专题02 期末真题百练通关75题25大压轴题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题02 期末真题百练通关（75题25大压轴题型） 题型1 分式求值中的整数问题 题型14 二次根式规律计算 题型2 分式的最值 题型15 二次根式的新定义运算 题型3 根据分式方程解的情况求值问题 题型16 根据轴对称的特征求解 题型4 分式方程的应用 题型17 线段垂直平分线压轴问题 题型5 分式方程新定义问题 题型18 角平分线压轴问题 题型6 全等三角形的判定与性质压轴 题型19 等腰三角形的存在性问题 题型7 全等三角形的模型问题 题型20 含30°角的直角三角形 题型8 全等三角形的动点问题 题型21 斜边的中线定理 题型9 全等三角形的综合问题 题型22 勾股定理解三角形 题型10 平方根、立方根的规律探究 题型23 勾股定理与折叠问题 题型11 无理数整数部分的有关计算 题型24 勾股定理中的最值 题型12 复合二次根式的化简 题型25 勾股定理中的最短路径问题 题型13 分母有理化 题型一 分式求值中的整数问题（共3小题） 1．阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 2．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 题型二 分式的最值（共3小题） 4．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 5．请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 6．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 题型三 根据分式方程解的情况求值问题（共3小题） 7．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 8．下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于 ． 9．阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 题型四 分式方程的应用（共3小题） 10．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 11．“散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： (1)A，B两种凉席每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 12．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 题型五 分式方程新定义问题（共3小题） 13．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 14．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数）．则________，________； (3)当时．判断与的大小关系，并证明． 15．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 题型六 全等三角形的判定与性质压轴（共3小题） 16．在中，，，点D是直线上的一个动点(与点B，C不重合)，连接并以为边在的右侧作，使，且，连接，设． (1)如图①，当点D在线段上时，求证：； (2)如图②，当点D在的延长线上时，请探究α与β的数量关系，并证明； (3)如图③，当点D在的延长线上时，若，则_____（直接写出答案)． 17．【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 18．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 题型七 全等三角形的模型问题（共3小题） 19．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则 ； （2）当点在直线上运动时，，，则 ． 20．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 21．在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 题型八 全等三角形的动点问题（共3小题） 22．如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 23．如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 24．如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ． 题型九 全等三角形的综合问题（共3小题） 25．（1）观察理解：如图1，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（______）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积； （4）拓展应用：如图4，在中，，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为______． 26．如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 27．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 题型十 平方根、立方根的规律探究（共3小题） 28．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 29．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 30．根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 题型十一 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 31．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次   ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 32．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； 【拓展应用】设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得．因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，， 所以． 【学以致用】 （3）设，都是有理数，且满足，求的值． 33．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 题型十二 复合二次根式的化简（共3小题） 34．计算： （1） ； （2） ． 35．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 36．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 题型十三 分母有理化（共3小题） 37．观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 38．【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，． 【知识理解】（1）将的分母有理化； 【启发运用】（2）计算： 39．阅读下列材料，然后回答问题： 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ． ．（一） 还可以用以下方法化简： ．（二） (1)请用不同的方法化简． ①参照（一）式得_____； ②参照（二）式得_____． (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决： ①求的值； ②化简：． 题型十四 二次根式规律计算（共3小题） 40．规律探究：设，，，…，则的值为 ． 41．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 42．观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 题型十五 二次根式的新定义运算（共3小题） 43．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 44．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 45．阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 题型十六 根据轴对称的特征求解（共3小题） 46．综合与实践 在数学实验课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作测量 操作一：对折长方形纸片，使较长的一组对边与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿将三角形折叠，点在平面内的对应点为点，把纸片展平． 如图，当点在折痕上时，连接，．测量的度数，得度，则______度； (2)迁移探究 在操作二中，若使点限制在长方形纸片内，设，，请判断，的数量关系并说明理由； (3)拓展应用 在（）的探究中，若点的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当时，直接写出的度数． 47．如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时， ． 48．如图，点P是内一定点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，当周长取得最小值时， ． 题型十七 线段垂直平分线压轴问题（共3小题） 49．如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 50．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 51．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】 （4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 题型十八 角平分线压轴问题（共3小题） 52．如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 53．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 54．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线，垂足为．当点为的中点时，的度数为 ． 题型十九 等腰三角形的存在性问题（共3小题） 55．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M、N两点重合？ (2)当点M、N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 56．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 57．如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为 ． 题型二十 含30°角的直角三角形（共3小题） 58．如图，已知在中，，是的中线，是的角平分线，与交于点，则的面积为 ． 59．如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 60．如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 题型二十一 斜边的中线定理（共3小题） 61．如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 62．如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 63．【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．在中，，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为______； (2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接，试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； (3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，此时（2）的结论还成立吗？请画图并说明理由． 题型二十二 勾股定理解三角形（共3小题） 64．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 65．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的长分别为，，且满足，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点在轴上，且等腰三角形，请直接写出所有的值为___________； (3)过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，当时（全等无需证明），求出的值． 66．阿真在学习本章知识的过程中，发现等腰三角形沿着对称轴分割可以得到两个全等的直角三角形，她在想，如果这个等腰三角形很特殊，那么分割出来的直角三角形也一定很特殊，于是她将等边三角形进行了分割，她发现在中角所对的直角边等于斜边的一半． 于是她利用上述结论解决了一个困扰自己好久的问题： (1)如图，，，为中点，于，若，则的面积__________． (2)接着她还探究出很多相关结论，请尝试证明下面的问题 ①已知：中，，，求证：． ②已知：在中，，，求证：（提示：使用同一法或反证法） 题型二十三 勾股定理与折叠问题（共3小题） 67．如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，取的中点，连接，将沿折叠，当点恰好落在边上的点处时，则的长为 ． 68．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 69．在中，，点是平面内一点（不与点重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，求点到直线的距离． (2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由． 题型二十四 勾股定理中的最值（共3小题） 70．已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知（，），计算的最小值为 ． 71．【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 72．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，试证明． 【知识运用】（2）如图2所示，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站，求出应建在离点多少千米处，才能使它到两个城市的距离相等． 【知识迁移】（3）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式的最小值． 题型二十五 勾股定理中的最短路径问题（共3小题） 73．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 74．如图，中，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为 ． 75．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）嘉淇解方程的过程，下列判断正确的是（   ） 解：方程两边乘，得第一步 整理，得第二步 解得，所以原方程的解为第三步 A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．嘉淇解方程的过程正确 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级下·河北承德·期末）关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的小数部分是 4．（24-25八年级上·河北保定·期末）从、、这三个实数中任选两数相乘大于2的是（    ） A． B． C． D．没有 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，D为边上的点，满足，且，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算： ． 8．（23-24八年级下·河北保定·期末）数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数． （1）判断：，， （填“是”或“不是”）一组调和数； （2）现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知，满足，则的平方根为 ． 10．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上，若，，，则线段的长为 ． 11．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． （1）若，则 ； （2）如果，，的面积为，则的面积为 ． 12．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 13．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数： ． 14．（24-25八年级上·河北保定·期末）将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是 ． 15．（25-26八年级上·河北邢台·期末）解下列方程： (1)． (2)． 16．（24-25八年级下·河北张家口·期末）计算： (1) (2) 17．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求剩余木料的面积． (2)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出______块这样的木条． 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 19．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知等腰 中，， 是 的外角． (1)尺规作图：作 的平分线，与的延长线交于点 E． (2)在(1)的条件下，设 ①求α与β之间的数量关系． ②若 为等腰三角形，求α的值． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【问题提出】（1）如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； 【问题探究】（2）如图2，和是等边三角形，点D在外部，若仍然成立，求的度数； 【问题拓展】（3）如图3，中，，点D为外一点．若，，，请直接写出的长． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图1，射线与直线垂直于点O，线段在内，一块三角板的直角顶点与点P重合，两条直角边分别与射线、射线交于点C、D． (1)当时，则_______． (2)若． ①当与重合时，和之间的数量关系是_______； ②当与不重合时，猜想与之间的数量关系，并证明你的结论． ③当与不重合，且时，四边形的面积为_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末真题百练通关（75题25大压轴题型） 题型1 分式求值中的整数问题 题型14 二次根式规律计算 题型2 分式的最值 题型15 二次根式的新定义运算 题型3 根据分式方程解的情况求值问题 题型16 根据轴对称的特征求解 题型4 分式方程的应用 题型17 线段垂直平分线压轴问题 题型5 分式方程新定义问题 题型18 角平分线压轴问题 题型6 全等三角形的判定与性质压轴 题型19 等腰三角形的存在性问题 题型7 全等三角形的模型问题 题型20 含30°角的直角三角形 题型8 全等三角形的动点问题 题型21 斜边的中线定理 题型9 全等三角形的综合问题 题型22 勾股定理解三角形 题型10 平方根、立方根的规律探究 题型23 勾股定理与折叠问题 题型11 无理数整数部分的有关计算 题型24 勾股定理中的最值 题型12 复合二次根式的化简 题型25 勾股定理中的最短路径问题 题型13 分母有理化 题型一 分式求值中的整数问题（共3小题） 1．阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 2．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 题型二 分式的最值（共3小题） 4．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 5．请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）根据题意将分式变形即可； （2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值． 【详解】（1）原式= ； （2）原式=， ∵(x−1)2⩾0,即(x−1)2+2⩾2， 则原式最小值为4−. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则进行变形. 6．我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 【答案】(1)③ (2)①，；②；③4 【分析】本题考查代数式，完全平方公式，对称式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用公式解决问题． （1）根据对称式的定义判断即可； （2）①利用多项式的乘法公式展开，可得结论；②利用完全平方公式求解即可；③利用非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ 不一定成立，不一定成立，成立，③属于对称式． 故答案为：③． （2）解：①   故答案为：，； ②整理得到，解得． ． ． ③ ， ∵ ∴ 原式 ， ， ， ∴当时，原式取的最小值，最小值为4， 的最小值为4． 题型三 根据分式方程解的情况求值问题（共3小题） 7．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 8．下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于 ． 【答案】11或12 【分析】本题考查已知方程的解求参数的值，通过观察已知方程的解的规律，将给定方程进行变量代换，转化为标准形式，利用解的特征求解即可． 【详解】解：由已知方程①、②、③的规律，可得第n个方程为， 其解为或． 对于方程 ，令，则． 代入原方程得：，整理得：， 此方程形式与已知规律一致， 故其解为或． ∴ 或， ∴或． ∵有一个解为， ∴或，解得或； 故答案为：11或12． 9．阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程的解为，则原方程变形为，方程的解为或(看成整体)，则有，整理得，再代入将所求代数式即可． 【详解】（1）解：关于的方程的解为， 方程的解为， 故答案为：； （2）解：关于的方程的解为 ， ， 故答案为：19； （3）解：方程变形为， 方程的解为， 则或， ， 整理得， 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 题型四 分式方程的应用（共3小题） 10．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 11．“散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： (1)A，B两种凉席每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 【答案】(1)每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元 (2)有3种方案如下：①购进 A 种凉席个，B种凉席个；②购进 A 种凉席个，B种凉席个；③购进 A 种凉席个，B种凉席个 (3)赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系. （1）设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元，由题意得：，即可求解； （2）设购进A种凉席个，则购进B种凉席个，由题意得：，即可求解； （3）设获利元，则，可推出当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大；设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得： 即可求解； 【详解】（1）解：设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； ∴每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元； （2）解：设购进A种凉席个，则购进B种凉席个， 由题意得：， 解得：； ∴有3种方案如下：①购进A种凉席个，B种凉席个；②购进A种凉席个，B种凉席个；③购进A种凉席个，B种凉席个； （3）解：设获利元，则， ∵， ∴当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大； 设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得： 整理得：； ∵两种凉席均有样品， ∴且； ∴， ∴， 即：赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个； 12．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①；②2号 (2)14 (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； ②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当时，， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 故答案为：，，． 题型五 分式方程新定义问题（共3小题） 13．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 14．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数）．则________，________； (3)当时．判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)1，3 (3)，证明见解析 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m 及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∵， ∴， ， 解得：， 故答案为：1，3； （3）解：． 证明： ， ， ， ． 15．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1 (2)，5 (3)11或3 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是2的因数，而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， ， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ； ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， ， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为11或3． 题型六 全等三角形的判定与性质压轴（共3小题） 16．在中，，，点D是直线上的一个动点(与点B，C不重合)，连接并以为边在的右侧作，使，且，连接，设． (1)如图①，当点D在线段上时，求证：； (2)如图②，当点D在的延长线上时，请探究α与β的数量关系，并证明； (3)如图③，当点D在的延长线上时，若，则_____（直接写出答案)． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意可证，所以，因为，所以，即，则题目可证； （2）同（1）可证，所以，因为，，所以即； （3）证明，所以，因为，所以即，结合已知条件，则题目可解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 即； （2）解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）见解析． 【分析】（1）①证明，后证明即可；②证明，后证明 （2）在上截取，则，得到，先证明，再证明，得到即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，互余的性质，熟练掌握构造辅助线，灵活证明三角形的全等是解题的关键． 【详解】（1）①证明：在上截取，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②证明：延长到点E，使，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：、、的数量关系为． 在上截取，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 题型七 全等三角形的模型问题（共3小题） 19．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则 ； （2）当点在直线上运动时，，，则 ． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 20．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 21．在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． （3）解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 题型八 全等三角形的动点问题（共3小题） 22．如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或8 (3)的值为2或6或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图1，当点P在边上时，， ； 故答案为：； ②如图2，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒个单位长度的速度运动，秒后， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 23．如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2)①秒；②6． (3)2或 【分析】本题主要考查了行程问题、全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，理解题意、灵活运用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据时间、速度、路程的关系列式计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当时，两个三角形全等，求出运动实际t和a的值即可． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：点M的运动时间（秒）， 故答案为：4． （2）解：①∵点M、N的移动速度相同， ， ∵ ， 当时，与全等， ∴，解得：秒 ②∵点M、N的移动速度不同， ， ∴时，两个三角形全等， ∴，解得：， ∴a的值为6． （3）解：若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等， ∴，解得： 若点M、N的移动速度相同，则，， ∴或，解得（舍弃）或， 综上所述，满足条件的t的值为2或． 24．如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 题型九 全等三角形的综合问题（共3小题） 25．（1）观察理解：如图1，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（______）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积； （4）拓展应用：如图4，在中，，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为______． 【答案】（1）；（2）50；（3）；（4）5． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，“三垂”模型等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据证明三角形全等即可； （2）利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可； （3）如图3，过作于E，构造全等三角形解决问题即可； （4）证明，得出解决问题即可． 【详解】解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． （2），，，，， 同（1）得：，， ，，，，，， ， 故答案为：． （3）如图3，过作于E， 由旋转得：，， ∴， ∴， ， ； （4）的面积为15，， 的面积是：， ，，，， ，， 在和中， ， ， ， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是5， 故答案为：5． 26．如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)t的值为或 (3)t的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据三角形高的定义和直角三角形锐角互余，得到，，结合，根据即可证得结论； （2）根据题意可求得，，，，且，然后分两种情况讨论：①当点Q在线段上时，则；②当点Q在线段上时，则；结合三角形面积公式，列出方程解出t的值即可； （3）由（1）可知，可推出，结合已知条件，分两种情况讨论：①当点F在线段的延长线上时，此时，，；②当点F在线段上时，此时，，；据此列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：∵、为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动， ∴，，且 ①当点Q在线段上时，则，此时， ∴， 解得； ②当点Q在线段的延长线上时，则，此时， ∴， 解得； 综上，当的面积为2时，t的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，t的值为或． 27．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十 平方根、立方根的规律探究（共3小题） 28．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 29．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 30．根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 题型十一 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 31．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次   ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（）； （）（或，答案不唯一） （） （） 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （）由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：或或， 故答案为：或或； （）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 32．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； 【拓展应用】设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得．因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，， 所以． 【学以致用】 （3）设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）或． 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）先估算的范围，确定其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分； （2）先分别求出小数部分为和的整数部分，然后把、的值代入求值，最后求其平方根； （3）仿照【拓展应用】的做法，将原式变形为的形式，再根据有理数和无理数的性质求解． 【详解】（1）解：， 的整数部分为，小数部分为． 故答案为：4，． （2）解：， ， 的整数部分为，小数部分为， 即； ， ， 的整数部分为， 即， ， ⸫的平方根是． （3）解：， ． ，是有理数，为无理数， 且． 解得，． 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或． 33．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 题型十二 复合二次根式的化简（共3小题） 34．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键． （1）从最里层的二次根式进行化简即可； （2）设，两边平方后对比系数求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得：， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 35．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 36．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 题型十三 分母有理化（共3小题） 37．观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是掌握分母有理化． （1）利用分母有理化的方法进行求解即可； （2）先化简，根据，求得的值，进而代入代数式求解即可； （3）分析所给的式子的特点，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③． （2）解：∵，， 的整数部分是，的小数部分是， ∵，， ∴， ∴ （3）解： ． 38．【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，． 【知识理解】（1）将的分母有理化； 【启发运用】（2）计算： 【答案】（1） （2）9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据材料中的方法进行分母有理化； （2）先将各部分分母有理化，再计算加减． 【详解】（1）解：； （2） ． 39．阅读下列材料，然后回答问题： 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ． ．（一） 还可以用以下方法化简： ．（二） (1)请用不同的方法化简． ①参照（一）式得_____； ②参照（二）式得_____． (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决： ①求的值； ②化简：． 【答案】(1)①；② (2)①2025；② 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化、平方差公式的应用以及裂项相消法的运算，熟练掌握分母有理化的方法和裂项相消的规律是解题的关键． （1）①参照（一）的分母有理化方法，给分子分母同乘化简．②参照（二）的方法，将分子凑成平方差形式，因式分解后约分． （2）①先对每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，裂项相消后与相乘．②先对每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，再裂项相消化简． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：① ； ② ． 题型十四 二次根式规律计算（共3小题） 40．规律探究：设，，，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 41．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子． （1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将和进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较大小； （4）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【详解】（1）①∵ 不含根号， ∴与互为有理化因式． 故答案为． ②将分母有理化得 故答案为． （2） （3）∵， ∴ （4）将进行分母有理化得， 两边平方得， ， ， ， 则， ∴ 42．观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)（n为正整数） (2)2023 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及数字的规律探索，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）根据题意即可得出规律； （2）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可． 【详解】（1）由题可得，（n为正整数） ； （2） ． 题型十五 二次根式的新定义运算（共3小题） 43．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 44．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 45．阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 题型十六 根据轴对称的特征求解（共3小题） 46．综合与实践 在数学实验课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作测量 操作一：对折长方形纸片，使较长的一组对边与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿将三角形折叠，点在平面内的对应点为点，把纸片展平． 如图，当点在折痕上时，连接，．测量的度数，得度，则______度； (2)迁移探究 在操作二中，若使点限制在长方形纸片内，设，，请判断，的数量关系并说明理由； (3)拓展应用 在（）的探究中，若点的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（）根据折叠的性质可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据折叠的性质和角的和差关系即可求解； （）分两种情况：①当点在长方形纸片内；当点在长方形纸片外时；根据折叠的性质解答即可求解； 本题考查了折叠的性质，角的和差，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∵点限制在长方形纸片内， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①当点在长方形纸片内时，由（）可知， ∵， ∴， 解得； ②当点在长方形纸片外时，如图， 由折叠可得，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得； 综上所述，的度数为或． 47．如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值；根据轴对称的定义可知：，则，利用外角的性质将转化为，再利用三角形内角和定理结合已知条件即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值； 根据轴对称的定义可知： ， 则 ． 故答案为：． 48．如图，点P是内一定点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，当周长取得最小值时， ． 【答案】/度 【分析】本题考查轴对称中最短路径问题，全等三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键． 分别作点P关于和的对称点C、D，连接、、、、．由对称性可知，，，因此的周长等于折线的长．当C、M、N、D四点共线时，取到最小值，利用对称性计算出此时的即可． 【详解】解：如图，分别作点P关于和的对称点C、D，连接、、、、， 由对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 当C、M、N、D四点共线时，取到最小值，最小值为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十七 线段垂直平分线压轴问题（共3小题） 49．如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由题意可得：直线垂直平分线段，得到，推出，结合平分，可得，最后结合，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D， ∴直线垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 50．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质定理，结合三角形的三边关系可解答； （2）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （3）延长，交于点F，证明得出，，证明得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）在和中， ， ， 故答案为：； ，， ， 在中，， ， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）， 理由如下：延长到，使，连接，， 在和中， ， ， ， ，， ∴垂直平分， ， 在中， ， ； （3）延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中 ， ， ， ，， ． 51．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】 （4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可； （4）延长，交的延长线于点，利用证得，得到，，由得到垂直平分，即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ． 故选：B． （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ． 故选：C． （3）证明：如图，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （4）如图，延长，交的延长线于点， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，，即， 垂直平分， ． 题型十八 角平分线压轴问题（共3小题） 52．如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质；作于点，由平分交于点，于点，得，根据，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， 是的角平分线， 平分交于点， 于点，于点， ， ∵，， 解得： 故答案为：． 53．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 54．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线，垂足为．当点为的中点时，的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质以及直角三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）和直角三角形的角度计算是解题的关键． 先利用角平分线的性质和垂直的条件得到线段相等，结合是中点推出线段关系，进而求出角的度数，最后计算． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∵在中，， ∴−−， 故答案为：． 题型十九 等腰三角形的存在性问题（共3小题） 55．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M、N两点重合？ (2)当点M、N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点M与点N重合 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及动点问题的分类讨论与时间范围分析． （1）先确定运动时间的范围，再分析“重合”时的路程关系，最后确定重合位置； （2）先明确“M，N在上”的时间范围，再分析“以为底边的等腰”的条件，最后用“路程”表示和，列出方程求解． 【详解】（1）解：点N运动到点B用时为， 当时，点M在上，点N在上，M与N不可能重合， 当时，点M，N均在上，令， 解得，此时M，N两点重合，且与点C重合， 当时，点M，N在上，且点N始终在点M的前面，不可能重合， 综上，当时，点M与点N重合． （2）解：如图，点M，N在上，连接，， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当点M，N在边上运动时，，． ∵， ∴，解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰，此时M，N运动的时间为． 56．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【答案】(1)， ； (2)①秒，②见解析 (3)为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形 【分析】（1）设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，即可求解；         （2）① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ，联立方程即可求解；②根据题意得，联立方程即可； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解. 【详解】（1）解：∵设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为1cm/s，点从点开始沿的方向运动，且速度为2cm/s，，两点同时出发， ∴   故答案为：， ； （2）①当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ∴ 解得：； ∴出发秒后； ②能，当点在上时， ∵，， ∴ 即    解得：秒   ∴当运动的时间为8秒时，能否把的周长平分 （3）当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形   则 ∴ ∴ 解得： ②若是以为底边的等腰三角形 则 解得： 综上所述：为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键. 57．如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形折叠中角度的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分为等腰直角三角形和为等边三角形，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论即可． 【详解】当为等腰直角三角形时， ①当点在线段上时：如图，则， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∵翻折， ∴， ∴； 当为等边三角形时，此时点在线段的延长线上，如图， 则， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 题型二十 含30°角的直角三角形（共3小题） 58．如图，已知在中，，是的中线，是的角平分线，与交于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，含角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，求得，过作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的中线，， ∴， 过点作于，过点作于， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 59．如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．取中点E，连接．先证明，得到，即可得到当时，的值最小，在中，求出，即可得到线段长的最小值是2． 【详解】解：如图，取中点E，连接． ∵，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴线段长的最小值是2． 故选：A 60．如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，再求得，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，，再证明，然后由全等三角形的性质即可得到结论； （3）先证明是等腰三角形，得，再证明，进而证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为等边三角形， ，， 由（1）可知，， 在与中， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型二十一 斜边的中线定理（共3小题） 61．如图，在中，，，，是边上的一个动点，以为顶点作，点在边上，则的长度可以是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 由，可以得出是等腰三角形，故越大，就越大．当点D与点A重合时，取最大值．计算出此时的值，对比选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴越大，就越大， 当点D与点A重合时，取最大值，即取最大值，如图， 此时， ∵， ∴， ∴，即点C为斜边的中点， ∴， ∴点D运动过程中，，只有选项A符合． 故选：A． 62．如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键． 63．【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．在中，，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为______； (2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接，试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； (3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，此时（2）的结论还成立吗？请画图并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2)，理由见解析 (3)成立，作图见解析，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质，理解直角三角形斜边中线的性质是关键． （1）①先求出，再根据直角三角形斜边中线性质得，由此可得为等边三角形； ②根据直角三角形斜边中线性质即可得出与之间的数量关系； （2）连接，根据和都是等边三角形得，，，，进而得，由此依据“”判定和全等得，进而得是边的垂直平分线，则，据此可得出线段与之间的数量关系； （3）连接，根据和都是等边三角形得，，，，进而得，由此依据“”判定和全等得，进而得是边的垂直平分线，则，由此得，据此即可得出结论． 【详解】（1）①证明：在中，，， ， ∵是边上的中线， ， 为等边三角形； ②解：， 与之间的数量关系为：； 故答案为：； （2）解：线段与之间的数量关系是：，理由如下： 连接，如图2所示： 由可知：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又是边上的中线， ， 是边的垂直平分线， ， ； （3）解：成立，理由如下： 连接，如图3所示： 由可知：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又是边上的中线， ， 是边的垂直平分线， ， ． 题型二十二 勾股定理解三角形（共3小题） 64．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米，理由见详解 【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒ （1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明； （2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒ 【详解】解：（1）∵点为直角边的中点， ∴， ∵在中，为斜边， ∴， ， 在中，， ∴， 即， ∴， 即； （2）观景小道的长度是为定值，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴观景小道的长度是为定值，定值为650米． 65．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的长分别为，，且满足，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点在轴上，且等腰三角形，请直接写出所有的值为___________； (3)过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，当时（全等无需证明），求出的值． 【答案】(1)， (2)或或 (3)的值是2或 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可； （2）分类讨论，每种情况分别计算长度，然后计算运动时间即可； （3）当时，两个三角形全等．分为两种情况，画出符合条件的两种图形，结合图形和全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，． 故答案为：，； （2）解：若， ，， 由勾股定理得， ∴， ∴（秒）， 故； 若， ∵， ∴， 则， ∴（秒）， 故； 若， 设，则， 则， ， ， ∴（秒）， 故； 综上所述或或； 故答案为：或或； （3）解：存在．如图，当点在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， (秒)， ； 如图，当点在线段的延长线上时，同法可得， ， （秒）， ， 综上所述，即存在这样的点，使，的值是2或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，图形与坐标，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 66．阿真在学习本章知识的过程中，发现等腰三角形沿着对称轴分割可以得到两个全等的直角三角形，她在想，如果这个等腰三角形很特殊，那么分割出来的直角三角形也一定很特殊，于是她将等边三角形进行了分割，她发现在中角所对的直角边等于斜边的一半． 于是她利用上述结论解决了一个困扰自己好久的问题： (1)如图，，，为中点，于，若，则的面积__________． (2)接着她还探究出很多相关结论，请尝试证明下面的问题 ①已知：中，，，求证：． ②已知：在中，，，求证：（提示：使用同一法或反证法） 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（）连接，由线段垂直平分线的性质得，即得，即得到，进而得到，即可得，再根据线段的中点性质即可求解； （）①取的中点，连接，可得，即得是等边三角形，即得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得，进而根据三角形的内角和定理即可求证；②作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，过点作于点，可得，即得，得到，即得到，设，则，由勾股定理得，设，，得，即得，又根据得，即，进而得到，可得到，得，即得，得到，再根据三角形的内角和定理即可求证． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，过点作于点， 则，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 整理得，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质及内角和定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型二十三 勾股定理与折叠问题（共3小题） 67．如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，取的中点，连接，将沿折叠，当点恰好落在边上的点处时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质；延长与交于点，由长方形得到，再证明，得到，，根据折叠得到，，再根据勾股定理求出，则，再在中，根据，解得，得到，即可根据勾股定理得到，最后根据求解即可． 【详解】解：延长与交于点， ∵在长方形中，， ∴，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∴，， ∴， 中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 68．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 69．在中，，点是平面内一点（不与点重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，求点到直线的距离． (2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质求出即可解答． （2）过A作交的延长线于点H，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，​ ∴． ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∴， ∵， ∴点B，D，G共线， ∴， 设点G到直线的距离为h， 则， 解得， 即点G到直线的距离为． （2）解：如图，过A作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二十四 勾股定理中的最值（共3小题） 70．已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知（，），计算的最小值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，最短路径，理解勾股定理的意义是解题的关键．通过勾股定理构造几何图形，将代数问题转化为几何问题，利用三点共线时路径最短的原理求解最小值． 【详解】解：如图，取线段，在上取一点，设，，则． 构造和，使，，且，，其中垂直于向上，垂直于向下． 则，， 故． 当点，，三点共线时，的值最小，最小值等于的长． 点坐标为，点坐标为， 计算． 故答案为17． 71．【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 72．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，试证明． 【知识运用】（2）如图2所示，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站，求出应建在离点多少千米处，才能使它到两个城市的距离相等． 【知识迁移】（3）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）应建在离点千米处；（3）图见解析，最小值为20 【分析】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称——最短路线问题等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形求代数式最小值是解本题的难点． （1）根据即可得出答案； （2）设 ，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和的长，根据列出方程，求解即可； （3）根据轴对称——最短路线的求法，利用勾股定理即可求出． 【详解】小试牛刀： 证明：（1）， ， ， 且， ， 整理得：； 知识运用： 解：（2）设， ， ． 到两个城市的距离相等， ，即， 在Rt中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 解得：． 即应建在离点千米处； 知识迁移： 解：（3）如图，，为线段上一点，，作点关于的对称点，连接，交于点，过点作的延长线于点， 则，，， ，， 即， 就是代数式的最小值， 代数式的最小值为． 题型二十五 勾股定理中的最短路径问题（共3小题） 73．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①沿展开，如图所示， 在中，，，， ∴； ②沿展开，如图所示： 在中，，，， ∴， ∵， ∴最短路线长是， 故选：D． 74．如图，中，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质（斜边中线）与垂线段最短，解题关键是连接、，利用斜边中线得、为定值，再结合三点共线时线段和差求最小值． 根据三角形斜边中线的性质求得：由当、N在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为3． 【详解】解：如图，连接， ，点M、N分别是、的中点， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故答案为． 75．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 【答案】（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下： ①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 故答案为：10． 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）嘉淇解方程的过程，下列判断正确的是（   ） 解：方程两边乘，得第一步 整理，得第二步 解得，所以原方程的解为第三步 A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．嘉淇解方程的过程正确 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程．根据解分式方程的步骤得第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有检验． 【详解】解：根据分式方程的解题过程可知：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的解进行检验． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质易得，进一步计算可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河北承德·期末）关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的小数部分是 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，无理数的估算，实数的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积为13的正方形的边长是，正确，不符合题意； B、在数轴上可以找到表示的点，正确，不符合题意； C、的相反数是，正确，不符合题意； D、∵ ∴， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北保定·期末）从、、这三个实数中任选两数相乘大于2的是（    ） A． B． C． D．没有 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算和实数的大小比较．解题的关键是利用比较大小． 逐项计算比较即可． 【详解】解：A选项，，不满足题意； B选项，，不满足题意； C选项，，满足题意； D选项，不满足题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，D为边上的点，满足，且，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，掌握好等腰三角形的性质是解题关键． 由等边对等角可得，，，根据外角的性质，用和表示出，最后利用三角形内角和定理计算出． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． 故选：D． 6．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的运算；先变形为同分母的分式，再根据同分母分式加减法时分母不变，分子相加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·河北保定·期末）数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数． （1）判断：，， （填“是”或“不是”）一组调和数； （2）现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为 ． 【答案】 是 或 【分析】本题考查新定义的运算，解分式方程，解题的关键是读懂新运算列式求解．本题根据新定义分类讨论列式求解即可得到答案． 【详解】（）解：由题意得， 因为，， 所以， 所以，，是一组调和数， 故答案为：是； （）解：由题意得， 当时， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 当， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：或． 9．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知，满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和平方根，能根据二次根式有意义的条件求出是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件得出且，求出，再求出，最后根据平方根的定义求出答案即可． 【详解】解：要使有意义，必须且， 解得：， ， 所以的平方根是． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上，若，，，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据轴对称的性质可求、的长度，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，， ∴， 同理， 又∵， ∴． 故答案为：4． 11．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． （1）若，则 ； （2）如果，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 34 24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的性质和角平分线的尺规作图： （1）根据作图方法可知平分，则由角平分线的定义可得答案； （2）过作于点，于点，由角平分线的性质得到，根据三角形面积公式求出，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意可知，平分， ∴， 故答案为：34， （2）如图，过作于点，于点， ∵平分，，，      ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 12．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．过点B作于点E，交于点F，连接，根据垂线段最短可知此时取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 过点B作于点E，交于点F，连接， 根据垂线段最短可知此时取得最小值， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边的边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数： ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理，等腰三角形中有两条边相等，根据等边对等角可知等腰三角形中一定有两个相等的角，再根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：， ， 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，； 综上所述，的度数为或或． 故答案为： 或或． 14．（24-25八年级上·河北保定·期末）将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：24． 15．（25-26八年级上·河北邢台·期末）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，解答时注意验根． （1）方程两边同乘，化为整式方程，解整式方程，再检验即可． （2）方程两边同乘，化为整式方程，解整式方程，再检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得，       检验：当时，， 故原分式方程的解为．     （2）解：方程两边同时乘得， 去括号得， 移项、合并同类项得，    系数化为得，       检验：当时，， 故原分式方程无解． 16．（24-25八年级下·河北张家口·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可； （2）先计算二次根式乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 17．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求剩余木料的面积． (2)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出______块这样的木条． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和范围，根据题意解答． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 剩余木料的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ，， 从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条， 故答案为： 18．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 19．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知等腰 中，， 是 的外角． (1)尺规作图：作 的平分线，与的延长线交于点 E． (2)在(1)的条件下，设 ①求α与β之间的数量关系． ②若 为等腰三角形，求α的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），以点B为圆心，以为半径画弧，交于点H，再以点G，H为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交的延长线于点E，则即为所求作； 对于（2），①根据等边对等角得则可得，再根据角平分线定义得，然后整理可得关系式； ②分两种情况：当时，根据求出，进而得出答案；当时， 根据三角形内角和定理求出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．       （2）解：①∵ ∴ ∴, ∵平分 ， ∴； ②∵， ∴有下列两种情况： a．当时，是等腰三角形， ∵， b．当时，是等腰三角形， ． 综上所述，α的值为或． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【问题提出】（1）如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； 【问题探究】（2）如图2，和是等边三角形，点D在外部，若仍然成立，求的度数； 【问题拓展】（3）如图3，中，，点D为外一点．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及逆定理的应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①由和都是等边三角形，可得，，，即可证，故； ②由是等边三角形，可得，，又，可得，有，从而； （2）证明，可得，根据，有，故，即得的度数为； （3）过点A作，且，连接，，证明，得，由，，知，即得，从而，可得． 【详解】（1）证明：①如图： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴； （2）解：如图： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴的度数为； （3）解：过点A作，且，连接，，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图1，射线与直线垂直于点O，线段在内，一块三角板的直角顶点与点P重合，两条直角边分别与射线、射线交于点C、D． (1)当时，则_______． (2)若． ①当与重合时，和之间的数量关系是_______； ②当与不重合时，猜想与之间的数量关系，并证明你的结论． ③当与不重合，且时，四边形的面积为_______． 【答案】(1)； (2)①；②，证明见解析；③4 【分析】本题四边形综合题，主要考查的是等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先求得，再利用等角对等边得到； （2）①根据等腰直角三角形的性质证明； ②作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； ③证明四边形为正方形，由②知，得到四边形的面积＝正方形的面积，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． （2）解：①当时，，理由如下： 当与重合时，此时，点C与点O重合，， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； ②解：，理由如下： 过P作于E，于F， 由，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ③由②知，四边形为长方形，， ∴四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积， 由②知， ∴四边形的面积正方形的面积， 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $