专题06 角与相交线平行线（期末复习专项训练，7大题型）七年级数学上学期新教材北京版

专题06 角与相交线平行线 题型1 角的表示方法（易错点） 题型5 画垂线 题型2 角度计算（常考点） 题型6 垂线段最短 题型3 角平分线（难点） 题型7 点到直线的距离（常考点） 题型4 垂线 题型一 角的表示方法（共3小题） 1．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 题型二 角度计算（共5小题） 4． ′． 5．计算： (1)； (2)； 6．计算： ． 7．计算： ． 8．计算： ． 题型三 角平分线（共5小题） 9．如图，已知平面内有四个点，，，．按要求画图，并回答问题： (1)按要求画图： ①画直线，在直线上取一点（点在点右侧）； ②画射线、； (2)当平分时， ①如果，________； ②如果，则________；（用含的代数式表示） ③作，在②的条件下，请你求出的度数．（用含的代数式表示） 10．在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分． (1)如图1，当时，则______________； (2)若． ①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示） ②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示） 　　_____；         ____；         ____； 11．已知直线，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上，并记为点A，该锐角的两边分别记为射线，射线，且字母A，B，C按顺时针方向排列（射线，不与直线重合）．作射线平分，射线平分． (1)如图1，若，，则_______°； (2)如图2，若，且与互余，求的度数； (3)将三角尺绕点A旋转，使得射线，都在直线的下方，直接写出的度数的所有可能值． 12．如图，已知O是直线上一点，在直线同侧作射线，．，，作的平分线，作的平分线． (1)若，． ①______； ②依题意补全图形，______； (2)若，求的度数； (3)直接写出的大小（用含，的式子表示）． 13．如图．已知，平分． (1)在图1中，若，，则的度数为______°，的度数为_____°； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若从图2的位置继续绕点顺时针旋转，和的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线所在的区域（用阴影表示)，并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由． 题型四 垂线（共3小题） 14．如图，直线，相交于点，射线在内部，且．过点作．若，那么平分吗？为什么？ 15．如图，点在直线上，．若，则 ． 16．已知：直线与直线相交于点O，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，求的度数． 题型五 画垂线（共3小题） 17．如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 18．如图，平面上有三个点． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③画线段； ④延长线段到使得； ⑤过点作的垂线分别交于点． (2)通过观察或测量写出线段与线段的数量关系． 19．已知，平面内三个点，，不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点，使得； ③过点画直线，垂足为；④连接． (2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论． 题型六 垂线段最短（共3小题） 20．如图，村庄A与村庄B在河流的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是： ． 21．如图，点P是直线l外一点，点在直线l上，于点C，在线段，，，中，最短的线段是 ，理由是 ． 22．下列生活实例中，①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条；②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用；③测量运动员的跳远成绩；④小狗看到食物，会径直奔向食物．能用“两点之间线段最短”解释的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型七 点到直线的距离（共3小题） 23．如图，在三角形中，，垂足为D．下列说法正确的是（    ） A．线段的长度是点D到直线的距离 B．线段的长度是点B到直线的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线的距离 24．如图，已知平面上三点，，，按下列要求画图，并回答问题： (1)画射线，线段； (2)连接，并在的延长线上取一点，使得； (3)画直线； (4)通过测量可得，点到直线的距离是_______．（精确到） 25．如图，平面上有三个点A，B，C． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③连接； ④过点A画的垂线，与的延长线交于点D． (2)点A到射线的距离是线段_____________的长． 2 / 8zxxk.com 1 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 角与相交线平行线 题型1 角的表示方法（易错点） 题型5 画垂线 题型2 角度计算（常考点） 题型6 垂线段最短 题型3 角平分线（难点） 题型7 点到直线的距离（常考点） 题型4 垂线 题型一 角的表示方法（共3小题） 1．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键． 【详解】解：A.表示的角不确定，故不符合题意； B.，，三种方法表示同一个角，故符合题意； C.表示的角不确定，故不符合题意； D. 表示的角不确定，故不符合题意； 故选：B． 2．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的表示，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、因为在顶点处，所以不能用，，表示同一个角，故此选项不符合题意； B、因为顶点处有3个角，所以不能用，，表示同一个角，故此选项不符合题意； C、因为顶点处有4个角，所以不能用，，表示同一个角，故此选项不符合题意； D、因为顶点处只有1个角，所以能用，，表示同一个角，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，理解并掌握角的表示方法是解题关键．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A.以为顶点的角有一个，可用，，三种方法表示同一个角，符合题意； B.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意； C. 与，不是同一个顶点，，，三种方法表示的不是同一个角，不符合题意； D.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意． 故选：A． 题型二 角度计算（共5小题） 4． ′． 【答案】 【分析】本题考查的是角的单位互化，熟记大化小用乘法，据此即可作答． 【详解】解：依题意， 则 ∴； 故答案为： 5．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数，． 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度计算．先将化成度数形式，再进行运算即可得到本题答案． 【详解】解：， 故答案为：． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，利用度分秒的减法相同单位相减，不够减时向上一单位借当再减． 根据度分秒的换算计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，解题的关键掌握：进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减；做加法时，秒够进分，分够进度；做减法时，不够减的，从上一级借，再进行减法运算．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型三 角平分线（共5小题） 9．如图，已知平面内有四个点，，，．按要求画图，并回答问题： (1)按要求画图： ①画直线，在直线上取一点（点在点右侧）； ②画射线、； (2)当平分时， ①如果，________； ②如果，则________；（用含的代数式表示） ③作，在②的条件下，请你求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)①②③或 【分析】本题考查了画线段、射线，补角的定义，有关角平分线的计算等； （1）①根据要求作图，即可求解； ②根据要求作图，即可求解； （2）①由补角的定义得，由角平分线的定义得，即可求解； ②由补角的定义得，由角平分线的定义得，即可求解； ③分类讨论：当在上方时；当在下方时，即可求解； 会画直线、射线，能利用角平分线的定义熟练求解角的度数是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图， 故直线、点为所求作； ②如图， 故射线、射线为所求作； （2）解：①， ， 平分时， ， 故答案为：； ②， 平分时， ； 故答案为：； ③当在上方时， ， ， 由②得：， ； 当在下方时， ， ， 由②得：， ， ； 综上所述：的度数为或． 10．在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分． (1)如图1，当时，则______________； (2)若． ①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示） ②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示） 　　_____；         ____；         ____； 【答案】(1)30 (2)①；②；； 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角板中的角度运算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，再根据角平分线的定义可得，结合图形可知，利用角的和差即可求出的度数； （2）①由可得，再根据角平分线的定义可得，再利用平角的定义即可求出的度数；②仿照①中的方法，分别求出如图所示的三种位置中的度数即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 又， ． 故答案为：30． （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， 的度数为； ②位置1： ，， ， 平分， ， ， ； 位置2：同理位置1的方法可得：； 位置3：同理①的方法可得：． 故答案为：；；． 11．已知直线，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上，并记为点A，该锐角的两边分别记为射线，射线，且字母A，B，C按顺时针方向排列（射线，不与直线重合）．作射线平分，射线平分． (1)如图1，若，，则_______°； (2)如图2，若，且与互余，求的度数； (3)将三角尺绕点A旋转，使得射线，都在直线的下方，直接写出的度数的所有可能值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）先证明，，再求解，再进一步求解即可； （2）设：，，可得①，结合，可得②，再进一步求解即可； （3）如图，由（1）可设：，，可得，，分当时，当时，当时，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵射线平分，射线平分，． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可设：，， ∵与互余， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴②， 由①②得：； ∴； （3）解：如图，由（1）可设：，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 当旋转到另外符合条件的位置时，如图， 同理可得：的可能值为或或． 综上：的可能值为或或． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程组的应用，互余的含义，熟练的利用方程解题是关键． 12．如图，已知O是直线上一点，在直线同侧作射线，．，，作的平分线，作的平分线． (1)若，． ①______； ②依题意补全图形，______； (2)若，求的度数； (3)直接写出的大小（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①75；② (2) (3) 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①求出，再根据角平分线的定义求解； ②求出，，再根据求解； （2）根据求解即可； （3）同（2）过程一样求解即可． 【详解】（1）解：①， 又平分， ． 故答案为：75； ②图形如图所示： ， 又平分， ， ， ． 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 13．如图．已知，平分． (1)在图1中，若，，则的度数为______°，的度数为_____°； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若从图2的位置继续绕点顺时针旋转，和的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线所在的区域（用阴影表示)，并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2)；理由见解析 (3)和的数量关系会发生变化，变化后的数量关系为．图见解析 【分析】（1）根据题干条件先求得，，再根据角平分线的定义结合角的和差计算即可求解； （2）设，，则，再根据角的和差计算即可求解； （3）同（2）分情况讨论，画出图形，根据角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：；理由如下， ∵平分， ∴， 设，，则， ∴，， ∴； （3）解：和的数量关系会发生变化， 设，，则， 如图，当射线在外，且在射线上方时， ∴，， ∴； 如图，当射线在射线下方时， ∴，， ∴； 如图，当射线在射线左边时， ∴，， ∴； 综上，当射线在射线下方且在射线右边时，如图， 变化后的数量关系为． 题型四 垂线（共3小题） 14．如图，直线，相交于点，射线在内部，且．过点作．若，那么平分吗？为什么？ 【答案】平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：平分，理由如下： ，， ∴，， ， ， ， ， ， 平分 15．如图，点在直线上，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角、垂直定义，先根据邻补角定义求得，再根据垂直定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知：直线与直线相交于点O，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直定义、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解答的关键． （1）根据对顶角的性质可得，再根据垂直定义可得∠，再利用角的和差关系可得答案； （2）首先根据邻补角定义可得，再根据角平分线的性质可得的度数，然后再利用角的和差关系求出的度数． 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于O， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型五 画垂线（共3小题） 17．如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图，垂线的定义，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用垂线的定义，平行线的性质进行画图即可； （2）根据平行线之间的距离相等，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1） 解： （2）解：连接， 由题意可知，， 故， 即， ， 故答案为：． 18．如图，平面上有三个点． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③画线段； ④延长线段到使得； ⑤过点作的垂线分别交于点． (2)通过观察或测量写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段、射线的概念及垂线段的性质． （1）利用直尺和三角板根据题目要求作图即可； （2）通过测量，比较即可判断． 【详解】（1）解：如图，①直线即为所求； ②射线即为所求； ③线段即为所求； ④线段即为所求， ⑤垂线、即为所求， ； （2）解：测量得，， 故． 19．已知，平面内三个点，，不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点，使得； ③过点画直线，垂足为；④连接． (2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据射线、直线、线段的画法，垂线的画法，画出图形即可求解； （2）根据两点之间线段最短即可得出 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线，线段、，，即为所求 （2）解：观察图形发现：． 题型六 垂线段最短（共3小题） 20．如图，村庄A与村庄B在河流的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是： ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，利用垂线段最短进行作答即可． 【详解】解：村民这样选择的理由是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 21．如图，点P是直线l外一点，点在直线l上，于点C，在线段，，，中，最短的线段是 ，理由是 ． 【答案】 / 垂线段最短 【分析】本题考查的是垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短求解即可． 【详解】解：∵点P是直线l外一点，点在直线l上，于点C， ∴在线段，，，中，，即最短的线段是，理由是垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 22．下列生活实例中，①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条；②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用；③测量运动员的跳远成绩；④小狗看到食物，会径直奔向食物．能用“两点之间线段最短”解释的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质和直线的性质，正确应用线段的性质是解题关键．直接利用线段的性质进而分析得出答案． 【详解】解：①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条，可用“两点确定一条直线”来解释； ②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用可用“两点之间线段最短”来解释； ③测量运动员的跳远成绩，可用“垂线段最短”来解释； ④小狗看到食物，会径直奔向食物，可用“两点之间，线段最短”来解释； 其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有②④． 故选：D． 题型七 点到直线的距离（共3小题） 23．如图，在三角形中，，垂足为D．下列说法正确的是（    ） A．线段的长度是点D到直线的距离 B．线段的长度是点B到直线的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线的距离 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离成为解题的关键． 根据点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、线段的长度是点A到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； B、线段的长度是点B到直线的距离，故原说法正确，符合题意； C、点A与点B之间的距离大于点A到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； D、点C与点D之间的距离等于点C到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 24．如图，已知平面上三点，，，按下列要求画图，并回答问题： (1)画射线，线段； (2)连接，并在的延长线上取一点，使得； (3)画直线； (4)通过测量可得，点到直线的距离是_______．（精确到） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】（1）根据线段和射线的画法，求解即可； （2）根据题意，按照要求，作出图形即可； （3）根据直线的画法求解即可； （4）过点作，线段的长度即是点到直线的距离． 【详解】（1）解：如图所示，线，线段即为所求： （2）解：如图所示，线段、即为所求： （3）解：如图所示，直线即为所求： （4）解：过点作，如图所示： 用直尺测量出的长度为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段、射线、直线的画法以及点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 25．如图，平面上有三个点A，B，C． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③连接； ④过点A画的垂线，与的延长线交于点D． (2)点A到射线的距离是线段_____________的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据题目按要求作图即可； （2）点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【详解】（1）解：作如图， （2）由题意可得，点A到射线的距离是线段的长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—画直线、射线和垂线段，正确的画出图形是解决本题的关键． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $