第二十四章 解直角三角形（举一反三讲义）数学华东师大版九年级上册

第二十四章 解直角三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【华东师大版】 【培优篇】 4 【题型1 设参数法求锐角三角函数值】 4 【题型2 网格中求锐角三角函数值】 5 【题型3 灵活运用已知条件解直角三角形】 6 【题型4 解双直角三角形】 7 【题型5 在四边形中解直接三角形】 8 【拔尖篇】 10 【题型6 构造直角三角形求锐角三角函数值】 10 【题型7 等角转换法求锐角三角函数值】 11 【题型8 巧设未知数解直角三角形】 12 【题型9 构造直角三角形进行线段或角的计算】 13 【题型10 解直角三角形的应用】 14 知识点1 锐角的三角函数 1. 正弦、余弦、正切的定义 如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有且，． 知识点2 特殊角的三角函数的值 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 知识点3 锐角的三角函数间的关系 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 知识点4 解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点5 解直角三角形的依据 在中，，，的对边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：（两角互余）； （3）边角之间的关系：，，． 知识点6 解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下： 已知类型 已知条件 解法步骤 图示 两边 斜边c、一直角边（如a） （1）； （2）由，求； （3） 中，，，的对边分别为a，b，c，如图所示： 两直角边（a，b） （1）； （2）由，求； （3） 一边 一角 斜边c、一锐角（如） （1）； （2）由，得； （3）由，得 一直角边、一锐角（如a、） （1）； （2）由，得； （3）由，得 知识点7 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2. 常见类型 （1）仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 图（1） 图（2） （2）方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． （3）坡度、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 【培优篇】 【题型1 设参数法求锐角三角函数值】 【例1】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是 ． 【变式1-1】（2025·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 【变式1-2】如图，在等边中，，垂足为，以，为邻边作矩形，连接交边于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川南充·一模）如图，把矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 网格中求锐角三角函数值】 【例2】如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-1】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ． 【变式2-2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 【变式2-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点、、、都在小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ． 【题型3 灵活运用已知条件解直角三角形】 【例3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ， ， ，则 的长为（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式3-2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 【变式3-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，则中线的长为（    ） A． B．2 C． D． 【题型4 解双直角三角形】 【例4】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为 ，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为 ． 【变式4-2】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·安徽宣城·一模）如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为（   ） A．或18 B．或18或19 C．或18或19或 D．或18或19或20 【题型5 在四边形中解直接三角形】 【例5】（2025·湖南娄底·三模）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）如图，在四边形中，，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形为边长为4的正方形，点E为的中点，连接并延长至点F，连接，连接并延长交延长线于点G，若时，则的长为 ． 【变式5-3】（2025·河南商丘·二模）已知：如图，在中，为线段上一点，且为线段的中点，连接，延长到点，使得，连接，过点作的平行线交的延长线于点． (1)四边形是正方形吗？请说明理由； (2)若，求线段的长度． 【拔尖篇】 【题型6 构造直角三角形求锐角三角函数值】 【例6】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为 ． 【变式6-1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，是边上的中线，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 【变式6-3】（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型7 等角转换法求锐角三角函数值】 【例7】（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为 ． 【变式7-1】（2025·山西吕梁·三模）如图，在四边形中，，，平分，与相交于点，若，，则线段的长为 ． 【变式7-2】如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【变式7-3】（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 【题型8 巧设未知数解直角三角形】 【例8】（2025·广东深圳·模拟预测）在等腰中，，D是BC上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ． 【变式8-1】（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【变式8-2】（24-25八年级下·北京·期末）如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为 ． 【变式8-3】（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）如图，在菱形中，过顶点D作，垂足分别为E，F，连结．若，的面积为4，则菱形的面积为 ． 【题型9 构造直角三角形进行线段或角的计算】 【例9】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【变式9-1】如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【变式9-2】如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作交于点，那么的长为 ．    【变式9-3】如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ． 【题型10 解直角三角形的应用】 【例10】（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【变式10-1】（2025·河南·模拟预测）举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业的特种机器人．如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形，，伸缩臂，点和点在同一铅垂线上（即），，伸缩臂的最大长度为，图中的点均在同一竖直平面内，．当伸缩臂达到最大长度时，求举高灭火机器人的最高点到地面的距离．（参考数据：，，） 【变式10-2】（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【变式10-3】为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 解直角三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【华东师大版】 【培优篇】 4 【题型1 设参数法求锐角三角函数值】 4 【题型2 网格中求锐角三角函数值】 8 【题型3 灵活运用已知条件解直角三角形】 12 【题型4 解双直角三角形】 15 【题型5 在四边形中解直接三角形】 22 【拔尖篇】 28 【题型6 构造直角三角形求锐角三角函数值】 28 【题型7 等角转换法求锐角三角函数值】 33 【题型8 巧设未知数解直角三角形】 39 【题型9 构造直角三角形进行线段或角的计算】 47 【题型10 解直角三角形的应用】 52 知识点1 锐角的三角函数 1. 正弦、余弦、正切的定义 如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有且，． 知识点2 特殊角的三角函数的值 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 知识点3 锐角的三角函数间的关系 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 知识点4 解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点5 解直角三角形的依据 在中，，，的对边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：（两角互余）； （3）边角之间的关系：，，． 知识点6 解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下： 已知类型 已知条件 解法步骤 图示 两边 斜边c、一直角边（如a） （1）； （2）由，求； （3） 中，，，的对边分别为a，b，c，如图所示： 两直角边（a，b） （1）； （2）由，求； （3） 一边 一角 斜边c、一锐角（如） （1）； （2）由，得； （3）由，得 一直角边、一锐角（如a、） （1）； （2）由，得； （3）由，得 知识点7 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2. 常见类型 （1）仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 图（1） 图（2） （2）方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． （3）坡度、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 【培优篇】 【题型1 设参数法求锐角三角函数值】 【例1】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题可先根据菱形的性质设出边长，再结合已知条件得出线段长度，最后利用三角函数的定义求解的值．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在中，， ， 故答案为：． 【变式1-1】（2025·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数等，由矩形和折叠的性质可得，，，，，即得，得到，设，在中利用勾股定理可得，进而根据正切的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在等边中，，垂足为，以，为邻边作矩形，连接交边于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等边的边长为a，则．根据等边三角形的性质可得，从而可由勾股定理求出．根据矩形的性质又可得出，，，即又可利用勾股定理求出．过点C作于点G，由，可得出，进而由勾股定理可求出，最后由余弦的定义即可求解． 【详解】解：设等边的边长为a，则． ∵， ∴，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． 如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，求角的余弦值．正确作出辅助线是解题关键． 【变式1-3】（2025·四川南充·一模）如图，把矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，解直角三角形，根据折叠的性质，矩形的性质，得到，设，，则：，勾股定理求出之间的数量关系，再根据锐角三角形的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，，设， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴； 故选C． 【题型2 网格中求锐角三角函数值】 【例2】如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、， ，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 【变式2-1】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得，由此可得． 【详解】解：根据题意由勾股定理得： ∴AB2=AC2+BC2， ∴AC⊥BC，∠C=90°， 结合网格可知D分别为AB的中点， ∴CD=AD=DB， ∴∠B=∠DCB， 又∵∠B+∠DCB=∠ADC， ∴, ∴    ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出． 【变式2-2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题． 如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴、、共线， 在中， ． 故答案为：． 【变式2-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点、、、都在小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：， ， 的面积 ， ， ， ， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为： 【题型3 灵活运用已知条件解直角三角形】 【例3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则，得出，在中，可得，即可得． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ， ， ，则 的长为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于点D，设，则，根据 ， ，得到，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点C作于点D， 设，则， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，则中线的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， 是等腰直角三角形， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， 中，． 故选：D． 【题型4 解双直角三角形】 【例4】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为 ，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，则，如图，作于，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 如图，作于， ∴cm，cm，cm， ∴cm， ∴cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦等知识．熟练掌握平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦是解题的关键． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据是由翻折得到可求解的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解与的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项． 【详解】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 【变式4-3】（2025·安徽宣城·一模）如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为（   ） A．或18 B．或18或19 C．或18或19或 D．或18或19或20 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点P在上和上讨论，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ①当点P在上时，， ∴为等腰三角形时，只有， ∴， 过D作于Q， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在上时， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，如图， ； 当时，如图，过P作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时，如图，过D作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴； 综上，t的值为或18或19或， 故选：C． 【题型5 在四边形中解直接三角形】 【例5】（2025·湖南娄底·三模）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．如图，记与的交点为，延长交于，结合，则，可得，结合，设，则，，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，，， 由对折可得：，，， ∴， ∴， 如图，记与的交点为，延长交于， ∴， 由对折可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 同理：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）如图，在四边形中，，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理．先求得是的中位线，求得，则，求得，再证明四边形是平行四边形，求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 故选：D． 【变式5-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形为边长为4的正方形，点E为的中点，连接并延长至点F，连接，连接并延长交延长线于点G，若时，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，过作于点，则，根据题意可设，，根据解直角三角形列方程求得，即可求得，进而求解即可，熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ，，， 为中点， ， 在中，， 如图，过作于点，则， 在中，， 设，， ， ， ， 在中，， 即， 经过检验解得， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·河南商丘·二模）已知：如图，在中，为线段上一点，且为线段的中点，连接，延长到点，使得，连接，过点作的平行线交的延长线于点． (1)四边形是正方形吗？请说明理由； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，再由两个三角形全等的判定与性质，结合平行四边形的判定、菱形的判定及正方形的判定即可得到答案； （2）由正切函数，在中，求出线段长，进而在中，同理求出线段长，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是， 理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 垂直平分，则， 四边形是正方形； （2）解：在中，，，则， 设，则，， ， 解得， ， 在中，由勾股定理可得， 过点作，如图所示： 在中，，则， 设，则， ，解得， ， 为线段的中点， ，则， 在中，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及平行线性质、全等的判定与性质、平行四边形判定、菱形判定、正方形判定、解直角三角形、勾股定理等知识，熟记相关几何性质与判定是解决问题的关键． 【拔尖篇】 【题型6 构造直角三角形求锐角三角函数值】 【例6】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】当点E在线段上时，利用平行四边形的判定和性质，结合特殊角三角函数计算即可；当点E在线段的延长线上时，过点F作于点M，利用三角函数解答即可． 【详解】解：当点E在线段上时， ∵平行四边形中，F是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时， 过点F作于点M， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角函数的应用，特殊角的三角函数的计算，分类思想，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【变式6-1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，是边上的中线，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，过点作于点H，利用三角形面积公式求出，再求出，由余弦的定义代入数据计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， 过点作于点H， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 【答案】/0.5 【分析】先利用因式分解法解方程可得到，，得出四边形为矩形，则，根据勾股定理求出，则，由折叠得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解： 得，． ， ，， 连接， ，， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形， ，， ， ∴， 由翻折，使点落在上的点D处， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解一元二次方程，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形，理解坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 【变式6-3】（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作，垂足为，根据两个三角形全等的判定定理，确定，从而根据全等三角形的性质得到，再根据将边绕点逆时针旋转至，确定为等腰三角形，结合“三线合一”得到是边上的中线，进而，即，在中，，设，则，由勾股定理得到， 利用正弦值定义求解即可得到答案． 【详解】解：过作，垂足为，如图所示： ， 在正方形中，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， 将边绕点逆时针旋转至， ， ， 由“三线合一”可得是边上的中线，即， ， 在中，，设，则， 由勾股定理得到， ， 故选：C． 【点睛】本题考查求正弦值，涉及正方形的性质、全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何概念、判定与性质是解决问题的关键． 【题型7 等角转换法求锐角三角函数值】 【例7】（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【变式7-1】（2025·山西吕梁·三模）如图，在四边形中，，，平分，与相交于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作于点，而，求得，由平分，得，由，得 ，则，求得，则 ，作于点交的延长线于点，则，可证明，得，推导出，由，得，则，可证明，则，由，得 ，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，与相交于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 作于点，交的延长线于点，则， 在和 中， , ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-2】如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明、、、四点共圆，推出，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到，由勾股定理得到，再由正弦函数即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，    ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 【变式7-3】（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 【题型8 巧设未知数解直角三角形】 【例8】（2025·广东深圳·模拟预测）在等腰中，，D是BC上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得，设，，利用勾股定理分别求出，，，则，再求出，则，，，进而得， ，根据得，设，，则，，由正切函数，，即可求解． 【详解】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 在中，， ∴设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 设，， ， ， 在中，， 在中，， ，， ，， ， ∴， 解得：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键． 【变式8-1】（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级下·北京·期末）如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，，，菱形，，设，，，，，由，得即，根据勾股定理，故，，过点作于点，根据题意，得，设，，则，，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，，，菱形，， 设，， ，，， 由，得即， 根据勾股定理，得， 故， 解得，（舍去），故， 过点作于点， 根据题意，得， 设，， 则，， 故， 解得，， 故，（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【变式8-3】（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）如图，在菱形中，过顶点D作，垂足分别为E，F，连结．若，的面积为4，则菱形的面积为 ． 【答案】18 【分析】过点F作于点G，证明，得，则，设，再由平行线的性质得，进而由锐角三角函数定义得，则，由三角形面积公式求出，然后由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点F作于点G， ∵， ， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，三角形面积等知识，是解题的关键． 【题型9 构造直角三角形进行线段或角的计算】 【例9】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作交于点，那么的长为 ．    【答案】 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由题意易得∠DBC=45°，∠ACB=∠DEB，则有，然后根据三角函数及线段的和差可求解． 【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：    ∵，和的平分线相交于点， ∴∠DBC=45°，∠DCB=∠ACD， ∴△DFB是等腰直角三角形，即DF=BF， ∵DE∥AC， ∴∠ACB=∠DEB，∠ACD=∠CDE， ∴∠CDE=∠DCE， ∴DE=EC， ∵AB=3，AC=5， ∴BC=4，， 设DF=BF=3x，则有：EF=4x，DE=EC=5x， ∴，解得， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【变式9-3】如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】【分析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可． 【详解】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N， ∵DE平分△ABC的周长， AD=DB， ∴BE=CE+AC， ∴ME=EB， 又AD=DB， ∴DE=AM，DE∥AM， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACM=120°， ∵CM=CA， ∴∠ACN=60°，AN=MN， ∴AN=AC•sin∠ACN=， ∴AM=， ∴DE=， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键． 【题型10 解直角三角形的应用】 【例10】（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∴千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（此时大于的长，舍去）， ∴千米， 答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 【变式10-1】（2025·河南·模拟预测）举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业的特种机器人．如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形，，伸缩臂，点和点在同一铅垂线上（即），，伸缩臂的最大长度为，图中的点均在同一竖直平面内，．当伸缩臂达到最大长度时，求举高灭火机器人的最高点到地面的距离．（参考数据：，，） 【答案】举高灭火器机器人的最高点到地面的距离约为 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可得，，结合平行线的性质和三角函数可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如解图，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴举高灭火器机器人的最高点到地面的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质和三角形内角和，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式10-2】（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 【变式10-3】为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 【答案】(1)； (2)山高为69米； (3)山高的高为米．． 【分析】（1）利用互余的性质即可求解； （2）先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解； （3）先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，      ∴； （2）解：在中，．    ∴， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， ∴山高(米)， 答：山高为69米； （3）解：如图，由题意得，，    设山高，则，    在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，山高 答：山高的高为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $