第四章 相似三角形 单元练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

第四章 相似三角形 单元练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知线段，，，求作线段，使，则下列作法中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在平行四边形中，，分别是，边上的点，连结，相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于  (    ) A. B. C. D. 5.已知∽，和是它们的对应中线，若，，则与的面积比是(    ) A. B. C. D. 6.如图，，则图中相似三角形共有(    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 7.如图，在中，、分别是、上的点，与相交于点，若：：，：：，则：的值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，，则下列比例式正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知，且，若，则          ． 10.如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为，那么裙子的腰节到脚尖的距离为          结果保留根号 11.如图，点在的边上，若要使与相似，可添加的一个条件是          只需写出一个． 12.如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，交于点若，，则 ______． 13.如图，已知直线，被一组平行线，，所截，交点分别为，，和，，，若，，则等于______． 14.如图，在矩形中，为的中点，与相交于点若，，则的长为           ． 15.一把剪刀如图所示，，，当手握的地方张开时，剪刀的尖端，两点的距离为           ． 16.黄金分割是汉字结构基本的规律借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为______结果保留根号． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知，求的值． 18.本小题分 如图，矩形的对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点． 求证：∽； 当点为中点时，若，求的值． 19.本小题分 如图，在中，，于点． 求证：∽； 若，，求． 20.本小题分 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图． 以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出 以为位似中心，画一个，使它与的位似比为． 21.本小题分 如图，，，，，，求线段的长． 22.本小题分 如图，线段，为中点，是平面上异于，的任一动点，且满足，若点和点在直线的同侧，且，并始终有，连接，． 如图，若，求线段的长； 若将线段三等分，求线段的长； 直接写出线段长度的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由，可得：， 解得：， 所以的值为， 故选：． 根据比例的性质解答即可． 此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质得出，的关系式． 2.【答案】  【解析】A.根据平行线的性质得，，A错误． B.根据平行线的性质得， ，B错误． C.根据平行线的性质得， ，C错误． D.根据平行线的性质得， ，D正确故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质列出比例式，判断即可． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，错误、正确，符合题意； ，正确，不符合题意； ，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4.【答案】  【解析】由题意得矩形与矩形相似，则，因为，所以，所以故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据相似三角形的性质：对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可． 【解答】 解：∽，和是它们的对应中线，，， 两三角形的相似比为：：， 则与的面积比是：：． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：， ∽ ∽ ∽，∽ ∽ ∽ 共有对 故选：． 根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可． 此题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考查学生的看图分辨能力 7.【答案】  【解析】解：：：，：：， ，， 过作交于， ∽，∽， ，， ，， ， 故选：． 过作交于，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】解：设裙子的腰节到脚尖的距离为， 以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为， ， ， 即裙子的腰节到脚尖的距离为， 故答案为： 设裙子的腰节到脚尖的距离为，根据黄金分割的定义得，再计算即可． 本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 11.【答案】答案不唯一  【解析】略 12.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ，， 是线段上一点，， ， ， ∽， ， ， ， ， 故答案为：． 由平行四边形的性质得，，由，推导出，再证明∽，得，所以，而，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，并且证明∽是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：，， ， ，，， ， 故答案为：． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ，，， ， ∽， ， 为的中点， ， ， ， 故答案为：． 根据矩形的性质、勾股定理求出，，，即可判定∽，最后根据相似三角形的性质求解即可． 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】，， ，，， 又，∽， ，， 解得：． 16.【答案】  【解析】解：点为的黄金分割点，且，， ， ， 故答案为： 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 17.【答案】．  【解析】解：设，则，，， 所以原式． 设，根据比例的性质得到，，，接着把它们分别代入所求的代数式中，然后进行分式的化简即可． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键． 18.【答案】见解析；  ．  【解析】证明：四边形为矩形， ，， ， ， ， ∽； 由知∽， ， ，为的中点， 则， ， 在中可得：． 根据矩形性质以及直角三角形两锐角互余可得，即可证明∽； 利用相似三角形性质得到，结合矩形性质求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 19.【答案】证明见解答；   的长是．  【解析】证明：于点， ， ， ， ， ∽． 解：∽， ， ，， ， 的长是． 由于点，得，由，，得，则∽； 由相似三角形的性质得，因为，，所以． 此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明∽是解题的关键． 20.【答案】解：如图，为所作； 如图，为所作．   【解析】本题考查了作图位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换． 利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点即可； 延长到点使，延长到点使，则满足条件． 21.【答案】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ∽， ． 又，，， ， ， 则．  【解析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．根据题意推知四边形是平行四边形是解题的关键由题意推知四边形是平行四边形，则，，易推知∽，由相似三角形的对应边成比例推知的长度，则． 22.【答案】；  或；  ．  【解析】，， ， ， ， ， ， ； 取中点，连接，设，交于， 由题意可得：是的中位线， ， ， ， ， ， 又， ∽， ； 由题意可得：当点是靠近点的三等分点时，则， ， ， 在中，， 在中，由勾股定理得， ， 解得或舍去， 当点是靠近点的三等分点时，则， ， ， ， ， ， 解得或舍去； 的长为或； 过点作，使，连接，． 则， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ． ，为的中点， ， 点和点在直线的同侧， ， ， ， ． 求出，解直角三角形得到，据此解直角三角形可求出； 取中点，连接，设，交于，则是的中位线，可得，证明∽，得到；再分点是靠近点的三等分点和点是靠近点的三等分点，两种情况讨论求解即可； 过点作射线，使，连接，得到，，根据．，可得，根据，得到∽，得，得到根据，得到，即得． 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第8页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$