第二十一章 二次根式（举一反三讲义）数学华东师大版九年级上册

第二十一章 二次根式（举一反三讲义）全章题型归纳 【华东师大版】 【培优篇】 4 【题型1 二次根式的概念及其有意义的条件】 4 【题型2 利用二次根式的性质化简】 6 【题型3 最简二次根式】 7 【题型4 求二次根式中的参数值】 9 【题型5 二次根式的运算或化简求值】 10 【拔尖篇】 13 【题型6 复合二次根式的化简】 13 【题型7 利用分母有理化求值】 15 【题型8 二次根式的规律探究】 21 【题型9 二次根式的新定义】 24 【题型10 二次根式的实际应用】 27 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 知识点4 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点5 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 知识点6 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点7 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 知识点8 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 知识点9 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点10 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【培优篇】 【题型1 二次根式的概念及其有意义的条件】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，则的值为（） A． B． C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算．本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得； 解得． ． 把代入得 ， 解得． ∴． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当即时，不是二次根式，故此选项不符合题意；     故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知：，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确解不等式组是解题关键． 利用二次根式有意义的条件得出不等式组求出x，y的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故， 则． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）若、为实数，且满足，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、非负数的性质、求算术平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性，结合二次根式有意义的条件求得x、y值，进而求得即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴且， ∴，解得， 将代入中，得， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 【题型2 利用二次根式的性质化简】 【例2】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算，从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．注意根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内． 如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内，然后化简即可． 【详解】解：由二次根式的意义可知， ∴，故D正确． 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-2】若，则把式子根号外面的因式移到根号里后的式子应是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据m<0，则二次根式整体是负数，则m移到根号内部后，外面有负号，进而得出答案. 【详解】解：∵m<0, ∴把式子根号外面的因式移到根号里后的式子为：. 故选A. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，根据二次根式整体的符号得出是解题的关键. 【变式2-3】若是整数，写出一个正整数的可能值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要想让能开平方为整数，将因数分解，进而即可求解． 【详解】解：∵， 若是整数，则的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式得出是解题关键． 【题型3 最简二次根式】 【例3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可以为，，，， ∴或或或， 解得：或或或， 故答案为：． 【变式3-3】已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 【题型4 求二次根式中的参数值】 【例4】若，其中均为整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘法运算与代数式求值，涉及完全平方差公式及二次根式相等，利用完全平方差公式展开后，由二次根式相等的条件得到，代入表达式求解即可得到答案，熟练掌握二次根式运算是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【变式4-2】（2025九年级下·河北·专题练习）若，则整数的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查二次根式的运算，两边平方求出m的值即可解题． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 【变式4-3】已知是整数，则正整数所有可能值共有 个，它们的和为 ． 【答案】 4 26 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数结合二次根式的性质得到正整数n的值，进而求解即可． 【详解】解：在中，，则， ∵是整数，且n为正整数，又，，，， ∴n的值为10或9或6或1，共4个， 它们的和为， 故答案为：4，26． 【题型5 二次根式的运算或化简求值】 【例5】已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用公式，代入，，即可求值； （2）先得出，结合（1）代入值即可求得答案． 【详解】（1）解：根据，则有： ， ， 代入得到： ； （2）， 因为，， 所以， 所以． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)1 (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）把二次根式化简后进行加减运算即可； （2）先把除法转化为乘法，再进行计算即可； （3）先计算乘除法，再计算加减即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式5-2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式5-3】已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 【拔尖篇】 【题型6 复合二次根式的化简】 【例6】观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式6-1】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式6-2】设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【题型7 利用分母有理化求值】 【例7】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简a，然后代入所求式子计算即可． 【详解】（1）； （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式7-1】通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【答案】(1)， (2)C (3)， 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． （1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可； （2）根据（1）中方法进行判断即可； （3）根据方法一，进行分母有理化计算得出，根据为有理数，进而即可求得的值，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）根据（1）中的方法进行计算可知，甲、乙都对 故选：C． （3）解： 是有理数 ． 【变式7-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：__________． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算，化简求值： （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）先进行分母有理化求出的值，进而求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ， ∴，， ∴． 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆·期中）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． ①估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ②通过分母有理化，比较两个二次根式的倒数大小，即可解答； ③先分子分母同时乘以，减少分母的根式个数后再次有理化分母即可； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与b可以利用分母有理化化简，可得出，然后观察方程特点，求得m的值． 【详解】解：①∵a是的小数部分， ∴， ∴，故①错误； ②∵， ， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③ ，故③正确； ④∵ ∴ ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， ， 解得，故⑤错误． 综上所述：②③④正确， 故选：B． 【题型8 二次根式的规律探究】 【例8】化简： 结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】解：， 同理可得， 故选B． 【变式8-1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察等式可得第个等式为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第1个等式，即； 第2个等式，即； 第3个等式，即； …… 观察发现，第个等式为， 则第9个等式为， 故答案为：． 【变式8-2】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 【变式8-3】（24-25八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】①；②；③，得到，列式计算即可． 本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：①； ②； ③， 故， 故 ， 故答案为：． 【题型9 二次根式的新定义】 【例9】（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为： ，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ，又因为，所以． （1）已知：，则的值是 ； （2）计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． （1）仿照例题，列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】解：∵， 且， ∴； ∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 【变式9-2】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 【变式9-3】对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以①正确； 所以②正确； 当时，， 当时，， 所以③正确； 故正确的为①②③，有3个， 故选D． 【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 【题型10 二次根式的实际应用】 【例10】如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为 宽为 的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，矩形的性质，圆的面积公式，根据题意得出周长，进而求得圆的半径，根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】解：这根铁丝的周长为 ∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为 ∴面积为 故选：B． 【变式10-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级上·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速大约是多少？（，结果精确到） 【答案】肇事汽车的车速大约是 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，化简二次根式等知识点，将，代入即可求出肇事汽车的车速大约是多少，熟练掌握运用二次根式的性质化简求值是解决此题的关键． 【详解】解：∵，代入， ∴， ∵， ∴， 答：肇事汽车的车速大约是． 【变式10-3】（24-25八年级上·江西南昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量) 【答案】(1) (2) (3)严禁高空抛物 【分析】本题考查了代数式的求值，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）代入求得h，进而计算即可； （3）由于，故会对人体造成伤害，则应该禁止高空抛物 【详解】（1）解：把代入得：， 答：物体从的高空落到地面的时间为； （2）解：代入得：， 解得：， 则从高空坠落的物体所带能量为， 答：这串钥匙在下落过程中所带能量有； （3）解：∵， ∴对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 二次根式（举一反三讲义）全章题型归纳 【华东师大版】 【培优篇】 4 【题型1 二次根式的概念及其有意义的条件】 4 【题型2 利用二次根式的性质化简】 4 【题型3 最简二次根式】 4 【题型4 求二次根式中的参数值】 5 【题型5 二次根式的运算或化简求值】 5 【拔尖篇】 5 【题型6 复合二次根式的化简】 5 【题型7 利用分母有理化求值】 6 【题型8 二次根式的规律探究】 7 【题型9 二次根式的新定义】 8 【题型10 二次根式的实际应用】 9 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 知识点4 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点5 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 知识点6 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点7 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 知识点8 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 知识点9 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点10 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【培优篇】 【题型1 二次根式的概念及其有意义的条件】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，则的值为（） A． B． C．2024 D．2025 【变式1-1】（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知：，则 ． 【变式1-3】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）若、为实数，且满足，则的算术平方根为 ． 【题型2 利用二次根式的性质化简】 【例2】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则把式子根号外面的因式移到根号里后的式子应是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】若是整数，写出一个正整数的可能值 ． 【题型3 最简二次根式】 【例3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】将式子（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件a的值 ． 【变式3-3】已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【题型4 求二次根式中的参数值】 【例4】若，其中均为整数，则的值为 ． 【变式4-1】二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【变式4-2】（2025九年级下·河北·专题练习）若，则整数的值为 ． 【变式4-3】已知是整数，则正整数所有可能值共有 个，它们的和为 ． 【题型5 二次根式的运算或化简求值】 【例5】已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，求代数式的值． 【变式5-3】已知 ，，求的值． 【拔尖篇】 【题型6 复合二次根式的化简】 【例6】观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【变式6-1】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【变式6-2】设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型7 利用分母有理化求值】 【例7】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)求的值． (3)若，求的值． 【变式7-1】通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【变式7-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：__________． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 【变式7-3】（24-25八年级上·重庆·期中）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【题型8 二次根式的规律探究】 【例8】化简： 结果是（   ） A．1 B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式 ． 【变式8-2】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 【题型9 二次根式的新定义】 【例9】（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为： ，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ，又因为，所以． （1）已知：，则的值是 ； （2）计算： 【变式9-1】（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 【变式9-3】对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型10 二次根式的实际应用】 【例10】如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为 宽为 的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是 （      ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 【变式10-2】（24-25八年级上·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速大约是多少？（，结果精确到） 【变式10-3】（24-25八年级上·江西南昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量) 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$