专题01 二次根式（6清单+9常考题型+4易错+3方法）（期中知识清单）九年级数学上学期华东师大版

专题01 二次根式（6知识&9题型&4易错&3方法清单） 【清单01】二次根式的基础 1. 二次根式的定义 定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 2. 二次根式有意义的条件 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 【清单02】二次根式的性质 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 【清单03】二次根式的乘除法 1. 二次根式的乘法 法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 【易错点】几个二次根式相乘，积的被开方数中若含有能开得尽方的因数或因式时，一定要将其开到根号外，避免出现计算不彻底的错误. 2. 二次根式的除法 法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3. 最简二次根式 定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. [举例]都是最简二次根式，不是最简二次根式 【清单04】分母有理化 定义：把分母中的根号化去的过程，称为分母有理化. 思路：；也可以通过分式中的“约分进行分母有理化，如 【清单05】二次根式的加减 1. 同类二次根式 定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 2. 二次根式的加减法 法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 【清单06】二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算. 关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 【题型一】二次根式的定义 1．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 【题型二】二次根式有意义的条件 5．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）若有意义，则x的取值范围是 ． 6．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）若最简二次根式与可以合并，使有意义的的取值范围是 ． 8．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知满足，则的值为 ． 【题型三】二次根式的化简 9．（21-22九年级上·四川内江·期中）当时，化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·全国·开学考试）某同学作业本上做了这样一道题，当■时，试求的值，其中■是被墨水弄污的，该同学所求的答案为2，假设该同学的答案是正确的，请你根据以上信息，得出a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知a，b满足，则 ． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【题型四】已知最简二次根式求参数 14．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 16．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【题型五】二次根式的乘除法 17．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）估计的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 19．（25-26八年级上·全国·课前预习）化简： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 21．（2025九年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【题型六】二次根式的加减法 22．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·重庆·开学考试）估算的结果应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 24．（24-25九年级上·山西长治·期末）计算： ． 25．（22-23九年级上·全国·期中）计算： ； ． 26．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则正整数的值是 ． 27．（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 28．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： ．（结果保留根号） 【题型七】已知字母的值，化简求值 29．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）已知，，求的值． 30．（22-23八年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 31．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 32．（21-22九年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中 【题型八】已知条件式，化简求值 33．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 34．（2021九年级·北京·专题练习）已知，，求的值． 35．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 36．（20-21九年级下·山东威海·期中）已知，，求的值． 37．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【题型九】二次根式的应用 38．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 39．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 40．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 41．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值 【题型一】忽略被开方数非负，求取值范围时出错 42．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 43．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（   ） A． B． C． D．≤-1 44．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 【题型二】二次根式性质的混淆与错用 45．（2025·浙江温州·模拟预测）如图所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 46．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）下列说法错误的有（　　） ①的平方根是；②是2的算术平方根；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 47．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）设，则下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 48．（24-25八年级下·福建厦门·期中）用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 49．（2024八年级上·上海·专题练习）下列说法错误的个数为（ ）个． （1）；（2）的倒数是； （3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型三】最简二次根式/同类二次根式的判断错误 50．（23-24八年级下·全国·课后作业）二次根式（其中a，b均大于或等于0）中，是最简二次根式的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 51．（21-22八年级上·全国·课后作业）在中，是最简二次根式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 52．（24-25九年级上·山西长治·期中）下列各式化简后，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 53．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（　　） A．16 B．0 C．2 D．任意实数 54．（21-22九年级上·全国·单元测试）最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 【题型四】二次根式混合运算中出错 易错类型 1：二次根式乘法 / 除法的符号错误 易错类型 2：二次根式加减运算中，错将 “非同类根式” 合并 易错类型 3：混合运算中忽略 “先算根式内” 或 “运算顺序” 易错类型 4：运算结果为化简为最简形式. 55．（22-23八年级下·全国·课后作业）计算题： (1)； (2)． 56．（21-22八年级下·山东烟台·期中）计算 (1)； (2)． 【题型一】比较二次根式的大小 57．（2025八年级上·全国·专题练习）比较和的大小； 58．（24-25八年级上·全国·单元测试）试比较与的大小． 59．（2025八年级上·全国·专题练习）“作商法”比较与的大小． 60．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而，∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【题型二】复合二次根式化简 解题方法：若A＞0，B＞0，k为常数，则 1）分母为型，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分，所以分子、分母同乘，即. 2）分母为型，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，所以分子、分母同乘，即. 3)分母为型，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，所以分子、分母同乘，即. 61．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】(1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 62．（21-22八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【题型三】分母有理化 对于复合二次根式，设法找到两个正数x，y（x＞y＞0），使， 则 63．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知 ， ，分别求下列分式的值： (1)；(2)． 64．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 65．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式（6知识&9题型&4易错&3方法清单） 【清单01】二次根式的基础 1. 二次根式的定义 定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 2. 二次根式有意义的条件 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 【清单02】二次根式的性质 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 【清单03】二次根式的乘除法 1. 二次根式的乘法 法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 【易错点】几个二次根式相乘，积的被开方数中若含有能开得尽方的因数或因式时，一定要将其开到根号外，避免出现计算不彻底的错误. 2. 二次根式的除法 法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3. 最简二次根式 定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. [举例]都是最简二次根式，不是最简二次根式 【清单04】分母有理化 定义：把分母中的根号化去的过程，称为分母有理化. 思路：；也可以通过分式中的“约分进行分母有理化，如 【清单05】二次根式的加减 1. 同类二次根式 定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 2. 二次根式的加减法 法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 【清单06】二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算. 关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 【题型一】二次根式的定义 1．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 2．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 4．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简后判断是个平方数，即可求解． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数的最小值是， 故答案为：． 【题型二】二次根式有意义的条件 5．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，进而求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据代数式有意义，列出不等式组求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：且， 故答案为：且． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）若最简二次根式与可以合并，使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知得出，求出的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得∶， 要使有意义，必须≥， 解得： 故答案为： 8．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知满足，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，以及简单的代数化简与求值，解题的关键在于被开方数的非负性来确定变量a的取值范围．根据被开方数非负求得，进而代入原式求得，最后计算得到． 【详解】 解： 满足， ，解得， ， ． 故答案为：12． 【题型三】二次根式的化简 9．（21-22九年级上·四川内江·期中）当时，化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 10．（23-24九年级上·全国·开学考试）某同学作业本上做了这样一道题，当■时，试求的值，其中■是被墨水弄污的，该同学所求的答案为2，假设该同学的答案是正确的，请你根据以上信息，得出a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了二次根式的性质，根据题意化简得出，分为和分别解答即可． 【详解】解：， 当时，原式，与题意不符，舍去， 当时，原式， 令，则符合题意， 故， 故选：B． 11．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置得到，，然后推出，，，再根据二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项． 【详解】解：根据数轴，得， ，， ． 故答案为：4． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据二次根式的性质化简所给的二次根式是解答本题的关键．先利用二次根式化简，然后分、和，两种情况解答即可． 【详解】解： ， ， 当，时，原式； 当，时，原式； 即． 故答案为：． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （2）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （3）根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 【详解】（1）解：小亮的解法中：， 当时，， ∴小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. （2）解：由（1）知，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：. （3）解：∵， ∴，， ∴原式 ． 【题型四】已知最简二次根式求参数 14．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 16．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型五】二次根式的乘除法 17．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 18．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）估计的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算，然后根据“夹逼法”估算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴的运算结果应在4到5之间， 故选：C． 19．（25-26八年级上·全国·课前预习）化简： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 【答案】 12 18 【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可得解； （2）利用二次根式的性质化简即可得解； （3）利用二次根式的性质化简即可得解； （4）利用二次根式的性质化简即可得解； （5）利用二次根式的性质化简即可得解； （6）利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：（1），， 故答案为：12，； （2），， 故答案为：，18； （3），， 故答案为：，； （4），， 故答案为：，； （5），， 故答案为：，； （6），， 故答案为：，． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 21．（2025九年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】（1） （2） 【题型六】二次根式的加减法 22．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键． 先判断各选项的两个加数是不是同类二次根式，再加减． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意； B． 和不是同类二次根式，不能合并，故选项B不符合题意； C． 和不是同类二次根式，不能合并，故选项C不符合题意； D． ，计算正确，故选项D符合题意； 故选D． 23．（25-26九年级上·重庆·开学考试）估算的结果应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题关键．先根据二次根式加减运算法则计算，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：． ∵， ∴，即． 故选：B． 24．（24-25九年级上·山西长治·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 25．（22-23九年级上·全国·期中）计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与加减运算，解题的关键是将各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式．先将和、分别化为最简二次根式，即把被开方数拆成一个平方数与另一个数的乘积（或分数化为分母为平方数的形式），再根据（，）化简；最后合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式）． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 26．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则正整数的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的加减运算，然后估算结果的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正整数的值4． 故答案为：4． 27．（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的二次根式运算． 直接根据新定义计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 28．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，化简绝对值，二次根式的加减运算，先化简绝对值，再合并同类项进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型七】已知字母的值，化简求值 29．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）已知，，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 30．（22-23八年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据二次根式的性质，进行化简，再进行合并，然后代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 31．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∴． （2）解：， ， ． ∴． 32．（21-22九年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键． 【题型八】已知条件式，化简求值 33．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（2021九年级·北京·专题练习）已知，，求的值． 【答案】970 【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则． 35．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 36．（20-21九年级下·山东威海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可． 【详解】解：，， ∴a和b均为负数， 【点睛】此题考查的是二次根式的化简和完全平方公式的变形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键． 37．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【题型九】二次根式的应用 38．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． (1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是_____． (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：5，． （2）解：根据题意，得阴影的周长为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． 39．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． 40．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 41．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点A、C、E在一条直线上； (3)25 【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题，涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法． （1）利用勾股定理分别求出，，即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明四边形是矩形，得到，求出，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，即可求解； （3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． （2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是； 理由如下：如图，延长至F，使，连接 由， 则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是． （3）解： 如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设． ∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小， 延长至G，使，连接， 同理可证四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25， ∴代数式的最小值是25． 【题型一】忽略被开方数非负，求取值范围时出错 42．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 43．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（   ） A． B． C． D．≤-1 【答案】B 【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题． 44．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：依题意， ∴且 故选B 【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键． 【题型二】二次根式性质的混淆与错用 45．（2025·浙江温州·模拟预测）如图所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 直接根据乘方、二次根式的性质逐步分析即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即③出现错误． 故选：C． 46．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）下列说法错误的有（　　） ①的平方根是；②是2的算术平方根；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、平方根，熟练掌握两个定义是解题的关键．根据算术平方根、平方根的定义分别计算判断即可． 【详解】解：①，4的平方根是，原计算错误； ②是2的算术平方根，正确； ③，原计算错误； ④，原计算错误． 故选：C． 47．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）设，则下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质， 根据二次根式的运算法则计算判断即可． 【详解】解：因为，所以A正确； 因为，所以B错误，符合题意； 因为，所以C正确； 因为，所以D正确． 故选：B． 48．（24-25八年级下·福建厦门·期中）用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，由知要说明“”是错误的，则，据此解答即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故选：． 49．（2024八年级上·上海·专题练习）下列说法错误的个数为（ ）个． （1）；（2）的倒数是； （3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次根式运算法则和二次根式性质，判定每个式子的正误即可得出答案． 本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 【详解】解：（1），故错误； （2）的倒数为，故错误； （3）当时，，故错误； （4），故正确； ∴符合题意的有3个； 故选：C． 【题型三】最简二次根式/同类二次根式的判断错误 50．（23-24八年级下·全国·课后作业）二次根式（其中a，b均大于或等于0）中，是最简二次根式的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要就是考查了最简二次根式的相关知识，掌握最简二次根式必须同时满足下列两个条件（①被开方数中的因数是整数，因式是整式，即被开方数（式）不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）成为解题的关键． 根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：在中，是最简二次根式的有，共两个． 故选：C． 51．（21-22八年级上·全国·课后作业）在中，是最简二次根式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的两个特点“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”进行解答即可得． 【详解】解：不是二次根式，不符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 不是最简二次根式，不符合题意， 不是最简二次根式，不符合题意， 综上，是最简二次根式的有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟记二次根式的两个特点． 52．（24-25九年级上·山西长治·期中）下列各式化简后，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．对二次根式进行化简，找到与为同类项的即是答案． 【详解】解：无法进行化简，不能与合并，故选项A不符合题意； ，不能与合并，故选项B不符合题意； ，能与合并，故选项C符合题意； ，不能与合并，故选项D不符合题意； 故选C． 53．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（　　） A．16 B．0 C．2 D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到a的值． 【详解】解：∵， 而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故选：B． 54．（21-22九年级上·全国·单元测试）最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 【题型四】二次根式混合运算中出错 易错类型 1：二次根式乘法 / 除法的符号错误 易错类型 2：二次根式加减运算中，错将 “非同类根式” 合并 易错类型 3：混合运算中忽略 “先算根式内” 或 “运算顺序” 易错类型 4：运算结果为化简为最简形式. 55．（22-23八年级下·全国·课后作业）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简，再去掉括号合并即可； （2）根据二次根式的运算顺序，先进行乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）原式 =； （2）原式 =． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 56．（21-22八年级下·山东烟台·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，，，再按实数的运算法则进行运算即可； （2）按乘法的完全平方公式和乘法的平方差公式进行运算，再算减法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式的运算法则和运算性质是解本题的关键． 【题型一】比较二次根式的大小 57．（2025八年级上·全国·专题练习）比较和的大小； 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．将变形为，变形为，利用即可判断； 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 58．（24-25八年级上·全国·单元测试）试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查比较两个数大小的方法，熟练掌握作差法比较两数大小关系是解题的关键：将与进行作差，比较差值与0的大小关系即可判断这两个数的大小． 【详解】， ． 59．（2025八年级上·全国·专题练习）“作商法”比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，分母有理化，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 60．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型二】复合二次根式化简 解题方法：若A＞0，B＞0，k为常数，则 1）分母为型，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分，所以分子、分母同乘，即. 2）分母为型，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，所以分子、分母同乘，即. 3)分母为型，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，所以分子、分母同乘，即. 61．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 62．（21-22八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 【题型三】分母有理化 对于复合二次根式，设法找到两个正数x，y（x＞y＞0），使， 则 63．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知 ， ，分别求下列分式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)98 【分析】本题考查了分母有理数、分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把和进行分母有理化处理，得 ，再代入，进行化简，即可作答． （2）先把和进行分母有理化处理，得 ，再代入，进行化简，即可作答． 【详解】（1）解： ∵ ∴ （2）解：∵ ． ∴ 64．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)121 (3) 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出的值，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 65．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $