专题04 解直角三角形全章12种题型（期末复习专项训练）九年级数学上学期华东师大版

专题04 解直角三角形 题型1 斜边中等于斜边一半 题型7 解直角三角形的相关计算（常考点） 题型2 30°的直角三角形（重点） 题型8 解非直角三角形的相关计算 题型3 正弦及有关计算 题型9 构造直角三角形求解（常考点） 题型4余弦及有关计算 题型10 仰角俯角问题（重点） 题型5 正切及有关计算 题型11 方位角问题 题型6 特殊三角函数的运算（常考点） 题型12坡度坡比问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 斜边中等于斜边一半（共3小题） 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．先利用矩形的性质得到，，再计算出，再由勾股定理计算出，接着根据斜边上的中线性质得到，所以，则，然后利用相似比求出，从而得到的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A． B． C． D．距离不确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中线，， ∴， ∴M，C两点间的距离为， 故选：B． 题型二 30°的直角三角形（共3小题） 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，掌握相关的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形是菱形，再由菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于E，交于D，连接．若，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，含角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 通过线段垂直平分线的性质得出，通过含角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关角的度数和边长，然后得出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可知，直线垂直平分线段， ， ∵，，即， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 点为斜边上的中点， ∴， ∴为等边三角形， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距米，则原来大树（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，设，得，根据勾股定理列出方程即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 设米，则米， 根据勾股定理得，， 解得， ∴米，米， ∴米， ∴原来大树是米， 故选：． 题型三 正弦及有关计算（共3小题） 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，勾股定理，求三角函数值，先根据算术平方根定义得出大正方形边长为，小正方形的边长为1．求出三角形的面积，根据三角形面积公式和勾股定理得出，求出，然后再根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：根据题意，大正方形边长为，小正方形的边长为1， ∴三角形的面积为：， 设三角形两直角边为、，则：． 根据勾股定理得：， 联立解得，（负值舍去） ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）在网格中，的位置如图所示，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查网格中求三角函数值，解题的关键是将放入直角三角形．把放入直角三角形中，根据三角函数定义即可得答案． 【详解】解：如图： 由网格的特征可知，是直角三角形， ， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型四 余弦及有关计算（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，求余弦值． 根据勾股定理求出，进而可求出的值． 【详解】∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质可证，过点作于点，可证，得出比例式，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 过点作于点， ， ∴， ， ， ， ， ，且， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 题型五 正切及有关计算（共3小题） 1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，根据正切函数的定义，解答即可．本题考查了正切函数的计算． 【详解】解：连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，    故， 故选：D． 2．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ， ， ，则 的长为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于点D，设，则，根据 ， ，得到，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点C作于点D， 设，则， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型六 特殊三角函数的运算（共3小题） 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】0 【分析】此题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 【详解】解： ． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型七 解直角三角形的相关计算（共3小题） 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查含正切的定义，角平分线的性质，全等三角形、相似三角形的判定及性质；延长交于F，则有，则，易证得，得，在中，因为，所以，所以 ，而，所以． 【详解】解：如图，延长交延长线于F， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，， 则， ∴， ∴， 则小球下降的高度是， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（   ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据选项条件逐项进行判断即可． 【详解】解：如图， 设 ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B不符合题意； 如图2， ，，， 取的中点H，连接，则， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项C不符合题意； ，， 若，则， ∴此时与不相似， ∴与不一定相似， 故选项D符合题意； 故选：D 题型八 解非直角三角形的相关计算（共3小题） 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 2．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 3．（2020·江苏苏州·一模）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】C 【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案． 【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点， 根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=3km， 在Rt△CBD中， CD=BC×sin60°=3×=(km)， 故选择：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值． 题型九 构造直角三角形求解（共3小题） 1．（24-25九年级上·重庆·期末）某班正在点处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点位于点的正东方100米处，点位于点的北偏东方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点的东北方向（点、、、、在同一平面内，参考数据：）． (1)求点到点的距离（结果保留整数）； (2)下课后，小巴沿以的速度前往四食堂，小川沿以的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 【答案】(1)41米 (2)小川先到达四食堂 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，数形结合，掌握方位角表示位置及特殊角的三角函数是解决问题的关键． （1）过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示，根据矩形的判定得到四边形为矩形，结合题意，由特殊角的三角函数值列式求解即可得到答案； （2）先解直角三角形求出，再由小川和小巴运行路线及速度列式求时间，比较长短即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点，延长交于点，如图所示： 由题意得， 四边形为矩形， 点位于点的北偏东方向80米处， 在中，，米， ∴米，米， 点位于点正南方30米处， 米， 点位于点的正东方100米处， 米， 点位于点的东北方向， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， 答：的距离为41米； （2）解：在中，米， 小川沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； 小巴沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； ∵， ∴小川先到达四食堂． 2．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 3．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型十 仰角俯角问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形，则，米，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形 ∴，米，，米 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴（米） 答：摩天轮的高度大约是米． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和． (1)若长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 【答案】(1)平方米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）通过解直角三角形在中求出，在中求出，进而可求出，再根据矩形的面积公式即可求解； （2）通过解直角三角形求出，，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得米，，，， ∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴平方米． 答：灯牌的面积为平方米． （2）解：∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴两侧加固的铝合金框架总共用料米． 题型十一 方位角问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？ 【答案】2小时；（海里/小时） 【分析】先计算海里，再计算（海里）， 从而得到时间为，（海里），求得海警船的运动路程，故海警船的追击速度为：（海里/小时）． 本题考查了方向角的应用，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴（海里）， ∵，， ∴， ∴（海里）， ∴，（海里）， ∴（海里）， ∴海警船的追击速度为：（海里/小时）． 2．（24-25九年级下·重庆大足·期末）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据：） (1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）； (2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？ 【答案】(1)两地之间的距离为海里． (2)线路最短，理由见解析． 【分析】本题考查的是与方向角相关的解直角三角形的应用； （1）如图，过作于，过作于，则四边形为矩形，可得，，再在中，在中结合锐角三角函数求解即可； （2）先求解，再分别求解线路和的长，再比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴（海里）． （2）解：由（1）得：，， ∴， ∴（海里）， （海里）， ∴线路最短． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． (1)______ m，______（结果保留根号) ． (2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 【答案】(1)；1000 (2)53米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真审题得，，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合图形得，再在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，，， ， ， ， 故答案为：，1000； （2）解：由题意得， 在中，， 答：则灯塔的高度是53米． 题型十二 坡度坡比问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）五一假期，圆圆来到公园开展综合实践活动测量一个古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，斜坡坡度为，，古塔落在斜坡上的影长，同一时刻，圆圆又测得竖立于地面上长1m的旗杆的影长为（古塔在圆圆的正前方）． (1)求古塔的高度； (2)圆圆站在斜坡上点处，已知目高为米．某一时刻，圆圆刚好看见远处的无人机沿着平行方向，以米秒的速度向前匀速飞行，求经过秒后，无人机正好在圆圆正上方，求遥控无人机离地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，比例的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造相似三角形． （1）先根据坡度比求出B到地面的竖直高度与水平宽度，再求解出影长，再由影长为即可求解； （2）先由平行证明，即可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图：连接并延长交于，延长交于， 斜坡坡度为，即竖直高度与水平宽度的比为， 设B到地面的竖直高度为，水平宽度为， 又，， 由勾股定理可得， 即，即， 解得， ∴B到地面的竖直高度为，水平宽度为， ∵， ∴古塔在地面的影长为， ， ， ， ； （2）解：如图：连接并延长交于，延长，交延长线于，， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 遥控无人机离地面的高度为． 2．（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 3．（24-25九年级上·山东济南·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点D． 测量过程与 数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内） （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高度，即求线段的长．（注：请用（1）中坡面的水平距离和垂直距离的整数值进行计算） 【答案】(1)坡面的水平距离和垂直距离分别是和 (2)山的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点作，垂足为，在中，利用正弦定义和余弦定义求解和即可； （2）延长交于点，设，根据已知先得到，，，，在中，利用正切定义求得x即可求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图， 在中，， ， ， ． 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； （2）解：如图，延长交于点，设， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 本题过点D作于G，于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：立柱的高度约为； 5．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）暑假期间，小亮与小明相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处，已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为， ，，，， 在中，，， ， ； 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， ， 从山底处到达山顶处需要的时间， 答：从山底处到达山顶处大约需要． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04解直角三角形 题型归纳·内容导航 题型1斜边中等于斜边一半 题型7解直角三角形的相关计算（常考点） 题型230°的直角三角形（重点） 题型8解韭直角三角形的相关计算 题型3正弦及有关计算 题型9构造直角三角形求解（常考点） 题型4余弦及有关计算 题型10仰角俯角问题（重点） 题型5正切及有关计算 题型11方位角问题 题型6特殊三角函数的运算（常考点） 题型12坡度坡比问题（重点) 题型通关·靶向提分 题型一斜边中等于斜边一半（共3小题） 1.(24-25九年级上广东佛山期末)如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应 的刻度分别为1、4、7（单位：Cm),则CD的长度为(） A.6 B.4.5 c.3.5 D.3 2.(24-25九年级上陕西咸阳期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点E,F分别在边 AB,BC上，AE=2cm,BD,EF交于点G.若EG=FG,则BG的长为() E F 5 10 A. B. 8 3 3 C.16 D. 1/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25九年级上河南南阳·期末)如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开， 若测得AB的长为6.4km,则M,C两点间的距离为() M B A.3km B.3.2km C.12.8km D.距离不确定 题型二30°的直角三角形（共3小题） 1.(24-25八年级下山西临汾期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC⊥BD.若 ∠ABC=60°，BC=4,则BD的长为()· B A.4 B.8 C.4V5 D.23 2.(24-25九年级上山东枣庄·期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，分别以B,C为圆心，以大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N,作直线MN交AC于E,交BC于D,连接AD,若 2 AE=CE,AE=2,则AD=() 2 A M A.√5 B.2 C.25 D.√万 3.(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成30°，顶 端着地处C与大树底端相距4米，则原来大树()米， 2/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 TTTTT A.2 B.6 C.23+4 D.45 题型三正弦及有关计算（共3小题） 1.(25-26九年级上山东青岛期末)如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形.如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么sin0的值为() 人0 4 A. C.4 5 2.(24-25九年级上·内蒙古赤峰期末)在4×4网格中，∠的位置如图所示，则sia的值为() a A.号5 B.V5 C.2 5 D. 3. (24-25九年级上浙江绍兴期末)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=8,CD⊥AB, 则sin /BCD的值为() B D A A. B. c.3 D. 4 10 题型四余弦及有关计算（共3小题） 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25九年级上山东菏泽期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,AC=1,那么cosB的值是() A.② B. c.8 D.2 2 2 2.(24-25九年级上山东烟台·期末)如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC, 连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG,若AB=8,BC=I2,则cos∠GBF的值为() B A.10 B.3f0 10 c 0.2 10 3.(24-25九年级上甘肃兰州期未)如图，在R1△4BC中，∠C=90,AB=6,cosB=名，则BC的长为() 3 C A.4.5 B.5 C.4 D.3√5 题型五正切及有关计算（共3小题） 1.(25-26九年级上·安徽六安，月考)如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC的 三个顶点都在网格线的交点上，则tan∠ABC的值为() C A.V10 B.310 C.3 D. 10 10 3 2.(24-25九年级下，重庆大足，期末)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE,过A作 G1BE于点G,延长AG交BC的延长线于点F,若AB=6,tan∠ABE,则CF等于() 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D C A.2 8.3 c 九年级下陕西西安期如图，在4ABC中，AB=5，an∠1，n∠B 的长为() C B A.2√5 B.3 C.2 D.10 题型六特殊三角函数的运算（共3小题） 1.(24-25九年级上甘肃兰州期末)计算： i6+x--（ -tan45. 2.（24-25九年级上·福建莆田·期末)计算： +2cos30°-l-V3+(π-2025)°. 3.(24-25九年级上.宁夏银川期末)计算 (1)sin230°+2sin60°-tan45°+tan60°+cos230° a周-人柜--4w+p-i同 题型士解直角三角形的相关计算（共3小题） 1.(25-26九年级上江苏泰州期末)知图，在4BC中，∠4CB=90°，an∠B4C-号，4D平分∠C48, BE1AD,E为垂足，则1D 的值为() BE 5/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.3 4 2.(24-25九年级上山东菏泽期末)如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动6cm,则小球下降的高 度是( A.6sina(cm)B.6cosa(cm C.6tana(cm) D.6(cm) tana 3.(24-25九年级上浙江金华期末)已知ABC的三边长为1，√5,2，在下列给定条件中，aDEF与 ABC不一定相似的是() A.DE=2,EF=4,DF=2√5 B.∠D=30°，∠E=90° C.DE=2,EF=4,∠E=60 D.DE=2,EF=2V3,∠F=30 题型八解韭直角三角形的相关计算（共3小题） 1.(2024重庆九龙坡模拟预测)在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，,B,C都在格点上，那么 sin∠ACB的值为() A.5 B.5 c.25 2 5 2.(2-23九年级上江苏南通：期末)如图，在A8C中，∠4=30,4C=25,amB=5 ,则AB的长 2 为() 6/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2+2V5 B.3+5 C.4 D.5 3.(2020江苏苏州.一模)如图在一笔直的海岸线1上有相距3m的A,B两个观测站，B站在A站的正东 方向上，从A站测得船C在北偏东60的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线 1的距离是() 北 C 西十一东 南 个60 A B A. 2 km B.3km C. D.23km 2 题型九构造直角三角形求解（共3小题） 1.(24-25九年级上·重庆·期末)某班正在点A处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂D处 吃午饭，经测量，点B位于点A的正东方100米处，点C位于点B的北偏东30°方向80米处，且位于点D正 南方30米处，点E位于点D的正西方，且位于点A的东北方向（点A、B、C、D、E在同一平面内，参 考数据：√2≈1.41,5≈1.73，√6≈2.45). E 30 B (1)求点E到点D的距离（结果保留整数）； (2)下课后，小巴沿A→E→D以2m/s的速度前往四食堂，小川沿A→B→C→D以2.5m/s的速度前往四 食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 2.(22-23九年级上湖南张家界期末)如图，在ABC中，∠A=30°，∠B=45,BC=3V2. A30° 45°B (1)求AC的值. 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求ABC的面积（结果保留根号） 3.(22-23八年级下河南安阳期末)如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD,其中AB⊥BC, AB=BC=2m,AD=1m,CD=3m.为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进 行绿化整理. D B6 C (1)求证：AD⊥AC. (2)求需要绿化的空地ABCD的面积. 题型仰角俯角问题（共3小题） 1.(25-26九年级上河南平顶山期末)在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，,在A处用高为1.6 米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α=39°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C 的仰角B=50°.求摩天轮CF的高度.（参考数据：sin39°≈0.6，tan39°≈0.8，sin50°≈0.8，tan50°≈1.2 E. 2.(24-25九年级上河南周口·期末)2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无 线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更 高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电.如图，某人利用无人机测量大楼BC的高度，无人机在空中点 A处，测得点A与地面的距离为70m,测得点C的俯角∠EAC=15°；控制无人机水平移动至点D,测得 AD=I5m,楼顶C点的俯角∠EDC=45°，点A,B,C,D在同一平面内，求大楼的高度BC.(参考数据： sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√2≈1.41，结果精确到0.lm) 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D 7177771777777777777 3.（24-25九年级上·河北唐山期末)某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐"的矩 形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，己知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离FD为 4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是60°和45°. 打黑除恶 共创和谐 E B D (1)若AF长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 题型十一方位角问题（共3小题） 1.(24-25九年级上湖南邵阳·期末)如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40√2海里的A 处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿 正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？ 北 45 东 30 2.(24-25九年级下.重庆大足期末)中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发 展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行 动.某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个地点演习，如图，点B在点A正东方向100 海里处，点D在点A北偏东30°方向120海里处，点C在点D东南方向，且点C也在点B正北方向.（参考 数据：√5≈1.414,5≈1.732) 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 北 D 西 →东 南 305 A (1)求C,D两地之间的距离（结果保留一位小数）； (2)由于演习过程中的特殊任务，从点A到点C需要经过点D或点B,那么点A到点C的两条路径 A→D→C和A→B→C哪一条线路最短？ 3.(24-25九年级上江苏泰州期末)如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东45°，轮船向正北 方向航行1000m后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向. S 北个 45% B 289 西← →东 A 南 图① 图② (1)AS= m,SB m(结果保留根号)· (2)如图②，若轮船从B处向东航行900m到达点C,从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为28°，则灯塔的高度 SD是多少米？（参考数据：sin28°≈0.469，cos28°≈0.883，tan28°≈0.532，结果精确到1m,) 题型土二坡度坡比问题（共5小题） 1.(25-26九年级上山东青岛·期末)五一假期，圆圆来到公园开展综合实践活动--测量一个古塔的高度.如 图，在古塔附近有一斜坡AB,斜坡坡度i为5：12，AE=10m,古塔落在斜坡上的影长AB=6.5m,同一时 刻，圆圆又测得竖立于地面上长1m的旗杆的影长为m(古塔在圆圆的正前方)· 飞行方向 D BA 77777777777777777Z77777777777 10/13