专题04 解直角三角形（期末复习讲义，9知识点+20题型）九年级数学上学期华东师大版

专题04 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 测量 能理解测量的基本概念，掌握长度、角度等几何量的测量方法。 基础考点，常在实际操作题或简单应用中出现。 斜边的中线等于斜边的一半 能熟练运用直角三角形斜边中线的性质进行证明和计算。 高频考点，常出现在选择、填空题及几何证明中。 含 30 度角的直角三角形 熟记含30°角的直角三角形的三边比例关系（），并能灵活运用于计算。 常与特殊三角函数值结合考查，是几何计算的基础。 正弦角、余弦角、正切角相关 理解锐角三角函数的定义，并能在直角三角形中准确计算正弦、余弦、正切值。 必考概念，常出现在选择题中，考查定义的理解。 特殊三角形的三角函数 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能进行快速识别和计算。 中考常考记忆点，是后续计算的基础，务必记牢。 特殊三角函数值的混合运算 能熟练进行包含特殊三角函数值的混合运算（如加减、乘除、乘方）。 中考必考计算题型，要求计算准确、步骤清晰。 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 能根据三角形内角的三角函数值，推断三角形的形状（如等腰、直角、等边）。 中档题常见，考查逆向思维和三角函数的性质应用。 根据特殊角三角函数值求角的度数 能由已知的三角函数值求出对应的锐角度数。 常作为计算题的一步，或单独出现在填空题中。 根据三角函数值判断锐角的取值范围 能利用三角函数的增减性，根据函数值大小判断锐角的范围。 易错点，常出现在选择题中，需理解三角函数的单调性。 解直角三角形相关计算 能综合运用勾股定理、三角函数解直角三角形，求出所有未知的边和角。 核心高频考点，常以解答题形式出现，考查综合计算能力。 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 能通过作辅助线构造直角三角形，将复杂图形问题转化为解直角三角形问题。 综合应用题的关键步骤，常出现在中档题中，考查转化与建模能力。 解直角三角形的应用 能将仰角、俯角、坡度、方位角等实际问题转化为解直角三角形的数学模型并求解。 中考必考应用题题型，背景多样（如测量、工程等），需仔细审题。 知识点一、利用相似三角形的性质进行测量 利用相似三角形可以解决一些不易直接测量的物体(如旗杆、楼房等)的高度问题，常用的测量方法如下: （1）影子测量法:利用太阳光是平行光线，构造相似三角形进行测量.如图测量同一时刻人的高度、人的影长和旗杆的影长 （2）镜子反射法:利用镜子的反射原理--反射角等于入射角，构造相似三角形进行测量.如图，测量人眼到地面的高度、人和旗杆分别到镜子的距离 （3）标杆测量法:利用视线与标杆,通过从人的眼睛处向物体作垂线,构造相似三角形进行测量.如图，人的底端、标杆的底端与旗杆的底端成一条直线,且旗杆的顶端、标杆的顶端与人的眼睛恰好在同一条直线上. 易错点： 1.用影子测量法求物高的两种方法 一是直接根据线段的比例关系计算； 二是利用相似三角形的性质计算. 2.在利用相似三角形的性质计算物体的高度时，要找准对应边，根据对应边成比例计算出物体的高度 3.在具体的测量中，要注意测量方法的选择，测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减少误差 知识点二、利用勾股定理进行测量 1.数学中的测量与物理中的测量属于同一概念，但数学中的测量需要伴随着数学运算，勾股定理就是在实际测量中经常用到的知识。 2.数学中的测量工具一般有:刻度尺、测角仪等 易错点： 应用此种方法的前提是在直角三角形中 知识点三、直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 数学表达式 易错点： 1.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形, 2.此性质适用于所有直角三角形，具有一般性，是解决线段倍分问题的重要依据 知识点四、 含30°角的直角三角形性质 1.性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 数学语言：如图，在Rt 中， 2．作用 应用于证明线段的倍分关系和计算角度． 易错点： 应用此性质，必须满足两个条件: (1)在直角三角形中; (2)有一个锐角为30°，二者缺一不可. 知识点五、 锐角三角函数的定义 1定义,如图在 锐角 的正弦： ． 锐角 的余弦： ． 锐角 的正切： ． 锐角 的正弦、余弦、正切统称为锐角 的三角函数 2.锐角三角函数的表示法 （1）在 中，三角函数的符号一定要小写，不能大写． （2）当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如 ， 等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如 等． （3）＂ ＂＂ ＂＂ ＂是整体符号，不能理解为 . （4） 表示 ，不能写成 ； 表示 ，不能写成 表示 ，不能写成 ． 易错点： 1．正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关． 2．由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且 . 3．正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如 等． 4． 和 都是以 为自变量的函数，一旦 的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化． 知识点六、 锐角三角函数之间的关系 1．同一锐角的三角函数之间的关系 （1）平方关系： ． （2）商除关系： ． 2．互余两角的三角函数之间的关系 易错点： 锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出. 知识点七、 特殊角的三角函数值 300，450，600角的三角函数值 三角函数值 300 450 600 1 易错点： 上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角 知识点八、 任意锐角的三角函数值 1.利用计算器求锐角三角函数值 (1)将角度单位状态设定为“度”: “SHIFT”“菜单”（设置）“2”(角度单位)“1”(度)，屏幕显示“D” (2)在角度单位状态为“度”的情况下，按“sin”或“cos”或“tan”键直接求出一个角的正弦值、余弦值或正切值 2.已知锐角三角函数值求锐角的度数 一般的计算器中都有“sin”（sin-1），“cos”（cos-1）,“tan”（tan-1）键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或正切值求锐角时，要用到“SHIFT” “sin”（sin-1）， “SHIFT”“cos”（cos-1）或“SHIFT”“tan”（tan-1）键. 易错点： 不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形:先按三角函数键，再按数字键或先输入数字，再按三角函数键 知识点九、 解直角三角形的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 题型一 测量 解｜题｜技｜巧 ☆使用测量工具时注意单位统一和估读； ☆对于间接测量，常转化为几何问题利用相似或勾股定理计算 【典例1】魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【变式1】某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【变式2】如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是 ． 【变式3】《坐井观天》是大家熟知的寓言故事，“坐井观天”这个成语出自唐代韩愈《原道》：“坐井而观天，曰天小者，非天小也．”通过青蛙和一只小鸟的对话可知青蛙看到的“天”只有如井口一般大小，其原因是光是直线传播的．假设在《坐井观天》故事中的青蛙所在的井是圆柱形（如图），长为，井深为．某天青蛙蹲坐在井底的圆心位置抬头向上望去，雁群离地面的垂直高度约为，雁群的“领头雁”在直线PQ上的投影到井口中心的距离约为． (1)此时青蛙是否可以看见雁群的“领头雁”？请说明理由． (2)当雁群沿直线飞行一段时间后，“领头雁”刚好到达青蛙的左边视线边界，此时尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界离井口正中心的水平距离约为，求此时雁群队伍的长度． 题型二 斜边的中线等于斜边的一半 解｜题｜技｜巧 ☆此性质仅适用于直角三角形 ☆若已知直角三角形斜边中点，连接直角顶点与该中点，即可利用中线性质进行线段长度计算或证明 【典例1】如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则为（　　） A．2 B． C． D． 【典例2】如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为 ． 【变式1】如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则 ． 【变式2】如图，中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)已知，求的度数． (2)若，求证：． 题型三 含30度角的直角三角形 解｜题｜技｜巧 ☆三边比例关系为1::2（30°角对边:60°角对边:斜边） ☆解题时先确定30°角的位置，再根据已知边利用比例求其他边 【典例1】如图，在中，于点交BC于点．若，则与之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，则立柱 和 ． 【变式1】如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为 ． 题型四 正弦角相关 解｜题｜技｜巧 ☆在直角三角形中，sinA = 对边/斜边 ☆若求角，先确定对边和斜边； ☆若求边，利用已知角和一边解方程 【典例1】已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 【典例2】如图，在中，已知，， (1)求的长； (2)求的面积． 【变式1】如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型五 余弦角相关 解｜题｜技｜巧 ☆cosA = 邻边/斜边 ☆注意区分邻边与斜边，避免与正弦混淆 【典例1】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【变式1】如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 题型六 正切角相关 解｜题｜技｜巧 ☆tanA = 对边/邻边 ☆当已知直角边之间的关系时，正切往往更方便 【典例1】如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【典例2】在中，，，则 ． 【变式1】如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为 ． 【变式2】如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为 ． 题型七 特殊三角形的三角函数 解｜题｜技｜巧 ☆熟记30°、45°、60°的三角函数值，并能在图形中快速识别 ☆可通过等边三角形和等腰直角三角形推导 【典例1】的值是（　　） A． B． C． D． 【典例2】在中，，若，则的值为 ． 【变式1】已知为锐角，则的值为（） A． B． C． D． 【变式2】如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为 ．      题型八 特殊角三角函数值的混合运算 解｜题｜技｜巧 ☆先代入已知特殊值，再按实数运算顺序计算 ☆注意、的处理，常需分母有理化 【典例1】计算：． 【变式1】（1）计算： （2）已知，且，求的值． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】（1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 题型九 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 解｜题｜技｜巧 ☆根据三角函数值反推角度，结合三角形内角和判断是锐角、直角或钝角三角形 ☆注意多解情况（如sinα=，α可能是30°或150°） 【典例1】若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【典例2】已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【变式1】已知在中、都是锐角，，那么的形状是 ． 【变式2】在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 题型十 根据特殊角三角函数值求角的度数 解｜题｜技｜巧 ☆熟记特殊角三角函数值表，直接对应 ☆若值不特殊，考虑使用计算器（但中考通常只考特殊角） 【典例1】如果是锐角，且，那么 ． 【变式1】在锐角三角形中，若、满足，则 ． 【变式2】已知：，则锐角 ． 【变式3】若，则锐角的度数是 ． 题型十一 已知角度比较三角函数值的大小 解｜题｜技｜巧 ☆正弦（0°~90°）随角度增大而增大 ☆余弦（0°~90°）随角度增大而减小 ☆正切（0°~90°）随角度增大而增大 【典例1】以下四个特殊三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【变式2】比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【变式3】将，，用“＞”号连接起来为 ． 题型十二 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解｜题｜技｜巧 ☆以特殊角为界.例如： ◎若sinα >，则α > 30°（锐角范围内） ◎若cosα <，则α > 30° ◎若tanα > 1，则α > 45° 【典例1】若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若为锐角，且，则的取值范围是 ． 题型十三 三角函数综合 解｜题｜技｜巧 ☆结合定义、特殊值、解直角三角形等知识 ☆常需在复杂图形中识别或构造直角三角形 【典例1】如图，矩形长为22，宽为15，内部是正方体的一种展开图，每个小正方形的边长相等，其中点A、B、C、D在矩形的四条边上，则小正方形的边长为 ． 【变式1】定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是 ． 【变式2】如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    【变式3】阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 题型十四 解直角三角形相关计算 解｜题｜技｜巧 ☆已知一边和一锐角：用三角函数求另两边 ☆已知两边：用勾股定理求第三边，再用三角函数求角 ☆牢记“有斜用弦，无斜用切” 【典例1】在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【变式1】在中，，，，解这个直角三角形． 【变式2】如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型十五 解非直角三角形 解｜题｜技｜巧 ☆通过作高（垂线）转化为两个直角三角形求解 ☆若已知两边及夹角或三边，也可考虑余弦定理（超纲但有时可用勾股定理推导） 【典例1】如图，在中，，则的长为 ． 【典例2】在中，，求的长． 【变式1】如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【变式2】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 题型十六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 解｜题｜技｜巧 ☆作垂线是最常用方法 ☆将不规则图形分割成多个直角三角形，利用勾股定理和三角函数逐个突破 【典例1】如图，中，，，，则 ． 【变式1】如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【变式2】已知在四边形中，，，． （1）的长是 ； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是 ． 【变式3】如图，在中，已知，，，求的面积． 题型十七 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 解｜题｜技｜巧 ☆画出平面示意图，明确仰角（向上看）、俯角（向下看）的定义 ☆通常构造两个及多个直角三角形，利用公共边建立方程 ☆注意有时会涉及矩形的性质与判定 【典例1】如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆6米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米， (1)求电线杆上部分的长； (2)求拉线的长（结果精确到米，参考数据：，）． 【变式1】小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 【变式2】2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为，沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处，测得塔顶A的仰角为．已知观测点C，D与塔底B在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【变式3】如图，在某机场的地面雷达观测站处，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知为千米．（、、、、、在同一竖直平面内） (1)求、两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持9千米／分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 题型十八 方位角问题(解直角三角形的应用) 解｜题｜技｜巧 ☆以观测点为原点，画出“上北下南左西右东”的十字方向线，根据方位角确定目标方向，构造直角三角形☆注意可能涉及两个方向角的和或差 【典例1】潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 【变式1】如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【变式2】如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到）（参考数据：，，） 【变式3】第十二届世界城市日在重庆举办，“半山崖线步道”及“嘉陵江滨江路”吸引了众多游客打卡，小玉打卡了半山崖线步道，小雅打卡了嘉陵江滨江路、如图，，，，， 在同一平面内，他们同时从步行出发，约定在处汇合．小玉先从沿南偏东的方向游览千米到达处，然后继续向的北偏东方向游览到达处，最后沿着 的北偏东方向到达处，且小玉在和两地都停留了分钟拍照、小雅先从沿正东方向游览至处并停留分钟拍照，再沿的南偏东方向到达处，恰好在的正北方向 千米处． (1)求，两地之间的距离（结果保留根号）； (2)若小玉游览速度为千米时，小雅游览速度为千米时，请问小玉和小雅谁先到达处？通过计算说明（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 题型十九 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 ☆坡度i = 垂直高度/水平宽度 = tanα（α为坡角） ☆已知坡度可求坡角，反之亦然 ☆解题时常需将斜坡长度、垂直高度、水平宽度三者转化 【典例1】如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【典例2】【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 【变式1】如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点E距地面的高度为 米． 【变式2】“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 题型二十 其他问题（解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 ☆仔细审题，提取关键数据，将实际问题抽象为几何模型（通常是直角三角形） ☆注意结果是否符合实际意义（如长度、角度取正数） 【典例1】实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【变式1】高铁座椅靠背及小桌板打开时的侧面如图1所示，支架连接靠背和小桌板，小桌板平行于地面，凹槽E处可以用来放置水杯，靠背垂直于地面时测得． (1)求的度数； (2)靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图2，若此时乘客的水杯能竖直放在凹槽E处（不计凹槽深度），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 【变式2】综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 任务1：某一时刻测得米， ①请直接写出 ； ②请求出此时影子的长度； 任务2：这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【变式3】随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图1是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点与线在同一个平面内）．设抓手D到直线的水平距离为r米． (1)当，时，求r的值？ (2)当时，r的最大值为多少米？（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，） 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．的值为（ ） A． B．1 C． D． 2．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 4． ． 5．如图，在中，，，则 ． 6．计算：． 7．如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 8．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．右面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点B到的距离为（    ） A． B． C． D． 4．雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为 米． 5．如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为 ； （2）若点F是的中点，则的值为 ． 6．将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 7．如图，一艘轮船从海岛出发，以30海里/时的速度向正东方向航行，到达海岛用时2小时．从海岛，望荒岛，测得，． (1)求荒岛到海岛的距离； (2)已知荒岛周围28海里内都有暗礁，若轮船继续向正东方向航行，会有触礁的风险吗？ 8．如图，在菱形中，对角线与交于点，其中菱形的面积为24，，，动点从点出发，沿运动（不与重合），用表示点的运动路程，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并分别写出函数、的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（   ） A． B． C． D．1 3．如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，…，按此规律进行下去，若点且等边的高为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为 ． 5．如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点的坐标为 6．如图，矩形长为22，宽为15，内部是正方体的一种展开图，每个小正方形的边长相等，其中点A、B、C、D在矩形的四条边上，则小正方形的边长为 ． 7．如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度；（将计算结果化至最简） (3)连接、，若，求证：是等边三角形． 8．【阅读理解】 在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】 （1）仿照小明的思路，可以计算出_____． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____．_____． 【拓展应用】（3） 在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处，测得此时的仰角为，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点E、C、F共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为1.5米（即米），后退与前进的距离之和为米（即米），请求出这棵树的高度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 测量 能理解测量的基本概念，掌握长度、角度等几何量的测量方法。 基础考点，常在实际操作题或简单应用中出现。 斜边的中线等于斜边的一半 能熟练运用直角三角形斜边中线的性质进行证明和计算。 高频考点，常出现在选择、填空题及几何证明中。 含 30 度角的直角三角形 熟记含30°角的直角三角形的三边比例关系（），并能灵活运用于计算。 常与特殊三角函数值结合考查，是几何计算的基础。 正弦角、余弦角、正切角相关 理解锐角三角函数的定义，并能在直角三角形中准确计算正弦、余弦、正切值。 必考概念，常出现在选择题中，考查定义的理解。 特殊三角形的三角函数 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能进行快速识别和计算。 中考常考记忆点，是后续计算的基础，务必记牢。 特殊三角函数值的混合运算 能熟练进行包含特殊三角函数值的混合运算（如加减、乘除、乘方）。 中考必考计算题型，要求计算准确、步骤清晰。 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 能根据三角形内角的三角函数值，推断三角形的形状（如等腰、直角、等边）。 中档题常见，考查逆向思维和三角函数的性质应用。 根据特殊角三角函数值求角的度数 能由已知的三角函数值求出对应的锐角度数。 常作为计算题的一步，或单独出现在填空题中。 根据三角函数值判断锐角的取值范围 能利用三角函数的增减性，根据函数值大小判断锐角的范围。 易错点，常出现在选择题中，需理解三角函数的单调性。 解直角三角形相关计算 能综合运用勾股定理、三角函数解直角三角形，求出所有未知的边和角。 核心高频考点，常以解答题形式出现，考查综合计算能力。 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 能通过作辅助线构造直角三角形，将复杂图形问题转化为解直角三角形问题。 综合应用题的关键步骤，常出现在中档题中，考查转化与建模能力。 解直角三角形的应用 能将仰角、俯角、坡度、方位角等实际问题转化为解直角三角形的数学模型并求解。 中考必考应用题题型，背景多样（如测量、工程等），需仔细审题。 知识点一、利用相似三角形的性质进行测量 利用相似三角形可以解决一些不易直接测量的物体(如旗杆、楼房等)的高度问题，常用的测量方法如下: （1）影子测量法:利用太阳光是平行光线，构造相似三角形进行测量.如图测量同一时刻人的高度、人的影长和旗杆的影长 （2）镜子反射法:利用镜子的反射原理--反射角等于入射角，构造相似三角形进行测量.如图，测量人眼到地面的高度、人和旗杆分别到镜子的距离 （3）标杆测量法:利用视线与标杆,通过从人的眼睛处向物体作垂线,构造相似三角形进行测量.如图，人的底端、标杆的底端与旗杆的底端成一条直线,且旗杆的顶端、标杆的顶端与人的眼睛恰好在同一条直线上. 易错点： 1.用影子测量法求物高的两种方法 一是直接根据线段的比例关系计算； 二是利用相似三角形的性质计算. 2.在利用相似三角形的性质计算物体的高度时，要找准对应边，根据对应边成比例计算出物体的高度 3.在具体的测量中，要注意测量方法的选择，测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减少误差 知识点二、利用勾股定理进行测量 1.数学中的测量与物理中的测量属于同一概念，但数学中的测量需要伴随着数学运算，勾股定理就是在实际测量中经常用到的知识。 2.数学中的测量工具一般有:刻度尺、测角仪等 易错点： 应用此种方法的前提是在直角三角形中 知识点三、直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 数学表达式 易错点： 1.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形, 2.此性质适用于所有直角三角形，具有一般性，是解决线段倍分问题的重要依据 知识点四、 含30°角的直角三角形性质 1.性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 数学语言：如图，在Rt 中， 2．作用 应用于证明线段的倍分关系和计算角度． 易错点： 应用此性质，必须满足两个条件: (1)在直角三角形中; (2)有一个锐角为30°，二者缺一不可. 知识点五、 锐角三角函数的定义 1定义,如图在 锐角 的正弦： ． 锐角 的余弦： ． 锐角 的正切： ． 锐角 的正弦、余弦、正切统称为锐角 的三角函数 2.锐角三角函数的表示法 （1）在 中，三角函数的符号一定要小写，不能大写． （2）当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如 ， 等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如 等． （3）＂ ＂＂ ＂＂ ＂是整体符号，不能理解为 . （4） 表示 ，不能写成 ； 表示 ，不能写成 表示 ，不能写成 ． 易错点： 1．正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关． 2．由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且 . 3．正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如 等． 4． 和 都是以 为自变量的函数，一旦 的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化． 知识点六、 锐角三角函数之间的关系 1．同一锐角的三角函数之间的关系 （1）平方关系： ． （2）商除关系： ． 2．互余两角的三角函数之间的关系 易错点： 锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出. 知识点七、 特殊角的三角函数值 300，450，600角的三角函数值 三角函数值 300 450 600 1 易错点： 上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角 知识点八、 任意锐角的三角函数值 1.利用计算器求锐角三角函数值 (1)将角度单位状态设定为“度”: “SHIFT”“菜单”（设置）“2”(角度单位)“1”(度)，屏幕显示“D” (2)在角度单位状态为“度”的情况下，按“sin”或“cos”或“tan”键直接求出一个角的正弦值、余弦值或正切值 2.已知锐角三角函数值求锐角的度数 一般的计算器中都有“sin”（sin-1），“cos”（cos-1）,“tan”（tan-1）键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或正切值求锐角时，要用到“SHIFT” “sin”（sin-1）， “SHIFT”“cos”（cos-1）或“SHIFT”“tan”（tan-1）键. 易错点： 不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形:先按三角函数键，再按数字键或先输入数字，再按三角函数键 知识点九、 解直角三角形的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 题型一 测量 解｜题｜技｜巧 ☆使用测量工具时注意单位统一和估读； ☆对于间接测量，常转化为几何问题利用相似或勾股定理计算 【典例1】魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A. 【变式1】某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 【变式2】如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旗杆的高度约是． 故答案为：． 【变式3】《坐井观天》是大家熟知的寓言故事，“坐井观天”这个成语出自唐代韩愈《原道》：“坐井而观天，曰天小者，非天小也．”通过青蛙和一只小鸟的对话可知青蛙看到的“天”只有如井口一般大小，其原因是光是直线传播的．假设在《坐井观天》故事中的青蛙所在的井是圆柱形（如图），长为，井深为．某天青蛙蹲坐在井底的圆心位置抬头向上望去，雁群离地面的垂直高度约为，雁群的“领头雁”在直线PQ上的投影到井口中心的距离约为． (1)此时青蛙是否可以看见雁群的“领头雁”？请说明理由． (2)当雁群沿直线飞行一段时间后，“领头雁”刚好到达青蛙的左边视线边界，此时尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界离井口正中心的水平距离约为，求此时雁群队伍的长度． 【答案】(1)不可以，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，，证明，根据相似三角形的性质求出，判断即可； （2）连接，则，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：青蛙不可以看见雁群的“领头雁”，理由如下： 如图1，连接，， 由题意可知：点O在线段上，， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴此时青蛙不可以看见雁群的“领头雁”； （2）如图2，假设雁群沿直线飞行一段时间后，尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界点F处， 连接，则， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴此时雁群队伍的长度为． 题型二 斜边的中线等于斜边的一半 解｜题｜技｜巧 ☆此性质仅适用于直角三角形 ☆若已知直角三角形斜边中点，连接直角顶点与该中点，即可利用中线性质进行线段长度计算或证明 【典例1】如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理是解题的关键． 由，D为的中点，，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长，然后由勾股定理求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【典例2】如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 【变式2】如图，中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)已知，求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）连结，由题意易得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高线， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2）证明：连结，如图所示： ∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴．（等腰三角形三线合一）. 题型三 含30度角的直角三角形 解｜题｜技｜巧 ☆三边比例关系为1::2（30°角对边:60°角对边:斜边） ☆解题时先确定30°角的位置，再根据已知边利用比例求其他边 【典例1】如图，在中，于点交BC于点．若，则与之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质及勾股定理等知识，完全平方公式，掌握这些知识是关键． 设，由含30度直角三角形的性质及勾股定理，可分别求出的长，进而可表示出的面积，即可求得与之间的数量关系． 【详解】解：设， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴， 即． 故选：B． 【典例2】如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，则立柱 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半），熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 先利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半求；再利用同样性质求． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是斜梁的中点，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：；． 【变式1】如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质；由点A的坐标为得,由菱形的性质得出，再由含角的直角三角形的性质得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键． 根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，即， ， 由旋转得， ， 过F点作交于H，如图： ， ， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 题型四 正弦角相关 解｜题｜技｜巧 ☆在直角三角形中，sinA = 对边/斜边 ☆若求角，先确定对边和斜边； ☆若求边，利用已知角和一边解方程 【典例1】已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．即． 根据α是锐角，判断出的取值范围，进而完成解答． 根据α是锐角，判断出sinα的取值范围，即可判断出sinα的值不可能为选项中的哪个数． 【详解】解：∵ α为锐角， ∴， ∴． ∴选项A、B、C符合题意，选项D的值为，即的值不可能为2． 故选：D． 【典例2】如图，在中，已知，， (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了锐角三角函的应用，等腰直角三角的性质，勾股定理的应用，特殊角的三角函数值一定要熟记． （1）延长，过点B作，E为垂足，求出，根据三角形内角和得到，根据三角函数求出，根据计算即可； （2）根据勾股定理求出，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，延长，过点B作，E为垂足， 在中，已知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中根据勾股定理得，， ， 的面积是 【变式1】如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该锐角所对的边的长与斜边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 取格点，求出后，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知，， 在中，． 故选：． 题型五 余弦角相关 解｜题｜技｜巧 ☆cosA = 邻边/斜边 ☆注意区分邻边与斜边，避免与正弦混淆 【典例1】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，理解正弦与余弦的含义是关键；由题意得，由，设，则由勾股定理得，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设（其中x为正数）， 则由勾股定理得， ∴， 故选：C． 【典例2】在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 【变式2】如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 题型六 正切角相关 解｜题｜技｜巧 ☆tanA = 对边/邻边 ☆当已知直角边之间的关系时，正切往往更方便 【典例1】如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正切定义，根据题意得到，，，进而利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ∴． 故选：A． 【典例2】在中，，，则 ． 【答案】60° 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 【变式1】如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，求角的正切值，解题的关键是正确作出辅助线．取格点，连接，根据勾股定理逆定理可得，即可求解． 【详解】解：取格点，连接，如图所示： 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：. 【变式2】如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型七 特殊三角形的三角函数 解｜题｜技｜巧 ☆熟记30°、45°、60°的三角函数值，并能在图形中快速识别 ☆可通过等边三角形和等腰直角三角形推导 【典例1】的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【典例2】在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数，，确定，根据三角形内角和定理计算得出，再求出的值，即可作答． 【详解】解：， ， ， ． ∴， 故答案为：. 【变式1】已知为锐角，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，得，求出，即得解． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【变式2】如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查锐角三角函数，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由勾股定理及逆定理可证明为等腰直角三角形，则题目可求． 【详解】解：连接，由勾股定理得： ， ∴， ，且， ∴． 故答案为：．    题型八 特殊角三角函数值的混合运算 解｜题｜技｜巧 ☆先代入已知特殊值，再按实数运算顺序计算 ☆注意、的处理，常需分母有理化 【典例1】计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数是解题的关键． 将特殊角度的三角函数值代入相应的式子求解，然后根据运算法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式1】（1）计算： （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． （1），据此即可求解；     （2）由题意得，根据，据此即可求解； 【详解】解：（1）原式 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数的计算，掌握其运算法则是关键． （1）先算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂的结果，再计算加减即可 （2）先算特殊角的三角函数值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、直角三角形的边角关系，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数值，再代入进行实数运算． （2）在直角三角形中，利用正切的定义求出，再根据特殊角的三角函数值确定的度数． 【详解】解：（1） ； （2）在中，， ， 因为， 所以． 题型九 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 解｜题｜技｜巧 ☆根据三角函数值反推角度，结合三角形内角和判断是锐角、直角或钝角三角形 ☆注意多解情况（如sinα=，α可能是30°或150°） 【典例1】若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【典例2】已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 【变式1】已知在中、都是锐角，，那么的形状是 ． 【答案】 直角三角形 【分析】本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的度数，进而求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的锐角， ∴， 则， ∴ 是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【变式2】在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：C． 题型十 根据特殊角三角函数值求角的度数 解｜题｜技｜巧 ☆熟记特殊角三角函数值表，直接对应 ☆若值不特殊，考虑使用计算器（但中考通常只考特殊角） 【典例1】如果是锐角，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数，熟记特殊角三角函数是解题的关键；根据余弦函数的定义和特殊角的三角函数值，当余弦值为时，对应锐角为． 【详解】解：因为是锐角，且，根据特殊角的三角函数值，， 因此； 故答案为：． 【变式1】在锐角三角形中，若、满足，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，解得和的值，结合锐角三角形条件确定和，再利用三角形内角和定理求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2】已知：，则锐角 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用特殊角的三角函数值，将 代入方程，通过代数运算求解 ，再根据锐角范围确定的值． 【详解】 ， ， ， ， 为锐角， ， 故答案为：． 【变式3】若，则锐角的度数是 ． 【答案】/42度 【分析】此题考查特殊角的余弦值求角的度数，根据余弦函数的性质，已知 ，且 为锐角，确定 的角度范围，并利用特殊角的余弦值求解． 【详解】因为 ，且 是锐角，即 ，所以 ， ∵ 时 ， ∴ ， 解得 故答案为：． 题型十一 已知角度比较三角函数值的大小 解｜题｜技｜巧 ☆正弦（0°~90°）随角度增大而增大 ☆余弦（0°~90°）随角度增大而减小 ☆正切（0°~90°）随角度增大而增大 【典例1】以下四个特殊三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接计算各选项的三角函数值并比较大小. 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 故最大的是， 故选：D. 【变式1】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A. 【变式2】比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】将，，用“＞”号连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知角度比较三角函数值的大小．通过互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再利用正弦函数在锐角范围内的性质进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大，且， ∴， 即， 故答案为：． 题型十二 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解｜题｜技｜巧 ☆以特殊角为界.例如： ◎若sinα >，则α > 30°（锐角范围内） ◎若cosα <，则α > 30° ◎若tanα > 1，则α > 45° 【典例1】若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解： 是锐角，且， ， 故选：A． 【变式1】已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可． 本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 【详解】解： ，，， ， 故选：B． 【变式2】已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解： 是锐角， ， ，，， ， 故选：A． 【变式3】若为锐角，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，锐角三角函数值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据锐角三角函数的性质，锐角的余弦值范围是0到1之间，代入表达式列出不等式求解． 【详解】解：因为为锐角， 所以， 即． 解不等式，得：． 解不等式，得． 所以m的取值范围是． 故答案为：． 题型十三 三角函数综合 解｜题｜技｜巧 ☆结合定义、特殊值、解直角三角形等知识 ☆常需在复杂图形中识别或构造直角三角形 【典例1】如图，矩形长为22，宽为15，内部是正方体的一种展开图，每个小正方形的边长相等，其中点A、B、C、D在矩形的四条边上，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，利用三角函数解直角三角形，勾股定理，解题的关键是利用函数值表示矩形的长和宽． 设正方形边长为x，由与边成的角为，与边成的角为，利用的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题． 【详解】解：如图，过P作于点H，延长交边于点M，过T作于点E，延长交边于点F， 设正方形边长为x，由与边成的角为， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在、中，可得 ， ， ∴， ， 解得， ∴， 解得， ∴，， ∴ 在，， 即， ， ， ∴ 解得或（舍去）． 故答案为：． 【变式1】定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据正割的定义，在中，，．由点 D 是中点，点 E 在 上，且，然后利用相似三角形和勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图：在中，，设，则． ∵点 D 是 中点， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理得， ∴，化简得：． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 将代入可得：． 将代入得，整理得． 设，则． 代入得，即． 两边平方并整理得， 令，得，解得（舍去负根）， ∴，即 ． 故答案为：． 【变式2】如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    【答案】 / 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形等知识点；①当点与点重合时，由折叠的性质知垂直平分，推出，求得；②连接，可知当长取得最小值时，长取得最大值；由折叠的性质知垂直平分，则，推出时，长取得最小值，此时长取得最大值；过点D作于点C，则四边形为矩形，推出，即可求解； 【详解】解：当点与点重合时，由折叠的性质知垂直平分， ∴； ； 连接，如图所示：    当长取得最小值时，长取得最大值； 由折叠的性质知垂直平分，则， ∴时，长取得最小值，此时长取得最大值， 过点D作于点G，则四边形为矩形， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴长的最大值为； 故答案为：①②． 【变式3】阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 题型十四 解直角三角形相关计算 解｜题｜技｜巧 ☆已知一边和一锐角：用三角函数求另两边 ☆已知两边：用勾股定理求第三边，再用三角函数求角 ☆牢记“有斜用弦，无斜用切” 【典例1】在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数定义和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由得， 由得； 由得， 综上，，，． 【变式1】在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，， 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键． 根据三角形面积公式求出，再根据三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ． 【变式2】如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得是等腰直角三角形，则，设，则，由折叠性质得，，由勾股定理得，根据三角形外角性质得，进而得，在中，根据正切函数定义得，继而可得的值． 【详解】解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【变式3】如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； （2）过点C作于点F，由题意易得，设，则根据勾股定理可得：，然后可得，进而根据（1）中结论可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， 设，则根据勾股定理可得：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十五 解非直角三角形 解｜题｜技｜巧 ☆通过作高（垂线）转化为两个直角三角形求解 ☆若已知两边及夹角或三边，也可考虑余弦定理（超纲但有时可用勾股定理推导） 【典例1】如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【典例2】在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 【变式1】如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型十六 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 解｜题｜技｜巧 ☆作垂线是最常用方法 ☆将不规则图形分割成多个直角三角形，利用勾股定理和三角函数逐个突破 【典例1】如图，中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【变式1】如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【详解】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 【变式2】已知在四边形中，，，． （1）的长是 ； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是 ． 【答案】 / 【分析】（1）连接，根据条件易知是等腰直角三角形，所以求得，再利用求得，在中即可求出的长； （2）连接，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小． 【详解】（1）解：连接， 在中，，， ， ， ， 在中，； 故答案为：4 （2）在中，易得， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ， ， 点P是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接，得， 是等腰直角三角形， ， 过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小， 当点O、P、G共线时，， ， 是等边三角形，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ， ， 则， 故点P到的距离是． 故答案为： 【变式3】如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 题型十七 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 解｜题｜技｜巧 ☆画出平面示意图，明确仰角（向上看）、俯角（向下看）的定义 ☆通常构造两个及多个直角三角形，利用公共边建立方程 ☆注意有时会涉及矩形的性质与判定 【典例1】如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆6米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米， (1)求电线杆上部分的长； (2)求拉线的长（结果精确到米，参考数据：，）． 【答案】(1)电杆上部分的长为米 (2)拉线的长为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题时通过转化思想构造矩形与直角三角形，利用三角函数定义求解，关键是将已知条件转化到直角三角形中，易错点是忽略测角仪高度或混淆三角函数对应边； （1）过点作，垂足为构造矩形，用仰角的正切求 与测角仪高度的差得 ； （2）在 中用 的正弦求． 【详解】（1）解：过点作，垂足为 由题意可知四边形为矩形，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：在，，， ∴米， 所以拉线的长约米． 【变式1】小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，掌握特殊角的正切值和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据正切值求即可求解； （2）设，则无人机与小明的距离，再根据题意得，利用其正切值得到，进而在，应用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，， ，，， ，解得， ，解得， ； （2）解：设，则无人机与小明的距离， 由题意可知， ，解得， ， 在中，， 即， 整理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 无人机距离地面的高度为． 【变式2】2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点C处测得塔顶A的仰角为，沿水平方向向塔底B行走80米到达观测点D处，测得塔顶A的仰角为．已知观测点C，D与塔底B在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】约213米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意是解答的关键． 先得到，设，则，在中，利用正切定义列方程求解x值即可． 【详解】解：由题意，，，，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即米， 答：塔的高度约为213米． 【变式3】如图，在某机场的地面雷达观测站处，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知为千米．（、、、、、在同一竖直平面内） (1)求、两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持9千米／分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 【答案】(1)18千米 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据直线平行的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等即可求出； （2）过点作于点，根据三角形内角和定理、三角函数等即可求出，从而求出所用时间． 本题考查了三角形内角和定理、三角函数、平行直线的性质、勾股定理等． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ， ，， ． 设， 在中， ， ， ， ， 解得：， ， ∴在中，． ∴、两点之间的距离为18千米． （2）解：过点作于点， ，， ， ，， ， ． 在中，千米， ． 在中，， （千米）． ∴飞机从点飞行到点所用的时间为（分钟）． 题型十八 方位角问题(解直角三角形的应用) 解｜题｜技｜巧 ☆以观测点为原点，画出“上北下南左西右东”的十字方向线，根据方位角确定目标方向，构造直角三角形☆注意可能涉及两个方向角的和或差 【典例1】潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 【答案】(1)3860米 (2)小南先到达M处，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． （1）过点C作于H，，根据，，即可求解； （2）由（1）得，进而分别求得，分别计算小东和小南走所用的时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 过点C作于H，， ∴， ∴． ∴（米）， 即：小南家到图书馆A的直线距离为3860米； （2）小南先到达M处，理由如下： 由（1）知， ∵M为的中点， ∴， ∴小东到点M需用（分钟）； 在中，，， ∴， ， ∴ ∴小南到点M需用（分钟）， ． ∴小南先到达M处． 【变式1】如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为． (2)快递员能在内到达驿站 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，过作于，作于，而，可得四边形为矩形，再进一步求解，，进一步可得答案． （2）利用路程除以速度结合快递员途经，两个驿站各停留存放快递，计算总时间，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过作于，作于，而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴驿站与驿站之间的距离约为． （2）解：∵，，， ∴， ∴总时间为：， ∴快递员能在内到达驿站． 【变式2】如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1)C、E两地间的距离为 (2)甲先到达B地 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握作辅助线构造适当的图形是解题的关键． （1）先证是等腰直角三角形，求出的长度，再过E点作交于点F，得到等边和平行四边形，利用边的转换即可求解． （2）利用路程除以速度得到甲乙两人前进的时间，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 是等腰直角三角形， m， 如图，过E点作交于点F， 又， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ． （2）根据题意，可知 甲所需时间为（分）， 乙所需时间为（分）， ， 甲先到达B地． 【变式3】第十二届世界城市日在重庆举办，“半山崖线步道”及“嘉陵江滨江路”吸引了众多游客打卡，小玉打卡了半山崖线步道，小雅打卡了嘉陵江滨江路、如图，，，，， 在同一平面内，他们同时从步行出发，约定在处汇合．小玉先从沿南偏东的方向游览千米到达处，然后继续向的北偏东方向游览到达处，最后沿着 的北偏东方向到达处，且小玉在和两地都停留了分钟拍照、小雅先从沿正东方向游览至处并停留分钟拍照，再沿的南偏东方向到达处，恰好在的正北方向 千米处． (1)求，两地之间的距离（结果保留根号）； (2)若小玉游览速度为千米时，小雅游览速度为千米时，请问小玉和小雅谁先到达处？通过计算说明（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 【答案】(1)，两地之间的距离为； (2)小玉先到达 处． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，则有四边形是矩形，所以，，在中，，得，在，，从而求解； （）过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则，由题意得，，，则，，所以，由（）得四边形是矩形，，，在，，，则，所以，，在，，然后分别求出小玉所花时间和小雅所花时间，最后比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，，，， ∴， ∴在中，， ∴， 在，， ∴，两地之间的距离为； （2）解：如图，过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则， 由题意得，，， 则，， ∴， 由（）得四边形是矩形，，， 在，，， ∴， ∴，， 在，， ∴ 小玉所花时间为： ； 小雅所花时间为： ， ∵， ∴小玉先到达 处． 题型十九 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 ☆坡度i = 垂直高度/水平宽度 = tanα（α为坡角） ☆已知坡度可求坡角，反之亦然 ☆解题时常需将斜坡长度、垂直高度、水平宽度三者转化 【典例1】如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的应用，理解题意是关键；由题意得米，，由正弦函数关系式即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：B． 【典例2】【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 【答案】探究：；运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由见解析 【分析】探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，可得，即得到，进而可得，设，则，，得到，再根据正切的定义解答即可求解； 运用：过作于点，由题可得，再解直角三角形求出即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴, 故答案为：； 运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由如下： 过作于点， 由题可得，， ∵， ∴， ∴小张不能够从此积水路段安全通过． 【变式1】如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点E距地面的高度为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键．根据锐角三角函数值，求出，进而利用解直角三角形求得、，然后求得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设、交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 【变式2】“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【答案】(1)5米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，根据题意可得，设米，米，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）延长交于H， 可证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解得到米，解得到米，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于F， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， 答：坡顶到地面的距离为5米； （2）解：如图所示，延长交于H，由题意得，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 由（1）可得米， 设米，则米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴， 解得， ∴米， 答：南城门城楼的高度约为米． 题型二十 其他问题（解直角三角形的应用） 解｜题｜技｜巧 ☆仔细审题，提取关键数据，将实际问题抽象为几何模型（通常是直角三角形） ☆注意结果是否符合实际意义（如长度、角度取正数） 【典例1】实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【变式1】高铁座椅靠背及小桌板打开时的侧面如图1所示，支架连接靠背和小桌板，小桌板平行于地面，凹槽E处可以用来放置水杯，靠背垂直于地面时测得． (1)求的度数； (2)靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图2，若此时乘客的水杯能竖直放在凹槽E处（不计凹槽深度），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)乘客水杯的最大高度为 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、平行线的性质等知识点是解决本题的关键： （1）先利用垂直的定义求出度数，再利用平行线的性质求出； （2）过点E作，在中利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】（1）解：∵靠背垂直于地面时测得， 小桌板平行于地面， （2）过点E作，交于点 ， 在中， ， 答：乘客水杯的最大高度为 【变式2】综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 任务1：某一时刻测得米， ①请直接写出 ； ②请求出此时影子的长度； 任务2：这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】（1）①；②米；（2）小明会被太阳光照射到．理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务1：①如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得米，再由正切的定义可得答案；②过点作于点，再求出米，可证，，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，据此求出的长，进而求出的长，由此可得结论． 【详解】解：任务1：①如图，过作于， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∴； ②如图，过点作于点，则四边形为矩形， ∴， ，， ，， ， ， 四边形为矩形，米， 米． 在中，， 又， ， 解得米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到． 理由如下：如图，过点作交于点． 由任务1知，， ，， 是等边三角形， ∴米， 米，（米）． 在中，米， 在中，米， ∴米， 在中，， 小明会被照射到. 【变式3】随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图1是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点与线在同一个平面内）．设抓手D到直线的水平距离为r米． (1)当，时，求r的值？ (2)当时，r的最大值为多少米？（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)米 (2)2.00米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用； （1）过点C作交延长线于点E，过点D作交延长线于点F，根据题意求出的长度，再结合计算即可． （2）过点D作交延长线于点E，设交于点H．当点E和点H重合，且最小时，有最大值，当时，有最大值，即此时有，再结合，即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，过点D作交延长线于点F，则． 由题意，得， ∴． 在中，米，， ∴（米）． ∵， ∴． 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴米． （2）解：如图，过点D作交延长线于点E，设交于点H． ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，∠， ∴， ∴， ∴r的最大值为2.00． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求锐角的正弦函数值，掌握正弦函数的定义是关键；根据正弦函数的定义，在直角三角形中，等于角A的对边与斜边的比值． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：D． 3．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 【答案】 【分析】本题考查了求坡度． 根据坡度的定义，坡度是铅垂高度与水平距离的比，即． 设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，利用勾股定理可求水平距离，再计算坡度． 【详解】解：设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，根据勾股定理： （米） 坡度， 故答案为：． 4． ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． 根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 5．如图，在中，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为：6． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． 【详解】解：原式 ． 7．如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，由三角形的高的定义得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，是底边上的高， ∴，即， ∵E为的中点， ∴． 8．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：D． 2．如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，三角形的外角性质等知识点，由题意得；，求出，即可求解； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∴； ∴， 故选：B． 3．右面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点B到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可． 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故选：A. 4．雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为 米． 【答案】35 【分析】本题考查了坡比的概念以及勾股定理的应用，理解坡比的概念是解题的关键．坡比是指坡面的垂直高度和水平距离的比值，已知坡比和下滑的斜边长度，设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，根据勾股定理建立方程求解竖直方向下滑的高度． 【详解】解：设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，因为雪道坡比为，所以水平方向移动的距离为米， 根据勾股定理，可列方程：， 解得或(长度不能为负舍去)， 因此，该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为35米． 故答案为：35． 5．如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为 ； （2）若点F是的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、含30度角的直角三角形的性质；过点作于，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出、，求出，进而求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，为中点，斜边， ，， 在中，，，为中点，斜边， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ∴，． 故答案为：． 7．如图，一艘轮船从海岛出发，以30海里/时的速度向正东方向航行，到达海岛用时2小时．从海岛，望荒岛，测得，． (1)求荒岛到海岛的距离； (2)已知荒岛周围28海里内都有暗礁，若轮船继续向正东方向航行，会有触礁的风险吗？ 【答案】(1)荒岛到海岛的距离为60海里 (2)若轮船继续向正东方向航行，不会有触礁的风险 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质以及含30°直角三角形的性质； （1）根据已知得出是等腰三角形，结合题意，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）由题意得（海里）． ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴海里． 故荒岛到海岛的距离为60海里； （2）如图，过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴（海里）． ∵， ∴若轮船继续向正东方向航行，不会有触礁的风险． 8．如图，在菱形中，对角线与交于点，其中菱形的面积为24，，，动点从点出发，沿运动（不与重合），用表示点的运动路程，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并分别写出函数、的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)当时，；当时，；； (2)图象见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； (3)当时，或． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一次函数与反比例函数综合，三角函数的应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由菱形的性质，结合三角函数及勾股定理可得，过点P作于G，过点C作于点H，利用相似三角形求得，即可求出，由则可得到； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴设 ∵， ∴, 解得， ∴， 过点P作于G，过点C作于点H， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴当时，； 当时，， ∴； ∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：联立，解得或解得， ∴由函数图象可得，当时，或． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半， 根据等腰三角形的性质可得和直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，即可得到结论． 【详解】解：∵，点E为边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D为边上的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，则有，根据角平分线的定义得到，设，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，再利用特殊角的三角函数值即可求出的正切值． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，…，按此规律进行下去，若点且等边的高为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点A旋转，得到， ∴， ， ， ， ， ， ， 则， 同理可得，， ……，， 即． 故选：C． 4．如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质；作点关于的对称点，由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点，当时，最小，再根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点， 当时，最小， ∵，则， 在中，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 5．如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点D作轴于点G，求出，进而求出点的初始位置，根据每秒旋转，6次一个循环，，可得第2025秒，点的位置与关于点对称，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点G， 由题意可得：， ， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的初始位置为， 矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴6次一个循环，， 第2025秒与起始位置夹角为， 与x轴负半轴夹角为， 此时，与x轴正半轴夹角为，即点的位置与关于点对称， 故此时，， 故答案为：． 6．如图，矩形长为22，宽为15，内部是正方体的一种展开图，每个小正方形的边长相等，其中点A、B、C、D在矩形的四条边上，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，利用三角函数解直角三角形，勾股定理，解题的关键是利用函数值表示矩形的长和宽． 设正方形边长为x，由与边成的角为，与边成的角为，利用的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题． 【详解】解：如图，过P作于点H，延长交边于点M，过T作于点E，延长交边于点F， 设正方形边长为x，由与边成的角为， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在、中，可得 ， ， ∴， ， 解得， ∴， 解得， ∴，， ∴ 在，， 即， ， ， ∴ 解得或（舍去）． 故答案为：． 7．如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度；（将计算结果化至最简） (3)连接、，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意可得，根据是线段的中点，得到，，推出，结合是线段的中点，即可得证； （2）由，，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）由题意可得，进而得到，由，是线段的中点，得到，，推出，，根据三角形的外角性质可得，，进而求出，即可得证． 【详解】（1）证明： 、分别是、边上的高， ， 是线段的中点， ，， ， 是线段的中点， ； （2）解： ， ， ，是线段的中点， ， ， ； （3）证明：，、分别是、边上的高， ， ， ，是线段的中点， ，， ，， ，， ， 由（1）得， 是等边三角形． 8．【阅读理解】 在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】 （1）仿照小明的思路，可以计算出_____． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____．_____． 【拓展应用】（3） 在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处，测得此时的仰角为，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点E、C、F共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为1.5米（即米），后退与前进的距离之和为米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，读懂题意，构建相应的直角三角形是解题的关键． （1）作图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可得到答案． （2）作图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可得到的值，在中，，设，，在上截取，设，则，设，根据勾股定理列方程，，得到，进一步求解即可得到的值． （3）延长交于，结合题意可知，，，，同时，，，设，，进一步求解可得到的值，故可算出这棵树的高度． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理，， ，，， 设，， 则，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 答：这棵树的高度为米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $