3.9 两条直线的位置关系（基础篇） 讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

本讲义聚焦“同一平面内两条直线的位置关系”核心知识点，系统梳理相交（含交点）、平行（含符号表示）及特殊相交（垂直、垂线、垂足）等概念，衔接垂线段最短、点到直线的距离等性质，构建从概念到性质再到作图实践的学习支架。 资料通过思维导图整合知识脉络，设计分层练习题（如三条直线交点个数分类、垂线段应用判断）培养几何直观与空间观念（数学眼光），结合作图题（过点画垂线）强化数学语言表达，助力教师分层教学，学生可课后通过题型训练查漏补缺，提升推理意识与应用能力。

3.9两条直线的位置关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 同一平面内两条直线的位置关系：相交、平行 相交线：两条直线有且只有一个公共点，该公共点称为交点 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线，记作a∥b 相交线的特殊情况：垂直相交，两条直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足，记作a⊥b 型 习 练 题 相交线 1．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 2．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 3．如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 垂线段最短 6．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 7．如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 8．如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 9．如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 10．如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 点到直线的距离 11．为直线l外一点，是直线l上三点，且，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C．不大于 D．不小于 12．点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 13．如图，在直角三角形中，，，， ，，则下列说法中，正确的序号有 （          ） ①点A到的距离是；②点B到的距离是；③点C到的距离是；④点B到的距离是． A．①②③ B．①② C．②③ D．②③④ 14．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 15．如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 平面内两直线的位置关系 16．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 17．下列说法中正确的个数有（   ） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离； ④两条直线的位置关系有两种：平行与相交； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．平行或相交 C．垂直或平行 D．平行或相交或垂直 19．在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 画垂线 21．（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    22．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 23．如图，要修一条公路将村庄与公路连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出图形，并说明理由． 24．如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 25．如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.9两条直线的位置关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 同一平面内两条直线的位置关系：相交、平行 相交线：两条直线有且只有一个公共点，该公共点称为交点 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线，记作a∥b 相交线的特殊情况：垂直相交，两条直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足，记作a⊥b 型 习 练 题 相交线 1．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查点和线的位置关系，角的表示以及相关的数学语言，根据点和线的位置关系以及数学语言判断即可． 【详解】解：A．点P在直线m外，该选项错误； B．直线m和n相交于点O，该选项正确； C．可以表示成，该选项错误； D．射线和射线表示不同射线，该选项错误． 故选：B． 2．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 3．如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线与相交线，根据平行线与相交线的定义并结合图形判断即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∴与、各有一个交点，与、各有一个交点，与没有交点，与没有交点， ∴四条直线的交点个数为4， 故选：C． 4．“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，熟练掌握直线、射线的定义以及相交线的定义是解题的关键．根据直线、射线相交的定义判断即可． 【详解】解：如图，直线与射线相交于点O， 故选：B． 5．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 垂线段最短 6．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长． 【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长． 故选：C． 7．如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，得出的取值范围，再据此判断选项．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（垂线段最短）． ∵， ∴． ，不满足，故A项错误； ，满足，故B项正确； ，满足，故C项正确； ，满足，故D项正确． 故选：A． 8．如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点C作于点，    ∵，， ∴，即， ∴， ∵D为边上一动点，， ∴的最小值为的长4， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 9．如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可. 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， ∴线段的最小值是. 故选：C． 10．如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 点到直线的距离 11．为直线l外一点，是直线l上三点，且，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C．不大于 D．不小于 【答案】C 【分析】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，是解答此题的关键．根据点到直线距离的定义进行解答即可． 【详解】解：∵A、B、C为直线l上三点，，且， ∴根据垂线段最短得出P到直线l的距离是不大于． 故选：C． 12．点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短，解决本题的关键是要熟练掌握点到直线的距离的性质； 根据直线外一点与直线上的所有连线中，垂线段最短，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵点是直线外一点，在直线上，且，，， ∴直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短可得：点到直线的距离小于或等于， 故选：D； 13．如图，在直角三角形中，，，， ，，则下列说法中，正确的序号有 （          ） ①点A到的距离是；②点B到的距离是；③点C到的距离是；④点B到的距离是． A．①②③ B．①② C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查点到直线的距离，三角形面积．根据面积公式求得的长度，再根据点到直线的距离就是过点作直线的垂直，这点与垂足间的线段长度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A到的距离是，①的说法错误； 点B到的距离是，②的说法正确； 点C到的距离是，③的说法正确； ④点B到的距离小于的长，不可能是，④的说法错误． 综上，正确的有②③， 故选：C． 14．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 15．如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，即从直线外一点到这条线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这个点到直线的距离．根据点到直线的距离的概念即可得解． 【详解】解：∵， ∴根据点到直线的距离的概念可得：点O到直线的距离是线段的长度； 故选：B． 平面内两直线的位置关系 16．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线．根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：因为选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D， 故选：D． 17．下列说法中正确的个数有（   ） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离； ④两条直线的位置关系有两种：平行与相交； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理、垂线、垂线段和点到直线的距离等定义，两直线的位置关系． 分别利用平行公理以及垂线以及点到直线的距离以及垂线段最短的定义分别分析得出即可． 【详解】解：A、在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不符合题意； B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故此选项正确，符合题意； C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不符合题意； D、同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交，故此选项错误，不符合题意； 则正确的个数有个． 故选：A． 18．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．平行或相交 C．垂直或平行 D．平行或相交或垂直 【答案】B 【分析】本题考查平行线和相交线，同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，可得答案，解题关键要明确在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行和相交， 故选：B． 19．在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相交线，平行线．根据题意画图即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴这三条直线中所有交点的个数为个． 故选：C． 20．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了画垂线和平行线，同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条，据此可得答案． 【详解】解：同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条， ∴， ∴， 故选：B． 画垂线 21．（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    22．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：，， 理由如下： 因为线段的长度是点P到直线的距离， 所以； 因为线段的长度是点C到直线的距离， 所以． 23．如图，要修一条公路将村庄与公路连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出图形，并说明理由． 【答案】图见解析，理由：垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线、垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．按照“一落”、“二移”、“三画”过点作于点，则即为所求．理由是：垂线段最短，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，则即为所求． 理由是：垂线段最短． 24．如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了垂线段，垂线定义，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）画出点到的垂线段； （）过点画的垂线即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 25．如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】（1）根据过一点作垂线段的基本作图，解答即可； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短解答即可． 本题考查了垂线段的基本作图，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握基本作图，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下： 则点H即为所求． （2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $