专题01 期末真题百练通关111题37大易错题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题01 期末真题百练通关（111题37大易错题型） 题型1 分式有无意义、值为零的条件 题型20 二次根式有意义的条件 题型2 分式求值 题型21 二次根式的化简 题型3 分式的基本性质 题型22 二次根式的混合运算 题型4 最简分式与最简公分母 题型23 分母有理化 题型5 分式混合运算 题型24 二次根式应用 题型6 分式化简求值 题型25 轴对称 题型7 解分式方程 题型26 垂直平分线 题型8 分式方程的应用 题型27 角平分线 题型9 命题与证明 题型28 中心对称图形 题型10 全等三角形的性质 题型29 等腰三角形的判定与性质 题型11 全等三角形的判定 题型30 找等腰三角形成立的点 题型12 添加条件证明三角形全等 题型31 含30度角的直角三角形 题型13 三角形的尺规作图 题型32 斜边的中线定理 题型14 平方根解方程 题型33 勾股定理的证明 题型15 算术平方根的非负性解题 题型34 勾股定理的逆定理 题型16 算术平方根、立方根的规律探索 题型35 勾股定理的应用 题型17 实数的相关概念 题型36 直角三角形全等的判定 题型18 无理数整数部分计算 题型37 反证法 题型19 近似数 题型一 分式有无意义、值为零的条件（共3小题） 1．若分式有意义，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．任意实数 2．写一个含有字母x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．则这个分式可以是 ． 3．对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 题型二 分式求值（共3小题） 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，则分式为 ． 6．阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 题型三 分式的基本性质（共3小题） 7．下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 8．已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的3倍，此时分式的值为 （填数字） 9．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 题型四 最简分式与最简公分母（共3小题） 10．下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 11．分式：的最简公分母是 12．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 分式混合运算（共3小题） 13．化简： (1) (2)化简：． 14．计算： 15．化简：． 题型六 分式化简求值（共3小题） 16．先化简，再求值： ，其中 ． 17．先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 18．分式化简求值：，其中x为满足的整数 题型七 解分式方程（共3小题） 19．解方程： (1)； (2) 20．解分式方程： (1) (2) 21．解方程 (1) (2) 题型八 分式方程的应用（共3小题） 22．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为a千米，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，求这两款车的每千米行驶费用分别为多少？ 23．某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 24．义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍； 信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时． (1)求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ (2)若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？ 题型九 命题与证明（共3小题） 25．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的逆命题； (2)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 26．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 27．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 题型十 全等三角形的性质（共3小题） 28．如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 29．如图，已知，且点D在边上． (1)求证∶； (2)若，求 的长． 30．如图，，其中点A，B，C，D在同一条直线上． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的长． 题型十一 全等三角形的判定（共3小题） 31．如图，在中，，D是的中点，延长至点E，连接．求证：． 32．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 33．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 题型十二 添加条件证明三角形全等（共3小题） 34．已知：如图，在和中，点B、D、C、F在同一直线上． 下面有四个条件：①；②；③；④ (1)把其中三个条件作为已知，一个条件作为结论，甲、乙两位同学给出了两个命题，其中是真命题的是______． 甲：如果①②③，那么④； 乙：如果①③④，那么②； (2)把（1）中的真命题进行证明． 35．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 36．如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 题型十三 三角形的尺规作图（共3小题） 37．已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 38．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 39．如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 题型十四 平方根解方程（共3小题） 40．求下列各式的值： (1)． (2)． 41．若，则 ． 42．若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 题型十五 算术平方根的非负性解题（共3小题） 43．已知实数、满足，则等于（    ） A．3 B． C．1 D． 44．若与互为相反数，则 45．已知与 互为相反数，求的平方根． 题型十六 算术平方根、立方根的规律探索（共3小题） 46．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 47．已知，，，，则 ． 48．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 题型十七 实数的相关概念（共3小题） 49．在数，，，，π，（每两个2之间依次增加一个1）中，无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 50．在下列各数：，，，（两个1之间依次多一个，，，中，无理数有 个． 51．数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： ，，，，，，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：{　　　　　　}； “分数”席：{　　　　　　}． 题型十八 无理数整数部分计算（共3小题） 52．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 53．已知的整数部分为，小数部分为． （1） ； （2） ． 54．阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的相反数的值． 题型十九 近似数（共3小题） 55．某教学楼共5层楼梯，每层楼梯都有28级台阶，经测量，每级台阶高为，下列说法正确的是（　　） A．准确数只有5 B．近似数是12.5和28 C．楼梯的总高是准确数字 D．楼梯的总高，结果精确到十分位 56．用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是 ． 57．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 题型二十 二次根式有意义的条件（共3小题） 58．若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 59．若有意义，则x的取值范围是 ． 60．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 题型二十一 二次根式的化简（共3小题） 61．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 62．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 63．实数，在数轴上的位置如图所示．    (1)化简：__________，__________． (2)先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根． 题型二十二 二次根式的混合运算（共3小题） 64．计算： (1)； (2)． 65．计算： (1)； (2)． 66．计算： (1)； (2)． 题型二十三 分母有理化（共3小题） 67．小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴， ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) ， ． (2)化简：． (3)若，请按照小明的方法求出的值． 68．化简 解： 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果①___________②___________ (2)应用：化简 (3)拓展：___________ 69．阅读下面计算过程： ； ； ； 请解决下列问题： (1)化简： ______ ； (2)根据上面的规律，请直接写出 ______ ； (3)利用上面的解法，请化简：． 题型二十四 二次根式应用（共3小题） 70．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 71．如图，长方形内两个正方形的面积分别为． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和. 72．某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 题型二十五 轴对称（共3小题） 73．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称，点D与点A对应，画出直线和； (2)在直线上找一点，使的值最小．（在图形中标出点，保留作图痕迹） 74．如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 75．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 题型二十六 垂直平分线（共3小题） 76．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，已知的周长为，的周长为． (1)求线段的长． (2)连接，求线段的长． 77．如图，在中，，是的中点，在的延长线上找一点，连接并延长交的延长线于点，连接．    (1)若，的周长为8，求的周长； (2)若，，求的度数． 78．如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 题型二十七 角平分线（共3小题） 79．在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 80．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放在上，使点与点重合，点，分别在边，上，沿画射线交于点，则是的角平分线．请你对“是的角平分线”说明理由； (2)在（1）的条件下，过点作于点．若，，求的长． 81．已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 题型二十八 中心对称图形（共3小题） 82．如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 83．请按下列要求画图（每小问各画出一种即可）． (1)在图1中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形． (2)在图2中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图3中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，并使它既成中心对称图形，又成轴对称图形，在图4中画出符合条件的图形． 84．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 题型二十九 等腰三角形的判定与性质（共3小题） 85．如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 86．如图，点O是内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 87．如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点． ①求证：． ②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 题型三十 找等腰三角形成立的点（共3小题） 88．如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 89．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 90．如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 题型三十一 含30度角的直角三角形（共3小题） 91．如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ． 92．如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，，，则的长为 ． 93．在中，，，的平分线交于点，如图1． (1)求的度数； (2)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 题型三十二 斜边的中线定理（共3小题） 94．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（   ） A． B． C． D． 95．如图，在中，，若点P是的中点，则线段的长等于 ；若点P在直线上运动，设点B，C关于直线的对称点分别为，，则线段的长等于 ． 96．在四边形中，，M、N分别是的中点．    (1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论； (2)如果，，求的长． 题型三十三 勾股定理的证明（共3小题） 97．意大利著名画家达・芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．图①中两个正方形的边长分别为，，空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 98．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    99．如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 题型三十四 勾股定理的逆定理（共3小题） 100．如图，在中，D为边上的一点，． (1)请说明． (2)求的面积． 101．如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知．根据规划要求． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)计算图中阴影部分的面积． 102．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型三十五 勾股定理的应用（共3小题） 103．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 104．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 105．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 题型三十六 直角三角形全等的判定（共3小题） 106．如图，点，均在线段上，且，分别过点，在的异侧作，，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 107．如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 108．如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 题型三十七 反证法（共3小题） 109．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 110．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 111．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 1．（2025八年级上·河北石家庄·期末）下列是无理数的为（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 4．（2025八年级上·河北沧州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 6．（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，点是上一点，第一次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；第二次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；第三次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，，当进行到第次操作后就无法继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，点在直线上运动，以为边在右侧作等腰，使，，取中点，连接，当的值最小时，的长为（    ） A． B．2 C． D． 8．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（2025八年级上·河北沧州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ． 11．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，延长到点B，连接，在上找一点F，延长交于点E，若，，的面积为，则的长为 ． 12．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，C、Q是斜边上两点，且，将绕点O顺时针旋转90°后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个． 13．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 14．（24-25八年级上·河北唐山·期末）计算： (1)． (2)． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期末）先化简，再求值：，其中． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数． 17．（24-25八年级上·河北沧州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）（1）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： ①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． ②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） （2）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，为边上一点，为边上一点，作的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求证：； (3)若，直接写出“”的计算结果． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在中，，点在射线上运动，过点作交射线于点． (1)当点在线段上时： ①如图1，求证：； ②若，当平分时，求的度数； ③如图2，作于点，、的平分线相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由； (2)当点在的延长线上时： 如图3，作于点，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点，直接写出的度数． 21．（24-25八年级上·河北唐山·期末）在中，，点是边上一点（不与，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)若，如图1，______； (2)若，其他条件不变，如图2． ①求证：； ②请判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)当，，时，请直接写出四边形周长的最小值． 22．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，． (1)点P在上， ①如图1，当时， ； ②如图2，当点P在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点M在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关（111题37大易错题型） 题型1 分式有无意义、值为零的条件 题型20 二次根式有意义的条件 题型2 分式求值 题型21 二次根式的化简 题型3 分式的基本性质 题型22 二次根式的混合运算 题型4 最简分式与最简公分母 题型23 分母有理化 题型5 分式混合运算 题型24 二次根式应用 题型6 分式化简求值 题型25 轴对称 题型7 解分式方程 题型26 垂直平分线 题型8 分式方程的应用 题型27 角平分线 题型9 命题与证明 题型28 中心对称图形 题型10 全等三角形的性质 题型29 等腰三角形的判定与性质 题型11 全等三角形的判定 题型30 找等腰三角形成立的点 题型12 添加条件证明三角形全等 题型31 含30度角的直角三角形 题型13 三角形的尺规作图 题型32 斜边的中线定理 题型14 平方根解方程 题型33 勾股定理的证明 题型15 算术平方根的非负性解题 题型34 勾股定理的逆定理 题型16 算术平方根、立方根的规律探索 题型35 勾股定理的应用 题型17 实数的相关概念 题型36 直角三角形全等的判定 题型18 无理数整数部分计算 题型37 反证法 题型19 近似数 题型一 分式有无意义、值为零的条件（共3小题） 1．若分式有意义，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的定义是关键． 由分式的定义可知，分式有意义的条件为分母不为0，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即． 故选：A． 2．写一个含有字母x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．则这个分式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件．根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），构造分式． 【详解】解：当时，分式无意义，因此分母应含有因式；当时，分式的值为，因此分子应含有因式，且分母在时不为零．故分式可以为． 故答案为（答案不唯一）． 3．对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 【答案】 0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可． 【详解】∵对于分式，当时，分式的值为零， ∴ ∴， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴ ∴ ∴联立①②得， 解得． 故答案为：0，． 题型二 分式求值（共3小题） 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，根据结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．已知实数满足，则分式为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，将所求分式的分子和分母同时除以，变形后代入已知条件计算．结合分式的基本性质进行恒等变形是解题的关键． 【详解】解：∵实数满足， ∴， ∴， 即分式为 故答案为 ． 6．阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可． 【详解】解：方法一：∵， ∴，， ∴ ； 方法二：∵， ∴， 设，则， ∴ ． 题型三 分式的基本性质（共3小题） 7．下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项正确，符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 8．已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的3倍，此时分式的值为 （填数字） 【答案】3 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 将a，b都扩大到原来的3倍，代入分式化简后与原分式相同，因此值不变． 【详解】当a，b都扩大到原来的3倍时， 新分式为． 故答案为：3． 9．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 题型四 最简分式与最简公分母（共3小题） 10．下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故原式不是最简分式，不符合题意； D、，故原式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 11．分式：的最简公分母是 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母． 最简公分母由各分母系数的最小公倍数和所有字母因式的最高次幂的积组成． 【详解】解：分母系数分别为3、2、5，其最小公倍数为30， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 12．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 题型五 分式混合运算（共3小题） 13．化简： (1) (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简即可． （2）先把除法转化为乘法并约分，再通分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【详解】解： ． 15．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型六 分式化简求值（共3小题） 16．先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17．先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 18．分式化简求值：，其中x为满足的整数 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足的整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 题型七 解分式方程（共3小题） 19．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先去分母，化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：∵ 去分母得， 去括号得， 移项得 解得， 经检验：是原分式方程的解； （2）解：∵， ∴ ∴去分母得 ∴ ∴ 解得。 经检验：当时，则， 故是原分式方程的增根， 此方程无解． 20．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 21．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为； （2）解： 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 题型八 分式方程的应用（共3小题） 22．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为a千米，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，求这两款车的每千米行驶费用分别为多少？ 【答案】燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设两款车的续航里程均为a千米，根据燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元列分式方程求解并检验即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元），（元） 答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元． 23．某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个 (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过37000元，列出不等式求解，并取最小整数解，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解：∵单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过37000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 24．义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍； 信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时． (1)求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ (2)若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？ 【答案】(1)A采血点运送车辆的平均速度是，B采血点运送车辆的平均速度是 (2)B采血点采集的血液不会变质 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，理解题意，确定相等关系列出正确的方程是解本题的关键． （1）设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为，再根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时”建立分式方程求解即可； （2）由采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可． 【详解】（1）解：设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：采血点运送车辆的平均速度是，采血点运送车辆的平均速度为； （2）解：采血点运送车辆的行驶时间为． 依题意，， ∴采血点采集的血液不会变质． 题型九 命题与证明（共3小题） 25．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的逆命题； (2)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)如果，那么 (2)假命题，反例见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题． （1）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （2）举出反例即可． 【详解】（1）解：此命题的逆命题为：如果，那么； （2）解：此命题的逆命题是假命题； 例如：时，，而． 26．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【详解】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 27．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 题型十 全等三角形的性质（共3小题） 28．如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】（1）证明：点分别为的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：， ． 29．如图，已知，且点D在边上． (1)求证∶； (2)若，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 30．如图，，其中点A，B，C，D在同一条直线上． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查三角形全等的性质，垂直的定义，正确理解图形中的对应关系是解题的关键. （1）根据垂直的定义及全等三角形的性质得到，即可求出的大小； （2）利用推出，再根据已知得出，即可求出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴，即. ∵，， ∴， ∴. 题型十一 全等三角形的判定（共3小题） 31．如图，在中，，D是的中点，延长至点E，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，得出，从而得，即可证． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 32．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题中条件证明，推出，再证明，可得； （2）由（1）知，，，可得，由，，推出． 【详解】（1）平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ． （2）由（1）知，，， 由得，， ，， 两式相减，可求得 ． 故答案为：4． 33．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 题型十二 添加条件证明三角形全等（共3小题） 34．已知：如图，在和中，点B、D、C、F在同一直线上． 下面有四个条件：①；②；③；④ (1)把其中三个条件作为已知，一个条件作为结论，甲、乙两位同学给出了两个命题，其中是真命题的是______． 甲：如果①②③，那么④； 乙：如果①③④，那么②； (2)把（1）中的真命题进行证明． 【答案】(1)甲 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）结合全等三角形的判定，分析甲、乙两个命题即可得出结论； （2）利用全等三角形判定定理证明，即可完成证明． 【详解】（1）解：已知①②③可以构成，可以证明全等三角形，得出④，故甲是真命题； 已知①③④可以构成，不能证明全等三角形，得不出②，故乙是假命题． 故答案为：甲． （2）已知：①②③，求证：④． 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 35．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 36．如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 【答案】(1)②或③（任选一个填即可） (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；分析条件，可得一边与一角对应相等，若用判定，则选择②；若用判定，则选择③，从而可完成两问的解答． 【详解】（1）解：②或③（任选一个填即可） （2）选择② 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 选择③ 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 题型十三 三角形的尺规作图（共3小题） 37．已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，作全等三角形，根据题意方法一利用作一条线段等于已知线段，根据边边边可得出全等三角形；方法二，根据作一条线段等于已知线段及作一个角等于已知角，作图即可，利用边角边可得出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和基本的作图方法是解题关键． 【详解】 方法一 方法二 作图区域： 作图区域： 结论：如图，为所求 结论：如图，为所求 作图依据：边边边或． 作图依据：边角边或． 38．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 【答案】(1)见解析 (2)② 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意作图步骤进行作图即可； （2）根据作图痕迹，利用即可证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：根据作图可知：，，， ∴， 即判定的依据是②， 故答案为：②． 39．如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，尺规作图—作三角形，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）以C为圆心，以的长为半径画弧，以B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，再由即可证明； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型十四 平方根解方程（共3小题） 40．求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了利用平方根的概念解方程，熟练掌握平方根定义，是解题的关键． （1）先移项，然后方程两边同除以3，再开平方即可； （2）方程两边同时开平方，然后求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 开平方得：； （2）解：， 开平方得：， 解得：，． 41．若，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根解方程， 通过化简方程，利用平方根求解即可． 【详解】 整理得， ∴ ∴ ∴ 解得或． 故答案为：或． 42．若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，正确进行开方是解题的关键．先对进行开方，得到，再根据的非负性，即可得出结论． 【详解】， ， 或， 不论、为何值，， ， 故选． 题型十五 算术平方根的非负性解题（共3小题） 43．已知实数、满足，则等于（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根非负性，绝对值非负的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据绝对值非负的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 所以，． 故选：C． 44．若与互为相反数，则 【答案】1 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性、解二元一次方程组、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据相反数的定义可得，根据绝对值和算术平方根的非负性可得，解方程组求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 45．已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 题型十六 算术平方根、立方根的规律探索（共3小题） 46．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 47．已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 48．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 题型十七 实数的相关概念（共3小题） 49．在数，，，，π，（每两个2之间依次增加一个1）中，无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了无理数，求一个数的立方根等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否无理． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵是开方开不尽的数， ∴是无理数； ∵， ∴是有理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∵（每两个2之间依次增加一个1）是无限不循环小数， ∴是无理数． ∴无理数有、、（每两个2之间依次增加一个1），共3个， 故选：A． 50．在下列各数：，，，（两个1之间依次多一个，，，中，无理数有 个． 【答案】6 【分析】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，零指数幂，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，（每两个8之间依次多1个等形式．先化简各数，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无限循环小数，是有理数，是分数，是有理数； 无理数有：，，，（两个1之间依次多一个，，，共6个， 故答案为：6． 51．数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： ，，，，，，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：{　　　　　　}； “分数”席：{　　　　　　}． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】本题主要考查了无理数的定义，有理数的分类，即无限不循环小数是无理数，有理数包括整数和分数， 对于（1），根据无理数的定义解答； 对于（2），根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：（每两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数，一共3个， 所以主办方需要准备3个“无理数”的席位； 故答案为：3； （2）解：， “整数”席：； “分数”席：， 故答案为：；． 题型十八 无理数整数部分计算（共3小题） 52．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 53．已知的整数部分为，小数部分为． （1） ； （2） ． 【答案】 / 【分析】估算无理数的大小即可得到，的值代入代数式求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了无理数的估算，零指数幂，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 54．阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的相反数的值． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练地确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出，的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为1，则小数部分为； 故答案为：1；． （2）解：， ， 又x是一个整数，，且， ，， ， 的相反数为． 题型十九 近似数（共3小题） 55．某教学楼共5层楼梯，每层楼梯都有28级台阶，经测量，每级台阶高为，下列说法正确的是（　　） A．准确数只有5 B．近似数是12.5和28 C．楼梯的总高是准确数字 D．楼梯的总高，结果精确到十分位 【答案】D 【分析】本题考查准确数与近似数的概念．5层和28级台阶均为准确计数，是准确数；为测量值，是近似数．总高由计算得出，受的精度影响，结果为近似数，且精确到十分位． 【详解】∵楼层数5和每层台阶数28均为准确计数，是准确数； 每级台阶高为测量值，是近似数； 总高； ∵是近似数（精确到）， ∴总高也为近似数，且结果精确到十分位（即分米）． 选项A错误，因准确数包括5和28； 选项B错误，因28是准确数； 选项C错误，因17.5是近似数； 选项D正确． 故选：D． 56．用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数与精确度，把千分位上的数字进行“四舍五入”即可，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键． 【详解】解：（精确到）， 故答案为：． 57．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 【答案】(1)精确到十分位，有3个有效数字； (2)精确到万位，有1个有效数字； (3)精确到百位，有4个有效数字 【分析】本题考查了近似数的精确度和有效数字的概念． （1）、（2）、（3）近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；有效数字，即从数字的左边第一个不是0的数字起，所有的数字都是有效数字．据此求解即可． 【详解】（1）解：近似数，数字0所在是位是十分位，则精确到十分位，有3个有效数字； （2）解：近似数5万，数字5所在的位是万，则精确到万位，有1个有效数字； （3）解：近似数，右边的数字5所在的位是百位，则精确到百位，有4个有效数字． 题型二十 二次根式有意义的条件（共3小题） 58．若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件，是解答本题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 59．若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题关键． 要使分式有意义，需同时满足二次根式的被开方数非负且分式的分母不为零两个条件，分别求解后取公共部分即可． 【详解】解：要使 有意义，需满足以下条件： 1． 分母 ，即 ； 2． 根号内的表达式 ，解得 ； 综上，x 的取值范围为 且 ． 60．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 题型二十一 二次根式的化简（共3小题） 61．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）利用二次根式的性质进行化简即可； （2）利用二次根式的性质进行化简即可； （3）利用二次根式的性质进行化简即可； （4）利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 62．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 63．实数，在数轴上的位置如图所示．    (1)化简：__________，__________． (2)先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了化简二次根式、平方根及算术平方根、绝对值： （1）由数轴得：，，再根据二次根式的性质及绝对值的意义即可求解； （2）由图可知：，，进而可得，，再根据二次根式的性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义得，，进而可求解． 【详解】（1）解：由数轴得：，， ，， 故答案为：；． （2）由图可知：，， ∴，， ∴． ∵是的一个平方根，是3的算术平方根，， ∴，， ∴． 题型二十二 二次根式的混合运算（共3小题） 64．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． （1）先化简，再从左到右依次计算即可； （2）先化简，再算除法和利用完全平方公式计算，最后算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 65．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2； (2)26 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1 ）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2 ）先根据平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 66．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先提取，再进行分母有理化化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式就算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十三 分母有理化（共3小题） 67．小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴， ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) ， ． (2)化简：． (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1)， (2)4 (3)5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 68．化简 解： 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果①___________②___________ (2)应用：化简 (3)拓展：___________ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案； （3）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 故答案为：． 69．阅读下面计算过程： ； ； ； 请解决下列问题： (1)化简： ______ ； (2)根据上面的规律，请直接写出 ______ ； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分母有理化的法则进行运算即可； （2）分析所给的式子的形式，从而可求解； （3）利用（2）的规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）由题意得：， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型二十四 二次根式应用（共3小题） 70．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】(1)这个舞台的宽为米 (2)舞台装饰后的面积是平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 71．如图，长方形内两个正方形的面积分别为． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求阴影部分的面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用开平方运算求出大正方形的边长，小正方形的边长，再结合长方形周长公式求解，即可解题； （2）利用长方形面积减去两个正方形面积，即可得出图中两块阴影部分的面积和． 【详解】（1）解： 两个正方形的面积分别为， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， 长方形的周长为； （2）解：两块阴影部分的面积和为． 72．某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 【答案】(1)长方形的周长是 (2)定期维护的总费用为2360元 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质，二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据长方形周长公式，列出算式，进行计算即可； （2）求出空白部分的面积，然后乘以40，求出结果即可． 【详解】（1）解：长方形的周长为： ， 答：长方形的周长是； （2）定期维护的总费用为： （元）． 答：定期维护的总费用为2360元． 题型二十五 轴对称（共3小题） 73．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称，点D与点A对应，画出直线和； (2)在直线上找一点，使的值最小．（在图形中标出点，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查轴对称变换的性质、正方形的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，这条垂直平分线即为直线，分别作点、关于直线的对称点，连接、、得到即可； （2）连接与直线的交点即为所求的点，根据轴对称的性质得到当、、三点共线时，的值最小， 即证得的值最小． 【详解】（1）解：先连接，作的垂直平分线，观察发现是组成的正方形的对角线，则作出该正方形的另一条对角线并延长对角线，这条对角线即为直线， 分别作点、关于直线的对称点，连接、、，得到，如下图所示： （2）解：根据轴对称的性质，连接，与直线的交点为所求的点， 因为点与点关于直线对称， 所以， 那么, 当、、三点共线时，的值最小， 即的值最小． 74．如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键． （1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴垂直平分； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 75．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 题型二十六 垂直平分线（共3小题） 76．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，已知的周长为，的周长为． (1)求线段的长． (2)连接，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）先推导出，，则，即可解答． （2）先证明，得到，，由，，得到，求出的长即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ． ∵是边的垂直平分线， ， ∴． ∵的周长为， ． （2）解：∵是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ． ，， ∴， ． 77．如图，在中，，是的中点，在的延长线上找一点，连接并延长交的延长线于点，连接．    (1)若，的周长为8，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)20 (2)60度 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）证明垂直平分，得,可求的周长为． （2）由三角形内角和定理可求，证明，得，再运用三角形外角性质可得结论． 【详解】（1）解：，是的中点， 垂直平分， ． ，的周长为8， ，． 的周长为． （2）解：，， ， 在和中， ， ， ， ． 78．如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 题型二十七 角平分线（共3小题） 79．在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 【答案】(1) 证明过程见解析； ②，证明见解析； (2)（1）中所得结论仍然成立，理由见解析． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质，即可证得结论；过点作于点，由角平分线的性质，等量代换可得，可证明，即可得与之间的数量关系； （2）由角平分线的定义，结合三角形的内角和定理，可得，过点作于.作于，连接，同（1）可得，，是的平分线，可得，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 、分别是的平分线， ，， ，， ． 解：， 证明：过点作于点， 、分别是的平分线， 于，于 ，， ， 又，， ， ． （2）解：（1）中所得结论仍然成立， 理由如下： 、分别是的平分线， ，， ， 过点作于.作于，连接， 同（1）可得，，是的平分线， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 80．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放在上，使点与点重合，点，分别在边，上，沿画射线交于点，则是的角平分线．请你对“是的角平分线”说明理由； (2)在（1）的条件下，过点作于点．若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等面积法和角平分线的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据全等三角形的判定边边边和性质，角平分线的判定知识进行作答，即可求解； （2）根据角平分线的性质的知识和等面积法进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 即是的角平分线； （2）解：过点作于点，如图： ，平分，，， ∴． ， ∵， ∴． 81．已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作于点， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， 由①得，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十八 中心对称图形（共3小题） 82．如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 【答案】2， 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 根据中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， ，． 83．请按下列要求画图（每小问各画出一种即可）． (1)在图1中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形． (2)在图2中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图3中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，并使它既成中心对称图形，又成轴对称图形，在图4中画出符合条件的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，找对称轴及对称点是关键． （1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，画图即可； （3）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：如图， 84．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 题型二十九 等腰三角形的判定与性质（共3小题） 85．如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查的等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 86．如图，点O是内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质推出，计算，进而解题； （3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的判定方法解题即可． 【详解】（1）证明：∵≌， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 87．如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点． ①求证：． ②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定， （1）①根据等边三角形的性质得，再根据，可得，然后根据全等三角形对应边相等得出答案； ②根据全等三角形的对应角相等得，再根据得出答案； （2）在上截取，连接，可得，再根据等边三角形的性质证明，进而得出答案. 【详解】（1）证明：①如图1，是等边三角形， ． ， ， ． ②解：， ． ， ． （2）解：．理由如下： 如图2，在上截取，连接， 则． 又是等边三角形， ． ． 是等边三角形． ， ， ． 题型三十 找等腰三角形成立的点（共3小题） 88．如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 89．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 90．如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 【答案】6或18 【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足 因此有18−2t=t 解得t=6(s) （2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形， ∵ ∴ΔPOQ也是等边三角形 因此有2t−18=t 解得t=18(s) 综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形 故答案为：6或18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 题型三十一 含30度角的直角三角形（共3小题） 91．如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，根据中垂线的性质，得到，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3． 92．如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理，含直角三角形的性质， 先根据线段垂直平分线的性质定理得，再根据“等边对等角”得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出，即可根据角平分线的性质定理得，接下来根据直角三角形的性质得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：9． 93．在中，，，的平分线交于点，如图1． (1)求的度数； (2)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用直角三角形中角的性质和全等三角形的判定进行推理计算。 （1）利用三角形内角和与角平分线定义求角度； （2）按要求完成尺规作图； （3）由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ； （2）如图所示，即为所求； （3）解：如图所示 ，， ． 平分， ． ． 在中，，， ． ． 由作图可知垂直平分， ，， ． 在和中， ， ， ． 题型三十二 斜边的中线定理（共3小题） 94．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知，点D为边的中点， ∵在中，， , 故选：B． 95．如图，在中，，若点P是的中点，则线段的长等于 ；若点P在直线上运动，设点B，C关于直线的对称点分别为，，则线段的长等于 ． 【答案】 6.5 13 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为在中，，点P是的中点，故线段的长等于，根据轴对称的性质得，即可作答． 【详解】解：在中，，点P是的中点， ∴线段的长等于, ∵点P在直线上运动，设点B，C关于直线的对称点分别为，， 根据轴对称的性质，对称轴两侧的对应线段相等 ∴ 故答案为：6.5，13 96．在四边形中，，M、N分别是的中点．    (1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)．证明见解析 (2)1 【分析】本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形． （1）在直角中，中线；在直角中，；在中，N是中点，所以，根据这些条件很容易推出； （2）在三角形中，一个内角的补角等于另外两个内角的和，根据三角形的这一性质，求得，所以． 【详解】（1）解：猜想． 证明：连接， ，M是的中点，    ∴， ，M是的中点 ∴， ， ， （2），M是的中点， ， , ， 同理， ， ， 是等腰直角三角形， ∵点N是的中点，， ∴． 题型三十三 勾股定理的证明（共3小题） 97．意大利著名画家达・芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．图①中两个正方形的边长分别为，，空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形可知，，然后即可判断哪个选项符合题意； 【详解】解：由图可得：，； 故选：A． 98．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【答案】20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 99．如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 题型三十四 勾股定理的逆定理（共3小题） 100．如图，在中，D为边上的一点，． (1)请说明． (2)求的面积． 【答案】(1)说明见解析 (2)的面积为84 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，求三角形的面积， 对于（1），根据，可知为直角三角形，即可得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，即可得出，然后根据的面积得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 101．如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知．根据规划要求． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)24 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理可得出结论； （2）根据图中阴影部分的面积=三角形的面积−三角形的面积，进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积 ． 102．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：∵，且， ∴ ∴， ∴． 由（1）得是直角三角形，且， ∴． 题型三十五 勾股定理的应用（共3小题） 103．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 104．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)15米； (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中， ， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 105．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 题型三十六 直角三角形全等的判定（共3小题） 106．如图，点，均在线段上，且，分别过点，在的异侧作，，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判定，关键是全等三角形判定定理的应用． （1）由，得，，证明，即可证明； （2）证明△△，，得到，即可得出． 【详解】（1）证明：，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：在△和△中， ， △△， ， ， ． 107．如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线性质构造全等三角形． （1）由角平分线得角相等，结合公共边证三角形全等，得； （2）证，得 【详解】（1）证明：∵ 平分，平分， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：． 理由： ∵ ， ∴ ，即， 在和中，， ∴ ， ∴ ． 108．如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键； （1）根据证明即可； （2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． （2）解：垂直平分，理由如下： ， ∴点D在线段的垂直平分线上． ， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 题型三十七 反证法（共3小题） 109．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 110．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 111．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 1．（2025八年级上·河北石家庄·期末）下列是无理数的为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数，算术平方根．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、0不是无理数，故本选项不符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：A 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．判定轴对称图形的关键是寻找对称轴，使图形两部分折叠后可重合；判定中心对称图形是寻找对称中心，使图形旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析选项是否同时满足“轴对称”和“中心对称”的条件． 【详解】解： A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 4．（2025八年级上·河北沧州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 【答案】B 【分析】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若分式值为0，则且，解得，故原说法错误，不符合题意； B、根据分式的基本性质，可以变形为，故原说法正确，符合题意； C、，故分式中，，都扩大2倍，分式的值扩大倍，故原说法错误，不符合题意； D、分式中分子分母没有公因式，是最简分式，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 6．（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，点是上一点，第一次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；第二次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；第三次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，，当进行到第次操作后就无法继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，等边对等角，由，，所以，则，同理，，，故有第次形成的角度为，得，求出的取值范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ， ∴第次形成的角度为， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，点在直线上运动，以为边在右侧作等腰，使，，取中点，连接，当的值最小时，的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是证明以确定E点运动的轨迹；根据等腰三角形的性质证明，求出，可得，则点E在过点B且垂直于的直线上运动，再根据垂线段最短可知当时，最短，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， 是等腰直角三角形，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 点E在过点B且垂直于的直线上运动． 当时，最短，则， ， ， ， ，点F为中点， ， ， ． 故选：． 8．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、熟练掌握“角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键． 根据旋转的性质易得和，进而得到是等腰三角形，过点作于点，根据“角所对的直角边是斜边的一半”的性质得到的长，观察图形发现图中阴影部分的面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：、 是等腰三角形， 过点作于点， ， 绕点逆时针旋转，得到 图中阴影部分的面积为， 即， 因此图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 9．（2025八年级上·河北沧州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程和一元一次不等式，关键是根据题意讨论出最后结果．解分式方程，解得的解含有字母，根据题意列不等式，解不等式确定字母的取值范围． 【详解】解：去分母可得：， 去括号可得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵，即， ∴， 解得， ∴的取值范围为：且， 故答案为：且． 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离，先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，延长到点B，连接，在上找一点F，延长交于点E，若，，的面积为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题可知，由的面积为易得，则，再证，即可求解． 【详解】解：由题可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：2． 12．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，C、Q是斜边上两点，且，将绕点O顺时针旋转90°后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形三边关系， 先根据旋转的性质得，再根据直角三角形的两个锐角互余解答①；再根据“边角边”解答②；由全等三角形的性质得，然后根据旋转的性质得，最后结合勾股定理和三角形的三边关系解答③④ 即可. 【详解】解：根据旋转的性质得， 在中，， ∴， ∴， 即； 根据旋转的性质得， ∵， ∴. ∵， ∴； ∵， ∴. 根据旋转的性质得. 在中，，， 即； 且. 所以正确的有①②④，一共3个. 故答案为：3. 13．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【答案】16 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 14．（24-25八年级上·河北唐山·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和计算法则进行计算． （1）先进行乘方，负整数指数幂，零指数幂，去绝对值运算，再进行加减运算； （2）先通分，将除法变为乘法，再进行约分化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ；4 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法并因式分解约分，最后代入求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 答：化简结果为,原式的值为． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数． 【答案】(1)真 (2) (3)符合条件的x有4个 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的定义和化简运算方法是解题的关键， （1）利用题中定义判断即可； （2）根据题意化简即可； （3）由（2）中的化简分情况讨论出结果即可． 【详解】（1）解：分式是真分式， 故答案为：真． （2）解：由题可得：． （3）解：由（2）得：. ∵x为整数，分式的值也为整数， ∴或1或或， ∴或或或， ∴符合条件的x有4个． 17．（24-25八年级上·河北沧州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）（1）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： ①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． ②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） （2）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了中心对称图形、轴对称图形，作垂直平分线以及垂直平分线的性质； （1）①直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； ②直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． （2）作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质，即可得出 【详解】（1）①解：画出下列其中一种即可 ②解：画出下列其中一种即可 （2）如图所示，点即为所求 19．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，为边上一点，为边上一点，作的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求证：； (3)若，直接写出“”的计算结果． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理： （1）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，即可求证； （3）根据三角形内角和定理可得，再由平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在中，，点在射线上运动，过点作交射线于点． (1)当点在线段上时： ①如图1，求证：； ②若，当平分时，求的度数； ③如图2，作于点，、的平分线相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由； (2)当点在的延长线上时： 如图3，作于点，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点，直接写出的度数． 【答案】(1)①证明见详解②；③的度数不变，为 (2) 【分析】（1）①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论； ②先求出，再利用角平分线得出，即可得出即可得出结论； ③先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF＝90°，进而得出∠DAG+∠DEG＝45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论； （2）利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论． 【详解】（1）解：①证明：在中，， ∵， ∴， ∴； ②在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③的度数不变， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、的角平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵平分， ∴， 延长交于N， ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了垂直的定义，角的平分线，互余，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线是解题的关键． 21．（24-25八年级上·河北唐山·期末）在中，，点是边上一点（不与，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)若，如图1，______； (2)若，其他条件不变，如图2． ①求证：； ②请判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)当，，时，请直接写出四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析；②，理由见解析 (3)14 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先说明是等边三角形可得，再证明可得； （2）①根据（1）的方法即可证明结论；②由可得，再证明，由勾股定理可得，然后根据等量代换即可解答； （3）由可得，易证四边形周长为，则当最小时，四边形周长最小；由垂线段最短求得的最小值即可解答．如图：过A作，由垂线段最短、等腰三角形的性质、勾股定理求得的最小值，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）①证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵ ∴四边形周长为， ∴当最小时，四边形周长最小， 如图：过A作， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形周长最小为． 22．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，． (1)点P在上， ①如图1，当时， ； ②如图2，当点P在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点M在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)①；②25 (2)的长为20或25或14 【分析】（1）①根据勾股定理求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可； ②过点作于，设，则，根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则，， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为； ②如图1，过点作于，设，则， 点在的平分线上，且，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 的长为25． （2）解：若为等腰三角形，有三种情况： 当时，如图2， ； 当时，如图3， ， ，， ， ， ， ． 当时，如图4， 过点作于点， ， ， ， 解得：， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $