，D是上一点，，分别交，于点E，F，G，求证：．”学数有邻批改学生作业后，将所求证内容改为“．” (1)请证明学数有邻提出的结论是正确的； (2)如图2，已知在菱形中，， O是上一点，连接交于T，点S在上，连接，过S作，交于P，交于Q，且，相似比是，求的长． (3)如图3，点E，H在上，，，且与，分别交于点D，N，M，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明，可得，进而证明结论； （2）根据菱形的性质、等腰三角形的性质以及线段的和差可得，由，相似比是，可得，即，易得；再根据（1）的结论可得，即；再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）如图：过作，过H作，设，，由题意可得，再证明、，即；同理可得，即；然后证明，，由相似三角形的性质可得，，易得，最后代入求比例即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵菱形中，， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，相似比是， ∴， ∴， ∴， 由，根据（1）可得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ，解得：． （3）解：如图：过作，过H作，设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：，即 ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $