第4章相似三角形单元检测试卷 2024-2025学年浙教版数学九年级上册

第4章《相似三角形》单元检测试卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（   ） A． B． C． D． 3． 如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，， 若，，，则的长是（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 4．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 5 .如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（   ）  A．12m B．10m C．8m D．7m 6． 如图，点D是的边上的一点，连接， 则下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 7． 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置， 设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上． 已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度， 则树高为（   ） A． B． C． D． 8． 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，， 根据图 2 中的数据可得x的值为（   ）    A．0.8 B．0.72 C．1.8 D．2 9． 中，，三个正方形如图放置，边长分别为a，b，c， 已知，，则c的值为（   ）    A．4 B． C．5 D．6 10． 如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠， 点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论： ①垂直平分；②平分；③；④． 其中，将正确结论的序号全部选对的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是_____． 12．如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心， 在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为 ． 13． 如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个， 能得出和相似的是： （填序号）． 14． 如图，小明在A时测得垂直于地面的树影长为5米，B时又测得该树的影长为15米， 若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．（结果保留根号） 15． 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm， 其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．      16． 如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H， 连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题： ①；②；③；④， 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 三、解答题：（本大题共10个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.如图， ，，，，求的长． 18．如图，在中，D为上一点，．求的长．    19． 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为， 交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 21． 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE＝BC， 连接AE，AE与CD交于点F． （1）求证：△ADF∽△ECF； （2）求DF的长． 22． 如图，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动； 点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动． 若、同时出发，运动时间为．    (1)用含t的代数式分别表示线段和的长； (2)当t为何值时，与相似？ 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：∠DAF＝∠CDE； (2)求证：△ADF∽△DEC； (3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长. 24．【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角， 使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合）， 在的右侧作等腰，使，， 连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （2） 在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点， 请直接写出当时的长． 第4章《相似三角形》单元检测试卷（解析版） 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解：， ，即， 故选：D． 2．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可． 【详解】解：根据题意得，即， 所以． 故选：． 4． 如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，， 若，，，则的长是（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：直线， ， ∵，，， ， ， 故选：B． 4．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】因为两个图形相似： 解得： A选项正确，不符合题意； B选项错误，符合题意； C选项正确，不符合题意； ， D选项正确，不符合题意； 故选：B． 5 .如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（   ）  A．12m B．10m C．8m D．7m 【答案】A 【分析】由BE∥CD得，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵BE∥CD， ∴， ∴，即， 解得：CD=12． ∴旗杆的高为12m． 故选：A． 9． 如图，点D是的边上的一点，连接， 则下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意． 当时，不能判定，故C符合题意． 故选：C． 10． 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置， 设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上． 已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度， 则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 11． 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，， 根据图 2 中的数据可得x的值为（   ）    A．0.8 B．0.72 C．1.8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．由，可得出进而得出解出即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：B 11． 中，，三个正方形如图放置，边长分别为a，b，c， 已知，，则c的值为（   ）    A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：如图：    中，，放置边长分别为a，b，c的正方形，且，， ，，， ，， ， ，即， 解得：， 故选C． 12． 如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠， 点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论： ①垂直平分；②平分；③；④． 其中，将正确结论的序号全部选对的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF， 由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF＝MF， ∴DF＝CF，在△DEF与△CFN中， ∴△DFE≌△CFN， ∴EF＝FN， ∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF， ∴∠BFM＝∠BFC， ∴BF平分∠MFC；故②正确； ∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN， ∴∠BFE＝∠BFN， ∵∠BFE＋∠BFN＝180°， ∴∠BFE＝90°， 即BF⊥EN， ∴BF垂直平分EN，故①正确； ∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°， ∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°， ∴∠EFM＝∠EBF， ∵∠DFE＝∠EFM， ∴∠DFE＝∠FBE， ∴；故③正确； ∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM， ∴BE＝3EM， ∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF； 故④正确． 综上所述：①②③④都正确， 故答案选：D． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可． 【详解】解：根据题意得，即， 所以． 故答案为：． 12．如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心， 在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，且， 点的坐标为，即， 故答案为：． 16． 如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个， 能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 17． 如图，小明在A时测得垂直于地面的树影长为5米，B时又测得该树的影长为15米， 若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的相似在实际生活中的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，画出示意图，可得，进而可得，代入数据可得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得： ， ∴树的高度为米， 故答案为：． 18． 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm， 其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．      【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 17． 如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H， 连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题： ①；②；③；④， 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据矩形的性质得到，由平分，得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，得到等腰三角形求出，得到①正确；设，则，求出，得到，故②错误；通过角的度数求出和是等腰三角形，从而得到④正确；由即可证得，故③正确． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴， 是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴，故①正确； ∴， ∴， 设， 则， ， ，故②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ∴，故③正确． 故答案为：①③④． 三、解答题：（本大题共10个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.如图， ，，，，求的长． 【答案】15 【分析】根据平行线分线段成比例，因为可得，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， 即：； ∴的长为15． 18．如图，在中，D为上一点，．求的长．    【答案】的长为9． 【分析】根据已知条件证明，得到求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 故的长为9． 20． 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为， 交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 23． 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE＝BC， 连接AE，AE与CD交于点F． （1）求证：△ADF∽△ECF； （2）求DF的长． （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，即AD∥BE， ∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF， ∴△ADF∽△ECF； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD＝8， ∴，即． ∵△ADF∽△ECF， ∴，即． ∵CD＝DF+CF， ∴． 24． 如图，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动； 点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动． 若、同时出发，运动时间为．    (1)用含t的代数式分别表示线段和的长； (2)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理列式求出，再表示出和； （2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 点的速度是每秒1个单位，点的速度是每秒1个单位， ，； （2）①是直角时，， ， 即， 解得，舍去； ②是直角时，， ， 即， 解得， 综上所述，时，与相似． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：∠DAF＝∠CDE； (2)求证：△ADF∽△DEC； (3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长. 解：（1）证明：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B=∠ADC ∵∠AFE=∠B， ∴∠AFE=∠ADC ∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2 ∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3 ∴∠DAF=∠CDE （3） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠2=∠4 由（1）得∠1=∠3 ∴△ADF∽△DEC （3）∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD ∴DE= 由（2）可知：△ADF∽△DEC，CD=AB=7 ∴ ∴ ∴AF= 24．【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角， 使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合）， 在的右侧作等腰，使，， 连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （4） 在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点， 请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$