专题01 二次根式全章14种题型（期末复习专项训练）九年级数学上学期华东师大版

专题01 二次根式 题型1 二次根式的概念 题型8 同类二次根式 题型2 二次根式有意义的条件 题型9 二次根式的加减运算（常考点） 题型3 二次根式的性质化简（重点） 题型10 二次根式的混合运算（常考点） 题型4最简二次根式 题型11 分母有理化（难点） 题型5 二次根式的乘法（常考点） 题型12化简求值（常考点） 题型6 积的算术平方根 题型13比较二次根式的大小 题型7 二次根式的除法 题型14 二次根式的实际应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的概念（共3小题） 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 2．（2025八年级上·江苏苏州·期末）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 题型二 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）二次根式有意义的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，解得：， 故选C． 2．（22-23八年级上·四川广安·期末）要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且． 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖南·期末）若在实数范围内有意义，则可以为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需使被开方数非负，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ 选项中只有满足条件． 故选：A． 题型三 二次根式的性质化简（共3小题） 1．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是解题关键． 先由数轴判断出，再结合及绝对值的化简规则进行求解． 【详解】解：， 由数轴可知，，则， ∴． 故选：． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 题型四 最简二次根式（共3小题） 1．（25-26八年级上·上海青浦·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·期末）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 题型五 二次根式的乘法（共3小题） 1．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，包括乘法、平方根、绝对值和负指数幂的计算． （1）先计算乘法和平方根的乘积，再求和； （2）先计算平方、绝对值和负指数，再综合运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（25-26八年级上·期末）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型六 积的算术平方根（共3小题） 1．（23-24九年级上期末）如果成立，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的意义，被开方数大于等于0，列不等式组求解． 【详解】∵， ∴， 解得：﹣3≤x≤3． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2．（19-20九年级上·全国·课后作业）计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】原式=． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列式子正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】A．原式，故本选项错误． B．原式=，故本选项错误． C．原式不能化简，故本选项错误． D．原式=，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．1．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，0；当a＜0时，二次根式无意义．2．性质：|a|． 题型七 二次根式的除法（共3小题） 1．（25-26八年级上·上海·月考）（1）计算： （2）若，化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的除法． （1）根据二次根式的性质，二次根式的除法计算即可求解； （2）利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）利用乘法分配律展开后利用二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （3）利用二次根式的乘法法则和除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型八 同类二次根式（共3小题） 1.（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式. 判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后，比较根号内的被开方数是否相同. 【详解】解：A.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； B.与根号内的被开方数相同，是同类二次根式； C.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； D.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B. 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先化简，被开方数为2，然后根据二次根式能进行加减运算得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴其被开方数为2， ∵与可进行加减运算， ∴它们为同类二次根式，故 化简后被开方数也应为2， 又∵为最简二次根式， ∴， 解得：． 故选：B． 题型九 二次根式的加减运算（共3小题） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法，平方差公式，再化简二次根式，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简等知识点，熟练掌握运算法则解题的关键． 先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及化简二次根式，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 3．（2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式、绝对值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 题型十 二次根式的混合运算（共3小题） 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)6 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟知各运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则和运算顺序依次进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算：（1）；     计算：（2）． 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，二次根式的乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先根据平方差公式去括号，再计算二次根式乘法，最后计算减法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 3．（25-26八年级上·上海·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键． 先对原式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 题型十一 分母有理化（共3小题） 1．（2025九年级上·全国·专题练习）根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照例题对二次根式进行分母有理化，合并即可； （2）对、进行分母有理化，分别求出和，利用完全平方公式的变形，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：，， ，， ． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）先分母有理化得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， 故答案为：（答案不唯一） （2）解：∵，， 而， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 题型十二 化简求值（共3小题） 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值及二次根式的混合运算，分母有理化，解题的关键是熟练掌握实数和分式的混合运算顺序和运算法则． 先把括号里面的进行通分，再算除法化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 2．（25-26九年级上·福建漳州·）阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 题型十三 比较二次根式的大小（共3小题） 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 设， ， 根号内： ∴， ∴，，， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）设，，，则a，b，c之间的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式大小的比较，先求出，，，然后根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， ，，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 题型十四 二次根式的实际应用（共3小题） 1．（25-26八年级上·重庆·月考）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，，即可求得答案； （3）设，则，，，则． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值． 故答案为： （2），，即的最小值为． 根据题意，得． ∴ 将代入，得 原式 ． （3）设，则，，． ． 因为，当且仅当，即时，有最小值， 所以当时，取得最大值，最大值． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理逆定理，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）通过计算三边的平方关系，判断三角形形状； （2）利用海伦公式计算三角形面积． 【详解】（1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴的面积是． $专题01 二次根式 题型1 二次根式的概念 题型8 同类二次根式 题型2 二次根式有意义的条件 题型9 二次根式的加减运算（常考点） 题型3 二次根式的性质化简（重点） 题型10 二次根式的混合运算（常考点） 题型4最简二次根式 题型11 分母有理化（难点） 题型5 二次根式的乘法（常考点） 题型12化简求值（常考点） 题型6 积的算术平方根 题型13比较二次根式的大小 题型7 二次根式的除法 题型14 二次根式的实际应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的概念（共3小题） 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025八年级上·江苏苏州·期末）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型二 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）二次根式有意义的条件为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·四川广安·期末）要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26九年级上·湖南·期末）若在实数范围内有意义，则可以为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 题型三 二次根式的性质化简（共3小题） 1．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 题型四 最简二次根式（共3小题） 1．（25-26八年级上·上海青浦·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）设，，则可以表示为() A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·期末）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 题型五 二次根式的乘法（共3小题） 1．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·期末）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 题型六 积的算术平方根（共3小题） 1．（23-24九年级上期末）如果成立，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．（19-20九年级上·全国·课后作业）计算的结果是(    ) A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列式子正确的是(    ) A． B． C． D． 题型七 二次根式的除法（共3小题） 1．（25-26八年级上·上海·月考）（1）计算： （2）若，化简． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 题型八 同类二次根式（共3小题） 1.（25-26八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 题型九 二次根式的加减运算（共3小题） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）计算： (1) (2) 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）计算： 3．（2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题： (1)； (2)． 题型十 二次根式的混合运算（共3小题） 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算：（1）；     计算：（2）． 3．（25-26八年级上·上海·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 题型十一 分母有理化（共3小题） 1．（2025九年级上·全国·专题练习）根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 题型十二 化简求值（共3小题） 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26九年级上·福建漳州·）阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 题型十三 比较二次根式的大小（共3小题） 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）设，，，则a，b，c之间的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 题型十四 二次根式的实际应用（共3小题） 1．（25-26八年级上·重庆·月考）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； $